Befolkningsutveckling

Vi kan förvänta oss att utvecklingen har en tendens att följa trenden den befinner sig i, om inte något annat händer, det vill säga

P(t)/P(t0) = {P(t0)/P(t0 – T)}K, (2)

där K är en faktor som är i första hand lika med (t1 – t0)/T. Trenden kan dock påverkas

av olika faktorer, som kan öka eller minska kommunens attraktivitet, som t.ex. skattesatsen, förbättring/försämring av olika tjänster och infrastrukturer, den ekonomiska konjunkturen i regionen mm. Vi kan modelera effekten av dessa

förändringar som ett bidrag i form av procentuell ökning/minskning av befolkningen, vilket översatts till en exponentiell term i vår ekvation för varje sådan effekt. Ekvation (1) blir då

P(t)/P(t0) = {P(t0)/P(t0 – T)}K exp{ 1 X1 + 2 X2 + …+ N XN }. (3)

Om vi tar logaritm av båda sidor blir ekvationen:

P(t) = log P(t0) + KPT + 1 X1 + 2 X2 + …+ N XN, (4)

35

34

där PT = {P(t0) – P(t0 – T)}/ P(t0 – T) är folkmängd förändring tills tid t0 över

tidsperiod T, där vi har använt log(x)  x – 1 för x << 1. Vilka bland alla möjliga faktorer vi väljer att inkludera i modellen bestäms i en kompromiss mellan modellens precision och tillgänglighet, tillförlitlighet och noggrannhet av mått för faktorerna. Statistisk oberoende mellan faktorer är också en viktig parameter för att modellen ska kunna tillämpas. I denna förstudie, har vi tagit fram mätningar för faktorer som tillåter oss att specificera modellen till36:

log P(t) = log P(t0) + KPT (t0) + F F(t0)+ s s(t) + u u(t0), (5)

där t = 2010, t0 = 2007, och T = 10, så att P(t) och P(t0) är folkmängd i kommunen i år

2010 respektive 2007, PT(t) är den relativa folkmängdsändringen mellan 1997 och

2007, F(t–3) är andel av befolkningen i kommunen med förutsättning för anslutning till fibernätet37, s(t) =s(t) s(t0) är ändringen i skattesatts, och u(t) är andel av

utländska medborgare i 2007 (med bosättningstid i Sverige 2 år, enligt SCB definition)38. Det vill säga, modellen letar efter en korrelation mellan situationen i kommunerna i 2007 (närmare bestämt, folkmängdtrenden, fiberinfrastruktur, och demografi) och förändringen i folkmängd tre år senare. Denna tids förskjutning har två anledningar. En är att effekterna av förändringarna oftast inte är momentana (förutom skatteändringen39). Den andra är att den eliminerar problemet med bakvänd

36 _{Andra faktorer som vi övervägt är kostnader för förskoleverksamhet, kostnader för utbildning,}

kostnader äldre och funktionshindrade, andel av befolkningen i åldersklassen 20-64 år, andel av befolkningen över 65 år, samt medelinkomst, men alla visade antingen icke-signifikant korrelation med

P(t), eller hög korrelation med PT eller båda; mätningar för utbildningsnivå (som vi bedömde som

möjligen relevant) var ej tillgängliga.

37 _{Enligt PTS definition: andel i eller inom 353 meter av en fiberansluten fastighet.} 38 _{Det visar sig att u(t), så som s(t) och F(t}

0) är icke-korrelerat med P10(t), för t = 2010, t0 = 2007. 39

35

kausalitet (dock inte möjligheten att en tredje faktor är orsaken till både fiberinvesteringar och ändring av folkmängdstrenden) 40.

Vi kan nu använda modellen för att kvantifiera inverkan av varje effekt från. EEkvation(5) har meriten av att vara linjär, vilket tillåter oss att verifiera modellen med hjälp av en teknik som kallas för linjär multivariabel regression41, som består i att estimera de okända koefficienterna n som minimerar felet42, . Mer specifik, för

varje kommun i mäter vi P(t)(i), P(t0) (i), P10(i) F(t0)(i)+ s(t)(i) och mäter sedan felet

som43:

(i)

= log P(t)(i) – { log P(t0) (i) + KP10(i) + F F(t0)(i)+ s s(t)(i) + u u(t0) (i). (6)

Vi kan beräkna en felindikator som =  |(i)|2 och leta sedan efter den minsta värden av  genom att variera K, F,s, u. Värden K, F,s, u som minimerar

definierar  är vår estimat av effekterna för K, F,s, respektive u.

När vi kör beräkningar i mjukvarumiljön Matlab®, med hjälp av en linjär regression toolbox, får vi följande resultat:

K = 0.27 ± 0.02 F = 0.025 ± 0.008 s = – 0.50 ± 0.42 u = 0.18 ± 0.13,

där vi har också angivit den 95% konfidensintervall. Vi kan se att mycket av

skatteändringar i tidigare år, men hittade betydligt mindre starkt korrelation.

40 _{Stock & Watson (2003)} 41 _{Stock & Watson (2003)} 42 _{Det vill säga: }

n är estimatet av den okända faktorn n.

43

vi kommer att få ett specifikt fel för varje kommun därför att, även bortsätt från mätfel, varje kommun är unikt och kommer därför beskrivas bättre eller sämre av modellen än andra kommuner

36

folkmängdsutveckling förklaras som väntat av den tidigare trenden (och K är nära

värdet som vi skulle förvänta oss om trenden 1997–2007 skulle förbli under perioden 2007–2010, dvs 3/10=0.3). Vi kan sedan observera att fibern har en positiv effekt: en 10% högre i andel av befolkning som kan nås av fiber, motsvarar en positiv ändring i befolkningen efter tre år med 0.25%. Inte överraskande, har skattesänkningar en positiv effekt också i den korta perioden (3 år), fast dess signifikans är inte stark, som visar den stora felmarginalen. Slutligen, kanske mindre väntat, har en hög andel av utländska medborgare en positiv effekt på folkmängdutveckling (trots också med svag signifikans).

Låt oss nu analysera effekten av fiber i bättre detalj. Figur 10 visar en graf där varje kommun är representerad med en punkt, vars x-koordinat visar kommunens

fiberpenetration (mät som andel av befolkningen med förutsättning för fiber) i 2007, och vars y-koordinat visar justerad ändring i dess folkmängd mellan 2007 och 2010. Justeringen motsvarar en ”rensning” från andra faktorer, och från medeleffekter44. Den svarta linjen följer modellens prognos, med F = 0.025. Det framgår från Figuren

att kommunerna följer prognosen, fastän med ett visst fel, (i), som förklaras med andra faktorer som modellen inte tar hänsyns till.

Det är viktigt att påminna att 95 % felmarginal 0.008 betyder att en kommuns

folkmängd skulle utvecklats varit mellan 0.17% och 0.33% (alltså [0.025 ± 0.008] 10 %) om den hade haft 10 % mer fiber om allt annat hade varit exakt lika, och detta påstående är sant med en 95% säkerhet. Det faktum att en viss kommun visar en folkmängdutveckling som är högre eller mindre än modellens prognos beror inte på säkerhetsintervall, utan på att allt annat som modellen inte tog hänsyn till inte var exakt lika i alla kommuner, samt på mätfel, som i varierande grad alltid präglar vilket vetenskapligt experiment som helst.

44

I matematiska termer: y(i) = log P(t)(i) – log P(t0) (i) – K  [ P10(i) – <P10>] – s 

[s(t)(i) – <s(t)>] – u [u(t0) (i) – <u(t0)>], där < x > = iN x(i) är medelvärdet av

37

Läsaren som är mer insatta i multivariabel regression kan se mer detaljer av beräkningar i tabell 1 nedan.

Figur 10 – Effekten av fiberinstallation på kommunens aktraktivitet: man kan se att högre fiberpenetration i 2007 (mät som andel med förutsättning för fiber enligt PTS definition) led till en högre inflyttning till (eller

lägre utflyttning från) kommunen (mät som procent ändring av invånare, justerad för andra effekter).

TABELL 1: RESULTAT AV LINJÄR MULTIVARIABEL REGRESSION ---

Number of observations: 290 R-square: 0.77335

Adj. R-square: 0.77017

Explained variable: log(pop_Dec_2010 ./ pop_Dec_2007)

--- beta coeff | std. err | tstat | 95% conf int | parameter --- 0.02548 | 0.0042499 | 5.9954 | 0.017116 0.033845 | PTS_FN_2007 -0.50148 | 0.21558 | -2.3262 | -0.92579 -0.077174 | (s2010 - s2007 ) 0.27269 | 0.0105 | 25.971 | 0.25203 0.29336 | Delta_pop_10_2007 0.18092 | 0.066612 | 2.716 | 0.049817 0.31202 | foreign_share_Jun_2007 -0.0013712 | 0.0017409 | -0.78766 | -0.0047977 0.0020552 | ones(length(K01),1) ---

38