Calculi variationum integralium duplicium exercitationes quas venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Emanuel Gabriel Björling ... et Petrus Adolphus Ljungberg Westm. Dalec. In audit. Gustav. die XIII Apr. MDCCCXLII. H. p. m. s., P. V

c

€

ALGULI

VARIATIOMM

INTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATIONES

QUAS

VENIA AMPL. FACULT. PH1LOS. UPSAL.

p. p.

MAO.

BBt&SVWL

(SÅlällllJL

MéSMärH

MECHANICES DOCENS

ET

PETRUS ADOLPHUS LJUNGBERG

WESTM.DALEC.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XIII APR. MDCCCXLII. n. p. M. S.

p. v.

CPSALIE

HÖGT BETRODDE MAN,

FÖRSTE ADJUTANTEN HOS H. M. _KONUNGEN,

GENERALMAJOREN OCH COMMENDÖREN MED STORA KORSET

AF KONGL. SVÄRDSORDEN,

I

M. M.

HÖGVÄLBORNE HERR FRIHERRE

JOHAN

GUSTAF

de la

»HANGE

med vördnad och tacksamhet

af

Dess

ödmjukaste tjenare

P. A. LJUNGBERG.

KONUNGENS TROMAN, BERGSRÅDET VÄLBORNE a«»»

e«

w*

SAMT BERGSRÅDINNAN VÄLBORNA FÖDD 77XR.GXD

tacksamt och vordnadsfullt

af

e

D

til

fr

af

te

/aralfrrar

Colins dessa blad

af

59

unde _{integrale provenit liocce:}

!4m

v

=

= -

(p"

2((p

+

₊

2xp"

2xp)

,

₊2(acp' ₊

2ßifj')

_-

(a*(f"

+

2ß*ip"),

2z = - {(f 4-2\}j) +ct(p + 2ßip _j

seu secundum (4LS):

i2x

2yV-1

—

=

-

2((p

2(<p

+

+2ip)

2ifj)

+

- 2(a<p'

2(ct<p'

+

+

2ßip')

2ßip')

+

+

~

j

[ (1+ 4a8)<//'+

[(1

-4a8)9/'+(1

(1

+

-

4ßz)2ifj"],

4/S8)2t//'],

2z — - (<f>

+

2ip')

+

ci(f>"

+ 2ß\jj".—

De caetero liccre _{(si placet) liuic systcmati formam}

_reddi

_simplicem

istam _{(26), perfacili equidem negotio}

_patebit:

(*) Nimirum _positis -2(p +2a(p +-_j

(1

_-

4a8)

p"

_—

2a

_, -2<p+2ßip' _{- = ;} +

_j(1

liabebitur: x = a+ b₅ tum _positis (O.... 2 _{+v (^ +4«®)<p"(f- =2©(rt). \/-i2a<p' ,} 2 _{+ xp- 2ßipf} j

(1

+

iß')ip"

=

>I'(b)

babebilur: _{y =0a + ll'b5} Porro ex (50) sequitur 2dz = a.<p'"da_+2ß.if/"dß₅

at diflerentiando _{(A) erit}

j(l

-

4a8)<pf"da

=

2da

,

atqiic diflercntiando (/): ( _{(1 +4az)(f,fnda— 2V -1.O'da ,}

I

j(l

+

4

=

V~.

; mide a.(f>'f,da ₌ 2day~_i.v/1 _+<Z>'8, 2ß.tp"'dß = 2dbS^7.

STTF

■ atque habebitur z =

J*da\Z^T.

v/1

+

tf>'2(a)

+^

dbS~.

v/TTF\b)

. —

Deniquc systemate (öO) satisfieri propositae (14), facili usque

nc-gotio licet probari. — Etenim a', ß\ ßj denotantibus partiales

ipsa-rum a et _ß derivatas _{p. r.} å _{x et}

jf, tertia systematis aequalio prseslat

2p = au'q!"+ßß',2ip"', 2q =

acc/"

₊

ßß/.2if/"y

at _{priores ambie} 1 =

{(1

-

4«>V"+

i(l

-

iß')ß'.2ip"'

„ o— (1 _-4a')a//'"₊ (1 - 4jS!)^.Oy,'" .

j

o = (1₊ 4«>y" + (1 +

2,ß"',{

y~t =

i(i

_{+ 4}«>y"+

i(l

+iß*)ß,2,p'"y (m)

_{

linde (») 1 +iß' ol , 1 + 4«' ^ _/-.i ,iui. nr1 ,

t-4ß>

i.4a« _

(«'-/»V

,A

~

"(«*-/»W

';

41 atque (m ) abeuiit in 1 -Aaß 2p = , a+_ß — 1 ₊4 ctß V-!=1 5 cc+_ß

tum harum diflcrentiatione _{adhibitisque (w)}

^

(1

+

4a1)y"-(l

+

4/*2)a.2V>'"

?2) («+$a

'

(1 -4aa)V"-(l - Aß2)2.2xpm

j

n

=

~

-,»')(«+/»)■

'

I

_ (1 _ 4a2) (1 + 4aa)

y'"

- (1-4/S2) (1+4/?2) 2tf/" •.Sv-I=

£»)(<,+,»)»

!

per quas aequationi (14)

fieri satis,

facillimum

est

probatu.

—

18.Indeterminationem _{functionumarbitrariarum. — Determinentur ist«}

ex eo quod transeat superficies _{per curvam}

f

^

^

9

1,

per ambitum

I z —f\xtj cujus sit supcrficiei p =j\x . —

Condiliones istas in u et v transformari licet secundum (48), sintque

u =fn,

z _ FjU,

p = f>.

(51)

Patet _{equidem ip'"ß determinari licere ex (43), si}

_modo

_cognitum

_sit,

a _superficiei

quamam sit functio ipsius ß in

ambitu

curvae

(51)

nec non

wu . —

Prins _{qiKeratur. Est quidem a =} Vy 1 + v/1 + _4p,«y, \ scc. ₍₃₂₎ /S =

'

1 - v/1 +4p,<y, , dz dz .

p, et fl, dcnot. — et —. •— Quaerantur p, et fl, in ambitu (51). —

dit dy

. . fdtt = f'y.du,

Quoniam superficiei dz =p,dw + fl,dy, at in ambitu < .

idz = t,y.dy;

eril _{ipsarum p, et <y, superficiei in ambitu altera haecce relatio:} f/y =p,.fu + <y,•

Tum _{quoniam superficiei p = —tdh v' = p, + qi secund. (27), altera}

dit dy erit f2y ==_{p, + <7t;} ex _{quibus sequitur} esse in ambitu ₍₅₁₎ -f/

P'=7TF

=

r(w)

=

"TT?/

=

r'W"

(32)

Jam « et _{|S in ambitu exprimi licet in u ope a3qu. (52) vel (50),}

eli-minatåque v liabebitur ibidem

<*=F(ß). — (55)

Porro fjiuenam ty,, superficiei sit functio ipsius ß in ambitu

ijucrra-tur. — Est quidem

sec. (41) et (58) superficiei

2 div dhv

iv,1 = . (34)

a_+ß dß dß2 ' V 1

•j i • ... . , div dhv . ,

ideoque to,, in ambitu cogmta erit in /?, si modo atque —-7 ibidem

io

At — facllc invenietur cognita modo w in ambitu. Esl autem sec.

dß

(33) superficiei

iv =_{piii + </i v- z,}

cujus membri posterioris omnes

termini, quales sint in

ambitu

curva;,

cognitae sunt in ß ex

antecedentibusj

sitque

in

ambitu

iv =Ft(ß). _— (oo)

{

dw div Jam _{quoniam superficiei div =}

-j—

da

+

dß,

at

in

ambitu

da =Ffß.dß

. , . . div div .

div=F/ß.dß$ _eril ibidem _una relatio _{lpsarum— et — ista:}

da _dß ^ div _ div F/ß =

^F'ß

+

Tß-div dw da dw _dß Et _{quoniam — seu u — —— -—l- — -—?} dpi da dpi dß dpt /-div _{dw\ 1} i. c. = ( ). — —

(secund. (q)5

\(la dß

J

2\/1 +

alteram baec dat relationem ipsarum1 — et — in ambitu: unde

conelu-da _{dß '}

ditur

dw (liv t

— et

— in amb. = _{cogn. iunct. ß.— (ob)}

da _dß

iVw ^ fdw\ d*w d2w

Hestat . — Est auteni superficiei d[ — ) = -7—7-da+—— dß ;

dß2

1

\(lß)

(ladß dß4

(Vw . . , /v. \ •

ideoque cognita erif in ambitu sec. (33) et (oG), si modo -——:

llaque jam te,! in ambitu cognita est in /9; ideoque etiam

consfiln-lio iunctionis _{xp'" (ß). —}

Qua deindc Substitut» in _(44), tum integrata quantitate

_j

_{(a-ßYipf"dß,}

perfacili utique negotio determinari (fu liccbit. —

10. _{Quibus peractis habebitur (modo,}

quem in N:o 16 indicavimus) superficierum, quarum in puncto unoquoquc principales ambo radii

eur-vedinis _{aiquales sunt signique conlrarii, ea}

qua; per datam curvam

da-taque p transeat. Ea igitur est omnium, quas per datam curvam

pcri-metrum duci _{liccat, superficierum cui minima sit area intercliisa}

peri-metro data _{aliaque in eadem superfieie ducta, perimetris ccrle}

quarum

in _{.ryplano projeclionum altera alteri sit}

circumscripta. —

Jainque ut paucorum, in _{quibus calculum ad finem usque sine} 111a-xiniis tricis _{perduci liceat, unicum afferatur exemplum et quidem, uti}

videtur, admoduin simplex; idem illud, quod in fine IN:i 10,

considere-tur: _{quod cquidem ita exprimi licet, ut sint in ambitu perimetri:}

,2v/a2 +_?/? =.e ^i— , 1 J e ' (°) 4x % — 1, V = i seu, eliminatis x et _1/,

S2</

uv

=

e +

—

e , z =_1, 4v*+ _{(e +} V = —

V

5

45

seu _{posita, simplicitalis ergo,}

e =€ + v/e8-1, (p) unde v i e +— =2« _, e e =2\/«8_-1, e x/uv = _{e, seil u = —}, v (-/) Z = I p = £8+t>8 «8-i

Erunt in ambitu _{perimetri hujus}

v Pi = => 2«v/ f2-i € 7t = =* 2y\/e8-i

atque aequationes (36) dant

(a+ /S)« = —m/c8-1,

4aßs\/ «8-1 = u(a +ß)J

unde _{sequitur esse in ambitu}

a = _/2(i

-2«8±2«\/c8 -1) =—ß(«+ \/é8 -1) . —

Alteruni hcic sufficit considerare. — Erunt igitur in ambitu perimetri:

« = —ß(e-\/e9-i)

, (r)

ü =—2eß(e-\/ ),

Unde atque +\/V-l), 0(«-✓ ) £+_\/ f'1 = \/1+_{tyifji — -zu 5} v/ «- _\/ ?u = _, v/~" div s*_{(fi+v/ )S} du _2ß(e*-i) div «2 2ß(é2 -1)

5

f(f_+v/ )8

düäiß^

2/?*(e2-i)f

'

#Z2w _{«(i+ )} dß8

= "i^2(«8-i)l

5

—_e Wn = 2ß\\Zs'-i Xh'"ß_^ = : — 20* ' /» «*-Si

f(a-ßy.y/"dß=--Jj--47

Itaquc (44) abit in

«*-ß2

(cci-ßi)ivi = (fa - - « log'ß,

ex _qua determinabitur _qa.

—-In ambitu est „

ß = a(i-2«2-2sV£*-1),

= a(« _{+ y/} )_{" 5} alque («48) («2-ß*)wx = - 2a(i + )$

unde qa = - 2a +a log«(i-2£2 -2eVt2-i).

Qua« cum ita sint, integrale (44) abit in

4a 2iv = log—(i-2t2-2sVé8-i) ,

*ßy ' a+ß'

seu, repositis jam valoribus (42) atque quoniam

i-2e9-2eV«2-1 =t - (_s+ Ve2 -i)2 ₌

- e2,

(i-Vi

2w = loge2._b 2(i-V4wifl,)

4ptqt

K

"

(i-V/I+ 4/)1<y,)2 = log + 2Vi+tyiqi. — 4/M« Ia quo consequuntur: v/i +_4Mi 2m , Vi 2v = Vi+_4plql ? Ii (i+v/I+4PifliY. 2z = log 5 ¥.7.

seti

'

= (i

+ v/i + 4ptqt) . —

Ev hac _{jain facili negotio p{ et <7, eliminanlur opc aequ. (y), qua1} qui-deni dant ^pitfi.uv = i+ 4/v/,, seu fytli = —; UV -I ideoque habebitur e = _{s/uv +} V_uv-\, unde v e ₊e — 2v/wu = 2\Zx2 +_y2, «Ii _{sup ra in N;o 10 erat comparatum. —}

20. Licet _{eliam, ut facile patet, functioncs arbitrarias ex eo} de-terminari _{quodammodo, ut in ambitu intersectionis superficiei quaesif.T} alque.cylindri y =fx,

sint _{p =/tx,}

1 =/«x;

qua; quidem condiliones, eliminatls x et y, abeant in

p = f,v,

J-

_*

(%

7)

<7 = l>.

J

Seiiicet, uti supra, primo quaeratur a quacnam sit functio ipsius ß in

ambitu intersectionis. — Quoniam superficiei

dz dz v =

_Tuu+Tvv>

dz dz l=

_Tu"'+Tvv"

eruut in ambitu f> =/>, +ql , f1v =(pl-ql)\/-i',