f är kontinuerlig i punkten x

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Derivator av styckvis definierade funktioner

DERIVATOR AV STYCKVIS DEFINIERADE FUNKTIONER

När vi beräknar derivatan av en styckvis definierade funktioner gör vi oftast enligt följande:

1. Vi bestämmer derivatan i inrepunkter av delintervall enligt vanliga deriveringsregler.

2. Derivatan i ändpunkter av delinterval bestämmer vi enligt derivatans definition.

Oftast bestämmer vi höger- och vänsterderivatan i en ändpunkt (om funktionen är definierad på båda sidor av punkten). Om höger- och vänsterderivatan existerar och är lika i en punkt , så är funktionen deriverbar i denna punkt.

Anmärkning: Den kända satsen:

Sats 1.{ f är deriverbar i punkten x = } a ^⇒{ f är kontinuerlig i punkten x = } a kan vi utrycka på följande ekvivalent sätt:

{ f är inte kontinuerlig i punkten x = }a ^⇒{ f är inte deriverbar i punkten x = } a Med andra ord: Kontinuitet i punkten x = är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna a punkt.

Sats 1 gäller även för höger- och vänsterderiverbarhet:

Sats 1’.{ f är högerderiverbar i punkten x = } a ⇒{ f är högerkontinuerlig i punkten a

x = }

Sats 1’’.{ f är vänsterderiverbar i punkten x = } a ^⇒{ f är vänsterkontinuerlig i punkten a

x = }

===================================================

ÖVNINGAR Uppgift 1.

Bestäm derivatan av följande funktioner:

a) _





≥ +

= <

1 om 3 3

1 om ) 2

( x x

x x x

f b) _





≥ +

−

= <

2 om 3 2

2 om ) 2

( x x

x x x

f

c) _





≥ +

−

= <

3 om 6 9

3 om )

( ²

x x

x x x

f Lösning:

(2)

a) _





≥ +

= <

1 om 3 3

1 om ) 2

( x x

x x x

f

Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av de två delinterval d.v.s. om x≠1. Vi har





>

= <

′ 3 om 1 1 om ) 2

( x

x x

f .

Funktionen är inte kontinuerlig i punkten x=1 (notera att lim ( ) 2 lim ( ) 6

1

1 = ≠ =

+

→

−

→ f x f x

x

x ).

Detta implicerar att funktionen inte är deriverbar i punkten x=1.

(Anmärkning: Samma svar får vi om vi räknar derivatan i punkten 1 enligt definitionen:

För högerderivatan har vi: lim (1 ) (1) lim (3 3(1 )) 6 lim3 3

0 0

0 + − = + + − = =

+

→ +

→ h

h h

f h f

h h

h .

Alltså ör högerderivatan =3.

För vänsterderivatan har vi: + − = + − = − + =∞

−

→

−

→

−

→ h

h h

f h f

h h

h

2 lim 4

6 ) 1 ( lim 2 ) 1 ( ) 1 lim (

0 0

0 , ( ej reellt tal)

som betyder att vänsterderivatan saknas och därmed är funktionen inte deriverbar.

Svar a) _





>

= <

′ 3 om 1 1 om ) 2

( x

x x

f . Funktionen är inte deriverbar i punkten x=1.

---

b) _





≥ +

−

= <

2 om 3 2

2 om ) 2

( x x

x x x

f

(3)

Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av delinterval d.v.s. om x≠2. Vi har





>

= <

′ 3 om 2 2 om ) 2

( x

x x

f .

I punkten x=2 beräknar vi derivatan enligt definitionen (Notera att funktionen är kontinuerlig i punkten 2):

Vänsterderivatan: lim (2 ) (2) lim 2 (2 ) 4 lim 2 2

0 0

0 + − = ⋅ + − = =

−

→

−

→

−

→ h

h h

f h f

h h

h

Högerderivatan: lim (2 ) (2) lim 2 3 (2 ) 4 lim 3 3

0 0

0 + − = − + ⋅ + − = =

+

→ +

→ h

h h

f h f

h h

h

Eftersom vänsterderivatan ≠ högerderivatan är funktionen inte deriverbar i punkten 2.

Svar b)





>

= <

′ 3 om 2 2 om ) 2

( x

x x

f . Funktionen är inte deriverbar i punkten x=2.

---

c) _





≥ +

−

= <

3 om 6 9

3 om )

( ²

x x

x x x

f

Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av delinterval d.v.s. om x≠3. Vi har

(4)





>

= <

′ 6 om 3 3 om ) 2

( x

x x x

f .

I punkten x=3 beräknar vi derivatan enligt definitionen.

Vänsterderivatan: lim (3 ) (3) lim (3 ) 9 lim 6 ² 6

0 2

0

0 + − = + − = + =

−

→

−

→

−

→ h

h h h

h h

f h f

h h

h

Högerderivatan: lim (3 ) (3) lim 9 6 (3 ) 9 lim 6 6

0 0

0 + − = − + ⋅ + − = =

+

→ +

→ h

h h

f h f

h h

h

Alltså är funktionen deriverbar i punkten x=3 med f′( =3) 6.

Svar c) _





>

= <

′ 6 om 3 3 om ) 2

( x

x x x

f och f′( =3) 6.

Notera att vi, den här gången, kan skriva kort





>

= ≤

′ 6 om 3 3 om ) 2

( x

x x x

f eller 





≥

= <

′ 6 om 3 3 om ) 2

( x

x x x

f

======================================================

Uppgift 2. Vi betraktar följande funktioner:

a) _





>

= ≤

1 om 5

1 om ) 2

( x

x x

f b) _





>

+

= ≤

1 om 1

1 om ) 2

( ₂

x x

x x x

f

c) 







− >

−

≤

= −

1 om 1 sin 1 ) 1 (

1 om ) 1 ) (

( ₂

3

x x x

f .

Gör följande för var och en av ovanstående funktioner:

i) Bestäm i vilka punkter funktionen y = f(x)är kontinuerlig.

ii) Beräkna derivatan f ′(x) ( även i punkten x=1 om funktionen är deriverbar i denna punkt) .

iii) I fallet att funktionen är deriverbar i punkten x=1, bestäm också om derivatan f ′(x) är kontinuerlig i denna punkt.

Lösning:

(5)

a) _





>

= ≤

1 om 5

1 om ) 2

( x

x x f

i) Funktionen är kontinuerlig för x < 1 (funktionen är konstant = 2 i detta intervall) samt för x

> 1 (konstant =5)

Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=1.

5 ) ( lim 2 ) (

lim1 = ≠ 1 =

+

→

−

→ f x f x

x

x ⇒ ( f(x)är INTE kontinuerlig i punkten x=1) . Svar a(i) Funktionen är kontinuerlig i intervallet (−∞1,)∪( ,1∞)

ii) Först beräknar vi derivatan i de inre punkter av delinterval om d.v.s. om x≠1. Vi har





>

= <

′ 0 om 1

1 om ) 0

( x

x x

f .

I själva punkten x=1 är funktionen inte kontinuerlig och därmed inte deriverbar.

(Anmärkning: Samma slutsats får vi om vi räknar derivatan i punkten 1 enligt definitionen:

För vänstererderivatan har vi: lim (1 ) (1) lim 2 2 lim0 0

0 0

0 + − = − = =

+

→ +

→

−

→ h h

h h h

f h

f . Alltså har funktionen

vänsterderivatan =0 i punkten x=1.

För högerderivatan har vi: + − = − = =∞

+

→ +

→ h h h

f h f

h h

h

lim 3 2 lim 5 ) 1 ( ) 1 lim (

0 0

0 , som betyder att

högerderivatan saknas. Därmed är funktionen inte deriverbar)

Svar a(ii)





>

= <

′ 0 om 1

1 om ) 0

( x

x x

f . Funktionen är inte deriverbar i punkten x=1.

=================================================

b) _





>

+

= ≤

1 om 1

1 om ) 2

( ₂

x x

x x x

f

(6)

i) Funktionen är kontinuerlig för x < 1 ( eftersom 2x är kontinuerlig för alla x) samt för x > 1 (eftersom x²+1 är kontinuerlig för alla x)

Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=1.

2 ) 1 ( ) ( lim ) (

lim1 = 1 = =

+

→

−

→ f x f x f

x

x ⇒ ( f(x)är kontinuerlig i punkten x=1) . Svar b(i) Funktionen är kontinuerlig för alla x.

---

ii) Först beräknar vi derivatan i de inre punkterna av delinterval d.v.s. om x≠1. Vi har





>

= <

′ 2 om 1

1 om ) 2

( x x

x x

f .

I punkten x=1 beräknar vi derivatan enligt definitionen (Notera att funktionen är kontinuerlig i punkten 2):

Vänsterderivatan: lim (1 ) (1) lim 2 (1 ) 2 lim 2 2

0 0

0 ⋅ + − = =

− = +

−

→

−

→

−

→ h

h h

f h f

h h

h

Högerderivatan: 2

1 lim 2 lim 2

2 1 ) 1 lim ( ) 1 ( ) 1 lim (

0 2 0

2 0

0 + =

+ =

− = +

= +

− +

+

→ +

→

h h

h h h

h h

f h f

h h

Eftersom vänsterderivatan = högerderivatan är funktionen deriverbar i punkten 1.

Svar b(ii) Funktionen är deriverbar för alla x.





>

= <

′ 2 om 1

1 om ) 2

( x x

x x

f samt f′( =1) 2.

--- iii)

Derivatan f ′(x) är kontinuerlig i punkten x=a om

(7)

) ( ) ( lim ) (

lim f x f x f a

a x a

x ′ = ′ = ′

+

→

−

→ .

Vi har lim ( ) lim2 2

1

1 ′ = =

−

→

−

→ x

x f x , lim ( ) lim2 2

1

1 ′ = =

+

→ +

→ f x x

x

x och f′( =1) 2. Alltså är derivatan f ′(x)en kontinuerlig funktion.

Svar b (iii) Ja, derivatan f ′(x) är en kontinuerlig funktion.

==================================================

c)









− >

−

≤

= −

1 om 1 sin 1 ) 1 (

1 om ) 1 ) (

( ₂

3

x x x

f

i) Funktionen är kontinuerlig för x < 1 ( eftersom ( −x 1)³ är kontinuerlig för alla x)

samt för x > 1 (eftersom

1 sin 1 ) 1

( ²

− −

x x är kontinuerlig för alla x≠1 ) Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=1.

Vi beräknar

0 ) 1 ( lim ) (

lim ³

1

1 = − =

−

→

−

→ f x x

x x

1 0 sin 1 ) 1 ( lim ) (

lim ²

0

1 =

− −

= → + +

→ f x x x

x

x (notera att | 1

1 sin 1

| ≤

x− om x≠1) och f( =1) 0

(8)

Alltså är lim ( )

0 f x

x→ − = lim ( )

0 f x

x→ + = f(0), varmed är f(x) kontinuerlig i punkten x=1.

Svar c(i) Funktionen är kontinuerlig för alla x.

ii) Först beräknar vi derivatan i inre punkter av delinterval om d.v.s. om x≠1. Vi har









− >

− −

−

<

= −

′ om 1.

1 cos 1 1 sin 1 ) 1 ( 2

1 om )

1 ( ) 3

(

2

x x x x

x x x

f

Vänsterderivatan: lim (1 ) (1) lim 0 lim ² 0

0 3

0

0 + − = − = =

−

→

−

→

−

→ h

h h h

f h f

h h

h

Högerderivatan: sin1 0 lim sin1 0

) lim 1 ( ) 1 lim (

0 2

0

0 − = =

− = +

+

→ +

→ h h

hh h h

f h f

h h

h (notera att

1 1| sin

| ≤

h om h≠0)

Eftersom vänsterderivatan = högerderivatan =0 är funktionen deriverbar i punkten 1 och 0

) 1 ( = f′ .

Svar c(ii) Funktionen är deriverbar för alla x.









− >

− −

−

<

= −

′ om ,1

1 cos 1 1 sin 1 ) 1 ( 2

1 om )

1 ( ) 3

(

2

x x x x

x x x

f samt f′( =1) 0.

===================================================

iii) Derivatan f ′(x) är kontinuerlig i punkten x=a om )

( ) ( lim ) (

lim f x f x f a

a x a

x ′ = ′ = ′

+

→

−

→ .

Vi har

0 ) 1 ( 3 lim ) (

lim ²

1

1 ′ = − =

−

→

−

→ f x x

x x

0 ) 1

′( = f medan

(9)

1 cos 1 1 sin 1 ) 1 ( 2 lim ) (

lim1 1 − −

− −

′ =

+

→ +

→ f x x x x

x

x existerar inte (eftersom

1 cos 1 lim^→1⁺ x−

x existerar

inte.)

Härav slutsatsen att derivatan inte är kontinuerlig i punkten x=1.

Svar c(iii) Nej, derivatan f ′(x) är inte kontinuerlig i punkten x=1.

Grafen till f(x)

==================================================

Som vi ser i ovanstående uppgifter, använder vi derivatans definition för att beräkna derivator till styckvis definierade funktioner i delintervallets ändpunkter som är tidskrävande beräkning.

Då dyker upp följande fråga (som studenter oftast ställer):

Kan vi undersöka högerderivatan (/ vänsterderivatan) till en styckvis definierad funktion f i delintervallets ändpunkt x= a, på enklare sätt, genom att beräkna f ′(x)till höger (/till vänster) om punkten a och därefter beräkna lim f (x)

a

x ′

+

→ (eller lim f (x)

a

x ′

−

→ ) ?

Uppgifter 2a och 2c visar att svaret är NEJ om vi betraktar allmänt fall.

I uppgift 2a är f′ x( =) 0 om x>1 och därmed lim ( ) 0

1 ′ =

+

→ f x

x medan f+′(1) saknas

(eftersom + − = − = =∞

+

→ +

→ h h h

f h f

h h

h

lim 3 2 lim 5 ) 1 ( ) 1 lim (

0 0

0 )

I uppgift 2c existerar inte lim ( ) 0

1 ′ =

+

→ f x

x medan är f′( =1) 0 .

Nedanstående sats visar att om f är högerkontinuerlig och f x R

a

x ′ =

+

→ ( )

lim (där R är ett tal) då har f en högerderivata f+′(a) och f₊′(a)=R.

Uppgift 3. Bevisa följande sats:

(10)

Sats 2a. Låt f vara en funktion som är deriverbar i intervallet (a,b) och högerkontinuerlig i punkten a. Om f x R

a

x ′ =

+

→ ( )

lim (där R är ett tal) så har f en högerderivata i punkten a och R

a f₊′( )= .

Bevis. Låt x ∈(a,b). Enligt antagande är f deriverbar i ( xa, ) och kontinuerlig i [ xa, ]så att vi kan använda Lagranges medelvärdessats. Alltså, finns det ett tal c (som beror av x) , sådant att a<c<x och

) ) (

( )

( f c

a x

a f x

f = ′

−

− (*)

Om x→a₊ då enligt antagande f′ )(x →R. Eftersom a<c<x då också gäller c→a₊och därför f′ )(c →R.

Därmed från (*) R

a x

a f x a f

f x a =

−

= −

′ → +

+( ) lim ( ) ( ) .

Med andra ord har f en högerderivata i punkten a och f₊′(a)=R. Alltså, under antagande i sats 2 är högerderivatan f (a) lim f (x)

a

x ′

′ =

+

+ → .

Anmärkning: Symmetrisk sats gäller för vänsterderivata:

Sats 2b. Låt f vara en funktion som är deriverbar i intervallet (a,b) och vänsterkontinuerlig i punkten b. Om f x L

b

x ′ =

−

→ ( )

lim (där L är ett tal) så har f en högerderivata i punkten b och f₋′(b)= L.

Uppgift 4. Låt









>

+

=

<

+

=

1 om 5

1 om

1 om )

(

2 x

x

x c

x b

ax x

f .

Bestäm a, b och c så att f blir en deriverbar funktion i punkten x=1 (och därmed i alla punkter).

Lösning: Kontinuitet är ett nödvändigt villkor för deriverbarhet. Funktionen är kontinuerlig om lim ( ) lim ( ) (1)

1

1 f x f x f

x

x = =

+

→

−

→ eller a+b=6=c.

Alltså c=6 och a+b=6. (*)

(11)

Vänsterderivatan är f₋′(1)=a (enligt derivatans definition eller enligt sats 2b) Högerderivatan är f₊′( =1) 2 (enligt derivatans definition eller enligt sats 2a) Funktionen är deriverbar i punkten 1 om f−′(1)= f+′(1) dvs. om a=2 (**).

Nu, från (*) och (**), har vi b=4.

Svar: a=2, b=4 c=6 samt









>

+

=

<

+

=

1 om 5

1 om 6

1 om 4 2 ) (

2 x

x

x x x

x f