OPTIMALIZACE TEPLOSMĚNNÉ PLOCHY PROTIPROUDÉHO VÝMĚNÍKU

OPTIMALIZACE TEPLOSMĚNNÉ PLOCHY PROTIPROUDÉHO VÝMĚNÍKU

Diplomová práce

Studijní program: N2301 – Strojní inženýrství

Studijní obor: 2302T010 – Konstrukce strojů a zařízení Autor práce: Bc. Jan Novosád

Vedoucí práce: doc. Ing. Václav Dvořák, Ph.D.

Poděkování

Tímto bych rád poděkoval vedoucímu práce Doc. Ing. Václavu Dvořákovi, Ph.D.

za vřelý přístup, cenné připomínky a čas strávený v souvislosti s řešením této práce.

Dále bych chtěl poděkovat celé rodině za podporu během celé doby studia.

Anotace

Diplomová práce se zabývá numerickým výzkumem proudění v deskovém výměníku tepla a optimalizací teplosměnné plochy. V úvodní části jsou uvedeny základy teorie sdílení tepla a proudění ve výměnících, rozdělení výměníků tepla, popis provedení teplosměnných ploch u deskových výměníků a metody optimalizace teplosměnných ploch.

Dále jsou popsány modely s různým provedením teplosměnné plochy a postupy numerických výpočtů pomocí programu Fluent. Na základě výsledků výpočtů jsou zpracovány závislosti tlakové ztráty a přestupu tepla na provedení teplosměnných ploch.

Podle těchto závislostí je navržen optimalizační algoritmus, který je ověřen numerickou simulací optimalizované varianty pro náhodně zvolené vstupní hodnoty.

Klíčová slova

CFD, deskový výměník, Fluent, optimalizace, protiproudý výměník, sdílení tepla, tlaková ztráta, účinnost.

Annotation

This thesis deals with numerical investigation of flow in plate heat exchanger and optimization of geometry of heat transfer surface. In the introductory part are described the theory of heat transfer and flow in heat exchangers, distribution of heat exchangers, description of heat transfer surfaces of plate heat exchangers and the optimization methods for refining geometry of plates. The following part describes the models of plates and methods of numerical investigation using Fluent. Based on the results, effects of different shapes of plates on pressure loss and heat transfer are specified. According to these results, the optimization algorithm is developed and optimized geometry for random input values is verified by numerical simulation.

Key Words

CFD, counter-flow heat exchanger, efficiency, Fluent, heat transfer, optimization, plate heat exchanger, pressure loss.

Obsah

Seznam značek a zkratek ... 8

1 Úvod ... 10

1.1 Výměníky tepla ... 11

1.2 Konstrukce rekuperačních výměníků ... 12

1.2.1 Trubkové výměníky ... 12

1.2.2 Spirálové výměníky ... 13

1.2.3 Deskové výměníky ... 13

1.2.4 Geometrie deskových výměníků ... 15

1.3 Teorie sdílení tepla ve výměnících ... 17

1.3.1 Přenos tepla vedením ... 17

1.3.2 Vedení tepla rovinnou stěnou ... 18

1.3.3 Přenos tepla prouděním ... 18

1.3.4 Prostup tepla rovinnou stěnou ... 19

1.3.5 Kriteriální rovnice... 20

1.3.6 Určení součinitele přestupu tepla ... 21

1.3.7 Přenos tepla přes stěnu výměníku ... 22

1.3.8 Účinnost protiproudého výměníku ... 23

1.4 Proudění tekutin ... 24

1.4.1 Hydraulické ztráty ... 24

1.5 Matematické modelování ... 26

1.5.1 CFD ... 26

1.5.2 Modely turbulence ... 26

1.6 Optimalizační metody ... 27

2 Numerické simulace ... 29

2.1 Výpočtový model ... 29

2.1.1 Geometrie modelu ... 29

2.1.2 Tvorba modelu ... 31

2.2 Tvorba výpočtové sítě ... 32

2.3 Fluent - Preprocessing... 33

2.3.1 Nastavení výpočtu ... 33

2.3.2 Okrajové podmínky ... 34

2.3.3 Úprava sítě ... 35

2.3.4 Monitory, spuštení výpočtu ... 36

2.4 Metodika vyhodnocení výsledků ... 37

2.4.1 Získání dat z numerických simulací ... 37

2.4.2 Určení součinitele tlakové ztráty ... 38

2.4.3 Určení součinitele přenosu tepla... 39

3 Vliv provedení hřebenů na parametry výměníku ... 40

3.1 Výsledky numerických simulací ... 40

3.2 Vliv počtu hřebenů ... 41

3.2.1 Součinitel přenosu tepla... 41

3.2.2 Součinitel tlakové ztráty ... 42

3.2.3 Minimální počet hřebenů ... 42

3.3 Vliv zaoblení ... 43

3.4 Vliv úhlu α a vzdálenosti L ... 45

4 Optimalizace teplosměnné plochy ... 47

4.1 Závislost mezi součiniteli ψ a ξ ... 47

4.2 Odvození objektivních funkcí ... 48

4.2.1 Funkce pro součinitel přenosu tepla ψ ... 48

4.2.2 Funkce pro součinitel tlakové ztráty ξ ... 50

4.3 Nástroj pro návrh teplosměnné plochy ... 51

4.3.1 Omezení tlakové ztráty ... 52

4.3.2 Provedení hřebenů ... 52

4.3.3 Počet hřebenů ... 52

4.3.4 Součinitel přenosu tepla... 52

4.3.5 Optimální provedení teplosměnné plochy ... 53

4.4 Ověření funkčnosti nástroje pro návrh ... 53

5 Závěr ... 55

6 Seznam zdrojů a použité literatury ... 58

7 Seznam příloh ... 60

Seznam značek a zkratek

a teplotní vodivost m² s⁻¹

B šířka výpočtového modelu m

c rychlost proudění tekutiny m·s⁻¹

cP měrná tepelná kapacita J·kg⁻¹·K⁻¹

d průměr m

Fo Fourierovo číslo -

g gravitační (tíhové) zrychlení m·s⁻²

Gr Grashofovo číslo -

k součinitel prostupu tepla W·m⁻²·K⁻¹

l délka m

L charakteristický rozměr m

ṁ hmotnostní tok kg·s⁻¹

Nu Nusseltovo číslo -

p tlak Pa

pomocný rozměr m

Pr Prandtlovo číslo -

q̇ plošná hustota tepelného toku W·m⁻²

Q̇ tepelný tok, výkon W

R tepelný odpor W⁻¹·m²·K

zaoblení m

Re Reynoldsovo číslo -

s relativní odchylka -

S plocha m²

T termodynamická teplota, teplota K, °C

x souřadnice m

α součinitel přestupu tepla W·m⁻²·K⁻¹

úhel sklonu hřebene °

γ teplotní objemová roztažnost K⁻¹

δ tloušťka stěny, výška hřebene, výška kanálu m

Δ diference -

κ korekční součinitel -

λ součinitel tepelné vodivosti W·m⁻¹·K⁻¹

součinitel tření dle Darcyho -

η účinnost výměníku -

ν kinematická viskozita m²·s⁻¹

ξ součinitel místní ztráty -

ρ hustota (měrná hmotnost) kg·m⁻³

ψ součinitel přenosu tepla -

indexy

c celkový

d dynamický

m místní

S stěna

stř střední t tekutina, třecí

z ztrátový

α týkající se konvekce λ týkající se kondukce

1 Úvod

Snahou společnosti je snižovat množství zdrojů energie a zefektivňovat její transport, transformace a využívání.

K přenosu tepelné energie slouží tepelné výměníky. Jsou nedílnou součástí průmyslových procesů i každodenního života. Vzhledem k širokému uplatnění existuje mnoho typů a konstrukčních provedení přizpůsobených danému účelu.

Tato práce se zabývá optimalizací teplosměnné plochy protiproudého deskového výměníku typu vzduch/vzduch pomocí CFD. Deska je profilována šípovými prolisy.

Tento typ výměníků se využívá zejména ve vzduchotechnice ke zpětnému získávání tepla z odpadního vzduchu (rekuperaci). Rekuperace snižuje množství primární energie potřebné pro funkci technologických procesů (ohřev vzduchu).

Cílem práce je analyzovat vliv provedení teplosměnné plochy na přenos tepla a tlakovou ztráty výměníku a na základě získaných poznatků se pokusit navrhnout optimální provedení teplosměnné plochy.

1.1 Výměníky tepla

Tepelný výměník je zařízení, které slouží k přenosu tepelné energie mezi teplonosnými látkami (především tekutinami).

Podle způsobu přenosu tepla dělíme výměníky na přímé a nepřímé. V přímém výměníku dochází k bezprostřednímu kontaktu tekutin. V nepřímém výměníku je přenos tepla realizován prostřednictvím stěny, která odděluje obě tekutiny.

Nepřímé výměníky dělíme podle způsobu předávání energie na regenerační a rekuperační. Regenerační výměníky využívají akumulace tepla v hmotě, která je periodicky ohřívána a ochlazována střídáním tekutin v pracovním prostoru.

V rekuperačním výměníku dochází ke kontinuálnímu přenosu tepla přes pevnou stěnu.

Podle vzájemného směru proudění obou tekutin rozdělujeme výměníky na:

 Souproudé – tekutiny proudí ve stejném směru podél teplosměnné plochy.

 Protiproudé – tekutiny proudí opačnými směry podél teplosměnné plochy.

 Křížové – tekutiny proudí kolmo na sebe.

Souproudé a protiproudé výměníky jsou krajními případy. Pro stejný tepelný výkon vyžaduje protiproudý výměník nejmenší a souproudý největší teplosměnnou plochu.

Průběh teplot v souproudém a protiproudém výměníku ukazuje obr. 1. Ve skutečném výměníku je charakter proudění zpravidla kombinací uvedených typů.

Obr. 1 Průběh teplot v protiproudém a souproudém výměníku [20]

1.2 Konstrukce rekuperačních výměníků

Z hlediska konstrukčního provedení rozdělujeme rekuperační výměníky [9] na:

 Trubkové.

 Spirálové.

 Deskové.

1.2.1 Trubkové výměníky

Trubkové výměníky (viz obr. 2) jsou tvořeny svazky trubek umístěných ve vnějším obalu (trubka, tlaková nádoba). Jedna z teplosměnných látek (zpravidla teplejší) proudí uvnitř trubek, druhá trubky obtéká zvnějšku. Teplosměnnou plochu tvoří plášť trubek. Její velikost je relativně malá, což způsobuje nízkou účinnost těchto výměníků (30% až 50%).

Pro zvýšení účinnosti je povrch trubek opatřen žebry.

Trubky mají dobré pevnostní vlastnosti, proto jsou tyto výměníky vhodné i pro velké tlakové rozdíly mezi výměníkem a okolím, případně i velké rozdíly mezi tlaky jednotlivých kapalin (řádově desítky MPa).

Obr. 2 Trubkový výměník - schéma [23].

1 – rozptylovací deska 2 – přepážky

3 – podložka kotouče pro uchycení trubek modře - okruh chladnější tekutiny

červeně - okruh teplejší tekutiny

1.2.2 Spirálové výměníky

Spirálové výměníky [17] jsou tvořeny pásy svinutými do spirály. Mezery mezi pásy tvoří dva spirálové kanály, kterými proudí teplonosné tekutiny (zpravidla) proti sobě.

Výhodou těchto výměníků je vyšší účinnost než u výměníků trubkových, nízké tlakové ztráty a schopnost samočištění. Nevýhodou je omezené použití z hlediska provozního přetlaku (řádově několik MPa).

1.2.3 Deskové výměníky

Deskové výměníky (viz obr. 4) jsou tvořeny souborem tenkých profilovaných desek, které oddělují obě teplonosné tekutiny a zajišťují přenos tepla. Profilace desek značně zvyšuje teplosměnnou plochu, což vede ke kompaktnosti celého zařízení.

Obr. 4 Deskový výměník - schéma [15].

Obr. 3 Spirálový výměník - schéma [17].

Deskové výměníky rozdělujeme na rozebíratelné a nerozebíratelné (viz obr. 5).

Desky nerozebíratelných výměníků mohou být pájené, lepené nebo svařované.

U rozebíratelných výměníků jsou desky upevněny v rámu mezi dvěma rámovými deskami, které jsou spojeny šrouby. Mezi desky je vloženo těsnění, které zabraňuje úniku tekutin z pracovního prostoru a zároveň slouží k usměrňování proudů tekutin.

Použité materiály závisí na účelu výměníku a charakteru provozních médií.

Pro běžné použití se desky vyrábí z ocelových plechů. V případě agresivních médií se používá nerezová ocel, nikl, titan a uhlíkové kompozity (např. DIABON od Alfa Laval).

Výměníky typu vzduch/vzduch se vyrábějí z oceli, hliníku i plastu (např. ATREA [18]).

U rozebíratelných výměníků má významný vliv na možnosti použití (zejména teplotní rozsah) materiál těsnících prvků. Používají se různé druhy elastomerů, nejčastěji nitrilová pryž (do cca 140 °C) a EPDM (do cca 170 °C). Pro vyšší teploty (cca 200 °C) je těsnění vyrobeno z grafitové fólie.

Sériová výroba desek lisováním snižuje výrobní cenu. Všechny desky jsou rozměrově a tvarově shodné, což minimalizuje riziko vzniku netěsností a deformací při montáži. Profilace povrchu desek značně zvyšuje teplosměnnou plochu a tím přestup tepla. Výměník lze kdykoliv modifikovat přidáním desek (bez dalších konstrukčních

Obr. 5 Zleva: Rozebíratelný, pájený a tavně spojovaný deskový výměník [15].

Nevýhodou je obtížné zajištění těsnosti, zejména při vyšších tlacích teplonosných médií. Maximální přetlak tekutiny vůči okolí dosahuje u deskových výměníků řádově několik MPa (závisí na způsobu výroby). Kanály, kterými proudí tekutina, jsou náchylné k zanášení nečistotami, proto nejsou deskové výměníky vhodné pro silně znečištěné látky.

1.2.4 Geometrie deskových výměníků

Základní části desky výměníku jsou zobrazeny na obr. 6. Vstupní/výstupní otvory zajišťují přístup kapaliny z potrubí do kanálů mezi deskami. Distribuční oblast slouží k navedení proudu tekutiny na teplosměnnou plochu. Na teplosměnné ploše dochází k intenzivnímu přenosu tepla.

Ostatní označené části jsou přítomny pouze u rozebiratelných výměníků.

Teplosměnná plocha je tvarována podle požadavků na provoz výměníku. Na tvaru kanálu závisí tepelný výkon a tlaková ztráta výměníku. Tvary a vlastnosti kanálů vyráběné firmou Alfa Laval jsou zobrazeny na obr. 7. Výkon výměníku je zde reprezentován mírou turbulence v kanále (vyšší turbulence odpovídá vyššímu tepelnému výkonu) [15].

Z obrázků je patrné, že parametry výměníku (desky) závisí na úhlu sklonu kanálů ke směru proudění tekutiny.

Obr. 6 Části desky rozebíratelného výměníku [15].

Výrobky řady VARITHERM vyráběné firmou GEA Heat Exchangers Systems jsou zobrazeny na obr. 8. Typ H je vhodný pro vyšší tepelnou účinnost, typ V vykazuje nižší tlakovou ztrátu [19].

V nabídce firem, které se zabývají výrobou tepelných výměníků, najdeme velké množství různých tvarů profilů. V současné době se u předních světových výrobců nejvíce uplatňuje profil šípový (viz obr. 7 a obr. 8).

Obr. 8 Typy kanálů - GEA Heat Exchangers Systems [15].

Typ H Typ V

Obr. 7 Typy kanálů a jejich vlastnosti - Alfa Laval [15].

1.3 Teorie sdílení tepla ve výměnících

Podle druhého zákona termodynamiky je teplo předáváno z tělesa o vyšší teplotě na těleso o teplotě nižší, tj. ve smyslu teplotního spádu [11].

Přenos tepla je realizován kombinací tří základních mechanizmů - kondukce, konvekce a radiace. V případě, že některý z uvedených způsobů přenosu tepla dominuje, je možné řešení případu značně zjednodušit zanedbáním ostatních mechanizmů. Radiace se uplatňuje zejména při větším teplotním rozdílu, při řešení tepelných výměníků je sdílení tepla realizováno zejména kondukcí a konvekcí.

1.3.1 Přenos tepla vedením

Vedení tepla (kondukce) je sdílení tepla prostřednictvím pohybu (kmitání) částic kolem rovnovážné polohy. Uplatňuje se zejména v pevných látkách a v klidové vrstvě tekutiny [11].

Izotermická plocha je geometrická spojnice bodů o stejné teplotě. Tepelný tok Q̇ (W) izotermickou plochou S (m²) je definována Fourierovým zákonem:

̇ = − · · , ( ) (1)

kde λ (W·m⁻¹·K⁻¹) je součinitel tepelné vodivosti a grad T (K·m⁻¹) je gradient teploty ve směru normály k izotermické ploše.

Tepelný tok jednotkovou plochou nazýváme plošnou hustotou tepelného toku

̇ = − · . ( · ) (2)

Obr. 9 Vedení tepla rovinnou stěnou - průběh teplot.

1.3.2 Vedení tepla rovinnou stěnou

Pro homogenní rovinnou stěnu ohraničenou ve směru x (viz obr. 9) tloušťky δ, s tepelnou vodivostí λ nezávislou na teplotě a teplotami okrajů stěny TS1 > TS2 přejde rovnice (2) do tvaru

̇ = · ( − ). ( · ) (3)

Tepelný odpor stěny pro vedení tepla R_λ je převrácená hodnota poměru tepelné vodivosti a tloušťky stěny [11]

= . ( · · ) ⁽⁴⁾

1.3.3 Přenos tepla prouděním

Konvekcí označujeme přenos tepla v tekutinách. Předpokladem konvekce je proudění makročástic při výskytu gradientu teploty v tekutině [1]. Přenos tepla mezi proudící tekutinou a obtékanou stěnou nazýváme přestupem tepla.

Podle způsobu vyvolání pohybu tekutiny rozlišujeme konvekci volnou a nucenou.

Volná konvekce je vyvolána vztlakovými silami, které vznikají v důsledku rozdílné hustoty částic tekutiny v gravitačním poli. Nucená konvekce je vyvolána prouděním tekutiny, které je vynuceno vnějším působením na tekutinu (například čerpadlem, ventilátorem). Ve skutečnosti se přirozená konvekce vyskytuje i ve vynuceném proudu tekutiny, ale ve většině případů se méně významné složky procesu zanedbávají kvůli zjednodušení výpočtů.

Obr. 10 Přestup tepla - průběh teplot.

Hustota tepelného toku při přestupu tepla q̇ (W·m⁻²) je dána Newtonovým ochlazovacím zákonem:

̇ = · ∆ , ( · ) (5)

kde α (W·m⁻²·K⁻¹) je součinitel přestupu tepla a Δ (K) je rozdíl teploty stěny Ts a teploty tekutiny Tt (viz obr. 10).

Celkový tepelný tok teplosměnnou plochou S (m²) je

̇ = ̇ · . ( ) (6)

Tepelný odpor při přestupu tepla Rα lze definovat pomocí součinitele přestupu tepla

= 1

. ( · · ) (7)

1.3.4 Prostup tepla rovinnou stěnou

Prostup tepla je přenos tepla mezi dvěma tekutinami, oddělenými pevnou stěnou.

Skládá se ze tří dílčích přenosů tepla (viz obr. 11):

 Přestup tepla z tekutiny 1 do stěny.

 Vedení tepla pevnou stěnou.

 Přestup tepla ze stěny do tekutiny 2.

Hustota tepelného toku při prostupu tepla je

̇ = · = ( − ), ( · ) (8)

kde k (W·m⁻²·K⁻¹) je součinitel prostupu tepla a Δ (K) je rozdíl teplot tekutin 1 a 2.

Obr. 11 Prostup tepla - průběh teplot.

Tepelný odpor při prostupu tepla R definujeme jako převrácenou hodnotu součinitele prostupu tepla k

=1

. ( · · ) ⁽⁹⁾

S využitím elektro-tepelné analogie vyjádříme odpor při prostupu tepla R jako součet (sériově řazených) odporů při dílčích přenosech tepla:

= + + , ( · · ) (10)

kde Rαi (W⁻¹·m²·K) je tepelný odpor při přestupu tepla z tekutiny do stěny a Rλ (W⁻¹·m²·K) tepelný odpor stěny pro vedení tepla.

Úpravou rovnic (9) a (10) získáme vztah pro součinitel prostupu tepla

= 1

+ + . ( · · ) (11)

Dosazením vztahů pro tepelné odpory při přestupu a vedení tepla (rovnice (4) a (7)) přejde rovnice (11) do tvaru

= 1

1 + + 1 , ( · · )

(12)

kde α₁, α₂ (W·m⁻²·K⁻¹) jsou součinitele přestupu tepla na straně tekutiny 1, 2, δ (m) je tloušťka pevné stěny a λ (W·m⁻¹·K⁻¹) je součinitel tepelné vodivosti stěny.

1.3.5 Kriteriální rovnice

Součinitel přestupu tepla α závisí na materiálových vlastnostech tekutiny, jejích stavových veličinách a parametrech proudu [8]. Není možné stanovit závislost platnou pro všechny případy přestupu tepla. Součinitel přestupu tepla se proto určuje na základě experimentů s využitím teorie podobnosti (geometrické a fyzikální).

Geometrická podobnost spočívá v rovnosti poměrů charakteristických rozměrů.

Fyzikálně podobné jsou takové dva děje téhož druhu, které se liší v některých nepodstatných směrech (např. rozměry, pracovní látka) [4].

Experimentálně zjištěné hodnoty se vyjadřují v bezrozměrném tvaru pomocí kritérií podobnosti (podobnostních čísel) [2]. Kritéria podobnosti dělíme na určující a určená.

Určující kritéria obsahují fyzikální parametry, které popisují fyzikální charakter děje.

Kritéria určená obsahují jeden parametr, který je závislý na určujících kritériích. Závislost mezi kritérii určujícími a určenými nazýváme kriteriální rovnicí [1].

Základem obecné kriteriální rovnice pro řešení přestupu tepla je Nusseltovo číslo Nu (-), které je definováno jako funkce podobnostních čísel. Při řešení nucené konvekce v nestlačitelných tekutinách bez vnitřních tepelných zdrojů se obecná kriteriální rovnice zjednoduší na tvar [8]

= ( , ), ( −) (13)

kde Nu (-) je Nusseltovo číslo, Re (-) je Reynoldsovo číslo, Gr (-) je Grashofovo číslo a Pr (-) je Prandtlovo číslo.

Reynoldsovo číslo vyjadřuje poměr setrvačných a třecích sil [1]

= ·

, ( −) ⁽¹⁴⁾

kde c (m·s⁻¹) je rychlost proudění tekutiny, ν (m²·s⁻¹) je kinematická viskozita a L (m) je charakteristický rozměr.

Prandtlovo číslo charakterizuje podobnost rychlostních a teplotních polí v proudu tekutiny [1]

= , ( −) (15)

kde ν (m² s⁻¹) je kinematická viskozita a a (m² s⁻¹) je teplotní vodivost.

1.3.6 Určení součinitele přestupu tepla

Pro určení součinitele přestupu tepla vycházíme z definice Nusseltova čísla [8]

= ·

, (– ) (16)

kde α (W·m⁻²·K⁻¹) je součinitel přestupu tepla, L (m) je charakteristický rozměr a λt (W·m⁻¹·K⁻¹) je tepelná vodivost tekutiny. Úpravou rovnice (16) získáme vztah

= ·

. ( · · ) (17)

Charakteristický rozměr se stanoví podle charakteru a geometrie řešené úlohy.

Termofyzikální vlastnosti látek se určují pro tzv. referenční teplotu.

Nusseltovo číslo určíme pomocí kriteríálních rovnic pro podobný děj pomocí podobnostních kritérií (viz 1.3.4). Vhodnou kriteriální rovnici volíme z literatury (např. [1], [10], [11]), případně z experimentu. U každé rovnice by měl být uveden interval

platnosti, zpravidla jsou uvedeny i vztahy pro určení referenční teploty a charakteristického rozměru.

Přestup tepla v deskovém výměníku lze charakterizovat vztahem [14]

= 0,1 · ^, · ^, (−) (18)

s platností pro 200 < Re <30000. Použijeme charakteristický rozměr pro štěrbinu 2δ.

Referenční teplota pro určení termofyzikálních vlastností tekutiny je střední teplota proudu.

1.3.7 Přenos tepla přes stěnu výměníku

Při výpočtu tepelného výkonu deskového výměníku vycházíme ze vztahu (8) pro plošnou hustotu tepelného toku při prostupu tepla q̇. Celkový tepelný výkon je

̇ = ̇ · = · · , ( ) (19)

kde k (W·m⁻²·K⁻¹) je součinitel prostupu tepla, S (m²) je teplosměnná plocha výměníku a ΔT (K) je teplotní rozdíl.

Teplota tekutiny po délce výměníku se mění (viz obr. 12). Teplotní rozdíl ΔT nahrazujeme středním logaritmickým teplotním rozdílem

= −

, ( )

(20)

kde ΔTA (K) je rozdíl teplot tekutin na jedné straně výměníku (A) a ΔTB (K) rozdíl teplot tekutin na straně druhé (B) (viz obr. 12).

Obr. 12 Průběh teplot v protiproudém výměníku.

1.3.8 Účinnost protiproudého výměníku

Pro výpočet tepelného výkonu Q̇ přeneseného výměníkem zavedeme vztah

̇ = ̇ · · ∆ , ( ) (21)

kde ṁ (kg·s⁻¹) je hmotnostní tok tekutiny, c_P (J·kg⁻¹·K⁻¹) je měrná tepelná kapacita a ΔT (K) je rozdíl teplot tekutiny na jedné (A) a druhé straně výměníku (B).

Maximálního (teoretického) výkonu výměníku je dosaženo, když se výstupní teplota jedné tekutiny rovná vstupní teplotě druhé tekutiny.

̇ = ̇ · · ( − ), ( ) (22)

kde TA1 (K) a TB2 (K) jsou vstupní teploty tekutiny 1 a tekutiny 2 (viz obr. 13).

Výkon reálných výměníků je vždy menší než teoretický (TB1 > TB2). Skutečný výkon je dán vztahem

̇ = ̇ · · ( − ), ( ) (23)

kde T_A1 (K) je vstupní a T_B1 (K) výstupní teplota tekutiny 1 (viz obr. 13).

Účinnost výměníku definujeme jako podíl skutečného výkonu k výkonu teoretickému. Užitím a úpravou rovnic (22) a (23) dostáváme vztah pro účinnost výměníku

= ̇ ̇ = −

− . (− ) (24)

Obr. 13 Protiproudý výměník.

1.4 Proudění tekutin

Proudění tekutiny rozdělujeme na laminární a turbulentní. Při laminárním proudění jsou dráhy jednotlivých částic rovnoběžné, částice se nemísí. Při turbulentním proudění částice tekutiny přecházejí z jedné vrstvy tekutiny do druhé, čímž dochází k výměně energie a hybnosti [6]. Druh proudění je možné určit pomocí Reynoldsova čísla (14).

Přechod laminárního proudění v turbulentní je dán kritickým Reynoldsovým číslem Rekr. Pro laminární proudění platí Re < Rekr, pro turbulentní proudění je Re > Rekr. Hodnoty kritického Reynoldsova čísla pro různé případy proudění se stanovují zpravidla experimentálně [6], například pro potrubí kruhového průřezu je Rekr ≈ 2300 (-). Přechod do turbulence ale není skoková změna, proto proudění v oblasti okolo Rekr označujeme jako přechodové.

Při proudění tekutiny potrubím je rychlost tekutiny nulová a směrem ke středu proudu se zvyšuje. Vzniká tak nerovnoměrný rychlostní profil. Laminární profil má tvar paraboly s vrcholem v ose trubky. Turbulentní profil je možno přibližně popsat mocninnou nebo logaritmickou funkcí [6].

1.4.1 Hydraulické ztráty

Při proudění viskózní tekutiny se část mechanické energie mění v teplo, čímž dochází k poklesu tlaku (vzniku tlakové ztráty). Ztráty rozlišujeme podle původu vzniku na třecí a místní. Jejich součtem získáme celkovou tlakovou ztrátu.

1.4.1.1 Třecí ztráty

Třecí ztráty vznikají v důsledku tření tekutiny o stěny potrubí. Velikost tlakové ztráty třením je popsána Weisbachovým vztahem [7]

= · · ·

2 , ( ) ⁽²⁵⁾

kde pzt (Pa) je tlaková ztráta, l (m) je délka potrubí, d (m) je průměr potrubí, ρ (kg·m⁻³) je hustota kapaliny, c (m·s⁻¹) je střední rychlost tekutiny a λ (-) je součinitel tření, který závisí na druhu proudění.

Pro součinitel tření při laminárním proudění platí vztah

= 64

, (−) ⁽²⁶⁾

Součinitel tření při turbulentním proudění je kromě Reynoldsova čísla závislý značně i na drsnosti stěny potrubí. Jeho stanovení je tudíž složitější než v případě laminárního proudění. Pro jeho určení existuje několik metod a vztahů, lze použít například Moodyho diagramu nebo Blasiova vztahu (pro hydraulicky hladké potrubí) [6]

= 0,3164

√ , (−) (27)

kde Re (-) je Reynoldsovo číslo.

1.4.1.2 Místní ztráty

Příčinou místních ztrát je zejména odtržení proudu od stěny a disipací energie ve vzniklých vírech [7]. Dochází k nim v místech, kde dochází ke změně směru proudu, změně průřezu potrubí a v armaturách. Místní tlaková ztráta je dána vztahem [7]

= · ·

2 , ( ) ⁽²⁸⁾

kde ξ (-) je součinitel místní ztráty, ρ (kg·m⁻³) je hustota kapaliny a c (m·s⁻¹) je střední rychlost tekutiny.

1.4.1.3 Celková tlaková ztráta

Sečtením všech třecích a místních ztrát v daném úseku dostaneme celkovou tlakovou ztrátu potrubního úseku (prvku)

∆ = + , ( ) (29)

kde pzt (Pa) je třecí ztráta a pzm (Pa) je místní ztráta. Po dosazení rovnic (25) a (28) přejde rovnice (29) do tvaru

∆ = · + · ·

2 , ( ) ⁽³⁰⁾

kde λ (-) je součinitel tření, l (m) je délka potrubí, d (m) je průměr potrubí, ξ (-) je součinitel místní ztráty, ρ (kg·m⁻³) je hustota kapaliny a c (m·s⁻¹) je střední rychlost tekutiny.

1.5 Matematické modelování

S rozvojem výpočetní techniky je při vývoji a optimalizaci výrobků stále častěji využíváno matematického modelování (simulací) fyzikálních dějů. Výhody tohoto přístupu jsou snižování finančních nákladů nutných na výrobu prototypů a jejich zkoušení, úspora času a možnost detailního pohledu i do míst, která jsou v reálu nedostupná pro pozorování.

1.5.1 CFD

Zkratka CFD (Computational Fluid Dynamics) označuje výpočetní dynamiku tekutin. Jedná se o numerické simulace dějů v mechanice tekutin a sdílení tepla, které využívají základních transportních a stavových rovnic mechaniky tekutin [2].

Principem funkce výpočetních programů je numerické řešení soustavy parciálních diferenciálních rovnic popisujících zkoumaný jev. Při řešení se používá diskretizace (především metoda konečných objemů) k rozdělení spojitého prostředí na elementy konečného objemu. Soustavu elementů nazýváme výpočetní sítí.

Ansys WORKBENCH je systémové prostředí umožňující komplexní řešení úloh mechaniky tekutin. Součástí tohoto prostředí jsou nástroje na tvorbu geometrie a výpočetní sítě a programy pro kompletní numerickou simulaci včetně zobrazení výsledků výpočtu.

1.5.2 Modely turbulence

Při turbulentním proudění vznikají vírové struktury. Přímá simulace těchto struktur je značně složitá, což prodlužuje dobu výpočtu. Tento problém lze eliminovat použitím modelů turbulence. Turbulentních modelů existuje velké množství, v inženýrské praxi se nejčastěji využívají statistické modely RANS (Reynolds-averaged Navier-Stokes equations), které jsou založeny na časovém průměrování turbulentních veličin [13].

Pro výpočet proudění vzduchu kanálem se sdílením tepla (simulace výměníku) je vhodné použití dvourovnicového modelu k-ε nebo k-ω. Model k-ε je založen na bilancování turbulentní kinetické energie k a turbulentní disipaci ε. Model k-ω používá místo turbulentní disipace ε specifickou disipaci ω. Model k-ω typ SST (Shear-Stress Transport) spojuje oba modely tak, že v blízkosti stěny aktivuje model k-ω a dále od stěn přechází na model k-ε (transformovaný na formulaci k-ω). SST model je přesnější a spolehlivější než standardní model k-ω [15].

1.6 Optimalizační metody

Tepelné výměníky mají široký rozsah použití. Při jejich návrhu pro danou aplikaci je proto třeba respektovat řadu různých kritérií, například:

 výrobní cenu, složitost výroby,

 pořizovací a provozní náklady,

 hmotnost,

 zastavěný prostor, velikost čelní a teplosměnné plochy výměníku,

 přestup tepla,

 tlakovou ztrátu výměníku.

Vhodnost varianty hodnotíme podle výše zmíněných kritérií. Hodnocení může probíhat na základě předchozích zkušeností konstruktéra nebo na základě objektivních veličin. Objektivní veličiny jsou takové, které lze kvantifikovat.

Pro účely optimalizace zavádíme objektivní veličinu (například tepelný výkon) jako funkci proměnných parametrů (například rozměry teplosměnné plochy), jejichž vliv na objektivní veličinu hodnotíme. Tuto funkci nazýváme objektivní funkcí. Cílem optimalizace je nalezení extrému objektivní funkce [12]. Postup návrhu výměníku ilustruje obr. 14.

Koncepční návrh obsahuje výběr vhodného typu výměníku pro danou aplikaci, tvar a uspořádání teplosměnných ploch. Vypočtené charakteristiky jsou přestup tepla a tlaková

Obr. 14 Algoritmus vývoje výměníku včetně optimalizace.

ztráta řešené varianty. Objektivní funkce v sobě shrnují závislosti jednotlivých charakteristik na vstupních proměnných. Po analýze určitého počtu variant navrhneme na základě objektivních funkcí a případných omezení optimální provedení výměníku [12].

Deskové protiproudé výměníky optimalizujeme zejména z hlediska:

 Přestupu tepla (energetické účinnosti).

 Tlakové ztráty.

Z teorie mechaniky tekutin a sdílení tepla vyplývá, že intenzifikace přestupu tepla způsobuje vyšší tlakové ztráty (zejména z důvodu větších turbulencí). Z tohoto důvodu je při optimalizaci výměníků nutné posoudit možnosti konkrétního technického provedení teplosměnné plochy i celku, do kterého je výměník zařazen. Obecně je optimalizací dosaženo jednoho z těchto výsledků:

 Maximální hodnota přestupu tepla bez ohledu na velikost tlakové ztráty.

 Minimální tlaková ztráta bez ohledu na přestup tepla.

 Maximální hodnota přestupu tepla pro maximálně přípustnou tlakovou ztrátu.

Předmětem této práce je optimalizace s výsledkem dle posledního bodu.

2 Numerické simulace

Předmětem numerických simulací je sledování závislostí tlakové ztráty a přestupu tepla na provedení hřebenů desky protiproudého výměníku typu vzduch/vzduch.

Simulovaný režim výměníku je odvozen od provozu rekuperačního výměníku tepla ve vzduchotechnické jednotce. Vstupní teploty tekutin (dvou proudů vzduchu) jsou zvoleny t1 = 20 °C a t2 = 0 °C. Rychlost proudění ve vstupním průřezu je volena pro obě tekutiny stejná c₁ = c₂ = 2,5 m·s⁻¹.

Simulace jsou provedeny pomocí programu Fluent, který je součástí prostředí ANSYS Workbench.

2.1 Výpočtový model

Deska výměníku je profilována prolisy s trojúhelníkovým průřezem, nazveme je hřebeny. Tvar a rozměry desky jsou vyobrazeny na obr. 15.

2.1.1 Geometrie modelu

Celková délka desky byla zvolena Lc = 500 mm (na základě předchozích zkušeností, viz [5]). S ohledem na numerickou simulaci byly k profilované části připojeny z obou stran přímé části, které v kanále vzniklém mezi deskami umožní ustálení proudu.

Část připojenou před profilaci desek nazveme oblastí náběhu, část za profilací oblastí doběhu. Minimální délky obou těchto části volíme stejné = = 75 . Výška hřebene byla zvolena δ = 2 mm.

Obr. 15 Deska výměníku - nákres, počet hřebenů n = 2.

α - úhel sklonu hřebene B - šířka modelu δ - výška hřebene

L - vzdálenost mezi hřebeny Lc - délka desky

L0 - délka hřebenů

Ln, Ld - délka náběhu, doběhu p - pomocný rozměr

R - zaoblení vrcholu hřebene

Různá provedení hřebenů byla vytvořena na základě modifikace:

 Úhlu sklonu hřebene pro hodnoty α = (30°, 45°, 60°).

 Vzdálenosti mezi hřebeny pro hodnoty L = (4; 5; 6; 7; 8) mm.

 Počtu hřebenů pro hodnoty n = (0 až 30).

 Zaoblení vrcholu hřebene pro hodnoty R = (0; 0,5; 1; 2) mm.

Některé rozměry jsou závislé na modifikovaných. Z důvodu jednodušší konstrukce modelu byl zaveden pomocný rozměr p, který je definován vztahem

= , ( ) (31)

kde L (m) je vzdálenost mezi hřebeny a α (°) je úhel sklonu hřebene.

Šířka modelu B je volena tak, aby ve výsledném modelu vznikla čtyři křížení profilů ve směru kolmém na směr nabíhajícího proudu. Tato podmínka je definována vztahem

= 4 ·

, ( ) ⁽³²⁾

kde L (m) je vzdálenost mezi hřebeny a α (°) je úhel sklonu hřebene.

Délka hřebenů L₀ je definována vztahem

= · , ( ) (33)

kde p (m) je pomocný rozměr a n je počet hřebenů. Po dosazení (31) do (33) získáme vztah

= ·

, ( ) ⁽³⁴⁾

kde L (m) je vzdálenost mezi hřebeny, n je počet hřebenů a α (°) je úhel sklonu hřebene.

Délka profilované části ve směru podél desky výměníku je dána vztahem

= +

= · ( + 4)

, ( ) (35)

kde L (m) je vzdálenost mezi hřebeny, n je počet hřebenů a α (°) je úhel sklonu hřebene.

Kombinací těchto rozměrů vznikne velké množství variant, jejichž zkoumáním získáme závislosti sledovaných veličin na jednotlivých parametrech. Na základě předchozích vztahů byly stanoveny rozměry nutné pro vytvoření modelů. Hodnoty rozměrů pro jednotlivé varianty jsou uvedeny v příloze A.

2.1.2 Tvorba modelu

Výpočtové modely byly vytvořeny v programu Ansys Design Modeler. Tvorba modelu sestávala z těchto kroků:

 Skicování profilu desky v boční rovině kanálu (viz obr. 15, dole).

 Vytvoření kanálu obdélníkového průřezu o délce Lc.

 Vyříznutí profilu desky v kanále pomocí tažení (Sweep) profilu desky ve směru úsečky skloněné o úhel α.

Výpočtový model (viz obr. 16) představuje výřez z výměníku o šířce B (m). Jádro modelu tvoří deska s hřebenovými prolisy, která je obklopena z obou stran kanály do výšky hřebenů. Vyříznutím profilu desky vzniknou v oblasti hřebenů segmenty trojúhelníkového průřezu. Jedná se o polovinu modelu použitého pro numerickou simulaci.

Tvorba kompletního výpočtového modelu je popsána v dalším textu.

Obr. 16 Výpočtový model - celkový pohled (nahoře) a detail kanálu podél desky (dole).

Pro zjednodušení je vliv zaoblení R a vliv počtu hřebenů n na sledované veličiny zkoumán pouze pro variantu s rozměry α = 45° a L = 6 mm. Pro ostatní varianty budeme předpokládat obdobný průběh sledovaných veličin.

Vzhledem k celkové délce desky a požadavku na rozměry náběhové a ustalovací oblasti byly pro α = 30° vytvořeny modely jen pro L = (4; 5; 6) mm. Toto omezení bylo přijato s ohledem na navýšení výpočetní náročnosti v případě zvětšení celkové délky desky, které by bylo nutné pro případy L = (7; 8) mm. Uvedenými opatřeními došlo ke značné redukci celkového počtu výpočtových modelů.

2.2 Tvorba výpočtové sítě

Diskretizace modelu (tvorba výpočtové sítě) byla provedena pomocí automatických funkcí, které jsou součástí programu Ansys Meshing. Nastavení parametrů a funkcí bylo provedeno tak, aby program nejprve vytvořil síť na boční stěně modelu a tento profil následně pomocí metody „Sweep“ promítl napříč deskou v paralelních vrstvách.

Vzdálenost mezi vrstvami je konstantní a nabývá stejné hodnoty pro všechny modely.

V oblasti přiléhající k desce výměníku je vytvořena mezní vrstva z šestistěnných elementů.

Oblasti náběhu a doběhu proudu jsou tvořeny šestistěnnými elementy. V oblasti hřebenů jsou použity prismatické prvky s trojúhelníkovou základnou.

Výsledkem je hybridní síť (viz obr. 17) složená z cca (1,2 až 1,4) milionu elementů.

Počet elementů je ovlivněn šířkou jednotlivých modelů.

Obr. 17 Výpočtová síť - celkový pohled a detaily oblastí náběhu a hřebenů.

Po vytvoření sítě definujeme pojmenování ploch (Named Selections), na které budou následně připojeny okrajové podmínky (viz obr. 18). Neoznačené boční plochy nazveme „symmetry“. Čísla označují jednotlivé tekutiny protékající výměníkem.

2.3 Fluent - Preprocessing

Hotovou síť včetně pojmenovaných ploch exportujeme z programu Ansys Meshing ve formátu *.msh a následně načteme v programu Fluent (File → Read → Mesh...).

2.3.1 Nastavení výpočtu

Při nastavování parametrů výpočtu postupujeme po jednotlivých záložkách v levém sloupci okna Fluentu (viz obr. 19a). V záložce General nastavíme stacionární výpočet (Steady) s použitím řešiče Pressure-Based. V části Models aktivujeme energetickou rovnici (Energy → On) a model turbulence SST k-ω (viz obr. 19b).

Obr. 18 Okrajové podmínky - označení ploch modelu.

Obr. 19 Fluent - nastavení výpočtu.

a) b)

Vzduch proudící výměníkem považujeme za ideální plyn s konstantní měrnou tepelnou kapacitou cp = 1006 (J·kg⁻¹·K⁻¹). Vlastnosti vzduchu editujeme v záložce Materials → Air → Create/Edit (viz obr. 20).

2.3.2 Okrajové podmínky

V záložce Boundary Conditions přiřadíme k jednotlivým plochám (viz obr. 18) okrajové podmínky (viz tabulka 1) a definujeme potřebné parametry.

Tabulka 1: Okrajové podmínky modelu

Označení plochy Popis Typ okrajové podmínky

inlet 1 vstupní průřez proudu 1 mass-flow-inlet inlet 2 vstupní průřez proudu 2 mass-flow-inlet outlet 1 výstupní průřez proudu 1 pressure-outlet outlet 2 výstupní průřez proudu 2 pressure-outlet

if-vnitrni rozhraní uvnitř modelu interface

if-vnejsi rozhraní vnější plochy modelu interface-periodic

wall deska výměníku (stěna) wall

symmetry plocha symetrie modelu symmetry

Obr. 20 Fluent - nastavení vlastností vzduchu.

Na vstupu proudu 1 definujeme teplotu (záložka Thermal) t₁ = 20 °C, na vstupu proudu 2 teplotu t2 = 0 °C. Položka Mass Flow Rate (záložka Momentum) definuje hmotnostní toky vstupního proudu vzduchu 1 a 2 (volíme stejné), které vypočteme z rovnice kontinuity

̇ = · · , ( · ) (36)

kde ρ = 1,232 (kg·m⁻³) je hustota vzduchu při střední teplotě t_stř = 10 °C, c = 2,5 (m·s⁻¹) je zvolená střední rychlost proudu ve vstupním průřezu a S (m²) je plocha vstupního průřezu definovaná vztahem

= · , ( ) (37)

kde B (m) je šířka modelu a δ (m) je výška kanálu (δ = 2·10^-3 m).

Směr proudění ve vstupních průřezech určíme zadáním parametru X-Component of Flow Direction. Pro inlet 1 platí hodnota +1, pro inlet 2 hodnota −1.

Ve výstupním průřezu nastavíme okrajovou podmínku pressure-outlet, která představuje výstup do atmosférického tlaku (relativní tlak 0 Pa). Ostatní okrajové podmínky nastavíme podle typů, které uvádí tabulka 1, bez nastavení dalších parametrů.

2.3.3 Úprava sítě

Po nastavení okrajových podmínek posuneme existující síť tak, aby její hranice byly zarovnány v souřadném systému podle obr. 21 vlevo (Zmin = −Zmax = 0,5·B).

Posunutou síť uložíme do souboru *_spodni.cas). Síť otočíme o 180° podle osy x (Mesh → Rotate, nastavení viz obr. 21 vpravo). Tím vznikla horní polovina sítě.

Obr. 21 Dialogová okna - posun (obr. vlevo) a rotace (obr. vpravo) sítě.

Spodní polovinu připojíme příkazem Mesh → Zone → Append Case File a vybereme soubor *_spodni.cas. Na tomto modelu vytvoříme rozhraní (interface) a periodický interface.

Tím je model připraven k výpočtu (výsledný model viz obr. 22).

2.3.4 Monitory, spuštení výpočtu

V záložce Solution → Monitors byly nastaveny velikosti reziduí na hodnoty 1·10^-6 pro teplotu a 1·10^-5 pro ostatní řešené veličiny. Ke sledování konvergence byl zaveden monitor velikosti střední hodnoty teploty ve výstupním průřezu (outlet 1) s exportem dat do textového souboru (viz obr. 23). Provedeme hybridní inicializaci (Solution Initialization → Hybrid Initialization). Počet iterací nastavíme na 500.

Obr. 22 Model pro výpočet (bez zobrazení sítě).

2.4 Metodika vyhodnocení výsledků

Výpočet je ukončen po dosažení kritérií konvergence nebo po 500 iteracích.

Ve druhém případě je třeba podle průběhu reziduí a monitorů posoudit, zda není třeba pokračovat ve výpočtu. Příklady průběhu reziduí a monitoru teploty dokončeného výpočtu jsou zobrazeny na obr. 24.

2.4.1 Získání dat z numerických simulací

Výsledkem numerických simulací jsou teplotní a tlaková pole. Výslednými hodnotami jsou teploty t (°C) a celkové tlaky pc (Pa) ve vstupních a výstupních průřezech jednotlivých kanálů a dynamické tlaky pD (Pa) ve vstupních průřezech.

Pro určení teploty t (°C) byla definována vlastní funkce „temp-celsius“ založená na převodu mezi Kelvinovou a Celsiovou stupnicí (viz obr. 25).

Obr. 24 Průběhy reziduí a monitoru teploty.

Obr. 25 Definice vlastní funkce pro určení teploty.

Vzhledem k tomu, že oba kanály mají stejné rozměry a hmotnostní toky obou tekutin mají stejnou hodnotu, předpokládáme v obou kanálech stejnou tlakovou ztrátu.

Pro účely dalšího zpracování zaznamenáváme hodnoty tlaků v poli tekutiny 1.

Pro získání střední hodnoty v průřezu použijeme metodu Mass-Weighted-average (V záložce Reports → Surface Integrals). Dialogové okno pro získání hodnot je na obr. 26.

2.4.2 Určení součinitele tlakové ztráty

Celkovou tlakovou ztrátu výměníku určíme ze vztahu

∆ = − , ( ) (38)

kde pcA (Pa) je celkový tlak ve vstupním průřezu a pcB (Pa) je celkový tlak ve výstupním průřezu kanálu. Z numerické simulace modelu s n = 0 (přímý kanál) získáme pomocí rovnice (38) tlakovou ztrátu, která odpovídá třecí ztrátě pzt kanálu o délce Lc.

Po úpravě rovnice (29) získáme vztah pro místní ztrátu

= ∆ − , ( ) (39)

kde Δp (Pa) je celková tlaková ztráta a pzt (Pa) třecí ztráta kanálu.

Z rovnice (28) vyjádříme součinitel místní ztráty

=

· 2

, (−)

(40)

kde pzm (Pa) je místní tlaková ztráta a výraz · představuje dynamický tlak na vstupu Obr. 26 Vyhodnocení výsledků - dialogové okno.

Spojením rovnic (38), (39) a (40) získáme vztah pro určení součinitele místní ztráty

= − −

, (−) ₍₄₁₎

kde pcA (Pa) je celkový tlak ve vstupním průřezu, pcB (Pa) je celkový tlak ve výstupním průřezu kanálu, pzt (Pa) je tlaková ztráta přímého kanálu (n = 0) a pdA (Pa) je dynamický tlak ve vstupním průřezu kanálu.

2.4.3 Určení součinitele přenosu tepla

Závislost mezi tepelnou bilancí a účinností je vyjádřena vztahem

̇ · · ∆ · = · · ∆ · (1 − ), ( ) (42)

kde ṁ (kg·s⁻¹) je hmotnostní tok tekutiny, cp (J·kg⁻¹·K⁻¹) měrná tepelná kapacita, ΔT (K) je teplotní rozdíl, η (-) je účinnost výměníku, k (W·m⁻²·K⁻¹) je součinitel prostupu tepla a S (m²) je teplosměnná plocha.

Z rovnice (42) vyjádříme vztah mezi parametrem k·S a účinností výměníku

· = ̇ · ·

1 − , ( · ) ₍₄₃₎

Pro hodnocení výměníků z hlediska přenosu tepla zavedeme součinitel přenosu tepla

= ·

̇ · , (−) (44)

který po dosazení rovnice (43) přejde do tvaru

= 1 − , (−) ₍₄₅₎

kde η (-) je účinnost výměníku.

Dosazením rovnice (24) do rovnice (45) získáme vztah pro výpočet součinitele přenosu tepla ve tvaru

= −

− (−), (46)

kde T_A1 (K, °C) je vstupní teplota tekutiny 1 (T_A1 = 20°C), T_B1 (K, °C) je výstupní teplota tekutiny 1 a TB2 (K, °C) je vstupní teplota tekutiny 2 (TB2 = 0°C) (viz obr. 13).

Součinitel přenosu tepla ψ představuje měřítko pro hodnocení efektivity přenosu tepla ve výměníku. Čím vyšší je hodnota ψ, tím je přenos tepla ve výměníku efektivnější.

3 Vliv provedení hřebenů na parametry výměníku

Z dat získaných numerickými simulacemi vypočteme sledované parametry:

 Součinitel místní ztráty ξ (-) podle vztahu (41).

 Součinitele přenosu tepla ψ (-) podle vztahu (46).

Na základě vypočtených hodnot vytvoříme grafy závislostí sledovaných parametrů výměníku na provedení desky výměníku.

3.1 Výsledky numerických simulací

Numerické simulace byly provedeny pro celkem 85 modelů s různým provedením teplosměnné plochy. Následující obrázky zobrazují kontury výsledných hodnot pro variantu α = 45°, L = 6 mm, n = 30 a R = 0 mm.

Obr. 27 Kontury teplotního pole na teplosměnné ploše.

Obr. 28 Kontury rychlostního pole na vnitřním rozhraní (obr a) a a)

c)

b)

3.2 Vliv počtu hřebenů

Vliv počtu hřebenů byl sledován pro modely s α = 45°, L = 6 mm, L_c = 300 mm.

Počty hřebenů byly zvoleny n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16}. Na základě výsledků ze studia vlivu počtu hřebenů je třeba určit minimální počet hřebenů pro stanovení hodnot součinitelů ξ a ψ. Zavedeme proto tzv. měrnou veličinu definovanou obecně vztahem

= −

, ⁽⁴⁷⁾

kde ΔQi je obecně měrná veličina, Qn je obecně hodnota veličiny pro n hřebenů a i (-) je rozdíl počtu hřebenů mezi Qn a Qn-i.

3.2.1 Součinitel přenosu tepla

Součinitel přenosu tepla ψ (-) roste s rostoucím počtem hřebenů, ale měrný součinitel přenosu tepla Δψ (-) klesá (viz obr. 30).

Obr. 29 Kontury turbulentní kinetické energie na vnitřním rozhraní (obr a) a v rovině řezu středem modelu (obr c) s detailem (obr b).

a)

c) b)

3.2.2 Součinitel tlakové ztráty

Závislosti součinitele tlakové ztráty ξ (-) a měrného součinitele tlakové ztráty Δξ (-) na počtu hřebenů jsou zobrazeny na obr. 31. Z obrázku je patrná podobnost průběhů s průběhy závislostí týkajícími se přenosu tepla.

3.2.3 Minimální počet hřebenů

Z obr. 30 a obr. 31 je patrné, že s narůstajícím počtem hřebenů se zmenšují měrné součinitele přenosu tepla Δψ a tlakové ztráty Δξ.

Obr. 30 Vliv počtu hřebenů na přenos tepla.

Obr. 31 Vliv počtu hřebenů na tlakové ztráty.

y = 0,013x^-0,31

0,000 0,005 0,010 0,015

0,70 0,75 0,80 0,85

0 4 8 12 16

měrný součinitel Δψ(-)

součinitel ψ(-)

počet hřebenů n (-) Δψ →

←ψ

y = 2,960x^-0,121 R² = 0,763

1 2 3

0 10 20 30 40

0 4 8 12 16

měrný součinitel Δξ(-)

součinitel ξ(-)

počet hřebenů n (-) Δξ →

←ξ

Funkční závislost Δψ = Δψ(n) byla zjištěna pomocí aplikace spojnice trendu v programu MS Excel. Měrný součinitel přenosu tepla je dán vztahem

= 0,006 · ^, , (−) (48)

kde Δψ_n (-) je měrný součinitel při hledaném minimálním počtu hřebenů n (-).

Zároveň je požadováno

∆

∆ ≤ 1,01, (−) (49)

kde Δψ_n (-) je měrný součinitel přenosu tepla při hledaném počtu hřebenů, Δψ_n-1 (-) je měrný součinitel při počtu hřebenů n−1 a hodnota 1,01 představuje maximálně 1% odchylku dvou po sobě jdoucích hodnot Δψ.

Dosazením rovnice (48) do rovnice (49) a následnou úpravou získáme vztah Δψ

Δψ =0,006 · (n − 1) ^,

0,006 · n ^, = n − 1 ^,

≤ 1,01, (−) ₍₅₀₎

odkud stanovíme iteračně nψ-min = 30 hřebenů (viz Příloha B).

Závislost měrného součinitele tlakové ztráty je dána vztahem

= 2,954 · ^, , (−) (51)

kde Δξn (-) je měrný součinitel tlakové ztráty při hledaném počtu hřebenů n (-). Minimální počet hřebenů n hledáme obdobně jako v případě součinitele přenosu tepla iteračně ze vztahu

Δξ

Δξ = 2,954 · (n − 1) ^,

2,954 · n ^, = n − 1 ^,

≤ 1,01, (−) (52) odkud stanovíme iteračně n_ξ-min = 15 hřebenů (viz Příloha B).

Minimální počet hřebenů pro stanovení hodnot měrných součinitelů přenosu tepla a tlakové ztráty je max , = 30 hřebenů.

3.3 Vliv zaoblení

Vliv zaoblení byl sledován pro modely s α = 45°, L = 6 mm, L_c = 300 mm. Počty hřebenů byly zvoleny n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16}. Velikosti zaoblení vrcholů hřebenů byly zvoleny R = {0; 0,5; 1; 2} mm. Vstupní teplota tekutiny 1 je tA1 = 20 °C, vstupní teplota tekutiny 2 je tB2 = 0 °C.

Z výsledků simulací (hodnoty viz Příloha B) byly získány závislosti součinitelů přenosu tepla a místní ztráty na počtu hřebenů pro různá zaoblení (viz obr. 32 a obr. 33).

Z uvedených závislostí vyplývá, že se zvyšováním poloměru zaoblení vrcholů hřebenů dochází ke zvyšování hodnoty součinitele přenosu tepla i tlakové ztráty, ale nárůst je minimální (relativní přírůstek řádově 0,1 %).

Zaoblení tedy nemá zásadní vliv na parametry výměníku. Při konstrukci desek je proto možné volit zaoblení libovolně s ohledem na výrobní možnosti (technologie lisování), aniž by byly významně ovlivněny parametry výměníku.

Obr. 33 Vliv zaoblení na tlakové ztráty.

Obr. 32 Vliv zaoblení na přenos tepla.

0,72 0,77 0,82

0 4 8 12 16

součinitel ψ(-)

počet hřebenů n (-)

R = 0 mm R = 0,5 mm R = 1 mm R = 2 mm

0 10 20 30 40

0 4 8 12 16

součinitel ξ(-)

počet hřebenů n (-)

R = 0 mm R = 0,5 mm R = 1 mm R = 2 mm

3.4 Vliv úhlu α a vzdálenosti L

Zkoumání vlivu úhlu sklonu hřebene α a vzdálenosti hřebenů L na součinitele přenosu tepla a tlakové ztráty je provedeno pro n = {28, 30}. Hodnota n = 30 byla určena v kapitole 3.2.3, modely s n = 28 jsou použity pro kontrolu a korekci vztahů (48) a (51).

Velikosti úhlu sklonu hřebene jsou zvoleny α = {30°, 45°, 60°}. Hodnoty vzdálenosti hřebenů volíme L = {4, 5, 6, 7, 8} mm. Celková délka desky je Lc = 500 mm. Z důvodu jednodušší tvorby modelu jsou simulovány ostré hřbety (R = 0 mm).

Pro stanovení tlakové ztráty byl vytvořen a následně simulován model s n = 0.

Tlaková ztráta tohoto (přímého) kanálu je pzt = 65,27 Pa. Tuto hodnotu použijeme při určování místní ztráty jednotlivých variant desky řešených v této kapitole.

Závislosti součinitelů ψ a ξ na vzdálenosti hřebenů L pro různé úhly α jsou zobrazeny na obr. 34 a obr. 38 (hodnoty viz Příloha D). Z obrázků je patrné, že průběhy závislostí na vzdálenosti hřebenů mají pro různé úhly α obdobný průběh. Křivky jsou pouze posunuty ve směru svislé osy.

Významný je nárůst tlakové ztráty s rostoucím úhlem. Při zvětšení úhlu o 15°

narůstá součinitel tlakové ztráty ξ na více než dvojnásobek původní hodnoty.

Obr. 34 Vliv úhlu α a vzdálenosti hřebenů L na přenos tepla.

0,87 0,88 0,89

4 5 6 7 8

so u či n it el ψ (- )

vzdálenost hřebenů L (mm)

30°

45°

60°

Součinitel přenosu tepla ψ i součinitel tlakové ztráty ξ narůstají s rostoucí vzdáleností L.

Z předchozích obrázků vyplývá, že úhel sklonu hřebene i vzdálenost mezi hřebeny značně ovlivňují parametry výměníku.

Obr. 35 Vliv vzdálenosti hřebenů L a úhlu α na tlakové ztráty.

25 75 125 175

4 5 6 7 8

so u či n it el ξ (- )

vzdálenost hřebenů L (mm)

30°

45°

60°

4 Optimalizace teplosměnné plochy

Na základě analýzy výsledků numerických simulací se snažíme vytvořit algoritmus pro určení optimálního provedení teplosměnné plochy, který spočívá v návrhu úhlu sklonu hřebenů α, vzdálenosti hřebenů L a počtu hřebenů n.

4.1 Závislost mezi součiniteli ψ a ξ

Ze závislostí součinitele přenosu tepla na součiniteli tlakové ztráty (viz obr. 36, každá z křivek představuje spojnici hodnot pro n = 28 a n = 30 hřebenů.) pro různá provedení teplosměnné plochy vyplývá, že při zvyšování součinitele přenosu tepla (navyšování účinnosti) dochází k nárůstu tlakové ztráty. Nelze proto jednoduše určit optimální variantu provedení pouze na základě dosažení maximálního součinitele přenosu tepla, ale je třeba zvolit omezující podmínku ve formě maximálně přípustné tlakové ztráty, z které je odvozen součinitel tlakové ztráty ξ.

Obr. 36 Vzájemná závislost součinitelů ξ a ψ.

0,86 0,87 0,88 0,89

25 75 125 175

součinitel ψ(-)

součinitel ξ (-) 30°

45° ^{L = 4 mm}_{L = 5 mm} 60°

L = 6 mm L = 7 mm L = 8 mm

4.2 Odvození objektivních funkcí

Na základě závislostí získaných v kapitole 3 odvodíme závislosti součinitelů přestupu tepla a tlakové ztráty jako funkce rozměrů α, L a počtu hřebenů n.

Předpokládáme, že závislosti součinitelů na počtu hřebenů získaná pro α = 45° a L = 6 mm (viz vztahy (48) a (51)) mají obdobný průběh pro všechny hodnoty α a L.

4.2.1 Funkce pro součinitel přenosu tepla ψ

Ke stanovení funkční závislosti přenosu tepla na rozměrech výměníku vyjdeme z rovnice (47) a určíme měrný součinitel přenosu tepla

∆ψ = ψ − ψ

30 , (−) (53)

kde ψ₃₀ (-) jsou hodnoty součinitele přenosu tepla jednotlivých simulovaných variant pro n = 30 hřebenů a ψ0 = 0,8058 (-) je hodnota součinitele přenosu tepla pro n = 0.

Definujeme korekční součinitel κ, která představuje poměr mezi hodnotou součinitele přenosu tepla pro konkrétní provedení a hodnotou součinitele přenosu tepla v závislosti na počtu hřebenů podle rovnice (48) pro n = 30 hřebenů. Korekční součinitel je dán vztahem

κ =∆ψ

∆ψ = ∆ψ

0,006 · 30 ^, . (−) ₍₅₄₎

Vypočtené hodnoty korekcí jsou uvedeny v příloze E. Závislost korekčního součinitele na vzdálenosti hřebenů pro různé úhly α ukazuje obr. 37.

0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

4 5 6 7 8

korekční součinitel κ(-)

vzdálenost hřebenů L (mm)

30°

45°

60°