Studiens syfte är att undersöka hur nivån på elevernas taluppfattning korrelerar med deras kunskap inom aritmetik respektive geometri, samt att undersöka skillnader och likheter i taluppfattningens betydelse för elevernas matematiska utveckling inom dessa två
matematikgrenar. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Pr oce nt Elev nr
Enskilda elevers resultat i % av maxpoäng på test av
taluppfattning resp geometri
De undersökningsverktyg som använts för att besvara studiens frågeställningar är dels den intervjuguide som är upprättad utifrån det teoretiska ramverket för att kartlägga nivån av elevers taluppfattning, samt de diagnostester som genomförs i den ordinarie
undervisningen.
Undersökningsverktygen är valda för att ge ett mått på elevernas samlade kunskap inom respektive område. Nivån på taluppfattning presenteras därför som ett samlat resultat från undersökningen där det teoretiska ramverkets sju olika komponenter vävs samman i ett gemensamt resultat.
Grunden för analysen är att den baseras på att söka samband, eller brist på samband, mellan elevernas resultat i de test där taluppfattningen undersöks och deras resultat i diagnoserna aritmetik respektive geometri från den ordinarie undervisningen. Sådana statistiska
samband mellan två variabler kallas korrelationer.
Det finns två typer av korrelation, postiv korrelation och negativ korrelation. Postiv korrelation innebär att en ökning i den ena variabelns värde också medför en ökning i den andra variablens värde. Negativ korrelation är motsatsen och betyder att ett högre värde i den ena variabeln leder till ett lägre värde i den andra (Mathleaks, u.å).
För att studera korrelationer används vanligen punktdiagram. Detta är diagram där den ena variabelns värden blir x-värden och den andra variabelns värden blir y-värden. Prickar man in samhörande värden på x och y får man ett diagram bestående av punkter. Punkternas läge runt en tänkt rak linje visar korrelationens styrka. Vid en mycket stark korrelation ligger punkterna samlade längs en rak linje, vid svagare korrelationer är spridningen av punkter större. Hur stark korrelationen är kan dock inte avläsas ur punktdiagrammet, utan detta måste ske genom beräkning av den så kallad korrelationskoefficienten (Mathleaks, u.å).
Det värde man kan räkna fram för en korrelations styrka, korrelationskoefficienten, hamnar mellan -1 och 1. Vid en stark positiv korrelation ligger värdet på eller nära 1 och vid en stark
För att studera frågeställningen kring överensstämmelsen mellan taluppfattning och aritmetik används undersökningsresultaten från testerna av taluppfattning respektive aritmetik, tabell 1.
I diagram 3 nedan visas resultaten från tabell 1 inprickade i ett punktdiagram, där skalan på x-axeln anger värdet för elevernas procentuella resultat i taluppfattningstestet och y-axeln deras resultat på aritmetiktestet.
Diagram 3 – Punktdiagram över resultat från tester av taluppfattning respektive aritmetik
med infogad trendlinje.
När man studerar punktdiagram är det viktigt att tänka på att elever med samma resultat i de båda testen hamnar på samma punkt, vilket kan innebära att en punkt representerar flera elever. I detta fall hamnar två elever under punkten som anger 87% på x-axeln och 100% på axeln, samt tre elever under punkten som anger 80% på x-axeln och 83% på y-axeln.
Som beskrivits tidigare skulle en perfekt korrelation finnas om punkterna låg längs en rak linje i diagrammet. En viss procentsats i det ena testet skulle alltså motsvara en viss
procentsats i det andra. Diagrammet visar att en sådan linje inte existerar. Däremot kan man
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Pr oce nt ar itme tik Procent taluppfattning
Aritmetik vs Taluppfattning
trendlinje i ett punktdiagram. Trendlinjen är den linje som ger det kortaste avståndet om man summerar avståndet mellan punkterna och linjen, dvs den linje som bäst ansluter till punkterna.
I diagram 3 finns en trendlinje inritad, som visar att man kan ana viss korrelation eftersom punkterna ligger relativt nära den. Undantag är framförallt fyra stycken elever med relativt stark taluppfattning, samt en elev med medelgod taluppfattning, som presterat sämre än förväntat på aritmetiktestet. För att bestämma hur stark korrelationen är mellan de
procentuella resultaten av taluppfattning och aritmetik beräknas korrelationskoefficienten som i detta fall ger värdet 0,50 avrundat till två decimaler. Detta visar att det finns en positiv korrelation, men att den inte kan klassas som stark. Utifrån den forsknings- och
litteraturgenomgång som gjorts i kapitel 2 hade man kunnat förvänta sig en starkare korrelation mellan taluppfattning och aritmetik (Tsao & Lin, 2012). Studien påvisar dock en korrelation om än inte stark.
För att studera frågeställningen kring överensstämmelsen mellan taluppfattning och geometri används undersökningsresultaten från testerna av elevernas taluppfattning respektive geometri, tabell 2.
I diagram 4 på nästa sida visas ett punktdiagram över elevernas resultat i dessa två tester. På x-axeln anges elevernas procentuella resultat på taluppfattningstestet, och på y-axeln deras procentuella resultat på geometritestet.
Diagram 4 – Punktdiagram över resultat från tester av taluppfattning respektive geometri
med infogad trendlinje.
Även i detta fall representerar ett antal punkter mer än en elev. De sex punkter som anger 100% på geometritestet representerar totalt 14 elever och dessutom symboliserar punkten som anger 70% på taluppfattningstestet två elever.
Vid analys av punktdiagrammet för de procentuella resultaten på testerna i taluppfattning och geometri ser man en relativt god överensstämmelse mellan punkternas läge och den trendlinje som lagts in i diagrammet. En intressant iakttagelse är att nästan hälften av eleverna, 14 av totalt 30, har fått full poäng vid geometritestet, men att ingen av dessa tillhör de som presterat mindre bra på taluppfattningstestet.
Vid beräkningen av korrelationskoefficienten utifrån de procentuella resultaten enligt diagram 4 ges värdet 0,73 avrundat till två decimaler. Detta visar att korrelationen är starkare mellan resultaten av testerna för taluppfattning och geometri än mellan
taluppfattning och aritmetik. Denna korrelation har även stöd hos Ahlström et al. (1996), som beskriver att elevers geometrikunskap ligger till grund för deras taluppfattning.
Undersökningen visar att det finns en positiv korrelation mellan elevernas resultat på taluppfattningstestet och deras matematikkunskap i både aritmetik och geometri. Elever
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Pr oce nt g eo me tr i Procent taluppfattning
Geometri vs Taluppfattning
med svag taluppfattning gör. Det finns däremot undantag från det motsatta förhållandet eftersom vissa elever med god taluppfattning presterat sämre i både aritmetik och geometri än vad som skulle kunna förväntas utifrån deras resultat på taluppfattningstestet.
När det finns en korrelation är det viktigt att man också bedömer huruvida korrelationen har ett orsakssamband, så kallad kausalitet, eller ej. Om korrelationen har kausalitet innebär det att faktorerna beror av varandra. Att det finns en korrelation behöver inte nödvändigtvis innebära att det finns ett orsakssamband. Om man exempelvis skulle undersöka
korrelationen mellan glassförsäljning och antal motorcykelolyckor skulle man sannolikt finna korrelation mellan dessa eftersom både motorcykelolyckor och glassförsäljning ökar under sommaren. Däremot saknar denna korrelation, kausalitet, då årstiden och det varma vädret är en tredje faktor som gör att både glassförsäljning och antalet motorcykelolyckor ökar sommartid.
Undersökningen i min studie syftar till att jämföra korrelationen mellan taluppfattningen och två grenar inom matematiken. Eftersom dessa faktorer är närliggande bör det innebära att det finns en nära koppling mellan de undersökta faktorerna. Trots detta är det tveksamt om korrelationerna uppfyller övriga krav som ställs för kausalitet. Resonemanget kring den frågan utvecklas vidare i diskussionskapitlet.
Slutsatsen av min analys blir att mina två första forskningsfrågor båda kan besvaras med att det föreligger en positiv medelstark korrelation mellan elevernas taluppfattning och deras matematiska utveckling inom både aritmetik och geometri. Korrelationskoefficienten påvisar dock ett starkare samband mellan taluppfattning och geometri än mellan taluppfattning och aritmetik, vilket innebär att betydelsen av taluppfattning inte enbart korrelerar med kunskap i den rena räknekonsten, aritmetiken, utan också har korrelation till den andra undersökta matematikgrenen, geometri.
Vad gäller den tredje forskningsfrågan, som behandlar likheter och skillnader mellan taluppfattningens betydelse för elevers matematiska utveckling inom aritmetik respektive
tycks alltså ha betydelse för den matematiska utvecklingen inom båda dessa
matematikgrenar. Korrelationen är medelstark i båda fallen, den skillnad man kan se är att korrelationen i denna studie är starkare för taluppfattningens koppling till geometri än för kopplingen till aritmetik.
Från de tester som redovisas uppstår dessutom ett dataunderlag för att kunna studera korrelationen mellan resultaten i aritmetik och geometri. Data för denna analys hämtas från tabell 1 och tabell 2 i bilaga 3. På samma sätt som tidigare konstrueras ett punktdiagram med trendlinje nedan, diagram 5.
Punktdiagrammet tycks för det här fallet visa en större spridning än vad motsvarande diagram gör vid undersökning av taluppfattningens korrelation med aritmetik respektive geometri. Avvikelserna från trendlinjen är fler och större, vilket visar sig genom en svagare korrelation. I detta fall anger korrelationskoefficienten endast 0,30 avrundat till två
decimaler, vilket innebär en relativt svag korrelation. Detta är ett intressant resultat eftersom det indikerar att såväl aritmetiken som geometrin har ett starkare samband med taluppfattningen än vad korrelationen är mellan de två matematikgrenarna, aritmetik och geometri.
Diagram 5 – Punktdiagram över resultat från tester av taluppfattning respektive geometri
med bifogad trendlinje.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Pr oce nt g eo me tr i Procent aritmetik
Geometri vs Aritmetik
Sammanfattningsvis påvisar de data som samlats in i denna undersökning att det finns en medelstark korrelation mellan elevernas nivå på taluppfattning och nivå på både aritmetik- och geometrikunskap, samt att denna korrelation är starkast för geometrin.
Korrelationskoefficienten för både sambandet mellan taluppfattning och aritmetik och taluppfattning och geometri är högre än för korrelationen vid jämförelse mellan kunskapsnivåerna i aritmetik och geometri.
Resultaten kan tolkas som att taluppfattningen har ett mer nära samband med
kunskapsnivåerna i aritmetik och geometri än den korrelation man ser vid jämförelse av resultaten från aritmetik- och geometritesterna. Korrelationskoefficienten är 0,30 vid jämförelse av testresultaten i aritmetik och geometri, vilket är på gränsen mot det som klassas som svag korrelation. Det betyder alltså att det inte finns ett starkt samband mellan resultaten i de två testerna och att en elevs prestation på det ena testet ofta inte motsvaras av en liknande prestation på det andra. Att en elev presterar svagt i det ena testet behöver, enligt denna studie, inte innebära att eleven också presterar svagt i det andra.
5 Diskussion
I detta kapitel diskuteras undersökningens resultat, vad de betyder och hur de kan tolkas i relation till tidigare forskning. Vidare diskuteras den metod som användes och hur de val och procedurer som tillämpades vid genomförandet av studien påverkar trovärdigheten och kvaliteten av undersökningens resultat. Avslutningsvis lämnas några förslag på lämpliga teman för fortsatt forskning.