(Se sidan 11.) En utsaga som är uppbyggd av andra utsagor och de logiska symbo- lerna (logiska konnektiven)

Extramaterial till Problemlösningens grunder 1

Kapitel 2 (Bevis)

Denition 1. En utsaga är ett påstående som kan tillskrivas värdet sant eller falskt.

(Se sidan 11.) En utsaga som är uppbyggd av andra utsagor och de logiska symbo- lerna (logiska konnektiven)

¬, ∨, ∧, →, ↔

kallas för en sammansatt utsaga. (Utsagor kallas även för satser.) En icke samman- satt utsaga kallas atomär. Då vi skriver P → Q så är detta en sammansatt utsaga, en utsaga sammansatt av de atomära utsagorna P och Q.

Exempel 1. Utsagan jag är stor och stark, kan uttryckas i den sammansatta utsagan P ∧ Q , där P : jag är stor och Q: jag är stark. 

Exempel 2. Utsagan ab > 0 kan uttryckas i den sammansatta utsagan P ∨ Q, där P svarar mot utsagan a, b är båda positiva, och Q mot a, b är båda negativa.

Vi kan dela upp utsagan ab > 0 ytterligare genom observationen P = K ∧ L och Q = M ∧ N , där K: a är positiv och L: b är positiv och där M, N denieras på motsvarande sätt. 

Utsagan P ∨ Q är (per denition) sann precis då minst en av utsagorna P och Q är sann. Detta kan uttryckas med hjälp av en så kallad sanningstabell:

P Q P ∨ Q

s s s

s f s

f s s

f f f

(s = sant, f = falskt ). På motsvarande sätt har vi sanningstabellerna:

P Q P ∧ Q

s s s

s f f

f s f

f f f

P Q P → Q

s s s

s f f

f s s

f f s

P Q P ↔ Q

s s s

s f f

f s f

f f s

Notera speciellt att P → Q är sant under alla omständigheter som P är falskt.

Denition 2 (Logisk ekvivalens). Två sammansatta utsagor A och B säges vara logiskt ekvivalenta då utsagan A ↔ B är sann för alla möjliga sanningsvarden i de ingående atomära utsagorna i A och B. Vi skriver då A ⇔ B.

Innebörden av A ⇔ B är således A och B sanningsmässigt är att betrakta som samma påstående  oavsett vad de ingående utsagorna i A och B står för. (I många läroböcker används beteckningen ⇔ då man egentligen syftar till det svagare sam- bandet ↔. Vi har att a

= 0 ↔ a = 0 är sant, men inte a

= 0 ⇔ a = 0 .)

Exempel 3. Vi har att

P → Q ⇔ ¬Q → ¬P (1)

(principen för indirekt bevis, se sidan 23). För att visa detta så gäller det att visa att

de sammansatta utsagorna A : P → Q och B : ¬Q → ¬P har samma sanningsvärde

oavsett sanningsvärdet på de ingående atomära utsagorna P och Q. Detta verieras

enklast med en sanningstabell:

Extramaterial till Problemlösningens grunder 2

P Q P → Q ¬Q → ¬P (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P )

s s s s s

s f f f s

f s s s s

f f s s s

Sista kolumnen visar att A ↔ B är sant för alla möjliga utsagor P och Q, vilket bevisar att (1) gäller. 

Denition 3 (Logisk konsekvens). En sammansatt utsaga B säges vara en logisk konsekvens av utsagan A då utsagan A → B är sann för alla möjliga sanningsvärden för de ingående atomära utsagorna i A och B. Vi skriver då A ⇒ B.

Innebörden av A ⇒ B är således att om man vet att A gäller, så kan man dra slutsatsen att B också gäller - oavsett vad de ingående utsagorna i A och B står för.

Vidare, att A och B är logiskt ekvivalenta är detsamma som att A och B är logiska konsekvenser av varandra.

Exempel 4. Vi har att P ∧Q ⇒ P ∨Q. För att bevisa detta ska vi visa att utsagan (P ∧ Q) → (P ∨ Q) är sann oavsett vilka sanningsvärden P och Q har (dvs. oavsett vad P och Q står för). Detta verieras med följande sanningstabell:

P Q P ∧ Q P ∨ Q (P ∧ Q) → (P ∨ Q)

s s s s s

s f f s s

f s f s s

f f f f s

Däremot gäller (naturligtvis) inte att P ∧ Q och P ∨ Q är logiskt ekvivalenta. I sanningstabellen avläser vi detta genom att kolumnerna för P ∧ Q och P ∨ Q inte överensstämmer - dessa utsagor har med andra ord inte samma sanningsvärde för alla möjliga sanningsvärden på P och Q. 

Problem 1. Visa att

P → Q ⇔ ¬(P ∧ ¬Q) (Principen för motsägelsebevis, se sidan 24).

2. Visa att

(a) ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q, (b) ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q.

(De Morgans lagar).

3. Visa att

P ↔ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P ).

4. Visa att

(a) (P ∨ Q) ∧ ¬Q ⇒ P . (b) (P → Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P.

(Har vi i själva verket logisk ekvivalens i (a) och/eller (b)?)