Genom att teckna två olika uttryck för en och samma sak, så kan samband/uttryck/identiteter härledas

Extramaterial till Problemlösningens grunder 1

Kapitel 7 (Geometri)

Vi har i kapitel 7 lyft fram följande:

1. Dra hjälplinjer/sträckor för att söka: likbenta/liksidiga/rätvinkliga/kongruenta/likformiga trianglar.

2. Genom att teckna två olika uttryck för en och samma sak, så kan samband/uttryck/identiteter härledas.

3. Vikten av att känna till både existensen och konstruktionen av den inskrivna och den omskrivna cirkeln för en triangel.

Här är ett exempel som belyser alla dessa delar:

Exempel 1. En likbent triangel har en sida b och två lika långa sidor a.

Bestäm den inskrivna cirkelns radie, uttryckt i a och b.

(A) En första strategi är att söka likformighet. Vi drar därför hjälpsträckor i form av radier, från cirkelns medelpunkt ut till tangeringspunkterna P, Q och R, enligt

guren nedan.

Vi konstaterar då att 4AP C är likformig med 4AMQ, eftersom ∠P AC är en gemensam vinkel och därtill så har 4AP C och 4AMQ båda en rät vinkel. Vi vet nu, från konstruktionen/beviset för inskriven cirkel att CM är en bisektris till vinkeln C, vilket innebär att P CM och CQM är kongruenta trianglar (VVV). Speciellt

Extramaterial till Problemlösningens grunder 2

innebär det att |P C| = |QC| (= b/2). Likformigheten 4AP C ∼ 4AMQ ger oss nu:

|AQ|

|M Q| = |AP |

|P C| ↔ a − b/2

r = pa²− b²/4 b/2

↔ 2a − b 2r =

√4a²− b²

b , (1)

där vi tillämpat Pythagoras sats. Vi noterar, utifrån konjugatregeln, följande om- skrivning

√

4a²− b² =p

(2a)²− b² =√

2a − b√

2a + b. (2)

Detta tillsammans med (1) ger oss uttrycket

r = b 2

2a − b

√4a²− b² = b 2

√2a − b√ 2a − b

√2a − b√

2a + b = b 2

r2a − b

2a + b, (3)

för cirkelns radie. (Speciellt ger detta radien r = ₂^√a₃ då a = b, dvs. då triangeln är liksidig.)

(B) En alternativ lösning, är att vi tillämpar strategin att teckna två olika uttryck för trianglens area T . Till att börja med så har vi att

T = bpa²− (b/2)²

2 = b√

4a²− b²

4 . (4)

Men vi kan även dela upp triangeln 4ABC i de tre tringlarna ABM, BMC och CM A. Sträckorna MR, MP och MQ utgör nu höjder i respektive trianglar, vilket leder till uttrycket

T = ar 2 +br

2 +ar

2 = r2a + b 2 . Dessa båda erhållna uttryck för arean T ger att

r2a + b 2 = b√

4a²− b²

4 ↔ r = b√

4a²− b² 2(2a + b) . Tillämpar vi nu (2) så landar vi i samma uttryck (3) för radien.  Extraproblem

1. En likbent triangel har sidan b och två lika långa sidor a. Visa att den om- skrivna cirkelns radie r ges av

r = a²

√4a²− b².

2. Visa att 2r ≤ R alltid gäller, där r och R är radierna för den inskrivna re- spektive för den omskrivna cirkeln för en given triangel. (Du kan börja med att försöka visa olikheten för en likbent triangel.)