(1) (a) Anta att k ∈ N och a ∈ R uppfyller villkoren

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2016-08-16

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns sju uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 9 po¨ ang. En tentand som f˚ att f¨ arre ¨ an 9 skrivningspo¨ ang f˚ ar addera intj¨ anade bonuspo¨ ang till sin skrivningspo¨ ang s˚ a l¨ ange summan av bonuspo¨ ang och skrivningspo¨ ang inte ¨ overstiger 9. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Anta att k ∈ N och a ∈ R uppfyller villkoren

k ≥ a − 1 och k! > a

. (♠)

Bevisa att villkoren i (♠) medf¨ or att n! > a

for alla n ∈ N s˚ a att n ≥ k.

(b) Vilket ¨ ar det minsta naturliga talet k s˚ a att villkoren (♠) st¨ ammer om a = 2?

(2) Anv¨ and att

cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ, sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ och

sin

θ + cos

θ = 1 f¨ or alla θ, ϕ ∈ R f¨ or att visa

cos

θ = cos(3θ) + 3 cos θ 4

f¨ or alla θ ∈ R.

(3) (a) Definiera a

f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Anv¨ and bara egenskaper av exponential- och logaritmfunktionen f¨ or att visa x 7→ a

¨ ar en v¨ axande funktion om a > 1.

(4) Bevisa att

n

X

i=1

i

= n(n + 1)(2n + 1) 6

for varje n ∈ N.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2016-08-16

(5) (a) Betrakta en punkt (x, y) i planet som ligger p˚ a en cirkel med radien r > 0 och medel punkt i origo. Det inneb¨ ar d˚ a att x

+ y

= r

. L˚ at y > 0, och θ och ϕ vara vinklarna i bilden nedan. Visa att cos(θ + ϕ) = 0 f¨ or alla (x, y).

(6) (a) Definiera e

f¨ or θ ∈ R.

(b) Bevisa att

e

e

= e

f¨ or alla reella tal x och y. Endast definitioner och trigonometriska r¨ aknelagar f˚ ar anv¨ andas utan att de f¨ orst bevisas.

(7) (a) Kom ih˚ ag att k! := Q

j=1

j = k(k − 1) . . . 2 × 1 f¨ or k ∈ N. Visa att

k! > (k/2)

(♣)

f¨ or j¨ amna k ∈ N. (Oliketen (♣) g¨ aller ¨ aven f¨ or udda k men det beh¨ ovs inte visas.)

(b) Anv¨ and (♣) f¨ or att visa villkoren

k ≥ a − 1 och k ≥ 2a

medf¨ or dem i (♠).

Sida 2 av 2