Hittills på kursen:

där

(

)

x´^{= γ −} y y´⁼

z z´⁼

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= ₂

´ c

t vx

t ^γ _{2 2}

1 1

c v

= − γ

Hittills på kursen:

Föreläsning 6

0 0

1 μ

= ε c

Relativitetsteori

Ljushastigheten i vakuum densamma för alla observatörer

Lorentztransformationen

Alla system i likformig rörelse i förhållande till varandra är lika mycket värda.

Fysikens lagar är desamma i alla system.

Tidsdilatation: ∆t´= γ ∆t (klocka i rörelse går långsammare) Längdkontraktion: L’ = L_lab/γ (objekt i rörelse kontraheras)

Relativistiskt dopplerskift

(Rödförskjutning då källa avlägsnar sig) f f β β

−

= + 1

´ 1

c

≡ v β

(

)

p m

c u

m _{= γ}

= −

2

1 2

4 2 2

2

2

p c m c

E = +

Relativistisk rörelsemängd och energi

2

2 E mc

mc

E ^{= γ =} _kin ⁺

Ljus påverkas av gravitation enligt m =hf/c² ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= m m´ G

F ^{g g}

Viloenergi: E =mc²

Masslös partikel: E = pc

(Preliminär version, 070131 tidig morgon.

Tyrckfelsnisse smyger i lokalnen!!)

Elektromagnetisk strålning (ljus) och materia har både våg- och partikelegenskaper

p

= h

λ h

f = E

Fotoelektrisk effekt

E

= hf – φ

Comptonspridning ^{λ'−λ =}

(

)

c m

h

e

Parbildning ^γ + Z → e⁺ + e^- + Z där Z är en atomkärna som tar upp rekylen

Både för EM-strålning (röntgen) och materiepartiklar kan man ha diffraktion och reflektion.

Bragg-villkor för konstruktiv inteferens: nλ =2dsinθ

2 2

2

h h

h Δ Δ ≥ Δ Δ ≥

≥ Δ

Δp_x x p_y y p_z z

2

≥ h Δ Δ tE Heisenbergs obestämbarhetsprincip

Det är teoretiskt omöjligt att precist bestämma position och rörelsemängd längs en och samma axel.

Viktigt för svag växelverkan, möjliggör att vi ”lånar” energi

∆E under kort tid ∆t så att

∆E ∆t för ”lånet” inte överstiger h/2

Klargörande av oklart exempel om relativitet i boken (sid 7-8):

Anna har ett 40 m långt supersnabbt flygplan. Bob har en 20 m lång hangar.

Anna färdas så snabbt mot hangaren att Bob pga längdkontraktion uppfattar planet som 20 m långt. Längdkontraktion: L_Bob=L_Anna/γ ⇒ γ = 2

På samma anser Anna att hangaren är 20/2=10 m lång. Så långt allt OK.

Boken säger nu att om Bob på något (märkligt) sätt stoppar planet när det i hans system precis är inne i hangaren kommer det pga kraften att tryckas ihop så att det precis passar in, vilket Anna då är överens om.

Tolkning: När bakkanten på planet i Bob’s system precis kommit in i hangaren har Bob en mekanism som griper tag i hela planet samtidigt och i varje del längs

planet stoppar detsamma omedelbart. Frågan blir då hur Anna fattar detta.

I Anna’s system, betrakta fram och bakkant av planet:

Utgå från två koordinatsystem S´i bakkant på planet, där x´=0, och S vid den första hangarporten där x=0. Vid t =0 när Bob griper tag i planet är planets bakkant då vid x=0.

Studera det hela från Annas perspektiv. Bob griper tag i bakkanten vid x₁ =0 och t₁ =0.

Han griper också tag i framkkanten x₂=20 m vid t₂=0.

0 γ

´_{1 1 2}¹⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= c

t vx t

ns c 115

m 20 866 . 0 0 2 γ

´_{2 2 2}² ₂ ⎟=−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − •

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= c

c t vx t

( )

γ

´₁= x₁−vt₁ = 866 x

, 2 0

3

2 ₂ 1

2 − = ≈

=

⇒

= γ

β γ γ

Anna ser att Bob stoppar framkanten mycket tidigare än bakkanten

Med hastigheten 0,866 c hinner Bobs hangarport i x=0 att i Annas system under denna tid färdas:

115 ns⋅0,866⋅3⋅10⁸ /s ≈ 29,9 m ≈ 30 m vilket Anna tycker saknas i hangarlängd. Mao: boken OK!!!

Bohrs atommodell

En liten kavalkad av utvecklingen i bilder:

Faraday lag för elektrolys, visar att materia består av molekyler som i sin tur består av atomer, samt att

atomdelar har positiva och negativa laddningar samt att laddning är kvantiserad.

J.J. Thomson påvisar elektronen.

Egentligen: visar att ”strålar” som sett komma från gasurladdningar är negativt laddade partiklar.

Han kunde bestämma q_e /m_e

Millikans oljedroppsexperiment.

Genom att mäta hastighet hos laddade oljedroppar med och utan pålagt elektriskt fält kunde Millikan mäta elektronens laddning. Olika droppar hade olika laddning och genom jämförelse kunde minsta

laddningenhet bestämmas.

Experimentet kräver betraktande under lång tid (timmar) av droppar som ”lyser” pga reflekterat ljus.

(Inte helt populärt hos fysikstudenter runt om i världen)

Olika atommodeller uppstod kring sekelskiftet 1900,

bl.a. Thomsons ”russinkakemodell” (”plum-pudding”) där utsmetad massa och positiv laddning hade elektroner som ”russin” i sig.

Rutherford gjorde sprindningsexeperiment med α-partiklar mot folier och såg spridning av α-partiklarna som bara kan förklaras om de spreds mot massiv liten kärna i atomerna ⇒ atomkärnan

I gasurladdningar (vätgaslampa) observerades ljus som inte hade ett kontinuerligt spektrum och dominerades av diskreta våglängder. Även absorbtion av ljus i gas påvisade diskreta absorbtionsvåglängder.

Väte:

Detta, ”Heisenberg”, mm kunde inte förklaras med klassisk atommodell

⇒ Bohr

Bohrs atommodell:

• Elektronen rör sig, påverkad av Coulombväxelverkan, i cirkulära banor kring kärnan

• Endast vissa banor är stabila. I dessa strålar elektronen inte ut energi.

• Strålning utsänds när elektroner byter från en bana i ett högre energitillstånd till en bana i ett lägre tillstånd. Den utsända fotonens frekvens ges av energiskillnaden i tillstånden enligt E_i – E_f = hf

• Elektronens bana bestäms av att rörelsemängdmomentet är kvantiserat så att m_evr = nh där n =1,2...

Beräkna de tillåtna energitillstånden enligt Bohr:

Coulombpotentialen kring kärnan:

Kinetisk energi:

r qV q

U ^e

2

4 0

1

− πε

=

= 2

v2

E_kin = m^e

I stabil bana måste

Coulombkraften = ”centripetalkraften” r v m r

q_{e e} ²

2 2

4 0

1 =

πε

Med Bohrs kvantisering kan nu tillåtna radier beräknas

( )

4 1

2 2 2 3 0

2 2

2

0

=

=

⇒

= n

q m r n

r m

n r

q

e e n

e

e h πε h

πε

Bohr-radien: 4 ₂ 0,0529nm

2 0

0 = ≈

e eq a πε mh

...

3 , 2 , 1 1

8 8

1 4

1 4

2 1 4

1

2 _{0 0} ²

2 2

0 2

0 2

0 2

0

2 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⋅

⇒

−

=

⋅ −

=

−

= +

= n

n a E q

r q r

q r

q r

q v

U m E

E _kin ^{e e e e e} _n ^e

πε πε

πε πε

πε

Energinivåerna kan nu beräknas:

Lägsta energinivå, grundtillståndet, i väte:

( )

( ) { }

) 3 , 197 ( 2

eV 10 0596 ,

nm 1 eV 3 , 197 2c c

nm eV 440 , 1 keV 511

nm eV 440 , 4 1

4 8 2

1

2 6 2

2

2

0 2 2 2

0 4

1 2

0 1

−

⋅ =

−

=

⋅

=

⋅ =

⋅

− ⋅

=

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ = ⋅

=

−

=

−

=

h h

h πε

πε ^e πε^{e e e}

q q

m r

E q

Exciterade tillstånd: 1 eV 1,2,3...

6 .

13 ₂ ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= n

E_n n

eV 54 , 5 0

6 , 13

eV 85 , 4 0

6 , 13

eV 51 , 3 1

6 , 13

eV 4 , 2 3

6 , 13

5 2 4 2 3 2 2 2

−

− ≈

=

−

− ≈

=

−

− ≈

=

−

− ≈

=

E E E E

Spektrallinjer och elektronövergångar

När en elektron i ett exciterat tillstånd (n≥2) övergår till ett tillstånd med lägre energi utsänds en foton med energin hf =E_i – E_f där E_i och E_f är energinivån i ursprungs- respektive sluttillstånd.

T.ex. gäller för för övergången från n =3 till n =2 (Balmer-α) att fotonens energi är

eV 89 , 1 4 eV

1 9 6 1 .

2 13

3 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

=

−

= E E hf

Våglängden för ljus i denna övergång:

nm eV 656

89 , 1

nm eV

1240 ⋅ ≈

=

=

=

foton

E hc f

λ c

656nm är rött ljus. De lägre övergångarna i Balmer-serien ger spektrallinjer i det synliga våglängdsomtrådet (ca 400-700 nm) Ljus av rätt våglängd kan även orsaka excitation, dvs om

fotonenergin överenstämmer med en övergång från ett lägre

energitillstånd till ett högre. Detta ger absorbtionslinjer i spektrum.

Att notera: Bohr-modellen var en första modell på rätt väg mot att förklara kvantiserade energinivåer i atomer.

Men: Det är inte den modell vi har idag. I dagens modell ges energinivåer av lösningar till Schrödingerekvationen. Elektronerna rör sig inte i banor med viss radie utan som ett moln med sannolikhetsfördelningar att hitta elektronerna och huvudenerginivåerna, för vilka Bohr fick rätt uttryck, beror inte på rörelsemängdsmomentets kvantisering!!!

Dagens modell, dvs lösningar till Schrödingerekvationen, presenteras och diskuteras i kommande 6 föreläsningar!!