• No results found

Huvudräkning i årskurs 3: En fallstudie om hur elever löser tal med huvudräkning

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Huvudräkning i årskurs 3: En fallstudie om hur elever löser tal med huvudräkning"

Copied!
55
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Rapport nr: 2011ht4968

Institutionen för

pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15 hp

Huvudräkning i årskurs 3

En fallstudie om hur elever löser tal med huvudräkning

My Fridland

Handledare: Bo Johansson Examinator: Martin Karlberg

(2)

2

Sammanfattning

Syftet med denna fallstudie har varit att samla in material för att kunna pröva om resultatet stödjer Johansson och Wirths teori om sambandet mellan elevers taluppfattning och huvudräkningsförmåga samt om det insamlade materialet stöder Löwing och Kilborns teori om räknelagars betydelse för elevers huvudräkningsförmåga. Metoden som använts för att samla in material var intervju med elever samt deras lärare.

Resultaten från elevintervjuerna stöder delvis Johanssons och Wirths teorier, företrädesvis av de elever som uppnådde höga poäng i huvudräkningstestet och använde hoppstrategier i merparten av uppgifterna. Elevernas prestationer gav även stöd till Löwing och Kilborns (2009) teorier eftersom elevernas användning av den kommutativa lagen tycks vara sammankopplad med elevernas resultat i huvudräkningstestet och val av strategier. Emellertid tycks en välutvecklad taluppfattning både ge eleven förutsättning att kunna använda hoppstrategier och kunna förstå räknelagar. Anseende strategival i undervisningen uppfattas hoppstrategierna och att kunna tabellen som lovande eftersom de har hög effektivitet samtidigt som räkne- och talsortsstrategier, vilka båda har låg effektivitet, bör ifrågasättas.

Nyckelord: Didaktik, fallstudie, grundskola, huvudräkning, intervju

(3)

3

Innehållsförteckning

Inledning ...5

Bakgrund ...6

Styrdokument ...6

Litteraturöversikt ...8

Taluppfattning ...8

Huvudräkning ...8

Räknelagar ...9

Huvudräkningsstrategier ...9

Strategieffektivitet ... 11

Feltyper ... 11

Tidigare forskning ... 12

Syfte och frågeställningar ... 15

Metod ... 16

Urval av informanter ... 16

Metod ... 16

Forskningsetiska reflektioner ... 17

Genomförande... 18

Reflektion över metoden ... 21

Resultat och analys ... 23

Elevintervjuerna – Fallstudie ... 23

Lärarintervjun ... 34

Sammanställning ... 35

Diskussion ... 43

Konklusion ... 47

Summering ... 47

Resultatens betydelse för det praktiska lärararbetet ... 47

Förslag till vidare forskning ... 48

(4)

4

Referenslista ... 49

Bilagor ... 51

Bilaga 1: Föräldrainformation ... 51

Bilaga 2: Huvudräkningstest och tal- och sifferskrivningstest ... 52

Bilaga 3: Intervjufrågor klassläraren ... 54

(5)

5

Inledning

Vuxna människor använder huvudräkning i fyra av fem beräkningar, detta medför att huvudräkning är den viktigaste beräkningsformen som används i människans vardag1. Matematikundervisningen har emellanåt fått kritik för att det ägnas alltför lite tid till huvudräkning och huvudräkningsstrategier samtidigt som skriftliga räknemetoder fått större utrymme i undervisningen2.

Min egen erfarenhet, både från egen skolgång och från lärarprogrammets verksamhetsförlagda utbildning, är att huvudräkning används synonymt med tabellträning, särskilt multiplikationstabellen. Under mina egna skolår tränades multiplikationstabellen flitigt under grundskolans tre första år och därefter hade klassen regelbundna tabelltest i alla fyra räknesätten på tid. I övrigt dominerade algoritmräkningen i matematikundervisningen, vilket även är min erfarenhet från mina praktikperioder.

Det kan tyckas märkligt att huvudräkningsundervisningen kommit i skymundan då räknesättet används frekvent i människans vardag och dessutom har många hävdat huvudräkningens olika fördelar3,4. Argumenten har bland annat varit att huvudräkning utvecklar barnets taluppfattning, att huvudräkning ofta är det enklaste sättet att genomföra olika beräkningar och dessutom är ett kreativt sätt att förhålla sig till olika tal5.

Taluppfattning utvecklas, som tidigare nämnts, genom huvudräkningen samtidigt som god huvudräkningsförmåga förutsätter en utvecklad taluppfattning6. Johansson och Wirth antyder att för att eleven ska kunna utveckla effektivare huvudräkningsstrategier förutsätter det att eleven utvecklar uppfattningen att tal är siffror på en talrad7. Detta förutsätter i sin tur att eleven har god sifferkunskap och goda färdigheter i ramsräkning. Samtidigt menar Löwing och Kilborn att en utvecklad huvudräkningsförmåga förutsätter en taluppfattning som omfattar att ha kännedom om räknelagarna8.

Jag kommer i denna studie undersöka hur elevers taluppfattning och kunskaper om räknelagarna påverkar deras sätt att lösa aritmetiska uppgifter med hjälp av huvudräkning.

1 Alistair McIntosh. Förstå och använda tal – en handledning. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, 2010, s. 115.

2 Leif Norén. Strategier vid huvudräkning – en metodisk modell. Nationellt centrum för matematikutbildning, 1990, s. 33.

3 Alistair McIntosh. Nya vägar i räkneundervisningen, I: Jesper, Boesen (red.). Lära och undervisa matematik – internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt centrum för matematik utbildning, 2006, s. 7-20.

4 Gudrun Malmer. Bra matematik för alla: Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur, 2010, s. 176-178.

5 McIntosh, 2006, s. 7-20.

6 Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn. Huvudräkning: En inkörsport till matematiken. Lund: Studentlitteratur, 2009, s. 25.

7 Bo Johansson & Michael Wirth. Så erövrar barn matematiken: Talradsmetoden ger nya möjligheter. Uppsala: Kunskapsbolaget, 2007, s. 33-34.

8 Löwing & Kilborn, 2009, s. 14.

(6)

6

Bakgrund

Jag kommer i detta avsnitt att lyfta fram styrdokumentens intentioner som kan hänföras till huvudräkning och taluppfattning.

Styrdokument

Den reviderade läroplanen för det obligatoriska skolväsendet som inkluderar kursplanen i matematik inleds med en formulering om matematikens syfte och funktion för människan och samhället9:

”Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser”.

Detta kan sammanföras med denna studies inledning som lyfter fram huvudräkningens stora betydelse för människan i vardagen - 80 procent av de beräkningar som görs av vuxna utgörs av huvudräkning10.

Gäller matematikundervisningen i grundskolans första tre år betraktas moment som tränar upp elevernas taluppfattning som ett viktigt innehåll i undervisningen11. Bland annat ska läraren utveckla elevernas kunskaper om naturliga tals egenskaper, hur de delas upp och deras inbördes ordning samt hur positionssystemet är uppbyggt.

Även följande områden betraktas som ett centralt innehåll i grundskolans tidiga år12:

- De fyra räknesättens samband och egenskaper samt användningen av dessa räknesätt inom olika situationer.

- Väsentliga metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning, men även hur metoderna kan utnyttjas i olika situationer.

Det ställs flera kunskapskrav på elever som ska avsluta årskurs tre som kan relateras till taluppfattning och huvudräkning. I huvudräkning ska eleven kunna lösa tal i alla fyra räknesätten där talen och svarsområdet ligger inom noll till tjugo samt ha förmåga att beskriva sitt tillvägagångssätt13. Eleven ska även ha förmåga att välja en strategi som kan betraktas ha viss anpassning till problemets karaktär och kunna beskriva tals förhållande till varandra och klara av att dela upp tal i olika faktorer14.

9 Skolverket. Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Fritzes, 2011, s. 62.

10 McIntosh, 2010, s. 115.

11 Skolverket, 2011, s. 64.

12 Ibid., s. 64.

13 Ibid., s. 67.

(7)

7 Avsikten med denna studie är att öka förståelsen av hur elevers taluppfattningsförmåga och kännedom om räknelagar påverkar deras sätt att lösa aritmetiska tal med huvudräkning. Studien kommer att avgränsas genom att enbart studera elever i årskurs tre och genom att endast omfatta räknesätten addition och subtraktion.

(8)

8

Litteraturöversikt

Jag kommer i detta avsnitt att redogöra för några väsentliga begrepp vilka relateras till studien.

Därefter kommer tidigare forskning kring huvudräkning, taluppfattning, huvudräkningsstrategier och räknelagar diskuteras.

Taluppfattning

Taluppfattning innefattar hur tal är uppbyggda och relaterade till varandra, vilket innebär att opererandet med tal kan ske utan reflektion över tals uppbyggnad eller deras inbördes relation14. Detta åstadkoms när eleven uppnår följande färdigheter:

- Behärskning av talens ordning och grannar

- Behärskning av tals uppdelning i faktorer och termer

- Behärskning av positionssystemet med basen tio samt tiotals- och hundratalsövergångar - Behärskning av räknelagarna

Reys m.fl. antyder att taluppfattning innefattar att kunna tillämpa de ovannämnda färdigheterna för att kunna formulera och använda en lösningsprocess i en bestämd situation, exempelvis att finna en lämplig huvudräkningsstrategi vid en given uppgift15.

Huvudräkning

Huvudräkning definieras som att kunna lösa en aritmetisk uppgift utan hjälpmedel16. Unenge tycker att nedskrivning av delresultat kan vara tillåtet i vissa sammanhang samtidigt som Löwing menar att huvudräkning ska ske utan att mellanled noteras17,18. Löwing beskriver även att huvudräkning sker i alla typer av beräkningar, exempelvis utgörs alla delberäkningarna i skriftliga uppställningar i huvudet19. För att kunna utvecklas till en god huvudräknare krävs, förutom en välutvecklad taluppfattning, en god kännedom om vilka räknelagar som finns och hur de tillämpas enligt Löwing och Kilborn20. Löwing menar att eleven inte behöver kunna en mängd olika huvudräkningsstrategier, det räcker med att kunna använda de vanligaste räknelagarna eftersom de är dessa lagar som eleven i själva verket använder vid huvudräkning21.

14 Madeleine Löwing. Grundläggande aritmetik: Matematikdidaktik för lärare. Lund: Studentlitteratur, 2008, s. 39-40.

15 Barbara Reys m.fl. Vad är god taluppfattning?. Nämnaren, 1995, nr 2, s. 23-26.

16 Jan Unenge. Matematikdidaktik för grundskolan. Lund: Studentlitteratur, 1988, s. 42.

17 Ibid., s. 42.

18 Löwing, 2008, s. 122.

19 Ibid., s. 107. 20 Löwing & Kilborn, 2009, s. 14.

21 Löwing, 2008, s. 108.

(9)

9 Johansson och Wirth lyfter istället fram elevers sifferkunskap och kunskap om ramsräkning som avgörande basfärdigheter för elevers taluppfattningsutveckling och därmed också huvudräkningsutveckling22. De antyder att det lilla barnet uppfattar tal som antal, det vill säga kardinaltal eftersom de har begränsningar i sin sifferkunskap och ramsräkning23. Detta bidrar till att de använder räknestrategier där de räknar en-och-en från början, ofta med hjälp av fingrarna (strategin beskrivs under huvudräkningsstrategier). I takt med att sifferkunskapen och färdigheten att kunna ramsräkna ökar övergår eleven till att utgå ifrån första/största termen när de räknar, detta förklaras av att eleven successivt börjat se tal som ordinaltal24. Att barnet uppfattar tal som ordinaltal betyder att barnet ser tal som siffror på en talrad där alla tal har sin särskilda position. I denna fas börjar barnet gradvis övergå från räknestrategier till hoppstrategier eftersom han/hon har börjat utveckla en mental talrad som medför att barnet kan hoppa framlänges och baklänges på tallinjen istället för att räkna en-och-en25. Ytterligare ett steg i taluppfattningsutvecklingen är att barnet utvecklar sin förståelse för positionssystemets uppbyggnad och därmed kan urskilja olika talsorter; detta medför att de kan börja använda talsortsstrategier26.

Löwing och Kilborn antyder att den duktiga huvudräknaren börjar med att inspektera uppgiften och väljer sedan den mest effektiva strategi utifrån uppgiftens utformning27. Med effektiv strategi menar författarna den strategi som har minst antal deloperationer och som ger minst belastning av arbetsminnet.

Räknelagar

Räknelagar definieras som regler som anger hur och i vilken ordning aritmetiska beräkningar ska genomföras, till räknelagarna hör den kommutativa lagen, den distributiva lagen och den associativa lagen28. I denna studie kommer endast den kommutativa lagen prövas, denna lag kan tillämpas i addition eller multiplikation genom att termerna byter ordning, det vill säga att a + b = b + a eller ab = ba2922 Johansson & Wirth, 2007, s. 7-34.

Huvudräkningsstrategier

Jag har valt att endast redovisa de strategier eleverna använde i huvudräkningstestet, det förekommer med andra ord även andra strategier inom addition och subtraktion.

23 Ibid., s. 14, 26-29.

24 Ibid., s. 14-20, 29-30.

25 Ibid., s. 29-30.

26 Ibid., s. 31-32.

27 Löwing & Kilborn, 2009, s. 14.

28 Christer Kiselman & Lars Mouwitz. Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, 2008, s. 23.

29 Ibid., s. 89.

(10)

10 De beskrivna strategierna indelades i fyra olika kategorier: Räknestrategier, hoppstrategier, talsortsstrategier och kunna tabellen.

Räknestrategier

Till kategorin räknestrategier tillhör strategin uppräkning som innebär att eleven räknar från början, från första termen eller från största termen upp ett ental eller tiotal i taget30. I additionstalet 3 + 6 skulle uppräkning från början innebära att eleven räknar från siffran ett till siffran tre en-och-en för att sedan räkna från siffran tre upp i sex steg, ett steg i taget. Räknar eleven från första termen skulle hon/han börja uppräknandet från termen tre och därefter räkna en-och-en sex steg uppåt och räknar hon/han från största termen skulle uppräknandet utgå ifrån termen sex istället. Strategin ta bort tillhör också kategorin räknestrategier och används i subtraktion och innebär att eleven tar bort ett ental eller tiotal i taget31.

Hoppstrategier

Kategorin hoppstrategier innefattar i denna uppsats fyra olika strategier, tiokamrater, egentliga hoppmetoden, baklänges med plus och förenklingar. Tiokamrater innebär att eleverna skapar runda tiotal i additionsuppgifter genom att exempelvis dela upp den ena termen (exempelvis 6 + 5 = 1 + (5 + 5) = 1 + 10)32. Egentliga hoppmetoden utgår från att den största/första termen i additions- eller subtraktionstalet är intakt medan den andra termen delas upp så att det blir lättare att hoppa upp respektive hoppa ned till svaret (exempelvis 60 + 80 → (80 + 20) + 40 eller 12 – 9

→ (12 – 2) – 7)33. Baklänges med plus är en strategi som används i subtraktionstal och innebär att man utgår från den andra termen som successivt fylls på till man nått den första termens värde (exempelvis 23 – 17 → 17 + 3 = 20, 20 + 3 = 23 → 23 – 17 = 3 + 3 = 6)34. Förenklingar innebär att en uppgift omvandlas till en annan uppgift som anses vara enklare att lösa än den ursprungliga, det kan vara att eleven associerar till dubblorna 7 + 7 för att lösa talet 7 + 835. Det kan även innebära att eleven adderar eller subtraherar lika många ental från båda termerna i ett subtraktionstal eller adderar den ena termen samtidigt som den subtraherar den andra termen med lika mycket i ett additionstal36.

30 Thomas Carpenter & James Moser. The Acquisition of Addition and Subtraction Concepts in Grades One Through Three.

Journal for Research in Mathematics Education, 1984, nr 3, s. 181.

31 Ibid., s. 182.

32 Löwing & Kilborn, 2009, s. 78.

33 Bo Johansson. Varför är subtraktions svårt?: Orsaker och förlag till åtgärder. Uppsala: Kunskapsbolaget, s. 12-13.

34 Ibid., s. 13.

35 Ibid., s. 13.

36 Ibid., s. 13.

(11)

11 Talsortsstrategier

Talsortsstrategin innebär att båda termerna i additions- eller subtraktionstal delas upp i talsorter där uträkningen går från vänster till höger där varje talsort adderas eller subtraheras var för sig, ett exempel är 29 + 24 = 20 + 20 + 9 + 437.

Kunna tabellen

Kunna tabellen innebär att additionen eller subtraktionen sker automatiserat inom några sekunder utan att eleven behöver använda någon särskild tankestrategi38.

Strategieffektivitet

Med strategieffektivitet avses i vilken utsträckning en strategi ger upphov till rätt svar, vilket anges i procent39. En strategi kan anses ha tillräckligt god effektivitet om den ger upphov till minst 95 procent rätt svar vid ett givet tillfälle40. För att strategin ska anses lovande kan emellantid andelen rätt svar inom intervallet 90-94 procent godtas.

Feltyper

Följande feltyper användes för att kategorisera elevernas svar i huvudräkningstestet i studien:

Räknefel - Räknefel omfattar de fel där eleven ger ett svar som är ett eller två ental för mycket eller för litet (i uppgifterna 4 och 5 på huvudräkningstestet har elevens fel betraktats som ett räknefel om det är ett eller två tiotal för mycket eller lite) 41. Felen uppstå vanligtvis när eleven använt räknestrategierna.

Positionsfel – Fel som uppstått när eleven försöker generalisera sina tabellkunskaper på andra tiopotenser på ett felaktigt sätt på grund av att eleven inte behärskar positionssystemets uppbyggnad42. Vilket kan vara att eleven omvandlar två termer från tiotal till ental för att subtraktionen/additionen ska upplevas enklare, men förmår inte sedan att omvandla svaret tillbaka till den ursprungliga uppgiften (exempel 60 + 50 → 6 + 5 = 11 → 60 + 50 = 101 eller 10).

Övriga fel – Fel som inte kan klassificeras inom de ovanstående feltyperna.

37 Meindert Beishuizen. Mental Strategies and Materials or Models for Addition and Subtraction up to 100 in Dutch Second Grades. Journal for Research in Mathematics Education, 1993, nr 4, s. 295.

38 Carpenter & Moser, 1984, s. 181.

39 Johansson, 2011, s. 16-17.

40 Ibid., s. 16-17.

41 Ibid., s. 14.

42 McIntosh, 2010, s. 108-109.

(12)

12 Tidigare forskning

Elevers förmåga att räkna rätt på aritmetiska tal tycks höra samman med deras förmåga att ramsräkna fram- och baklänges och att kunna skriva tal med siffror43. Detta resonemang stöds av flera genomförda studier gjorda av Johansson där barn mellan fem och åtta år studerades44. Förklaringen forskarna ger är att barnen som har goda sifferkunskaper och god förmåga att ramsräkna kan hoppa mellan talen på tallinjen och använder då framförallt hoppstrategier istället för räknestrategier. Detta kan jämföras med att egentliga hoppmetoden i en undersökning fått betydligt högre effektivitet, 96 procent i jämfört med räknestrategin att räkna från första eller största termen, 76 procent45. Den egentliga hoppmetoden tycks vara en strategi elever använder trots att läromedel eller läraren inte alltid introducerar strategin, vilket kan förklaras av att strategin är lätt att upptäcka och använda46.

Räknestrategier kan stödja elever med svag taluppfattning, men det anses samtidigt viktigt att de inte fastnar i antalsräknandet, utan utvecklar den mentala talraden successivt47. En övning som tycks främja denna utveckling är att eleverna får träna huvudräkning med stöd av en tom talrad48. Den tomma talraden bidrar till att eleven undviker att räkna en-och-en utan börjar istället ta skutt på talraden, det vill säga det tankesätt hoppstrategierna utgår ifrån. Undervisning i denna metod har visat sig kunna halvera antalet elever som tillhörde den grupp som presterade de allra lägsta poängen i ett nationellt aritmetiskt test. Att räknestrategier förekommer i en högre frekvens än användningen av hoppstrategier kan delvis förklaras av läromedelsillustrationer till olika räkneövningar49. Dessa kan stimulera eleven till att räkna antalet för att lösa uppgiften istället för att exempelvis automatisera additions- eller subtraktionstabellen.

McIntosh uppger att elever har svårigheter att generalisera sin tabellkunskap när tiopotensen förändras, exempelvis från 9 + 6 till 90 + 6050. Elever har då uppvisat problem att kunna ta bort och återinföra nollor, men fel uppstår även på grund av att de istället använder räknestrategier och räknar ett tiotal i taget vilket har visat sig resultera i att eleven ofta räknar ett tiotal för mycket eller lite.

43 Johansson & Wirth, 2007, s. 7-24.

44 Ibid., s. 20-24.

45 Johansson, 2011, s. 19, 25.

46 Ibid., s. 29.

47 Ibid., s. 27.

48 Julie Menne. Jumping Ahead: An Innovative Teaching Programme. I Julia Anghileris (red.), Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Buckingham: Open University Press, 2001, s. 95-106.

49 Johansson, 2011, s. 27.

50 McIntosh, 2010, s. 108-109.

(13)

13 Även strategin talsorter har diskuterats vad anseende låg effektivitet51. Exempelvis har en brittisk studie med elever i årskurs tre och fyra studerades vad gällande talsortsstrategin52. Den visade att elevernas rätt i ett skriftligt prov med additions- och subtraktionstal mycket lågt, endast 31 procent korrekta svar och strategin eleverna huvudsakligen använde var talsortsstrategin. Efter att blivit introducerade för hoppstrategi N10 och arbetat med strategin med hjälp av en tom talrad (jämför med Mennes studie) fick eleverna göra samma test igen, denna gång dominerade användningen av strategin N10 och andelen rätt på provet var nu 75 procent.

Anledningen till förbättringen tros vara att N10-strategin innehåller färre deloperationer än talsortsstrategin och att elever tycks förstå delprocessernas innebörd bättre i N10-strategin i jämfört med talsortstrategin53. N10 är en strategi som påminner om egentliga hoppmetoden eftersom man låter den första termen i subtraktion eller den största termen i addition bli intakt samtidigt som den andra termen adderas eller subtraheras gradvis54.

I en studie, döpt till HÖJMA-projektet, studerades elevers taluppfattning genom att eleverna fick lösa olika tal i addition och subtraktion55. Hypotesen som ställdes var att elevers taluppfattning påverkar hur de angriper en huvudräkningsuppgift med motiveringen att elever ser tals förhållande till varandra om de har god taluppfattning. Detta medför att de exempelvis kan upptäcka att differensen mellan termerna 207 – 199 är liten. Studien visade att elevernas taluppfattning inte var den enda faktorn som begränsade deras förmåga att lösa uppgifterna, bristerna förklarades istället av att de inte fått systematisk undervisning i huvudräkning56.

I en studie som testade en grupp sexåringars förståelse för kommutativa och associativa lagarna kom forskarna fram till att barn har svårare att förstå den associativa lagen ((a+ b) + c = (a + c) + b) än den kommutativa57. Forskarna kom även fram till att om elever utgår från den största termen när de räknar har de stor förståelse för den kommutativa lagen. I en annan studie med barn i åldern fem till sex år uppvisade också att barnen kunde tillämpa den kommutativa lagen genom att de utgick från den största termen när de adderade58. Samtidigt visade studien att denna förståelse inte nödvändigtvis behöver betyda att barnet förstår att summan för två kommutativa additionspar är samma (till exempel 3 + 4 = 7 och 4 + 3 = 7).

51 Skolverket. Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007. En djupanalys av hur eleverna förstår centrala matematiska begrepp och tillämpar beräkningsprocedurer. Stockholm: Fritzes, 2008, s. 128-133.

52 Meindert Beihuizen. Diffrent Approaches to Mastering Mental Calculation Strategies. I Julia Anghileris (red.), Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Buckingham: Open University Press, 2001, s. 119-130.

53 Ibid., 119-130.

54 Beishuizen, 1993, s. 295.

55 Unenge, 1988, s. 40-41.

56 Ibid., s. 42-43.

57 Katherine H. Canobi, Robert A. Reeve & Philippa E. Pattison. Young Children’s Understanding of Addition. Concepts the University of Melbourne, 2002, nr 5, s. 513-532.

(14)

14

58 Arthur J. Baroody, & Kathleen E. Gannon. The Development of the Commutativity Principle and Econmical Addition Strategies. Cognition and Instruction, 1984, nr 3, s. 321-339.

(15)

15

Syfte och frågeställningar

Syftet med undersökningen är att samla in material för att pröva om resultaten stöder Johanssons och Wirths teori om sambandet mellan elevers taluppfattning och huvudräkningsförmåga och om det insamlade materialet stöder Löwings och Kilborns teori om räknelagars betydelse för elevers huvudräkningsförmåga.

De frågeställningar som studien utgår ifrån är följande:

 Vilka strategier väljer eleverna för att lösa huvudräkningsuppgifterna och vad är strategiernas effektivitet?

 Vilka typer av fel gör eleverna på huvudräkningsuppgifterna och fanns det något samband mellan uppgifter och feltyper?

 Hur ser sambandet ut mellan elevernas färdigheter i talmönster och talskrivning med deras prestation på huvudräkningsuppgifterna?

 Hur ser sambandet ut mellan elevernas färdigheter i räknelagar med deras prestation på huvudräkningsuppgifterna?

 Kan elevernas prestationer i huvudräkning förklaras av undervisningen?

(16)

16

Metod

Urval av informanter

Skolan som valdes ut är en årskurs F-6-skola på landsbygden med cirka 250 elever och klassen som valdes ut var en årskurs trea som består av 34 elever. Deras klasslärare är utbildad matematik- och NO-lärare med flera års erfarenhet inom yrket.

De deltagande eleverna skulle spegla klassens olika förkunskaper, därför valdes de utifrån deras prestation i en tidigare genomförd diagnos. Denna diagnos medföljer boken Förstå och använda tal och syftar till att hjälpa lärare att upptäcka elevers missuppfattningar kring tal och räkning och på så sätt bidra till att dessa missuppfattningar förebyggs eller reds ut59. Diagnosen upplevs lämplig eftersom den syftar till att ge information om elevens taluppfattningsförmåga (talmönster och tallinje) samt huvudräkningsförmåga (i addition och subtraktion). Detta resulterade i fem pojkar och sex flickor som var mellan åtta och nio år gamla. Dessa elever hade varierade poäng på diagnosens två olika delar.

Under intervjuerna med eleverna upplevde jag att fler intervjuer inte skulle tillföra ny information, vilket medför att jag upplevde att jag hade uppnått den teoretiska mättnaden, vilket menas att ytterligare intervjuer inte skulle tillföra något nytt60. Att ha ett genomtänkt urval och att intervjuarna är väl förberedda är viktigare än att urvalet är stort.

Metod

För att kunna besvara syfte och frågeställningarna valde jag att genomföra kvalitativa intervjuer med lärare och elever i en årskurs trea. Valet att genomföra kvalitativa intervjuer gjordes med hänsyn till att jag var intresserad av hur läraren resonerade om sin undervisning och av hur eleverna tänkte när de löste aritmetiska tal med huvudräkning61. På detta sätt kunde jag få en ökad insikt i lärarens val av metoder i undervisningen och hur eleverna löste tal och varför eventuella svårigheter uppkom. Intervjuerna med läraren kan betraktas som en respondentintervju eftersom det är hennes uppfattning och tankar om bland annat huvudräkning, elevernas kunskaper och undervisningsval jag var intresserad av62. Intervjuerna med eleverna kan även de betraktas som respondentintervjuer eftersom det intressanta var att får reda på hur de tänker när de möter olika huvudräkningstal.

59 McIntosh, 2010, s. 2-3.

60 Peter Esaiasson m.fl.. Metodpredikan. Stockholm: Norstedts Juridik, 2007, s. 294.

61 Jan Trost. Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur, 2010, s. 32.

62 Esaiasson m.fl., 2007, s. 291, 295.

(17)

17 Studien är en multipel fallstudie där elva elever beskrivs och jämförs med varandra för att kunna testa de två olika teorierna mot varandra63 Fallundersökningar är naturalistiska undersökningar, det vill säga forskaren studerar objekten i sitt naturliga sammanhang. Jag utgår med andra ord ifrån att elevernas prestationer påverkas av det sammanhang de befinner sig i, vilket medför att intervjun med klassläraren upplevs meningsfull för att utveckla förståelse för elevernas resultat.

Forskningsetiska reflektioner

Ett samhälle som anser att forskning är nödvändigt och viktigt för den samhälliga och

individuella utvecklingen, ställer samtidigt krav på att forskningen har hög kvalité och inriktar sig på angelägna frågor64. Detta krav benämns som forskningskravet och måste ständigt övervägas i förhållandet till individskyddet som innefattar att en enskild individ inte får utsättas för varken fysisk eller psykisk skada, kränkningar eller förödmjukelse. Individskyddet är i sin tur uppdelad i fyra allmänna krav; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet, som alla har till uppgift att skydda individen i forskningssammanhang65.

Informationskravet innebar konkret i denna studie att lärare, elever och föräldrar informerades om studiens syfte och innebörd, att deltagandet var frivilligt och alla personuppgifter anonymiserades, dessutom var deltagarna medvetna om att de fick avbryta sin medverkan när som helst66. För att ta hänsyn till samtyckeskravet krävdes medgivande från elever, deras vårdnadshavare (eleverna var under femton år) och läraren, som forskare var jag dessutom tvungen att respektera om någon deltagare valde att avbryta (se bilaga 1).

Konfidentialitetskravet innefattade att namn på elever, lärare, skola m.m. inte kommer att nämnas och att de anteckningar och den bandinspelning som gjordes skyddas från obehöriga och kommer att förstördes efter studiens avslutande67. Kravet att insamlat material från undersökningen endast får användas i forskningsändamål omfattas av nyttjandekravet och innebär att material från min studie inte får användas i andra ändamål.

63 Christer Stensmo. Vetenskapsteori och metod – en introduktion. Uppsala: Kunskapsföretaget, 2002, s. 67-69.

64 Vetenskapsrådet. www.vr.se 30/12 2011, s. 5-6.

65 Ibid., s. 5-6.

66 Ibdl., s. 7-11.

67 Ibid., s. 12-14.

(18)

18 Genomförande

Datainsamling

Diagnosen, som användes som underlag vid urvalet av elever, genomfördes av alla eleverna i början av höstterminen och inledes med sex uppgifter med talmönster som testar elevens kunskaper i talmönster och tallinjen. Talmönsteruppgifterna bestod av tre ett-hopp varav ett framlänges och två baklänges, två två-hopp framlänges och ett fem-hopp framlänges.

Huvudräkningsuppgifterna bestod av åtta uppgifter, fem additionsuppgifter och tre subtraktionsuppgifter: Uppgift 1-3 omfattade kategorin grundläggande tabellkunskaper, uppgift 4-6 var uppgifter inom kategorin generaliseringar av tabellkunskap och slutligen var uppgift 7-8 huvudräkning med tvåtvåsiffriga termer eller huvudräkning med tre ensiffriga termer.

I min studie fick eleverna genomföra två test, ett test med uppgifter som testade elevens taluppfattning och ett test som testade elevernas huvudräkningsförmåga i addition och subtraktion (se bilaga 2). Taluppfattningstestet (benämnd som tal- och sifferskrivningstestet i uppsatsen) var framarbetat av Johansson och använt i tidigare undersökningar68. Testet innehöll uppgifter baserade på talmönster, både framåthopp och bakåthopp (två-hopp, fem-hopp och tre- hopp) samt talskrivningsuppgifter där eleven exempelvis skulle skriva talet femtusenåttahundranio med siffror. Detta test kunde eventuellt ge bakgrundsinformation om elevens prestation i huvudräkningstestet.

De åtta talen i huvudräkningstestet liknade de tal som ingick i diagnosen eleverna hade genomfört tidigare och kategoriserades därför på samma sätt: De tre första uppgifterna (3 + 8, 11 – 9 och 12 – 5) betecknas som grundläggande tabellkunskaper eftersom de ingått i de additionstabeller och subtraktionstabeller som eleverna förväntas lärt sig automatiserat. Uppgift 4 och 5 (70 – 40 och 60 + 80) kategoriserades som generaliserande tabellkunskaper och syftade till att testa om eleverna kunde generalisera sina tabellkunskaper om tiopotensen ändras. De tre sista uppgifterna i testet (55 – 53, 2 + 5 + 8 och 13 + 18) ingick i kategorin huvudräkning med tvåsiffriga termer respektive tre ensiffriga termer. Uppgiften 55 – 53 testade om eleven kunde upptäcka att differensen mellan termerna är liten eftersom de ligger nära varandra på talraden. De övriga två talen borde stimulera eleven att använda andra metoder än uppåträkning, då de räknar en i taget, eftersom den ena uppgiften består av tre termer som skulle adderas och den andra uppgiften bestod av tvåsiffriga termer.

68 Johansson, 2011, s. 9.

(19)

19 Intervjun med läraren skedde med ljudinspelning för att jag skulle kunna fokusera på frågorna och svaren och kunna få ordagrann information utifrån intervjun69. Vid elevintervjuerna skedde också ljudinspelningar men ljudkassetten gick senare sönder och ljudinspelningarna kunde därför inte användas vid analysen. Dock fördes löpande anteckningar vid varje elevintervju om elevens svar, val av huvudräkningsstrategier, val av största/första termen och om eleven använde fingrar.

Hur lång tid det tog (en till tre sekunder eller längre) för eleven att lösa uppgifterna, om de stegvis kunde berätta för mig hur uppgiften löstes och om de visade osäkerhet genom att ändrade sitt ursprungliga svar noterades också.

Intervjuguiden (se bilaga 3) som användes vid intervjun med läraren var uppdelad enligt olika teman där frågorna var utformade för att kunna ge svar till studiens problemställningar (innehåll), men även för att samtalet mellan mig och läraren skulle upplevas som levande (form)70.

Intervjun med läraren inleddes med några inledningsfrågor, frågor som omfattade enklare personupplysningar, avsikten med dessa var att skapa gott klimat71. Intervjun innehöll även flera uppföljningsfrågor för att ge läraren möjlighet att utveckla sina tankar och resonemang72. Även under intervjuerna med eleverna ställdes uppföljningsfrågor, exempelvis hur tänkte du när du löste uppgiften? Ställde även frågor som menade du att…?, vilket betraktas som tolkande frågor som syftar till att undersöka om intervjuaren tolkat den intervjuade korrekt73.

Både lärarintervjun och elevintervjuerna skedde enskilt i grupprum eller i skolbyggnadens kök för att intervjupersonerna skulle störas så lite som möjligt av omgivningen. Intervjupersonerna informerades om att mina test inte var något kunskapsprov, utan skulle ge mig värdefull information hur de tänker när de löser olika tal. Avsikten med detta var att eleverna inte skulle känna sig pressade eller nervösa.

Under själva intervjun fick eleven uppgifterna presenterade en och en för att skapa större fokus på uppgiften ifråga, de övriga uppgifterna var övertäckta med ett papper. Eleverna fick endast skriva sitt svar på pappret eftersom jag utgick från att huvudräkning sker utan hjälpmedel, dock fick de använda fingrarna till hjälp. Efter att de angivit sitt svar fick de frågan hur de kom fram till sitt svar. Eleverna fick tillåtelse att ändra sitt svar om de korrigerade det angivna svaret innan vi påbörjade nästa uppgift. I tal- och sifferskrivningstestet fick eleven först fortsätta sex talmönster, jag uppmärksammade dem på om det var framlängeshopp/baklängeshopp och om det var två-hopp, fem-hopp eller tre-hopp så inte missförstånd skulle ske på grund av att eleven inte läste utförligt vad som efterfrågades. Eleven fick sedan skriva ned fyra tal med siffror, talen presenterades muntligt en i taget.

69 Trost, 2010, s. 74.

70 Esaiasson m.fl., 2007, s. 298–299.

71 Esaiasson m.fl., 2007, 298.

72 Ibid, s. 298-299.

73 Ibid, s. 299.

(20)

20 Databearbetning

Första steget i analysstadiet av elevintervjuerna var att sammanfatta varje elevs prestation i huvudräkningstestet och taluppfattningstestet i fallstudier. I fallstudierna noteras deras svar, typer av fel, val av huvudräkningsstrategier, användning av största/första termen och om de använde hjälpmedel som sina fingrar. Även hur säker eleven upplevdes vara under huvudräkningstesten beskrevs, detta gjorde jag med hänsyn till hur snabbt de löste uppgifterna (inom 1-3 sekunder eller längre), om de ändrade sitt/sina svar och om de stegvis kunde berätta för mig hur de gick tillväga för att lösa uppgifterna. Informationen sammanfattades i tabeller för att göra beskrivningen mer överskådlig. Även elevens prestation i tal- och sifferskrivningstestet sammanfattades i fallstudierna. Nästa steg var att använda informationen för att kunna svara på frågeställningarna, detta krävde att jag försökte finna gemensamma strukturer ifrån de enskilda fallstudierna. Detta är ett vanligt sätt att analysera intervjumaterial, att gå från det enskilda till det mer generella genom att försöka finna övergripande mönster74.

För att kunna svara på den första frågeställningen, vilka strategier väljer eleverna för att lösa huvudräkningsuppgifterna och vad är strategiernas effektivitet, sammanställdes alla elevers val av strategier för de åtta olika huvudräkningsuppgifterna. Dessa uppgifter jämfördes med antalet fel eleverna fick när de använde de olika strategierna, på så sätt kunde strategiernas effektivitet beräknas. Både varje enskild strategis effektivitet och strategikategoriernas gemensamma effektivitet jämfördes därefter med varandra. (Beskrivning av de strategikategorier jag använt och de strategier eleverna valde att använda finns i Litteraturöversikten.)

Därefter studerades elevernas fel i huvudräkningstestet mer ingående för att kunna svara på frågeställningen vilka typer av fel som eleverna hade i huvudräkningsuppgifterna. Felen analyserades i förhållande till de feltyper jag beskrivit (i Litteraturöversikten). Feltyperna granskades sedan om de relaterade till uppgiften ifråga och elevens val av strategi.

För att undersöka sambandet mellan elevernas färdigheter i talmönster och talskrivning med deras prestation på huvudräkningsuppgifterna jämfördes elevernas resultat i tal- och sifferskrivningstestet med deras resultat i huvudräkningstestet. Elevernas andel rätt i talmönsteruppgifterna sammanställdes med deras antal rätt i huvudräkningstestet, antal gånger de väljer att använda räkne- respektive hoppstrategier samt deras fel av räknetyp och positionstyp.

Detta jämfördes med elevernas resultat i talmönsteruppgifterna och huvudräkningsuppgifterna från den diagnos jag använde som underlag för att välja ut eleverna. Avsikten med detta är att undersöka om resultaten från diagnosen stämmer överens med de resultat jag fått fram från mina test. Materialet från diagnosen medförde bara att en jämförelse mellan elevernas resultat i talmönsteruppgifterna och deras resultat i huvudräkningsuppgifterna var möjligt. Vilken strategi eleverna hade valt att använda och vilken typer av fel de hade finns ingen information om.

74 Esaiasson m.fl., 2007, s. 306.

(21)

21 Även elevernas andel rätt på talskrivningen jämfördes med deras antal fel i huvudräkningstestet, val av strategi och typ av fel. Avsikten med alla dessa jämförelser är att kunna testa Johanssons och Wirths teorier om sambandet mellan elevers taluppfattning och huvudräkningsförmåga75.

För att undersöka hur elevernas färdigheter i räknelagar förhöll sig till deras prestation på huvudräkningsuppgifterna gjordes en liknande jämförelse som de två ovannämnda. Denna gång jämfördes dock elevernas val att använda största termen i de fyra additionsuppgifterna med antalet fel, val av strategi och typ av fel. Detta för att testa Löwings och Kilborns teorier om att kunnande om räknelagar har betydelse för att utveckla god huvudräkningsförmåga och att elever väljer effektiva huvudräkningsstrategier76. Med effektiva huvudräkningsstrategier syftar Löwing och Kilborn på de strategier som har de enklaste deloperationerna och som är minst belastande för arbetsminnet77. I denna studie tillhör hoppstrategierna effektiva strategier samtidigt som räknestrategier tillhör de ineffektiva strategierna.

Slutligen, för att svara på frågeställningen om elevernas prestation i huvudräkning kan förklaras av undervisningen analyserades lärarintervjun på följande sätt: Lärarens uttalanden om tankarna kring huvudräkning, metodval i undervisningen, val av huvudräkningsstrategier, läromedlet och stöd för elever med svårigheter relaterades till elevernas prestationer i huvudräkningstestet. Detta med avseende på elevernas val av strategi, användning av kommutativa lagen, antal fel och orsak till felen.

Reflektion över metoden

Grundidén med studien var att intervjuerna skulle kompletteras med en läromedelsanalys för att analysera om läromedlets innehåll och upplägg kunde påverka elevernas val av strategier och tankesätt när de löste uppgifterna med huvudräkning. Efter att ha granskat läromedlet fann jag dock att de sidor eleverna arbetat med i läromedlet inte behandlade huvudräkning i någon annan form än tabellträning. Därför ansåg jag att läromedelsanalys inte skulle tillföra studien information som skulle kunna förklara resultaten.

Validitet betyder giltighet och betonar att forskarens frågor mäter det som ska mätas i så stor utsträckning som möjligt78. Jag anser att testen jag utformat prövar elevernas taluppfattningsförmåga och huvudräkningsförmåga eftersom de båda är inspirerade från test som är utarbetade för diagnostisera elevernas taluppfattningsförmåga respektive huvudräkningsförmåga i årskurs tre. För att förstärka validiteten i mina resultat från testet som genomfördes jämfördes resultaten med vad eleverna presterade i den tidigare genomförda diagnosen.

75 Johansson & Wirth, 2007, s. 7-34.

76 Löwing & Kilborn, 2009, s. 11-74.

77 Ibid., s. 14.

78 Trost, 2010, s. 133.

(22)

22 Observation av undervisningen hade kunnat höja validiteten vad gäller hur undervisningen kunnat påverka elevernas prestationer, läraren har dock varit mycket uppriktig i intervjun och kunnat ge förklaringar till hur undervisningen kunnat påverka elevernas resultat.

Ett av det ställningstagande som jag fått ta hänsyn till under intervjuerna med eleverna var att de genomfördes på samma sätt eftersom kongruens är en komponent i reliabilitetsbegreppet79. Detta innebar i min studie att eleverna fick samma instruktioner och testfrågor, uppgifterna genomfördes dessutom i samma ordning av alla elever. Eleverna hade även möjlighet att fråga om det var något de var osäkra på under tiden testen pågick.

Under elevintervjuerna vistades vi i olika rum beroende på vad som fanns tillgängligt för tillfället, det var dels två olika grupprum och dels byggnadens kök, alla dessa rum låg avskilt men det hände att elever kunde gå in i köket samtidigt som jag intervjuade någon elev. Detta kan ha stört eleven jag intervjuade, dock tror jag inte att dessa elever stördes i så stor omfattning at deras resultat påverkades. Även precision hör till reliabilitetsbegreppet och innebär att jag som intervjuare måste kontrollerna noga om mina uppfattningar stämmer överens med vad eleverna eller läraren uttalat80. Därför var jag noga med att ställa tolkande frågor om något var oklart vid både lärarintervjun och elevintervjuerna, trots detta finns risker att missförstånd kan ha skett.

Att ljudkassetten blev förstörd så jag inte kunde avlyssna elevernas svar efteråt kan ha bidragit till att jag missat eller missförstått deras utsagor vid huvudräkningsuppgifterna. Jag var dock mycket noga med att föra anteckningar under intervjuerna så jag anser att förlusten av ljudinspelningen inte påverkar mitt resultat.

Detta är en fallstudie med relativt litet urval vilket medför det inte går att dra generella slutsatser om vad som påverkar elevers huvudräkningsförmåga. Dock anser jag att resultaten från studien generellt stämmer överens med studier från bland annat Johansson & Wirth, Johansson, Foxman & Beishuizenoch Beishuizen, vilket bidrar till att mina resultat kan anses få högre extern validitet81,82,83,84. Förklaringen till antagandet är att jag bedömer att om mina resultat överenskommer med studier från olika länder och med ett annat urval av barn/elever kan detta tolkas som att studiens resultat delvis är generaliserbara till andra situationer och sammanhang85.

79 Trost, 2010, s. 131.

80 Trost, 2010, s. 132.

81 Johansson & Wirth, 2007, s. 7-34.

82 Johansson, 2011, s. 9-37.

83 Foxman & Beishuizen, 2002, s. 41-69.

84 Beishuizen, 2001, s. 119-130.

85 www.socialstyrelsen.se, 13 januari 2011.

(23)

23

Resultat och analys

Elevintervjuerna – Fallstudie

I första delen av resultat- och analysavsnittet följer ett fallstudieupplägg där varje enskild elevs tillvägagångssätt och resultat redovisas i detalj.

Elev 1

Eleven hade rätt på alla åtta uppgifter i huvudräkningstestet och klarade tal- och sifferskrivningsestet med endast ett fel, vilket gjordes på ett tre-hopp, baklänges. Eleven var osäker på uppgift 6 (55 – 53) i huvudräkningstestet där eleven valde att använda strategin talsorter och svarade först att svaret skulle bli 5. Eleven gjorde dock en rimlighetsbedömning och såg att svaret inte stämde och efter att ha redovisat sin beräkning korrigerade eleven sitt svar och fick rätt.

Tabell 1: Tabell som visar vilken strategi elev 1 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Tiokamrater, största termen -

2 (11 – 9) 2 Egentliga hoppmetoden -

3 (12 – 5) 7 Egentliga hoppmetoden -

4 (70 – 40) 30 Tabellkunskap -

5 (60 + 80) 140 Egentliga hoppmetoden, största termen -

6 (55 – 53) 2 (5)* Talsorter -

7 (2 + 5 + 8) 15 Tiokamrater, största termen -

8 (13 + 18) 31 Talsorter, största termen -

*Eleven ändrade sitt svar efter att ha redovisat sin räknestrategi

Vid alla fyra uppgifter som rörde addition, det vill säga uppgift 1 (3 + 8), 5 (60 + 80), 7 (2 + 5 + 8) och 8 (13 + 18) utgick eleven från största termen. Eleven använde sig huvudsakligen av hoppstrategier (6 av 8 uppgifter), i tre av dessa uppgifter använde eleven egentliga hoppmetoden.

Det var i uppgift 2 där eleven omvandlade subtraktionen 11 – 9 till (11 – 1) – 8, i uppgift 3 omvandlade eleven 12 – 5 till (12 – 2) – 3 och i uppgift 5 omvandlade eleven additionen 60 + 80 till (80 + 20) + 40. Vid två av uppgifterna använde eleven tiokamrater, i uppgift 1 såg eleven att additionen 3 + 8 kan omvandlas till (8 + 2) + 1 och i uppgift 7 omvandlade eleven talet 2 + 5 + 8 till (2 + 8) + 5. Uppgift 4 (70 – 40) använde eleven sin tabellkunskap och konstaterade om 7 – 4

(24)

24

= 3 måste 70 – 40 bli 30. När eleven löste uppgift 6 och 8 använde den strategin talsorter, i det första fallet genom att 55 – 53 subtraherades talsortsvis, först tiotalen (50 – 50) och därefter entalen (5 – 3). I uppgift 8 (13 + 18) adderade eleven talsortsvis genom att utgå från första termen, det vill säga (10 + 10) + (8 + 3).

Med undantag från uppgift 6 verkade eleven säker hur den skulle gå tillväga för att lösa uppgifterna eftersom den löste varje uppgift inom ett par sekunder och kunde stegvis berätta hur uppgifterna löstes. Eleven valde huvudsakligen att använda hoppstrategier, men även talsortsstrategin och tabellkunskap. Ingen uppgift löstes dock med räknestrategier. Eleven tycks behärska den kommutativa lagen eftersom eleven utgick ifrån den största termen i alla fyra additionsuppgifterna. Eleven ansågs vara en av de elever som var kunnigast i matematik utifrån det den diagnos som använts som underlag för urvalet, i diagnosen klarade eleven alla sex talmönsteruppgifter och alla åtta huvudräkningstal.

Elev 2

Elev 2 hade rätt på alla åtta huvudräkningsuppgifter, men hade ett fel på tal- och sifferskrivningstestet, vilket var ett fel på tre-hopp framlänges. Eleven utgick från största termen i alla additionsuppgifterna och utnyttjade hoppstrategier i hälften av uppgifterna: I uppgifterna 1 (3 + 8) och 7 (2 + 5 + 8) använde eleven tiokamrater och i uppgifterna 3 (12 – 5) och 5 (60 + 80) använde eleven strategin egentliga hoppmetoden. Strategin talsorter utnyttjades i uppgift 6 (55 – 53) och i uppgift 8 (13 + 18).

Tabell 2: Tabell som visar vilken strategi elev 2 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Tiokamrater, största termen -

2 (11 – 9) 2 Tabellkunskap -

3 (12 – 5) 7 Egentliga hoppmetoden -

4 (70 – 40) 30 Tabellkunskap -

5 (60 + 80) 140 Egentliga hoppmetoden, största termen -

6 (55 – 53) 2 Talsorter -

7 (2 + 5 + 8) 15 Tiokamrater, största termen -

8 (13 + 18) 31 Talsorter, största termen -

I uppgifterna 6 (55 – 53) och 8 (13 + 18) använde eleven strategin talsorter på samma sätt som elev 1 genom att först addera tiotal och därefter ental. Uppgift 2 (11 – 9) löste eleven med tabellkunskap. Eleven använde även strategin för att lösa uppgiften 4 (70 – 40) då den generaliserade sin kunskap att om 7 – 4 = 3 måste 70 – 40 =30. Vid uppgifterna 1 (3 + 8) och 7

(25)

25 (2 + 5 + 8) tänkte eleven på samma sätt som elev 1 och använde strategin tiokamrater. Även uppgifterna 3 (12 – 5) och 5 (60 + 80) löstes på samma sätt som elev 1 med egentliga hoppmetoden.

Eleven svarade på uppgifterna inom några sekunder, var säker i sitt val av strategi och kunde förklara utförligt hur uppgifterna löstes stegvis. Eleven valde att lösa uppgifterna med hoppstrategier, tabellkunskap och talsortsstrategin, men använde inga räknestrategier. Precis som elev 1 tycks även denna elev behärska den kommutativa lagen eftersom den utgick från den största termen i alla fyra additionsuppgifterna. Även denna elev hade klarat alla talmönsteruppgifter och huvudräkningsuppgifter i den tidigare genomförda diagnosen.

Elev 3

Elev 3 klarade huvudräkningstestet med ett fel på uppgift 6 (55 - 53) där talsortsstrategin användes, samma strategi användes även i uppgift 8 (13 + 18). Eleven hade två fel på tal- och sifferskrivningstestet (båda på tre-hopp baklänges). Eleven använder sig av räknestrategin uppräkning vid uppgifterna 1 (3 + 8), 5 (60 + 80) och 7 (2 + 5 + 8) där den räknade upp en-och- en. Eleven utnyttjade även hoppstrategierna baklänges med plus i uppgift 2 (11 – 9) och förenklingar i uppgift 3 (12 – 5). I uppgift 4 (70 – 40) använde eleven strategin tabellkunskap.

Tabell 3: Tabell som visar vilken strategi elev 3 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Uppräkning, största termen -

2 (11 – 9) 2 Baklänges med plus -

3 (12 – 5) 7 Förenklingar -

4 (70 – 40) 30 Tabellkunskap -

5 (60 + 80) 140 Uppräkning, tioskutt, största termen -

6 (55 – 53) 52 Talsorter Övrigt

7 (2 + 5 + 8) 15 Uppräkning, största termen -

8 (13 + 18) 31 Talsorter, största termen -

I uppgift 1 (3 + 8) och 5 (60 + 80) utgick eleven från största termen och utgick därför från termen 8 respektive 80 när den adderade ett ental respektive ett tiotal i taget. Även i uppgift 7 (2 + 5 + 8) utgick eleven från största termen 8 som adderades med termen 5 en-och-en, därefter adderades svaret 13 med 2. För att lösa uppgift 2 (11 – 9) adderade eleven differensen mellan talen 11 och 9, vilket omfattar strategin baklänges med plus. I uppgift 3 (12 – 5) använde eleven strategin förenklingar genom att omvandla 12 – 5 till (10 – 5) + 2. Både i uppgifterna 6 (55 – 53) och 8 (13 + 18) användes strategin talsorter där eleven först subtraherade/adderade tiotalen och

(26)

26 sedan entalen: 55 – 53 = 50 – 50 + 5 – 3 respektive 13 + 18 = 10 + 10 + 3 + 8. Eleven fick rätt svar på uppgift 8 men uppgift 6 svarade eleven 52, trots att den räknade ut att tiotalen tog ut varandra.

Eleven växlade mellan att använda räknestrategier med hoppstrategier, talsortsstrategin och tabellkunskap och precis som elev 1 och 2 tycks eleven behärska den kommutativa lagen. Dock använder eleven uppräkning vid tre av fyra additionstal och räknar då en-och-en och hade svårigheter vid tre-hopp baklänges. Elevens svar på uppgift 6 tyder på att eleven inte ser att differensen mellan talen är liten. Eleven hade i den tidigare genomförda diagnosen fem rätt av sex möjliga på talmönsteruppgifterna och på huvudräkningstalen hade eleven fyra av sex rätt.

Elev 4

Elev 4 klarade huvudräkningstestet med ett fel och var den enda eleven som klarade hela tal- och sifferräkningstestet utan några fel. Eleven använder sig huvudsakligen av hoppstrategierna tiokamrater (uppgift 1), egentliga hoppmetoden (uppgift 2) och förenklingar (uppgift 3, 5, 7 och 8). Eleven valde att lösa uppgift 6 med talsorter och uppgift 4 löstes med tabellkunskap.

Tabell 4: Tabell som visar vilken strategi elev 4 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Tiokamrater, största termen -

2 (11 – 9) 2 Egentliga hoppmetoden -

3 (12 – 5) 7 Förenklingar -

4 (70 – 40) 30 Tabellkunskap -

5 (60 + 80) 140 Förenklingar -

6 (55 – 53) 2 Talsorter -

7 (2 + 5 + 8) 15 Förenklingar -

8 (13 + 18) 29 Förenklingar Övrigt

Förenklingar var den strategi eleven använde flitigast, det var också när eleven använde den strategin som ett fel uppstod. Det var i den sista uppgiften då eleven valde att omvandla 13 + 18 till 18 + 18 för att sedan subtrahera överflödet (18 – 13 = 5), dock uppstod problem i detta steg då eleven räknade ut att summan för ekvationen skulle bli 7. Eleven räknade med andra ord att 18 + 18 = 36 och att 36 – 7 = 29. I två av de övriga tre uppgifterna där eleven räknade med förenklingar var i uppgift 5 (60 + 80) där elevens strategi var att addera dubblorna 60 + 60 för att sedan addera återstoden 20 och uppgift 7 (2 + 5 + 8) där eleven först tänkte (2 + 5) + 8 = 7 + 8 vilket den tyckte löstes enklast genom ekvationen (8 + 8) – 1. I uppgift 3 (12 – 5) valde eleven, precis som elev 3, att omvandla till (10 – 5) + 2.

(27)

27 Uppgift 1 omvandlade eleven 3 + 8 till tiokamrater och i uppgift 2 använde eleven egentliga hoppmetoden genom att omvandla 11 – 9 till (11 – 1) – 8. Eleven använde strategin tabellkunskap i uppgift 4 (70 – 40) på samma sätt som elev 1 och i uppgift 6 (55 – 53) använde eleven strategin talsorter på samma sätt som eleverna 1 och 2.

De flesta uppgifterna räknades ut inom några sekunder, eleven var säker i sitt val av strategi och kunde stegvis berätta hur uppgifterna löstes. Eleven visade att tabellkunskaperna var goda, exempelvis kunde eleven utan svårigheter räkna ut summan av dubblorna 8 + 8, 18 + 18 och 60 + 60. Eleven hade inte heller några fel vid talmönsteruppgifterna. Elevens felaktiga svar på uppgift 8 kan vara ett tecken på att eleven inte känner till tillräckligt med strategier eller inte varierar de strategier den behärskar. I den tidigare genomförda diagnosen hade eleven alla rätt på talmönsteruppgifterna och sju av åtta rätt på huvudräkningsuppgifterna.

Elev 5

Denna elev hade fyra fel på de åtta uppgifterna och hade även svårigheter på tal- och sifferskrivningstestet där eleven hade ett fel på två-hopp baklänges, samtliga fel på tre-hopp baklänges (verkade tänka två-hopp trots att det var tre-hopp) och hade svårigheter att skriva talet 5809 (skrev 5000809).

Tabell 5: Tabell som visar vilken strategi elev 5 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Uppräkning, största termen -

2 (11 – 9) 1 Ta bort Räknefel

3 (12 – 5) 6 Ta bort Räknefel

4 (70 – 40) 30 Ta bort -

5 (60 + 80) 114 Uppräkning Positionsfel

6 (55 – 53) 52 Talsorter Övrigt

7 (2 + 5 + 8) 15 Tiokamrater -

8 (13 + 18) 31 Uppräkning -

Eleven använde sig huvudsakligen av räknestrategier som uppräkning vid additionsuppgifterna 1 (3 + 8), 5 (60 + 80) och 8 (13 + 18) och ta bort vid subtraktionsuppgifterna 2 (11 – 9), 4 (70 – 40) och 3 (12 – 5). Vid alla dessa uppgifter räknade eleven upp respektive ned ett tal i taget med hjälp av fingrarna. Eleven använde även hoppstrategin tiokamrater för att lösa uppgift 7 (2 + 5 + 8 = (2 + 8) + 5) och vid uppgift 6 (55 – 53) utnyttjade eleven strategin talsorter, där tiotalen subtraherades först och därefter entalen (50 – 50, 5 – 3). Två av de fel eleven fick i huvudräkningstestet var i subtraktionsuppgifterna 2 (11 – 9) och 3 (12 – 5), i både uppgifterna

(28)

28 räknade eleven bort ett ental för mycket. Vid uppgift 6 (55 – 52) klarade eleven subtraktionerna med tiotalen och entalen, men nästa steg, att sammanföra de båda summorna, svarade eleven 52 trots att den räknat ut att tiotalen försvann. I uppgift 5 (60 + 80) där eleven omvandlade tiotalen till ental (8 + 6) för att additionen skulle upplevas enklare. Eleven klarade av att addera termerna och fick svaret 14, men när eleven skulle ta hänsyn till att termerna ursprungligen var tiotal uppstod problem. Elevens svar blev 114 eftersom eleven trodde att lösningen var att addera 100 med 14.

Eleven behövde mycket tid på sig i de båda testet. I huvudräkningstestet dominerade användningen av räknestrategier och eleven använde ofta sina fingrar till hjälp, eleven hade även ha svårigheter med baklängeshopp. Eleven verkade även ha svårt att förstå positionssystemets uppbyggnad med tanke på felen eleven gjorde i uppgifterna 5 och 6 och svårigheten att skriva talet 5809 där tusentalet fick en position som gjorde den till miljontal. Elev tycks inte heller kunna rimlighetsbedöma sina svar. Vid additionsuppgifterna utnyttjades endast den kommutativa lagen vid ett tal, resterande additionsuppgifter använde eleven den första termen. I den tidigare genomförda diagnosen fick eleven det lägsta resultatet, med endast ett rätt av de sex talmönsteruppgifterna och två rätt av de åtta huvudräkningsuppgifterna.

Elev 6

Eleven klarade huvudräkningstestet utan fel och tal- och sifferskrivningstestet med ett fel (tre- hopp baklänges) och använde sig av räknestrategin uppräkning vid alla additionsuppgifterna (uppgift 1, 5, 7 och 8) där den tog hjälp av fingrarna. Eleven utnyttjade även hoppstrategin baklänges med plus (uppgift 2 och 3) och vid uppgift 6 använde eleven talsorter. Uppgift 4 löste eleven, precis som eleverna 1-4, genom tabellkunskap.

Tabell 6: Tabell som visar vilken strategi elev 6 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Uppräkning, största termen -

2 (11 – 9) 2 Baklänges med plus -

3 (12 – 5) 7 Baklänges med plus -

4 (70 – 40) 30 Tabellkunskap -

5 (60 + 80) 140 Uppräkning, största termen, tioskutt -

6 (55 – 53) 2 Talsorter -

7 (2 + 5 + 8) 15 Uppräkning -

8 (13 + 18) 31 Uppräkning, största termen -

(29)

29 Vid både uppgifterna 1 (3 + 8), 5 (60 + 80) och 8 (13 + 18) utnyttjade eleven den kommutativa lagen och utgick från den största termen, eleven räknade i alla uppgifterna ett ental i taget (i uppgift 5 ett tiotal i taget). I uppgift 7 (2 + 5 + 8) räknade eleven inte från största termen, istället adderades 2 med 5, summan 7 adderades därefter med 8 genom att eleven räknade en- och-en från första termen. I uppgift 2 (11 – 9) insåg eleven att differensen mellan talen var låg, därför använde eleven baklänges med plus istället för att ta bort, uppgift 3 (12 – 5) var differensen mellan termerna större, men eleven valde ändå samma strategi. Strategin talsorter användes i uppgift 6 (55 – 53) precis som eleverna 1, 2 och 4.

Trots att eleven använder många räknestrategier och tog hjälp av fingrarna klarade eleven båda testen med endast ett fel. Eleven använder även tabellkunskap, hopp- och talsortsstrategier och utnyttjar den kommutativa lagen i tre av fyra additionstal och tycks ha förmåga att exempelvis se att differensen är liten i talet 11 – 9. I den tidigare genomförda diagnosen klarade eleven endast lite mer än hälften av talmönsteruppgifterna (fyra av sex) och sex av huvudräkningsuppgifterna.

Elev 7

Elev 7 hade ett fel på uppgift 4 (70 – 40) på huvudräkningstestet och tre fel på tal- och sifferskrivningstestet (ett på tre-hopp framlänges och två på tre-hopp baklänges). Eleven valde att använda räknestrategierna ta bort eller uppräkning vid de första fem talen. Vid uppgift 7 använde eleven hoppstrategin förenklingar och uppgifterna 6 och 8 löste eleven med strategin talsorter.

Tabell 7: Tabell som visar vilken strategi elev 7 valde för att lösa uppgifterna, vilket svar eleven fick och vad eventuella fel orsakades av.

Uppgift Svar Strategi Feltyp

1 (3 + 8) 11 Uppräkning, största termen -

2 (11 – 9) 2 Ta bort -

3 (12 – 5) 7 Ta bort -

4 (70 – 40) 10 Ta bort Räknefel

5 (60 + 80) 140 Uppräkning, största termen, tioskutt -

6 (55 – 53) 2 Talsorter -

7 (2 + 5 + 8) 15 Förenklingar -

8 (13 + 18) 29 Talsorter -

I uppgifterna 1 (3 + 8) och 5 (60 + 80) löste eleven med hjälp av uppräkning (ett ental eller tiotal i taget) från största termen. Vid uppgifterna 2 (11 – 9) och 3 (12 – 5) använde eleven strategin ta bort och tog bort ett ental i taget. Även i uppgift 4 (70 – 40) användes strategin ta bort, eleven räknade då ner två tiotal för mycket.

References

Related documents

 Om nej på föregående fråga, vilka åtgärder tror ni behövs för att en bostad skall kunna fungera som ett kvarboende?..

[r]

Tabellövningar – addition, subtraktion och multiplikation Läxa 1. 36 1.3 Multiplikation

34 Presentation av Beta och innehållet i stort. Repetition av några

Spelpjäsen flyttas lika många steg som tärningen visar.. Om det är ett jämnt tal flyttas spelpjäsen

fortsättningen välja mellan att låta alla tre ligga kvar eller flytta en till en ledig ruta – med rätt produkt.. D Vinner gör den som först får sina tre knappar

Två klasskamrater vill smaka, så Olivia delar upp vindruvorna så att de får lika många... När man delar ett tal med ett annat tal kallas det

Genom arbetet med Wendick-modellen blev eleverna uppmärksammade på sambandet mellan räknesätten och subtraktion upplevdes inte svårare än addition efter ett tag