Approximering av kant till rak linje

Sista steget i algoritmen är att approximera varje kantmängd med en rak linje, vilket kan göras utgående från minsta-kvadrat-minimering, se gur 2.5. Enligt avsnitt 2.2 kan en rak 2D-linje representeras som,

ax + by + c = 0 (4.8)

4.3 Extrahering av raka linjer 31 Antag en kant där punkterna på kanten är representerade i homogena koordi- nater x = (x, y, 1)>_{, vilka samlas i en matris A,}

A =    x>start ... x>_end   , (4.9)

där xstart och xend är start- respektive slutpunkt på kanten.

Den approximerade raka linjen som söks är då det l som minimerar kAlk, vilket är ett minsta-kvadrat-problem och kan beräknas genom singulärvärdesfaktorise- ring enligt appendix B. Ursprungskantens ändpunkter xstart och xend projiceras

sedan vinkelrätt mot den approximerade raka linjen l, se appendix C, och ger de nya ändpunkterna ˆxstart och ˆxend för det nya approximerade linjesegmentet.

(a) (b)

(c)

Figur 4.10. (a) Originalbild (b) Binärbild efter kantdetektering (c) De raka linjerna extraherade ur bilden efter kantdetektering, länkning, segmentering, sammanfogning av kanter och inpassning av raka linjer.

Kapitel 5

Längdmätning utifrån

gränspunkter

Proesmans m  [18] beskriver en metod som bygger på att hitta gränspunkter och grundplanets gränslinje i bilden (teorin bakom detta är beskriven i kapitel 4) och tillsammans med en känd referenslängd, beräkna längden av objekt i bilden. Endast bilden av en vy är tillräcklig och den projektionsinvarianta egenskapen korsförhållande (eng cross ratio) används för längdberäkningen. Denna metod generaliseras vidare i [6] och i [7] genom att utveckla en algebraisk representation. De största fördelarna med metoden är:

• Minimal kalibrering, inre och yttre parametrar behöver inte beräknas utan endast den geometriska informationen som erhålls av grundplanets gränslin- je, den vertikala gränspunkten och en känd referenslängd i scenen är tillräck- lig.

• Scen och kamera behöver inte vara oförändrade utan endast möjligheten att erhålla en referenslängd, som är synlig i bilden, krävs.

Dessa fördelar leder till att tre av de uppställda kraven uppfylls, d v s snabb handläggning, minimal systeminformation och minimalt arbete på plats. I nästa kapitel presenteras några av testerna utförda på metoden för att bl a undersöka om det fjärde kravet, exakthet, uppfylls. Detta kapitel beskriver den utvalda metoden ingående.

5.1 Beskrivning

Under förutsättning att grundplanet är plant, t ex ett golv, och grundplanets gränslinje och den vertikala gränspunkten kan beräknas ur bilden, vilket görs enligt kapitel 4, gäller följande påstående:

Givet grundplanets gränslinje, den vertikala gränspunkten och minst en vertikal referenslängd i scenen, kan längden av en linje från någon

34 Längdmätning utifrån gränspunkter punkt i scenen och dess vertikala skärning med grundplanet beräknas genom att speciera bilden av punkten respektive bilden av den vertikala skärningen med grundplanet.

Ovanstående påstående kommer att visas nedan.

5.1.1 Korsförhållande

a

1

b

1

c

1

d

1

a

3

b

3

c

3

d

3

a

2

b

2

c

2

d

2

Figur 5.1. Punkterna i guren denierar ett korsförhållande som inte förändras med projektionen. De gråa linjerna är projektionslinjer.

De fyra punkterna a1, b1, c1och d1i gur 5.1 denierar ett s k korsförhållande

[22] (eng cross ratio),

d(a1, b1)d(c1, d1)

d(a1, c1)d(b1, d1)

, (5.1)

där d(x, y) är det euklidiska avståndet mellan punkterna x och y. Korsförhål- landet är projektionsinvariant, d v s det förändras inte av projektionen, vilket ger följande relation mellan punktmängderna i gur 5.1

d(ai, bi)d(ci, di) d(ai, ci)d(bi, di) = d(aj, bj)d(cj, dj) d(aj, cj)d(bj, dj) . (5.2)

5.1.2 Beräkning av sökt längd Z

Betrakta en linje i världen, vertikal mot grundplanet, som går igenom punkterna Xoch X0 och som projiceras till en linje i bildplanet, se gur 5.2.

X är belägen på grundplanet och längden mellan punkterna X och X0, Z, söks. Bildpunkterna x och x0 _{i gur 5.2 är projektionen av världspunkterna X}

och X0 _{i bildplanet och tillsammans med bildpunkterna c och v denierar de ett}

5.1 Beskrivning 35 punkt i o¨andligheten

X X0 Z Zv Zc v x c x0 (a) (b) l

Figur 5.2. (a) I världen; längden Z mellan punkterna X och X0 _{söks. Z}

cär avståndet

från grundplanet till kameracentrum och Zv är avståndet till en punkt i oändligheten.

(b) I bilden; v är den vertikala gränspunkten, l grundplanets gränslinje, x och x0 _bilden

av punkten X respektive X0 _{och c skärningen mellan gränslinjen l och den förlängda}

mätlinjen.

gränslinje (horisontlinjen) och avståndet från grundplanet till den korresponderan- de punkten i världen är därför Zc, vilket är lika med avståndet från grundplanet

till kameracentrum. Punkten v är den vertikala gränspunkten, vilket är bilden av en punkt i oändligheten i den vertikala riktningen. Detta förhållande denierar korsförhållandet (Zc− Z)Zv Zc(Zv− Z) =d(x 0_{, c)d(x, v)} d(x, c)d(x0_{, v)}, (5.3)

där d(x1, x2)är det euklidiska avståndet mellan två bildpunkter. Eftersom Zv är

avståndet från X till en punkt i oändligheten kan ekvationen ovan approximeras till Z Zc = 1 −d(x 0_{, c)d(x, v)} d(x, c)d(x0_{, v)} (5.4)

Den sökta längden Z kan erhållas från ekvationen ovan då avståndet från grundplanet till kameracentrum Zc är känt. Men detta mått är i regel svårt att

erhålla eftersom kameracentrum är beläget någonstans inuti kameran, dessutom kräver det att kamerans position är oförändrad. Det är därför mer praktiskt att med ekvation (5.4) först beräkna Zcutifrån ett känt referensavstånd Zref och dess

tillhörande bildpunkter x, x0 _{och c. Därefter kan ekvation (5.4) återigen användas}

36 Längdmätning utifrån gränspunkter

5.2 Algebraisk representation

I [7] presenteras en algebraisk representation med samma bakomliggande geometri som i avsnittet ovan men med fördelarna:

• Undviker potentiella problem med ordningen av punkterna i korsförhållan- det.

• Hanterar både minimala och överbestämda kongurationer. • Samlar olika mått under en och samma representation.

• Förenklar möjligheterna till att utföra osäkerhetsanalys med propageringen av osäkerheter till det slutliga måttet.

5.2.1 Projektionsmatrisen P

Projektionsmatrisen P, se avsnitt 2.3, kan delvis bestämmas med hjälp av grund- planets gränslinje och en vertikal gränspunkt, vilket visar sig vara tillräckligt för att beräkna en sökt längd Z utifrån tidigare nämnda förutsättningar. Deniera världskoordinatsystemet XY Z så att origo ligger på grundplanet. X- och Y - axlarna spänner upp planet (och Z-axeln är ortogonal mot planet). Som visades i avsnitt 2.3 så projiceras en punkt i världen X på en punkt i bilden x genom projektionsmatrisen P,

x =PX = [ p1 p2p3 p4 ]x, (5.5)

där pi är kolumnerna i P. p1, p2 och p3 är avbildningen av axelriktningarna

i världskoordinatsystemet. Detta ses enkelt t ex genom att avbildningen av en punkt i oändligheten på X-axeln, D = (1, 0, 0, 0)>_{, blir}

PD = [ p1 p2 p3 p4]     1 0 0 0     = p1, (5.6)

Alltså är de tre första kolumnerna i P de homogena gränspunkterna för X-, Y - respektive Z-axelns riktning, p1 = αxvx, p2 = αyvy och p3 = αzvz, där αi är

skalfaktorer som denierar det metriska förhållandet.

Den fjärde kolumnen är projektionen i bildplanet av origo för världskoordinat- systemet, p4= o, vilket ses genom projektionen

Po = [ p1p2 p3 p4 ]     0 0 0 1     = p4. (5.7)

Eftersom X- och Y -axeln spänner upp grundplanet är vxoch vy två punkter

på grundplanets gränslinje. p4 får inte ligga på gränslinjen eftersom då ligger

5.2 Algebraisk representation 37 oberoende. Därför sätts p4 = l/ klk = ¯l där l är gränslinjen för grundplanet.

Projektionsmatrisen P kan nu skrivas

P =  αxvxαyvy αzvz¯l  (5.8)

Längdmätningen i avsnittet nedan är oberoende av de två första kolumnerna i P, så om vz och ¯l är kända är skalfaktorn αz den enda obekanta kvantiteten. I

fortsättningen betecknas αz endast som α.

5.2.2 Beräkning av sökt längd Z

Längden mellan punkterna X = (X, Y, 0, 1)> _{och X}0 _{= (X, Y, Z, 1)}> _{i världen}

efterfrågas, där punkten X är belägen i grundplanet. Korresponderande punkter i bilden är x och x0_{. Relationen mellan bildpunkter och världspunkter ges av}

projektionen x =P     X Y 0 1     , x0 =P     X Y Z 1     . (5.9)

Ekvationerna ovan kan skrivas

x = ρ(Xp1+ Y p2+ p4) (5.10)

x0 = ρ0(Xp1+ Y p2+ Zp3+ p4) (5.11)

där ρ och ρ0 _{är okända skalfaktorer.}

Eftersom p1 och p2 ligger på gränslinjen är p1· ¯l = p2· ¯l = 0. Vidare är

p4· ¯l = ¯l · ¯l = 1 och genom att ta skalärprodukten av ekvation (5.10) med ¯l fås

därför ρ = ¯l · x vilket ger x

¯l · x = (Xp1+ Y p2+ p4). (5.12)

Denna ekvation kombinerat med (5.11) och att p3= αvz ger

x0= ρ0( x

¯l · x+ Zαvz). (5.13)

Kryssprodukten av både HL och V L med x0 _ger

x0× x0 = ρ0(x × x 0 ¯l · x + Zα(vz× x0)), (5.14) där V L = 0. Efter omskrivning fås Zα(vz× x0) = − x × x0 ¯l · x (5.15)

Sedan tas L2-normen av vektorerna i både HL och V L, vilket efter omskrivning

38 Längdmätning utifrån gränspunkter αZ = − kx × x 0_k (¯l · x)kx0_{× v} zk (5.16) Har man en känd referenslängd, Zref kan ekvationen ovan användas för att

skatta α,

α = − kx × x

0_k

Zref(¯l · x)kx0× vzk

, (5.17)

där x och x0 _{är baspunkt respektive toppunkt i bilden tillhörande Z}

ref. Efter

att en skattning på α har erhållits så kan ekvation (5.16) återigen användas för att beräkna den sökta längden

Z = − kx × x

0_k

α(¯l · x)kx0_{× v} zk

(5.18) där nu x och x0 _{är baspunkt respektive toppunkt på sökt längd Z.}

5.2.3 Mer än en referenslinje

Har man era referenslinjer är det inte säkert att de, p g a brus, resulterar i ett och samma α. Ett estimat ˆα av α kan då beräknas genom en minsta-kvadrat- minimering. För varje referensavstånd Zi denieras βi= ||ri× r0i||, ρi= ¯l · ri och

γi= ||vz×r0i||där rioch r0iär bildpunkterna av referensavståndets bas- respektive

toppunkt i världen. Detta ger tillsammans med (5.16)

αiZiρiγi= −βi. (5.19)

Utifrån ekvation (5.19) bildas matrisen:

A =         Z1ρ1γ1 β1 ... ... Ziρiγi βi ... ... Znρnγn βn         , där n är antalet referenslängder.

Estimatet ˆα beräknas genom att söka det s som minimerar ||As||, där s = (s1, s2)> är en homogen 2D-vektor. Lösningen fås genom singulärvärdesfaktori-

sering enligt appendix B. Eftersom s är en homogen vektor fås den estimerade skalfaktorn ˆα genom

ˆ α = s1

s2

(5.20) Om n = 1 eller om referenserna inte påverkas av mätfel är As = 0.

5.3 Osäkerhetsanalys 39

5.2.4 Beräkning av andra mått

Med den algebraiska representationen beskriven ovan underlättas också beräkning- en av andra mått. Övriga mått är:

• Beräkning av kameraposition, i förhållande till grundplanet.

• Mätning mellan två parallella plan som är parallella med grundplanet. • Mätning på parallella plan.

Eftersom detta arbete är koncentrerat på längdmätning så berörs inte dessa mått här, för beskrivning hänvisas till [7].

5.3 Osäkerhetsanalys

I ett forensiskt arbete, som i så många andra, är det viktigt att skatta säkerheten på det mått som beräknas. Det slutliga längdmåttet påverkas av era osäkerheter på vägen. Därför behöver man på något sätt skatta propagering av osäkerheterna till ett slutligt osäkerhetsintervall. Osäkerheterna och propageringen illustreras i gur 5.3. l x _x0 Z vy vx α r r0 vz P Zref

Figur 5.3. Propageringen av osäkerheter från parametrarna till det slutliga längdmåt- tet Z, när den algebraiska representationen i avsnitt 5.2 används. I de små ellipserna modelleras bruset med en gaussisk normalfördelning med medelvärde noll.

In document Forensisk längdmätning i bilder (Page 46-55)