Kap 4
Area-beräkningar
Rektangel
b a Omkrets 2 2
b a Area *
Kvadrat
*
24 a a a Area
a Omkrets
Pararellogram
2
* 2 2 h Area b
b a Omkrets
Triangel
2
* h Area b
c b a Omkrets
Ex. En rektangel med omkretsen 10cm har arean 6cm2, bestäm rektangelns sidor.
6
2*
10 2 2
cm y x
cm y
x
Använd substitutionsmetoden Lös ut y ur (1) och sätt in i (2)
x y y
x y
x 2 10 5 5 2
Vi får då:
a a
a a
a
b
h a c
b h b
b
a
3 2 2
1 2 5
2 2 3
1 2 5
2 1 2 5 4
1 2 6 5
2 ) ( 5 2 0 5
6 5 6
5 ) 5 (
2 2
2
1 1
1
2 2
y x
x
y x
x
x x
x x
x x
x x x
Pyta
goras sats
2 2
2
b c
a
Ex. Hur lång är höjden i en liksidig triangel med sidan 2a?
Pythagoras sats ger:
a h
a h
a h a a h a a
h
2
2 ( 2 )
2
2 4
2
2
2 3
2 3
2 3
Ex. Hur lång är diagonalen i en kvadrat med sidan a?
Pythagoras sats ger:
a d a d
a d a a
d
2
2
2
2 2
2 2
2 2
Ex. Beräkna exakta längden av hypotenusan:
a)
3 48 3
2 24 2
3
* 24 3 24
60 180
90 30
h h
a h
a a
x x
b)
15
* 3
* 2
45 180
90 45
h a h
t Halvkvadra
x x
a a
b a
c a
h a 2a
a
2a a
a a
a
a
a a
d
a) b)
b=24 b=15
h=2a h
a x x
30 a 45
Cirklar
r=Cirkelns radie
m=Cirkelns medelpunkt
korda=Sträckan mellan två punkter på cirkeln
d=Cirkelns diameter, den korda som går igenom medelpunkten P=Cirkelns omkrets
a=Cirkelns area Cirkelns omkrets
Kvoten mellan cirkelns omkrets P och dess diameter har samma värde för alla cirklar, nämligen värdet:
r P
d d P
P * * 2
Cirkelns area
Kvoten av cirkelns area (a) och kvadraten på cirkelns rada R1 har också värdet för alla cirklar:
4
* 2
2 2 2
2
a d a d
r r a
a
Cirkel-sektrons area
Centrumbågen v står mot bågen b
V=360 får vi en hel cirkel vilket ger oss att b 2 r då v=360 d.v.s. 360 står med 2 r Alltså:
v r b b
v
r
360 * 2
2
360
För arean av cirkel-sektorn gäller:
*
2360 v r
a
Ex. En cirkelsektor har raden 6cm och medelpunktsvinkeln 120 grader. Beräkna cirkelsektorn omkrets och area:
d m r korda a
P
r
b
r v
r=6
b
r=6
v=120
2 2
2