R. Mattson. Lärobok i algebra för gymnasiet I I , a n d r a u p p l . ( S t o c k h o l m , P . A . N . & S . ; p r i s 3 : 2 5 . )

R. Mattson. Lärobok i algebra för gymnasiet I I , a n d r a u p p l . ( S t o c k h o l m , P . A . N . & S . ; p r i s 3 : 2 5 . )

D e l e n b ö r j a r m e d e k v a t i o n e r av h ö g r e g r a d t a l ( ä n a n d r a ) ;

i f ö r s t a h a n d e k v a t i o n e r a v f o r m e n x

+ ax

=t>, v i l k a förf. k a l l a r

b i k v a d r a t i s k a , en b e n ä m n i n g , s o m v ä l t i l l k o m m e r v a r j e e k v . a v

f j ä r d e g r a d e n . P å f ö r s t a s i d a n får e l e v e n v e t a , att e n f j ä r d e -

g r a d s e k v . k a n h a e n , t v å , tre, f y r a e l l e r i n g a r ö t t e r , m e n tio

s i d o r l ä n g r e fram att, g e n o m u t s t r ä c k a n d e a v b e g r e p p e t tal till

att o m f a t t a de i m a g i n ä r a t a l e n , en a n d r a g r a d s e k v . a l l t i d får 2

r ö t t e r , en f j ä r d e g r a d s e k v . 4 o. s. v. I v i s s m å n b l i r det a l l t i d

en s m a k f r å g a , n ä r i m a g i n ä r a o c h k o m p l e x a tal s k o l a i n f ö r a s i

u n d e r v i s n i n g e n , m e n att m a n ej k a n u n d v i k a d e m , å t m i n s t o n e

p å r e a l l i n j e n , ä r u p p e n b a r t . M i g t y c k s det v a r i t l ä m p l i g a r e l å t a

å r s k u r s e n b ö r j a m e d d e n k o r t f a t t a d e f r a m s t ä l l n i n g e n av i m a g i n ä r a

k v a n t i t e t e r , s å h a d e m a n s l u p p i t det u n d e r l i g a k u r s i v e r a d e p å -

s t å e n d e t : » e n f j ä r d e g r a d s e k v a t i o n k a n h a v a c/i, två, tre, fyra e l l e r

inga r ö t t e r » . B l a n d l ö s n i n g s m e t o d e r för ekv. a v h ö g r e g r a d t a l

u p p t a g a s t v å a v ö v e r v ä g a n d e p r a k t i s k n a t u r : d e n g r a f i s k a meto-

den o c h m e t o d e n att g e n o m p r ö v n i n g b e s t ä m m a e n e l l e r flera

h e l t a l s r ö t t e r . B e t r ä f f a n d e den s e n a r e a n f ö r e s , alt m a n k a n visa,

att e n ekv. a v f o r m e n x

+p

x

~

+ fi

x

~

+ • • • + f

— o m e d

h e l t a l s k o e f f i c i e n t e r ej satisfieras a v a n d r a r a t i o n e l l a tal ä n s å d a n a

h e l a t a l , som g å j ä m n t u p p i p

- D å b e v i s e t ä r e n k e l t , k u n d e

det g ä r n a h a bifogats. V i s s e r l i g e n ä r d e n f ö r e s k r i v n a k u r s e n

A N M Ä L N I N G A R OCH R E C E N S I O N E R

53 omfattande n o g som den är, men läraren behöver j u ej fordra att alla elever skola kunna allt vad läroboken innehåller — det göra de ej i alla fall — ; något litet bör väl få tillfogas t i l l för- mån för de få som visa speciellt intresse för ämnet.

Den i boken föregående grafiska metoden börjar med kon- struktion av k u r v a n y=x

—5 x

+ 4 . Det kan n o g vara lämp- ligt att inleda en ny metod med en uppgift, som kan behandlas även med förut bekanta metoder; dessutom bör givet en fjärde- grads funktion uppritas för att på åskådligt sätt visa, huruledes rötternas beskaffenhet k a n ändras genom förflyttning av A-axeln, d. v. s. ändring av den bekanta termen, under det övriga koeffi- cienter få förbli oförändrade. Däremot är det nog ett missgrepp, att de följande övningsuppgifterna äro sådana, att de lösas enklare på annat sätt. N : o 8 8 7 . x*—5 A- — 6 — 0 . M a n ser genast, att ekv. har rötterna — r och 2, varpå den, förutsatt kännedom om komplexa kvantiteter, kan lösas fullständigt. 8 8 8 . x'

- f x

—

—$x

+ x— 6 = 0 kan behandlas på samma sätt, eller ock så, att man skriver o m ekv. t i l l : x

—1 — 5 (x

+ 1) + x(x

- f r ) = o;

således: (x

1) (x

-\-x—6) = o. 8 8 g . x*—6x* + 24X—16 = 0 skrives: x*—16—6x(x

—4)=o; således: (x

—4)(.v

—6A- + 4 ) = O . 8 g I . »En rektangulär pappskivas kanter äro 8 d m . och 10 d m . U r hörnen skola utskäras kvadrater, så att man efter kanternas uppvikande får en papplåda med 4 8 d m .

v o l y m . H u r u stora böra sidorna i kvadraten väljas? — Antages kvadratens sida vara x d m . , får man en ekvation, som efter hyfsning får utseendet .r

— c)x

+ 20X—12 = 0.» M a n ser genast roten x=i, varefter ekv. reduceras t i l l en andragrads ekv. Ännu enklare är att under hyfsningen skriva ekv. under formen: x{a\—.v) (5 — x) = 12, där rötterna 1, 2 och 6 kunna direkt avläsas, varjämte ekv. utan vidare anger, att den stereometriska uppgiften fordrar: A : < 4 .

8 g 2 . x

— 2 . v — 4 = O ( A ~ = 2 ) . 8 9 3 . x

— 3 X

+ 4 = o (x = — 1 ) . 8 9 4 . x

+ $x

— x — 3 = o („v = 1). 8 9 5 . x''—7 x + 6 = o (x = 1 ) . Anpassade för den grafiska metoden äro således endast de båda uppgifterna 8 9 0 och 8 9 6 . Skall eleven tillhållas att lösa alla de övriga grafiskt, så bibringas han den uppfattningen, att denna praktiska metod är synnerligen opraktisk.

Närmast följer en avdelning planimetri, därvid j a g särskilt fäst m i g v i d att förf. funnit en enkel härledning av förhållandet, u t t r y c k t i sidorna, mellan en inskrivbar fyrhörnings diagonaler.

Beträffande sambandet mellan en körda, K, för en cirkelbåge,

kordan, k, för halva bågen och cirkelns radie, r, vill jag i för-

bigående nämna, att j a g för min del funnit det bekvämast att,

när k skall uttryckas som funktion av r och A', använda E u k l .

2 5 4 A N M Ä L N I N G A R OCH R E C E N S I O N E R

I I : 13 på en likbent triangel med r som sida och k som bas, varvid omedelbart fås:

Skall åter K framställas som funktion av r och k, uttrycker man på två sätt dubbla ytan av samma triangel och får dä direkt:

M e n metoderna därvidlag äro många, och alla sätt äro bra, utom de tråkiga.

Nästa avdelning behandlar ekvationssystem med ekvationer av högre gradtal. Här äro naturligtvis diagram på sin plats;

eleven får ock, med enkla sifferexempel, göra förberedande be- kantskap med cirkel, ellips och hyperbel, samt även skärning dem emellan och med räta linjer. Bland övningsexemplen före- kommer ett (n:o 1 0 6 1 ; skärning mellan cirkel och parabel; 2 reella skärningspunkter), som på skolstadiet beträffande det irratio- nella rotsystemet ej kan behandlas annat än grafiskt; här fås ett gott exempel på denna metods användbarhet, då k u r v o r n a lätt konstrueras och skära varandra under stora vinklar.

Därpå följer en k o r t redogörelse för Newtons binomialteo- rem, med »Pascals triangel». Någon härledning av det allmänna fallet ges naturligtvis ej här; den fås som bekant enklast som en användning av »läran om derivatan».

Nästa avdelning behandlar digniteter, rötter och potenser, och i samband därmed behandlas eller omnämnas sädana kurvor

4

som y—x?,y—x*,y=Vx och begreppet invers funktion. — N:o 1 1 2 2 lyder: »a) V a d blir enligt lagarna för räkning med

n n

digniteter värdet av x

, om x är=Va-V];} b) H u r kan den erhållna likheten omskrivas enligt definitionen på en rot? — A v föregående exempel erhålles lagen för multiplikation av rötter:

rt ii n

Va. Vl> — Val'.» D e t t a anfört endast som exempel på en egen-

domlighet, som förekommer på upprepade ställen, särskilt i denna

och följande avdelning, om logaritmer, nämligen att läroboken

preparerar läxan i st. f. att k o r t och gott ge bevis. Preparation

bör väl vara lärarens sak. — Nederst å sid. 2 1 3 läses: »Potensen

2

f å r ( s å l e d e s ) s a m m a v ä r d e f ö r t. ex. x — - , * = = » - o c h . r —

^ .

2 4 ^ 48

O m m a n s k r i v e r y— 2*, b l i r d ä r f ö r y e n f ö r a l l a b r å k v ä r d e n p ä

x o t v e t y d i g t (entydigt) b e s t ä m d f u n k t i o n av x*. A t t det a n f ö r d a ( m e d s t ö d av ex. 116g) s k u l l e u t g ö r a n å g o t b e v i s f ö r att expo- n e n t i a l f u n k t i o n e n ä r e n t y d i g , k a n j a g ej f i n n a ; d ä r e m o t f r a m g å r d e t t a m e d all ö n s k v ä r d t y d l i g h e t a v d e n p å f ö l j a n d e s i d a u p p - r i t a d e k u r v a n i - = 2*. D e n n a k u r v a s k u l l e j a g velat se u p p r e p a d i n ä s t a a v d e l n i n g t i l l s a m m a n s m e d k u r v a n f ö r d e n i n v e r s a funk- t i o n e n

l o g x, n å g o t s o i n j a g funnit b i d r a g a till att k l a r a l o g a r i t m - b e g r e p p e t , v i l k e t p l ä g a r e r b j u d a n y b ö r j a r e n en d e l s v å r i g h e t e r . D ä r e m o t t o r d e det v ä l k n a p p a s t v a r a n å g o n v ä s e n t l i g f ö r e n k l i n g att, s o m förf. g ö r , b ö r j a m e d att d e f i n i e r a l o g a r i t m e r som e n b a r t r o - l o g a r i t m e r f ö r att l ä n g r e fram ö v e r g å till det a l l m ä n n a fallet.

K u r s e n a v s l u t a s m e d e x p o n e n t i a l - o c h l o g a r i t m - e k v a t i o n e r samt n å g r a h i s t o r i s k a n o t i s e r o m l o g a r i t m e r n a s f ö r s t a i n f ö r a n d e i m a t e m a t i k e n , j ä m t e e n k o r t r e d o g ö r e l s e f ö r r ä k n e s t i c k a n .

B o k e n å t f ö l j e s a v ett b l a d t a b e l l e r . F ö r s t a s i d a n ger k v a - d r a t e r , k u b e r , k v a d r a t r ö t t e r o c h i n v e r t e r a d e v ä r d e n för h e l a tal f r å n 1 till 100. O m f å n g e t s y n e s allt för s t a r k t b e g r ä n s a t , s ä r s k i l t b e t r ä f f a n d e k v a d r a t r ö t t e r . A n d r a u p p s l a g e t ger f y r s t ä l l i g a loga- r i t m e r , m e d p r o p o r t i o n a l t a b e l l e r , ä v e n för ensiffriga differenser.

D e t t a t y c k s m i g d ä r e m o t v a r a f ö r m y c k e t av d e t g o d a . E l e v e n b ö r t i l l h å l l a s att u t f ö r a i n t e r p o l a t i o n v i d ensiffriga differenser g e n o m h u v u d r ä k n i n g ; dels g å r det fortare ä n att titta i t a b e l l e n ; d e l s u n d e r h å l l e s k u n s k a p e n o m , v a r i i n t e r p o l a t i o n e n e g e n t l i g e n b e s t å r . I s t ä l l e t k u n d e u t r y m m e t h a a n v ä n t s till uppgift p å n å g r a flere k o n s t a n t e r ä n l o g n, l o g c o c h l o g M. S i s t a s i d a n ger r ä n t e f a k t o r e r s d i g n i t e t e r m e d , som sig b ö r , 5 d e c i m a l e r , s a m t p å sista r a d e n s e x s t ä l l i g a l o g a r i t m e r f ö r r ä n t e f a k t o r e r .

E. S.