Beräkningsmodell för förstärkning

Då strukturens initiella fördelning av töjningar är beräknad enligt ovanstående underavsnitt 8.1.3 kan erforderlig förstärkning beräknas. I denna rapport kommer beräkningarna att nyttjas som en jämförande parameter till de laborativa försök vilka presenteras i kapitel 9. Beräkningarna utförs då med kolfiberförstärkningens

tvärsnittsarea och förankringslängder kända, men med momentkapaciteten som okänd parameter. I detta avsnitt behandlas de brott enligt de olika moder som beskrivs ovan i underavsnitt 8.1.2.

De balkar som används i försöken har ett dubbelarmerat tvärsnitt, vilka också nedan redovisade beräkningar inriktar sig mot. För ett tvärsnitt som är dubbelarmerat kan fyra olika brottyper direkt kopplat till armeringsutförandet antas. Dessa är

I. Brott i laminat med flytning i tryckarmening II. Brott i laminat utan flytning i tryckarmering III. Stukning av betong samt flytning av tryckarmering IV. Stukning av betong utan flytning i tryckarmering

Enligt BBK 94 underavsnitt 3.6.2 begränsas betongstukningen, εcu, vid dimensionering till 3,5 ‰. För dimensionerande brottöjning i kompositen gäller en begränsning till 70

% av εfu.

Då en betongbalk förstärks för ett ökande av momentkapaciteten i brottgränstillstånd förutsätts dragarmeringen uppnå sin flytgräns och deformeras plastiskt. En balk med ett

rektangulärt tvärsnitt, dubbelarmerad och förstärkt med utanpåliggande FRP-förstärkning, erhålls fördelningar av spänningar och töjningar enligt Figur 8.4.

Figur 8.4 Töjnings- och spänningsdiagram för en böjmomentförstärkt rektangulär balk.

Täljsten (2000).

Då Bernoullis hypotes om plana tvärsnitt förutsätts gälla, fördelar sig töjningen rätlinjigt över tvärsnittet och den tryckta får en spänningsfördelning likformig med dess

arbetskurva. Detta faktum står att betrakta nedan i Figur 8.5. Detta ger möjligheten att beräkna tryckresultantens storlek och läge i tvärsnittet.

Figur 8.5 Likformighet mellan spänningsfördelningen i tvärsnittets tryckta del och arbetskurvan förmotsvarande tryckta betong. Hejll & Norling (2001).

Brottyp I

Brottyp I bygger på ett brott i fiberkompositen samtidigt som tryckarmeringen i betongbalken flyter. En kraftjämvikt samt en momentjämvikt kring betongens tryckresultant med positivt moment motsols formuleras enligt följande

0

samt med antagandet om att fiberkompositen är linjärelastisk upp till brott, d.v.s. att Hookes lag gäller, kan F_f skrivas som

Dessutom gäller för betong

bx f

F

= α

En substitution av uttrycken för krafterna i ekvation 8.13 med ekvationerna 8.15 och 8.16 ger uttrycket

) Sambandet enligt ekvation 8.14 kan på samma sätt omskrivas till

' 0

' _y+ _cc − _{s y} − _{fu f f} =

sf f bx A f E A

A α ε (Ekv. 8.20)

ur vilken tryckzonshöjden, x, kan lösas enligt

vilket gör att alla okända parametrar är beskrivna och momentkapaciteten kan beräknas enligt ekvation 8.18.

Brottyp II

Definitionen av brottyp II är brott i laminat utan flytning i tryckarmering. Analogt med uppställda ekvationer för brottyp I kan för typ II kraft- och momentjämvikt formuleras enligt ekvationerna 8.13 och 8.14. Skillnaden för typ II jämfört med typ I är storleken av den kraft som upptas av tryckarmeringen. För att härleda denna nyttjas ett samband för likformiga tringlar i Figur 8.4b ovan. Likformigt samband mellan töjning i

fiberkomposit och tryckt betong ger

x

Vetskapen om att tryckarmeringen inte flyter ger att likformighet även måste råda mellan töjning i tryckstål och tryckt betong, d.v.s.

'

och med ekvation 8.21 kan denna omskrivas till

x

Vi vet att tryckstålet inte flyter, d.v.s. Hookes lag gäller och kraften i stålet kan då skrivas enligt

vilket tillsammans med ekvationerna 8.16 och 8.18 insatt i den horisontella jämviktsekvationen 8.14 ger

' 0

' _{s s} + _cc − _{s y} − _{fu f f} =

sE A αf bx A f ε E A

ε (Ekv. 8.26)

och med insättning av 8.24 ger detta

vilket är en andragradspolynom med avseende på tryckzonshöjden, x vilket skrivs på formen

och därur kan tryckzonshöjden beräknas. Momentkapaciteten kan därefter med insättning av ekvationerna 8.16, 8.17 samt 8.24 och 8.25 i 8.13 beräknas enligt

)

För brottyp III gäller att betongen stukas med samtidig flytning av tryckarmering. Likt för brottyp I och III gäller samma villkor för jämvikt vilket beskrivs enligt ekvationerna 8.13 och 8.14. Skillnaden mot de tidigare beskrivna brottyperna är för detta fall

formuleringen för den aktuella kraften i fiberkompositen vid brott. För kraft i tryckarmering gäller ekvation 8.15 och för tryckt betong ekvation 8.18. För dragarmeringen gäller ekvation 8.16. För fiberkompositen gäller att den deformeras elastiskt och Hookes lag gäller således. Kraften i denna kan då beskrivas enligt

f f f

f E A

F =ε (Ekv. 8.31)

För att beskriva den aktuella töjningen i fiberkompositen utnyttjas även för denna brottyp likformiga trianglar enligt Figur 8.4b.

Bernoullis hypotes om plana tvärsnitt ger oss

0

och kraftjämvikten i ekvation 8.14 kan då med insättning av ekvationerna 8.15, 8.16 och 8.30 samt 8.31 skrivas som

vilket, likt för tidigare beskriven brottyp, beskriver ett andragradspolynom med avseende på tryckzonshöjden, x. Detta kan beskrivas med

2 +Ex+F =0

Dx (Ekv. 8.34)

där konstanterna D, E och F beskrivs enligt



och höjden för den tryckta zonen kan beräknas vilket i sin tur ger en möjlighet att beräkna momentkapaciteten enligt

)

Brottyp IV gäller om betongen stukas utan flytande tryckarmering. Jämvikt gäller enligt ekvationerna 8.13 och 8.14. För kraft i betong vid stukning gäller ekvation 8.18, samt för kraften i det flytande dragarmering gäller ekvation 8.16. Töjningen i

fiberkompositen vid brott beskrivs enligt ovanstående underavsnitt och med ekvation 8.32.

För att beskriva den aktuella töjningen i tryckarmeringen vid brott nyttjas ännu en gång likformighet ur Figur 8.4b. Här gäller en likformighet mellan töjning i tryckt betong och töjning i tryckt armering.

Med antagandet om att Bernoullis hypotes gäller kan töjningen i tryckarmeringen

Insättning av ekvationerna 8.16, 8.18, 8.25 samt 8.31, 8.32 och 8.37 i kraftjämviktsekvationen 8.14 ger

0

och ur denna andragradsekvation kan höjden av tryckzonen beräknas med hjälp av den förenklade formen

och detta ger möjligheten att beräkna momentkapaciteten enligt ekvation 8.13 med insättning av 8.16, 8.18 samt 8.31, 8.32 och 8.37 vilket ger

)

Enligt Täljsten (2000) är FRP-förstärkningens förankringslängd en mycket viktig parameter för att en verkningsfull förstärkning skall formges. Ett förankringsbrott exemplifieras i Figur 8.2 av brottmod 5. En kritisk förankringslängds existens ådagaläggs