Ins¨attningen i ekvationen ger z0− a b = f (z

UPPSALA UNIVERSITET L¨osningar till rekommenderade MATEMATISKA INSTITUTIONEN uppgifter till lektion 2

Pepe Winkler Ordin¨ara differentialekvationer

Civilingenj¨orsutbildning

7.3(a) Visa att substitutionen z = ax + by + c ¨andrar ekvationen:

y⁰= f (ax + by + c)

till en ekvation som ¨ar separabel. Anv¨and metoden f¨or att l¨osa ekvationen:

y⁰ = (x + y)².

L¨osning: Om z = ax + by + c d˚a z⁰ = a + by⁰ och y⁰ = z⁰− a

b . Ins¨attningen i ekvationen ger z⁰− a

b = f (z) ⇔ z⁰ = bf (z) + a ⇔ z⁰

bf(z) + a = 1 som ¨ar en separabel ekvation.

Substitutionen z = x + y ger z⁰ = 1 + y⁰ ⇔ y⁰ = z⁰−1 och z⁰−1 = z² ⇔ z⁰

1 + z² = 1 ⇔ arctan z = x + C ⇔ x + y = tan(x + C) ⇔ y = tan(x + C) − x . 11.1(d) L¨os f¨oljande ekvationen:

x²y⁰⁰= 2xy⁰+ (y⁰)². L¨osning:

Metod 1.

x²y⁰⁰= 2xy⁰+ (y⁰)² ⇔ 2xy⁰− x²y⁰⁰= −(y⁰)² ⇔ 2xy⁰− x²y⁰⁰

(y⁰)² = −1 ⇔  x² y⁰

0

= −1 ⇔ x²

y⁰ = −x + C ⇔ y⁰= x² C − x ⇔ y(x) =

Z x²

C − xdx= −

Z C²− x²− C²

C − x dx= − Z

(C + x) dx − C²

Z 1

x − C dx

= −Cx − x²

2 − C²ln(x − C) + D . Metod 2.

x²y⁰⁰= 2xy⁰+ (y⁰)² ⇔ x²+ x²y⁰⁰= x²+ 2xy⁰+ (y⁰)² ⇔ x²(1 + y⁰⁰) = (x + y⁰)². S¨att in p(x) = x + y⁰ ⇒ p⁰= 1 + y⁰⁰ och ins¨attningen i ekvationen ger

x²p⁰= p² ⇔ p⁰ p² = 1

x² ⇔ −1 p = −1

x + C1 ⇔ p= x 1 − C1x ⇔ y⁰= x

1 − C1x − x ⇔ y⁰= C1x²

1 − C1x = x²

1 − Cx, d¨ar C = 1 C1

. Allts˚a y(x) = −Cx − x²

2 − C²ln(x − C) + D . Metod 3

S¨att y⁰= p(x) . Vi f˚ar y⁰⁰= p⁰ och ekvationen blir d˚a x²p⁰= 2xp + p² ⇔ p⁰= 2p

x +p x

²

¨ar en homogen ekvation av f¨orsta ordningen. En ny substitution

z= p

x ger p = x · z och p⁰= z + xz⁰. Ins¨attningen i ekvationen ger z+ xz⁰= 2z + z² ⇔ 1

z(1 + z)· z⁰= 1

x som ¨ar en separabel ekvation.

Z 1

z(z + 1)dz = Z 1

xdx ⇔ Z  1

z − 1 z+ 1



dz= ln Cx ⇔ ln z

z+ 1 = ln Cx ⇔ z

z+ 1 = Cx ⇔ z = Cx

1 − Cx. ˚Atersubstitutionen ger p = y⁰= Cx²

1 − Cx, som efter integreringen ger l¨osningen y(x) = −C1x − x²

2 − C₁²ln(x − C1) + C2.

14.1 (a) Visa att y1(x) = 1 och y2(x) = x² ¨ar l¨osningar f¨or den homogena ekvationen xy⁰⁰− y⁰ = 0 ,

och skriv upp den allm¨anna l¨osningen.

(b) Best¨am v¨ardet p˚a konstanten a f¨or vilken yp(x) = ax³ ¨ar en partikul¨ar l¨osning till den inhomogena ekvationen

xy⁰⁰− y⁰= 3x².

Anv¨and den l¨osning och resultat fr˚an del (a) f¨or att skriva upp den allm¨anna l¨osningen till ekvationen.

(c) Kan man hitta y1, y2 och yp genom kontroll?

L¨osning:

(a) S¨att in y(x) = 1 i ekvationen. Man f˚ar y⁰ = 0 och y⁰⁰= 0 allts˚a xy⁰⁰− y⁰ = x · 0 − 0 = 0 . Ekvationen har en l¨osning y(x) = 1 .

Pss. S¨att in y(x) = x². Man f˚ar y⁰= 2x och y⁰⁰= 2 . Ins¨attningen ger x ·2 − 2x = 0 . ¨Aven y(x) = x² ¨ar en l¨osning till ekvationen.

Den allm¨anna l¨osningen till ekvationen ¨ar y(x) = C1+ C2x².

(b) Om yp(x) = ax³ d˚a y_p⁰ = 3ax² och y⁰⁰_p = 6ax . Ins¨attningen i ekvationen xy⁰⁰− y⁰ = 3x² ger x · 6ax − 3ax² = 3x² ⇔ a= 1 , allts˚a yp(x) = x³ ¨ar en partikul¨ar l¨osning till den inhomogena ekvationen.

Den allm¨anna l¨osningen till den inhomogena ekvationen ¨ar y(x) = x³+ C1+ C2x².

(c) Ekvationen xy⁰⁰− y⁰= 3x² ¨ar av andra ordningen, d¨ar y upptr¨ader inte explicite. Substitttionen y⁰= p(x) ger xp⁰− p= 3x² ⇔ p⁰− 1

xp= 3x som

¨ar linj¨ar av f¨orsta ordningen med integrerande faktorn µ(x) = 1 x. Ekvationen kan skrivas som  1

x · p

0

= 3 ⇔ 1

x· p= 3x + c ⇔ p = 3x²+ cx och ˚atersutstitutionen ger y⁰= 3x²+ cx ⇔ y(x) = x³+ c1x²+ c2.

14.4(a) Kontrollera och prova dig fram f¨or att hitta en partikul¨ar l¨osning till f¨oljande ekvationen:

x³y⁰⁰+ x²y⁰+ xy = 1 .

L¨osning: F¨ors¨ok hitta en l¨osning p˚a formen y(x) = c · x^a.

y⁰= c · ax^a−1 och y⁰⁰= c · a(a − 1)x^a−2. Ins¨attningen i ekvationen ger:

x³·c · a(a − 1)x^a−2+x²·c · ax^a−1+x·c · x^a= 1 ⇔ c·(a²+1)·x^a+1= 1 ⇔ a = −1 och c = 1

2, allts˚a funktionen y(x) = 1

2x ¨ar en partikul¨ar l¨osning till ekvationen.

14.6(a) Eliminera konstanterna c1 och c2 f¨or att hitta en differentialekvation f¨or f¨oljande kurvfamiljen:

y= c1x+ c2x².

L¨osning: Metod 1.

Derivera sambandet y⁰= c1+ 2c2x. Derivera en g˚ang till y⁰⁰= 2c2 ⇔ c2 = y⁰⁰

2 . Ins¨attningen i f¨oreg˚aende likhet ger c1 = y⁰−2c2x= y⁰− y⁰⁰x.

Ins¨attningen i f¨orsta sambandet ger: y = (y⁰−y⁰⁰x)x+y⁰⁰

2 x² ⇔ x²y⁰⁰−2y⁰+2y = 0 . Metod 2.

Differentialekvationen som har l¨osningsm¨angd best˚aende av funktioner y(x) = c1x+ c2x² kan f˚as ur sambandet

y x x² y⁰ 1 2x y⁰⁰ 0 2

= 0 ⇔ x²y⁰⁰−2xy⁰+ 2y = 0 .

14.6(f) Samma uppgift f¨or kurvfamiljen:

y= c1e^x+ c2xe^x.

L¨osning: Metod 1.

y= c1e^x+ c2xe^x ⇒ y⁰= c1e^x+ c2(x + 1)e^x ⇔ y⁰ = y + c2e^x. Derivera en g˚ang till. Man f˚ar:

y⁰⁰= y⁰+ c2e^x ⇔ y⁰= y + (y⁰⁰− y⁰) ⇔ y⁰⁰−2y⁰+ y = 0.

Metod 2.

y e^x xe^x y⁰ e^x (1 + x)e^x y⁰⁰ e^x (2 + x)e^x      

= 0 ⇔ y − 2y⁰+ y = 0 .

14.10 Visa att om y1(x) och y2(x) ¨ar tv˚a l¨osningar till ekvationen y⁰⁰+ P (x)y⁰+ Q(x)y = 0

p˚a intervallet [a, b] , och om funktionerna har samma nollst¨alle p˚a detta intervall, d˚a en av dem ¨ar konstant multipel av den andra. ( Punkten x0 ¨ar nollst¨alle f¨or funktionen f (x) om f (x0) = 0 .)

L¨osning: Enklast med hj¨alp av Wronskianen.

W(y1, y2)(x0) =    

y1(x0) y2(x0) y₁⁰(x0) y₂⁰(x0)    

=    

0 0

y₁⁰(x0) y⁰₂(x0)    

= 0 .

W(y1, y2)(x0) = 0 ⇒ W (y1, y2)(x) = 0 f¨or alla x ∈ (a, b) , allts˚a y1(x) och y2(x)

¨ar linj¨art beroende, dvs. y1(x) = λy2(x) eller y2(x) = λy1(x) f¨or n˚agot λ ∈ R . 15.1 Anv¨and Wronskianen f¨or att visa att e^x och e^−x ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar

till ekvationen

y⁰⁰− y= 0 p˚a varje intervall.

L¨osning: W(e^x, e^−x) =    

e^x e^−x e^x −e^−x

= −1 − 1 = −2 6= 0 . Wronskianen f¨or e^x och e^−x ¨ar skild f˚an noll, allts˚a funktionerna ¨ar linj¨art oberoende.

15.6 Verifiera att funktionerna y1(x) och y2(x) ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar f¨or given ekvation p˚a intervallet [0, 2] , och best¨am den l¨osning som uppfyller begynnelse- villkoren.

(a) y⁰⁰+ y⁰−2y = 0 , y1(x) = e^x och y2(x) = e^−2x, y(0) = 8 och y⁰(0) = 2 . (d) y⁰⁰+ y⁰= 0 , y1(x) = 1 och y2(x) = e^−x, y(2) = 0 och y⁰(2) = e⁻².

L¨osning: (a) L¨osningarna ¨ar linj¨art oberoende ty:

W(e^x, e^−2x) =    

e^x e^−2x e^x −2e^−2x

= −3e^−x6= 0 .

Den allm¨anna l¨osningen till ekvationen ¨ar y(x) = c1e^x + c2e^−2x och den par- tikul¨ara l¨osningen som uppfyller begynnelsevillkoren y(0) = 8 och y⁰(0) = 2 f˚as ur sambanden: y(0) = 8 = c1 + c2 och y⁰(0) = 2 = c1−2c2, allts˚a c1 = 6 och c2 = 2 . Den s¨okta partikul¨ara l¨osningen ¨ar y(x) = 6e^x+ 2e^−2x.

(d) L¨osningarna ¨ar linj¨art oberoende ty:

W(1, e^−x) =    

1 e^−x 0 −e^−x

= −e^−x6= 0 .

Den allm¨anna l¨osningen till ekvationen ¨ar y(x) = c1·1+c2e^−x och den partikul¨ara l¨osningen som uppfyller begynnelsevillkoren y(2) = 0 och y⁰(2) = e⁻² f˚as ur sambanden: y(2) = 0 = c1 + c2 och y⁰(2) = e⁻² = −c2e⁻². Man f˚ar c2 = −1 och c1= 1 , allts˚a y(x) = 1 − e^−x ¨ar den s¨okta l¨osningen.