parameterskattningen i det fall skattningen skulle bli felaktig och ge orimligt höga parametervärden. I första hand finns den övre gränsen med för att begränsa för- stärkningen. Även en begränsning för systemets poler finns i regulatorn där det garanteras att polerna ligger innanför enhetscirkeln.
Kapitel 8
Validering av reglersystemet
Det reglersystem som simulerats i detta kapitel är uppbyggt enligt figur 7.1 där systemparametrarna skattas enligt avsnitt 5.2 och regulatorn skapas enligt kapi- tel 7. Samplingstiden Tsär i simuleringarna satt till 0.02 sekunder.
Simuleringarna som gjorts i detta kapitel beskrivs i två avsnitt, 8.1 och 8.2. Avsnitten innehåller simuleringar av två olika helikoptermodeller: En modell med utgångspunkt från en framtagen hovringsmodell (avsnitt 8.1) och en större mer komplett modell (avsnitt 8.2). En mer ingående beskrivning av de olika helikop- termodeller som regleras finns i början av varje avsnitt.
8.1 Simulering med utgångspunkt från hovrings-
modell
På Saab Aerosystems i Linköping finns en hovringsmodell för helikoptern Skeldar framtagen. Denna modell användes i simuleringarna som verkligt system i tidsin- tervallet [0, 50]. I tidsintervallen ]50, 100] och ]100, 150] användes modifieringar av hovringsmodellen som verkligt system. Exempelvis ändrades polplaceringen i in- tervallen för att undersöka om den adaptiva regulatorn klarar av att reglera en ändring av dynamiken. De verkliga systemparametrarna finns plottade tillsam- mans med de skattade i figur A.6, A.7 och A.8. Det verkliga systemets poler finns plottade tillsammans med den skattade polplaceringen i figur A.9.
Mätbrusets varians är i de simuleringar som gjorts i avsnitt 8.1.1 och 8.1.2 satt till σ2= 0, men även simuleringar med varians upp till σ2= 1 har gjorts (se
avsnitt 8.1.3).
8.1.1 Adaptering med kalmanfilter
Då reglersystemet simuleras i det fall modellparametrarna skattas med kalmanfil- ter sätts initialvärdet till
ˆ
θ[0] = (−1.5, 0.5, 0, 0.1, 0, 0, −1.5, 0.5, 1, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0)T
0 50 100 150 −50 0 50 p r 1 0 50 100 150 −50 0 50 q r 2 0 50 100 150 −50 0 50 r r 3
(a) Systemets utsignaler då skattning med kalmanfilter används. 25 30 35 40 45 50 −40 −20 0 20 40 25 30 35 40 45 −40 −20 0 20 40 25 30 35 40 45 50 −40 −20 0 20 40 p r 1 q r 2 r r 3
(b) Zoomning av systemets utsignaler då kal- manskattning används.
Figur 8.1.Simulering då kalmanskattning används.
Eftersom de verkliga systemparametrarna för hovringsfallet är kända i Saabs hov- ringsmodell kan valet av parametrar göras så att ˆθ[0] = θ[0] (se figur A.6, A.7 och A.8 för verkliga parametervärden). Startvärdet ˆθ[0] har dock valts med lite avvikelse från det verkliga startvärdet. Detta har gjort för att undersöka om pa- rametrarna konvergerar mot de verkliga parametervärdena. Designparametrarna Q, R och P [0] i algoritm 2 är satt till I · 10−4, I och I · 102 (se avsnitt 6.3 för
motivering). Steglängden µ för lågpassfiltret enligt algoritm 5 är satt till 0.1 och viktmatriserna Q1och Q2i algoritm 4 är valda enligt (7.7) och (7.8). Matriserna R
och Q är i algoritm 6 enhetsmatriser. Startvärde för observatörens kovariansmatris P [0] är I · 102.
I figur 8.1 följer utsignalerna referenssignalerna väl då Saabs hovringsmodell används (t ≤ 50). När den modifierade modellen med fler korskopplingar och an- nan polplacering används i intervallet ]50, 100] är regleringen fortfarande god. Även i intervallet ]100, 150] klarar regulatorn av att reglera systemet. I figur A.6, A.7 och A.8 finns de verkliga parametrarna plottade tillsammans med de skattade. Som ses i figurerna följer de skattade parametrarna de verkliga med lite felmar- ginal. Även om de skattade parametrarna inte alltid stämmer väl överrens med de verkliga så är skattningen av polplaceringen (se figur A.9) god. Detta är det väsentliga i skattningen och även den kraftiga ändringen av polernas placering i intervallet ]100, 150] klarar kalmanfiltret av att skatta.
De insignaler som genereras av regulatorn kan ses i figur A.5. Som ses i figuren ligger samtliga insignaler på rimliga nivåer.
8.1 Simulering med utgångspunkt från hovringsmodell 49 0 50 100 150 −50 0 50 0 50 100 150 −50 0 50 0 50 100 150 −50 0 50 p r 1 q r 2 r r 3
(a) Systemets utsignaler då NLMS används.
25 30 35 40 45 −40 −20 0 20 40 p r 1 25 30 35 40 45 −40 −20 0 20 40 q r 2 25 30 35 40 45 −40 −20 0 20 40 r r 3
(b) Zoomning av systemets utsignaler då skattning med NLMS används.
Figur 8.2.Simulering då skattning med NLMS används.
8.1.2 Adaptering med NLMS
Då reglersystemet simuleras i det fall modellparametrarna skattas med NLMS sätts initialvärdet till
ˆ
θ[0] = (−1.5, 0.5, 0, 0.1, 0, 0, −1.5, 0.5, 1, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0)T
För motivering se avsnitt 8.1.1. Designparametrarna µ och α är i algoritm 1 satta till 0.4 och 0.01. Steglängden µ för lågpassfiltret enligt algoritm 5 är satt till 0.1 och viktmatriserna Q1och Q2i algoritm 4 är valda enligt (7.7) och (7.8). Matriserna R
och Q är i algoritm 6 enhetsmatriser. Startvärde för observatörens kovariansmatris P [0] är I · 102.
Simuleringen med NLMS-skattning görs på samma sätt som med kalmanskatt- ning. Resultaten visas i figur 8.2 där utsignalerna följer referenssignalerna under hela simuleringen. Som ses i figur A.6, A.7 och A.8 stämmer de skattade paramet- rarna inte alltid överrens med de verkliga. Men även om parameterskattningen inte alltid är så god så stämmer den skattade polplaceringen (se figur A.9) ganska bra överrens med den verkliga. Vid tiden t = 100 då systemets poler kraftigt ändras konvergerar dock inte NLMS skattningen lika snabbt som när parameterskattning- en görs med kalmanfilter. Vilken skattningsmetod som är bäst är dock svårt att säga. Båda metoderna ger lika bra referensföljning och likvärdiga parameterskat- tingar. Skattning med kalmanfilter ger dock snabbare konvergens av polplaceringen men algoritmen är också mer beräkningskrävande.
De insignaler som genereras av regulatorn då skattning sker med NLMS kan ses i figur A.5. Som ses i figuren ligger samtliga insignaler på rimliga nivåer.
0 50 100 150 −50 0 50 p r 1 0 50 100 150 −50 0 50 q r 2 0 50 100 150 −50 0 50 r r 3
(a) Systemets utsignaler då skattning med NLMS används. 0 50 100 150 −50 0 50 0 50 100 150 −50 0 50 0 50 100 150 −50 0 50 p r 1 q r 2 r r 3
(b) Systemets utsignaler då kalmanskattning används.
Figur 8.3.Simulering med NLMS- respektive kalmanskattning då mät- och processbrus med varians 0.5 används.
8.1.3 System- och mätbrusets inverkan på reglersystemet
När parametrarna i vektorn θ[t] skattas antas insignalerna u[t] vara korrekta ef- tersom de bestäms av regulatorn. Utsignalerna y[t] måste dock mätas och påverkas således av mätbrus. Detta leder till fel i parameterskattningen och det är därför av stor vikt att mätningarna y[t−1] och y[t−2] är korrekta. I de simuleringar som gjorts har det visat sig att de skattade parametrarna ligger nära de verkliga då mätbruset är vitt med varians upp till σ2= 0.5. Om mätbruset är vitt med variansett blir regleringen sämre. Regulatorn klarar fortfarande av att hålla utsignalerna kring börvärdena, men den reglerade utsignalen blir mer brusig. Detta beror dels på att parameterskattningen inte blir lika bra när det finns mycket mätbrus, men också på att det är svårare att reglera ett brusigt system.
Om systemet simuleras med processbrus w[t] som är vitt brus med varians 0.5 blir parameterskattningen fortfarande bra, regleringen blir dock något sämre.
I figur 8.3 och A.10 är systemet simulerat med vitt mät- och processbrus. Både mätbruset v[t] och processbruset w[t] har varians 0.5. Som ses i figur 8.3 blir det svårare för regulatorn att reglera systemet när mät- och processbrus finns.