FÖ 14 – Avslutande exempel
a) Låt planet Π ha ekvationen 2 − + 2 = 1 och linjen L ha ekvationen = 3 1 2
+ 1 1
−1
, ∈ ℝ.
Undersök om linjen och planet har någon punkt gemensam. Ange i så fall koordinaterna för denna punkt.
Lösning: Vi sätter in linjens ekvation i planets och får villkor på för den eventuella skärningen:
2(3 + ) − (1 + ) + 2(2 − ) = 1 ⇔ 6 + 2 − 1 − + 4 − 2 = 1 ⇔ = 8
Så vi har skärning för = 8 och sätter in detta värde i linjens ekvation för att få skärningspunktens koordinater:
Skärningspunkt = (3 + 8 , 1 + 8 , 2 − 8) = (11, 9, −6)
Kontrollera genom att sätta in denna punkt i planets ekvation, vi får
= 2 ∙ 11 − 9 + 2 ∙ (−6) = 1 = , vilket visar att skärningspunkten är punkten (11, 9, −6).
Svar: Skärning i ( , , − ).
b) Låt planet Π ha ekvationen 2 − + = 1 och linjen L ha ekvationen = 3 1 2
+ 1 1
−1
, ∈ ℝ.
Undersök om linjen och planet har någon punkt gemensam. Ange i så fall koordinaterna för denna punkt.
Lösning: På samma sätt som ovan sätter vi in linjens ekvation i planets och får villkor på för den eventuella skärningen:
2(3 + ) − (1 + ) + (2 − ) = 1 ⇔ 6 + 2 − 1 − + 2 − = 1 ⇔ 7 = 1
Detta är inte uppfyllt för något värde på , vilket innebär att planet och linjen saknar gemensamma punkter. Alltså är linjen parallell med planet.
Svar: Linjen är parallell med planet.
c) Låt planet Π ha ekvationen 2 − + = 1 och linjen L ha ekvationen = 0
−1 0
+ 1 1
−1
, ∈ ℝ.
Undersök om linjen och planet har någon punkt gemensam. Ange i så fall koordinaterna för denna punkt.
Lösning: På samma sätt som ovan sätter vi in linjens ekvation i planets och får villkor på för den eventuella skärningen:
2(0 + ) − (−1 + ) + (0 − ) = 1 ⇔ 2 + 1 − − = 1 ⇔ 1 = 1 Detta är uppfyllt för alla ∈ ℝ, d.v.s. linjen ligger helt i planet.
Svar: Linjen ligger i planet.
