Relativistisk energi

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

Relativistisk energi

Om vi betraktar tillskott till kinetisk energi som utfört arbete för att accelerera från 0 till u kan vi integrera F dx , dvs från x 1 där u = 0 till x 2 där u = u , mha substitution dx = u dt

och att ( du / dt ) u dt = u du dt dx dp

 

  ^{ 2 2  2}

2

0 1 2 2 3 / 2 1 mc

c u mc c

u m udu

E _kin ^{u }







 

 ^{2 2 2}  ²

1 mc

c u

E _kin mc 

 

Einstein: viloenergi E ^ mc 2

2

2 E mc

mc

E  γ  _kin 

Total relativistisk energi:

Mha p ⁼ mβ γ _c och lite räkning

4 2 2 2

2 p c m c

E ^{ }

För foton med massan 0:

E = pc Föreläsning 3:

Relativistisk energi (forts)

Invarianta massan M ändras inte under Lorentz-transformationen (karakteriserar en partikel i form av vilomassa)

2 2 2 2

c c M ^ E ^{ p}

I bevarad energi ingår summan av kinetisk energi och massenergi.

Exempel: π ⁺ (partikel som består av upp-kvark och anti-ner-kvark) i vila sönderfaller:

π ⁺  μ ⁺ + ν _μ I labbet har μ ⁺ kinetiska energi mätts till 4,3 MeV, dess vilomassa är 105,66 MeV/c ² .

Neutrinon kan betraktas som masslös.

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

Rumstiden (ingår kursivt)

Inför fyrdimensionell rumstid: ( x , y , z, ct ) (Minkowski rummet)

Betrakta två händelser E ₁ och E ₂ med

koordinater ( x 1 , t 1 ) och ( x ₂ , t ₂ ) enligt figur.

Inför begreppet rumstidsintervall som (Δ s ) ² = ( c Δ t ) ² - (Δ x ) ² = ( c ⁽ t 2 - t 1 )) ² – ( x 2 - x 1 ) ² Pss har vi i S ´ systemet:

(Δ s´ ) ² = ( c Δ t´ ) ² - (Δ x´ ) ² = ( c ( t´ 2 - t´ 1 )) ² – ( x´ 2 - x´ 1 ) ² men x ´= γ ( x – vt ) och t ´= γ ( t - vx / c ² )

Efter insättning och omstuvning fås (Δ s´ ) ² = ( c Δ t´ ) ² - (Δ x´ ) ² = (Δ s ) ²

Δ s är invariant under Lorentz-transformationen

För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste:

(Δ s ^{) 2} > 0 (“timelike”)

Med (Δ s ) ² = 0 gäller att c Δ t = |Δ x | (“lightlike”)

Rumstiden (forts)

För att en händelse skall kunna orsaka en annan måste:

(Δ s ) ² > 0 (“timelike”)

Med (Δ s ) ² = 0 gäller att c Δ t = |Δ x |

(“lightlike”)

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

För den intresserade (överkurs):

Mha fyrvektorer kan nu Lorentztransformastionen skrivas på matrisform:

För rörelsemängd och energi fås:

Allmänna relativitetsteorin

Gravitation (från Newtonsk mekanik): ₂ ´ r

m G m

F _g ^{ g g} massa attraherande egenskap i gravitation Samtidigt har vi massa som tröghetsegenskap mot förändring av hastighet:

G är vald så att m _g och m _i är lika.

 ^{F  m} i ^a

Einstein (1916) i allmänna relativitetsteorin.

• Samma naturlagar gäller för alla observatörer i vilket referenssystem som helst vare sig det är accelererande eller ej.

• I närheten av varje punkt är gravitationsfältet ekvivalent med ett accelererande referenssystem utan gravitationsfält.

Gravitationen  krökning av rumstiden.

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

Ur E = mc ² och E = hf får vi att ljus har en effektiv tröghetsmassa m _eff = hf / c ² (även om fotonen är masslös, dvs vilomassa=0)

Gravitationens påverkan på ljus

Ljus bör därför böjas av kring objekt med hög massa, t.ex. solen.

Detta har observerats!

Även gravitationella linser i form av utslocknade stjärnor i halon kring galaxer har observerats (MACHO = MAssive Compact Halo Object)

(men inte i den omfattning att mängden av massa i halon kan förklaras.

Kanske är WIMP =Weakly Interacting Massive Particle Förklaringen. Se sista föreläsningen)

Virgo

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

Gravitationsvågor

Allmänna relativitetsteorin tillåter en vågliknande egenskap hos gravitationsfältet på motsvarande sätt som elektromagnetismen.

Partikelekvivalent: gravitonen, masslös

Problem: mycket svagare än elektromagnetisk växelverkan. Extremt svår att detektera. Indirekt bevis från pulsarer. ”Katastrofisk händelse” t.ex.

supernova skulle kunna ge detekterbar signal på jorden.

Princip för detektion: stång expanderas i viss riktning och komprimeras i vinkelräta riktningen pga

gravitationsvåg. Mätes med interferometer. VIRGO utanför Pisa

Gravitationens påverkan på ljus (forts)

Studera ljus från massiv stjärna. Vid ytan är ljusets frekvens f . Vad är frekvensen f ´ på mycket stort avstånd?

Använd energibetraktelse. Potentiella energin pga gravitationen på stjärnans yta vid radie R s (om =0 vid ∞) = - GMm / R s men m

= hf / c ² .

 

 



 



 0 ₂

´ c

hf R hf GM

hf s  





 



 

 1 ₂

´ R c

f GM f

s



Exempel:

Stjärna med solens massa = 1,99·10 ³⁰ kg och jordens radie = 6,37·10 ⁶ m

Om GM / R s c ² > 1: Inget ljus kan slippa ut.

Svart hål 

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

Elektromagnetisk strålning

Maxwell:

Ljus: Elektromagnetisk våg (Experiment av Heinrich Hertz)

Oscillerande elektrisk ström i tråd ger oscillerande elektriska och magnetiska fält med samma frekvens.

Detta EM fält har samma egenskaper som ljus: reflektion, refraktion, interferens, polarisation, hastighet (c)

dt I d

d d

dt d d

d Q

E B

 















 



 













0 0 0 0

0 B s

A B

s E A

E

Fotoelektriska effekten

(Hertz, Thomson, Lenards)

Ljus slår ut elektroner från metallplattan.

Maximal kinetisk energi för elektronerna mäts genom att bromsa upp dem med negativ spänning på kollektorn.

E _kin,max = q _e V

Klassiskt: maximal kinetisk energi borde bero av ljusintensiteten.

Experimentellt:

E _kin,max beror inte av intensitetet men däremot av ljusets frekvens

SH1009, modern fysik, VT2012, KTH

Einstein (1905): Ljuset uppträder som partikel, foton, med energi hf

E = hf E _kin,max = hf – φ

där φ är utträdesarbetet