5. Resultat och analys
5.2 Elevernas lärande gällande talens kardinala aspekter
Inledningsvis redogörs för resultatet på TEMA-3 testet (tabell 6) där urvalet av informanter till fallstudierna gjordes på grundval av antal förbättrade uppgifter. Under fallstudier presenteras
39
och analyseras respektive informants lärande eller förändrade sätt att erfara lärandeobjektet på utifrån de data som samlats in från de olika källorna.
5.2.1 TEMA-3
De uppgifter från TEMA-3-testet som behandlar kardinalitetsbegreppet och som därmed användes i studien finns formulerade i tabell 5. I tabellen finns anvisningar till testledaren och i bifogad bilaga (bilaga 1) finns uppgifterna i sin helhet.
Tabell 5. Anvisningar till testledaren för del-helhetsuppgifterna i TEMA-3
16 17 25 26
Johan har 5 brickor, och så får han 2 till. Hur många har han tillsammans?Om du vill kan du använda dina fingrar eller de här brickorna för att ta reda på svaret.
Nu ska jag berätta några räknesagor. Du kan använda dina fingrar, de här brickorna, tänka i huvudet eller göra en bra gissning för att få fram svaret.
Jag ska berätta några räknesagor för dig. Du kan använda de här brickorna om du vill. Om barnet använder en framgångsrik räknestrategi fråga om de kan besvara frågan utan att räkna.
Lägg 2 brickor i din vänstra hand och 1 bricka i din högra. Säg: Se här, jag har 2 brickor i den här handen, och 1 bricka i den här. Nu lägger jag ihop brickorna. Hur mycket är 2 och 1 tillsammans?
Eleverna som ingår i fallstudierna är markerade med grå färg i tabellen nedan (tabell 6). I tabellen används de identifikationskoder som eleverna hade i CoDAC-projektet men i den löpande texten väljer jag att också ge eleverna fiktiva namn för att skapa mer flyt i både läsning och skrivning. I kolumnen näst längst till höger framgår det hur många av del- helhetsuppgifterna som eleverna förbättrade sig på och längst till höger finns det sammanlagda antalet uppgifter som respektive elev spelade under interventionsperioden. Som jämförelse kan nämnas att medelvärdet för antal spelade uppgifter för femåringarna är 1270.
De uppgifter som eleverna förbättrade sig på, det vill säga uppgifter som eleverna inte klarade på förtestet men som de klarade på eftertestet markerades med ett x (se tabell 6). Av de totalt 33 femåringarna förbättrade 14 av dem sig på minst en av del-helhetsuppgifterna.
40
Tabell 6. Antal förbättrade uppgifter på delhelhetsuppgifterna i TEMA- 3-testet samt antal
spelade uppgifter för eleverna som ingår i fallstudierna (ljusgrå formatering).
Elev Uppgifter konstruerade för 5- åringar Uppgifter konstruerade för 6-åringar Antal förbättrade uppgifter
Antal spelade uppgifter 16 17 25 26 1101 x x 2 1102 0 1103 0 1104 x 1 445 2101 x x 2 792 2102 x 1 2103 0 2104 x 1 3101 0 820 3102 0 4101 x 1 4102 x x 2 4103 x 1 4104 x x 2 4105 0 4107 0 4110 0 5101 0 2299 5102 x x 2 4385 5104 x x x 3 5105 x 1 5106 0 5107 0 5108 0 5109 x 1 1270 5110 0 6101 0 6102 0 6103 0 6104 0 6105 0 6106 x 1 6107 0 6 7 2 6 Sammanfattande analys
Resultatet visar att eleverna i olika grad förbättrade sig på TEMA-3 testets uppgifter. Uppgift 16, som prövar kunnande om att två delar tillsammans bildar en helhet förbättrade sig sex elever på. I uppgift 17 testas istället kunnande om att en helhet består av mindre delar. Svaret behöver
41
inte vara exakt men eleverna måste visa kunnande om att varje del för sig får inte kan vara större än den ursprungliga helheten. Uppgift 17 förbättrade sju av eleverna sig på. Till skillnad från i uppgift 17 ska eleverna i uppgift 26 ge ett exakt svar utan stöd av konkret material. Eleverna förväntas visa kunnande om att de båda delarna 3 och 4 bildar helheten 7. Antal elever som förbättrade sig på denna uppgift var lika många som i uppgift 16, det vill säga sex stycken. Den uppgift, kopplat till del-helhetskompetens, som bara två av eleverna förbättrade sig på var uppgift 25 som handlade om att dela 12 i lika stora 2- och 3-grupperingar.
5.2.2 Fallstudier
I denna del presenteras sex olika fallstudier som syftar till att beskriva hur eleverna uppfattade lärandeobjektet tals kardinalitet.
Fallstudierna redogörs för utifrån flest antal förbättrade uppgifter på TEMA- 3-testet till minst antal förbättrade uppgifter. Resultatet av videoinspelningarna delges under olika underrubriker där rubriken indikerar den nivå som eleven spelade på när inspelningen gjordes. Avsnittet avslutas med en sammanfattande analys av samtliga fallstudier.
Elever med två förbättrade uppgifter på TEMA-3-testet
Kim (elev 2101)
TEMA-3-testet
Kim förbättrade sig på uppgiften som handlade om att kunna addera två delar till en helhet och på uppgiften som handlade om att en helhet kan delas upp i två mindre delar där helheten är större än varje del för sig. Kim visar därmed att han utvecklat kunnande om tals del- helhetsrelationer.
Videoinspelning Nivå 1
Vid första tillfället, när Kim spelar på nivå 1 använder hen bara högerhanden och hen försöker vidröra eller mappa frukterna med fingrarna. Tärningsfemma (5a) representerar hen direkt med hel hand och likaså tärningstrean (3a) och tvåan. Kim visar därmed förståelse för ekvivalensbegreppet, att antalet frukter måste vara lika många som antalet fingrar. Triangeltrean (3b) uppfattar hen inte som antalet 3 utan hen representerar den med hel hand. Kim transformerar 3a + 2a till helheten 5 (hel hand). Hen uppfattar att 1+1 är helheten 2 då hen sätter ner två fingrar med höger hand.
42
Nivå 5
Kim uppfattar direkt antalet 4 i de båda olika gestaltningarna (4a och 4b) och hen viker in tummen när hen representerar 4. Däremot har Kim lite motoriska svårigheter med att formera antalet tre med en hand. Vidare kan konstateras att hen direkt uppfattar fem i gestaltningen 5b. Hen tycks inte uppfatta antalet i 6b eftersom hen vid flera tillfällen representerar denna med hel hand. Gestaltningen 7b representerar hen som 5+2 och 6a (tärningssexan) som bestående av delarna 3 och 3.
Nivå 6
På nivå 6 undersöker Kim gestaltningen 6b genom att pekräkna. Vid ett tillfälle hinner hen räkna alla sex frukterna och efter ett tags spelande lär hen sig att representera 6b som 5+1. Fortsättningsvis räknar Kim bara två av frukterna innan hen högt konstaterar att det är ”sex”. Hen uppfattar antalet 7 i båda gestaltningarna (7a och 7b). Vidare visar hen kunskap om att 1+4 bildar helheten 5 men också att helheten 6 bestå av delarna 5+1. Antalet 7 representerar hen som 5+2 och hen transformerar även 1+6 som 5+2. I uppgiften 7b +1 utgår hen från att hen vet att 7 är detsamma som 5+2 vilket blir tydligt då hen direkt säger 7, 8 samtidigt som hen direkt formerar 5+2 för att sedan lägga till en (långfingret). Uppgiften 4a+6a löser hen genom att utgå från att 6a är detsamma som 3+3. Därefter viker hen ut tumme och lillfinger på respektive hand. Inledningsvis tittar hen på sina fingrar men i slutet sätter hen ner två händer direkt.
Sammanfattande analys av videoinspelning
Kim uppfattade direkt samtliga gestaltningar för antalen 1 till 6. Den enda gestaltning som han med säkerhet kände igen i talområdet över 6, är 7b som är formerad som en cirkel. Kim visade genomgående prov på perceptuell subitiseringsförmåga då hen direkt bestämde antal om 1 till 3. En början till konceptuell förmåga uppvisade hen då hen representerade helheten 6 som 3+3 och hen kunde urskilja de två mindre antalsenheterna om tre. Kim kopplade direkt ihop det visuellt uppfattade antalet frukter med sina fingrar och hen var väl förtrogen med att representera antal upp till 7 med sina fingrar. Kim visade förståelse av ekvivalensbegreppet då hen uppfattade två treheter i sex genom att hen direkt visade 3+3 med sina båda händer. När hen ombildade 7 som 5+2 visar hen att hen till viss del hade uppfattat den halvdecimala strukturen i talen mellan 6 och 10. En tolkning är att hen också hade förståelse för att en till (+1) är nästa tal i talsekvensen vilket grundas i hen transformerade 6 som 5+ 1 och 5 som 4+1. Denna förmåga att uppfatta nästa tal i talsekvensen som ett mer är ytterligare en kritisk aspekt av kardinalitetsbegreppet. Kim visade prov på att hen utvecklat kompetens att erfara tal både som delar av en helhet men också att helheten kan bestå av mindre delar.
43
Del-helhetstestet
Kim förbättrade sig på samtliga uppgifter som handlade om att visa antalen 2-5 med två händer och hen klarade fyra av fem uppgifter på eftertestet. På förtestet visade Kim antalet på vardera handen, till exempel visade hen 4 som 4+4 och 5 som 5+5 vilket kan tolkas som att hen inte hade uppfattat att ett tal kan delas upp i mindre antalsenheter. Hen lärde också sig att representera åtta med fingertalen 3+5 och 5+3. Kim kunde muntligt, utan fingertalsstöd, uppge femkompisarna till 1, 2 och 3.
Tabell 7: Sammanfattande analys av Kims utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.
Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att eleven ännu inte urskilt draget.
Kritisk aspekt Kritiska drag
Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt har samma värde om de är i en- till en
korrespondens med varandra.
Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur objekten är ordnade.
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och bilda nya helheter
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i mindre antalsenheter eller delar.
Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas upp på olika sätt.
Subitisering Perceptuell subitisering
subitisering Konceptuell subitisering
Robin (elev 5102)
TEMA-3-testet
Robin förbättrade sig på uppgiften som handlade om att kunna addera två delar till en helhet och på uppgiften som handlade om att addera två delar till en helhet utan visuellt eller konkret stöd vilket kan tolkas som att Robin har urskilt att två delar (tal) kan sättas samman till en ny helhet.
44 Videoinspelning
Nivå 1
Robin subitiserar antalen 1, 2 och 3, direkt vilket tyder på perceptuell subitiseringsförmåga. Robin representerar tärningsfemman med en hel hand och den tycktes han känna igen. (4a) som 2+2. Första gången tärningsfyran (4a) visades representerade han den som 2+2 men då han inte lyckades sätta ner fingrarna samtidigt indikerades felsvar och därefter representerade han tärningsfyran med 3 fingrar.
Robin svara oftast med att mappa (2+2), det vill säga han visar den ena sortens frukt med höger hand och andra sortens frukt med vänster hand vilket kan tolkas som att hen har en förståelse av ekvivalenssbegreppet. Robin representerar de båda kombinationerna 1+2 och 2+1 med 3 fingrar på ena handen, det vill säga att han vet att de båda delarna tillsammans bildar helheten 3. När 3 adderas med 1 får han svårigheter med att direkt representera antalet med fingrarna och man kan se hur han försöker räkna antalet fingrar.
Nivå 5
Vid detta tillfälle är Robin okoncentrerad. Han visar dock att han direkt uppfattar både tärningsfemman (5a) och pyramidfemman (5b) men även de båda fyrorna (4a och 4b). De båda gestaltningarna av 6 transformerar han till 3+3. Han visar också att han vet att delarna 5+1 blir helheten 6 och här visar han även förståelse för kommutativa lagen för addition då han representerar 5+1 som 1+5. Däremot klarar han inte av uppgifter som 2+6 och säger ”hur många är de” varpå han försöker pekräkna men han hinner inte.
Nivå 7
Den enda gestaltning som Robin inte direkt uppfattar är 8a, däremot känner han igen 8b direkt. Första gången 8a visas gissar han medan han pekräknar rätt nästa gång den visas. Även 9b blir fel första gången då han uppfattar denna som 10 medan han direkt uppfattar den korrekt andra gången den visas.
Sammanfattande analys av videoinspelning
Robin lärde sig att känna igen de gestaltningar som ingick i spelet och han koordinerade det visuellt presenterade antalet frukter motoriskt med sina fingrar upp till 10. Han visade på en viss konceptuell subitiseringsförmåga, när hen representerade 6 som 3+3 och 4 som 2+2 då hen grupperade antalet i mindre enheter eller kända mönster. Helheten 8 (8b) representerade hen genomgående som 3+5 och det är möjlig att hen mentalt kunde urskilja antalsgrupperna 3 och 5 i gestaltningen.
45
Robin visade att han behärskade kardinalitetsbegreppet för talen 1-10. Hen hanterade antal på ett flexibelt sätt och hen uppfattade tal både som delar av en helhet men också som helheten bestående av mindre delar. Robin transformerade antalet 10 på olika sätt såsom 9+1, 5+5, 3+7 och 2+8. Hen visade också kunskap om att 9 kan vara 4+5, 6+3 och 1+8 men också att 8 består av delarna 3+5 och 7+1. Antalet 6 (6a och 6b) däremot representerades konsekvent som 3+3.
Del-helhetstestet
Robin förbättrade sig på alla uppgifter som handlade om att visa antalen 2-5 med två händer. Talen 2, 3 och 5 representerade hen som 2+0, 3+0 och 0+5 med sina fingrar. På förtestet visade Robin däremot antalet på vardera handen vilket kan tolkas som att hen inte då uppfattat att ett tal kan delas upp i mindre antalsenheter. På eftertestet kunde hen också visa två olika kombinationer av 6 (5+1, 4+2) och 8 (4+4, 5+3) vilket hen inte kunde på förtestet. Kim utvecklade också kunnande om att muntligt, utan fingertalsstöd, uppge femkompisarna till 2, 3, 4 och 5. Däremot uppvisade hen inte kompetens i att muntligt kunna uppge femkompisen till fem. Robin kunde inte muntligt uppge någon tiokompis, varken på för- eller eftertestet.
Tabell 8: Sammanfattande analys av Robins utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.
Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att eleven ännu inte urskilt draget.
Kritisk aspekt Kritiska drag
Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt har samma värde om de är i en- till en
korrespondens med varandra.
Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur objekten är ordnade.
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och bilda nya helheter
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i mindre antalsenheter eller delar.
Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas upp på olika sätt
Subitisering Perceptuell subitisering subitisering Konceptuell subitisering
46
Kommentar: Eftersom Robin spelat väldigt många gånger är det svårt att avgöra om hen faktiskt uppfattar mindre antalsenheter i en större mängd eller om hen bara lärt sig att känna igen samtliga gestaltningar.
Elever med en förbättrad uppgift på TEMA-3-testet
Alex (elev 1104)
TEMA-3-testet
Alex förbättrade sig på uppgiften som handlade om att en helhet kan delas upp i två mindre delar där helheten är större än varje del för sig. Alex visar kunnande om att tal kan delas upp i mindre antalsenheter.
Videoinspelning Nivå 1
Alex klarar nivå 1 först i den fjärde omgången. Hen subitiserar antalet 1 och 2 och hen känner direkt igen tärningsfemman (5a) och de båda tremönstren (3a och 3b) och hen sätter ner lika många fingrar som antal frukter (ekvivalens). De första tre spelomgångarna uppfattar hen inte antalet 4 i tärningsfyran (4a) utan det är först i fjärde omgången som hen representerar fyra som hand minus tumme. Däremot representerar hen genomgående 2 stycken tvåor som helheten 4. Alex representerar redan från början 2+3 som helheten 5 och hen vet också att 1+1 ger helheten 2 och att 1+2 är 3 och 3+1 är 4.
Nivå 2
Alex visar säkerhet i att uppfatta gestaltningen 4a (tärningsfyran) och hen tar stöd i den halvdecimala strukturen då hen omgrupperar 3+3 till 5+1.
Nivå 5
Gestaltningarna 4b, 5b och 6a känner Alex igen direkt, däremot inte 6b och 7b. Hen mappar kombinationer som hen inte måste ombilda såsom 4b + 3a. Alex visar att hen vet att antalet 6 kan representeras på olika sätt såsom 3+3 och 5+1. Vidare kan hen olika talkombinationer för antalet 8, både som 5+3 men också som dubbla fyror. Hen vet också att 6+2 kan representeras som 4+4.
Sammanfattande analys av videoinspelning
Alex visade prov på perceptuell subitisering då hen direkt uppfattade antal om 3 stycken. Efterhand lärde hen sig att känna igen fler och fler gestaltningar såsom tärningsmönstren men
47
också 4b och 5b. Hen visade 6 som 3+3 vilket skulle kunna indikera en viss konceptuell kompetens men den troliga tolkningen är att hen ännu inte kunde urskilja grupper eller mönster av antal i en gestaltning med många objekt. Hen behärskade kardinalitetsprincipen gällande del- helhetsbegreppet för antal mellan 1- 6 men också för antalet 8. Alex koordinerade det visuellt uppfattade antalet frukter direkt med sina fingrar och hen var väl förtrogen med att representera antal mellan 1-6 men även antalet 8 med sina fingrar.
Del-helhetstestet
Alex förbättrade sig på samtliga uppgifter som handlade om att visa antalen 2-5 med två händer som hen på förtestet konsekvent visade som 2+2, 3+3, 4+4 och 5+5. Detta kan tolkas som att hen har erfarit att ett tal kan delas upp i mindre antalsenheter. Alex visar redan på förtestet kunnande om att representera antalen 6, 8 och 10 med två händer men på eftertestet visar hen ytterligare en kombination för antalet 8.
Alex kunde muntligt uppge femkompisarna innan testet och på förtestet gav hen kombinationen 5+5 som ett förslag till att bilda helheten 10 vilket var densamma som på eftertestet.
Tabell 9: Sammanfattande analys av Alex utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.
Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att eleven ännu inte urskilt draget.
Kritisk aspekt Kritiska drag
Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt har samma värde om de är i en- till en
korrespondens med varandra.
Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur objekten är ordnade.
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och bilda nya helheter
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i mindre antalsenheter eller delar.
Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas upp på olika sätt
48
subitisering Konceptuell subitisering
Joan (elev 5109)
TEMA-3-testet
Joan förbättrade sig på uppgiften som handlade om att kunna addera två delar till en helhet utan visuellt eller konkret stöd. Hen visar därmed visst kunnande om tals del-helhetsrelationer
Videoinspelning Nivå 1
Joan uppfattar utan att pekräkna antalen 1-5. Hen mappar samtliga kombinationer förutom tärningsfyran som hen som hen uppfattar som två stycken tvåor och visar därmed kunnande om ekvivalenssbegreppet. Hen uppfattar även att delarna 1+1 bildar helhet 2.
Nivå 7 (film 2 och 3)
Joan uppfattar direkt, utan att pekräkna, samtliga gestaltningar av antal upp till och med fem. Tärningssexan (6a) och tio-gestaltningen känner hen också igen direkt. Övriga gestaltningar pekräknar hen konsekvent. I de fall det är möjligt mappar hen (4+3, 4+2, 4+4, 5+2). I resterande fall, då en hand inte räcker för att representera en fruktsort, omgrupperar hen antalet på fingrarna. Hen visar att hen på ett flexibelt sätt kan transformera antalen 8 till 10 t.ex. 8=3+5, 6+3=4+5, 8+2=5+5 etcetera.
Resultatanalys videoinspelning
Joan subitiserade antalen 1 till 5 samt tärningssexan och 10 gestaltningen direkt. Joan visade att hen behärskar kardinalitetsprincipen för alla antal mellan 1-10 förutom antalet 7. Hen fastslog antalet i övriga gestaltningar genom att pekräkna. När hen väl tagit reda på antalet genom pekräkning representerade hen med lätthet antalet med sina fingrar.
Del-helhetstestet
Joan förbättrade sig bara på uppgiften som handlade om att representera 6 med två händer. Antal mellan 2- 5 representerade hen även efter interventionen genom att visa samma antal på båda fingrarna (2+2, 3+3). Enligt testet försämrades till och med hens resultat något då hen i förtestet kunde uppge femkompisarna till 2 och 3 vilket hen inte visade kunnande om på eftertestet.
49
Tabell 10: Sammanfattande analys av Joans utvecklade förståelse av kardinalitetsbegreppet.
Grönt indikerar ett kunnande, orange att eleven delvis urskilt det kritiska draget och rött att eleven ännu inte urskilt draget.
Kritisk aspekt Kritiska drag
Ekvivalens Förståelse för att olika uppsättningar med objekt har samma värde om de är i en- till en
korrespondens med varandra.
Ekvivalens Förståelse för att antalet är konstant oavsett hur objekten är ordnade.
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att tal kan sättas samman och bilda nya helheter
Del-helhetsbegreppet En förståelse för att helheter kan delas upp i mindre antalsenheter eller delar.
Del-helhetsbegreppet Att tal kan transformeras/omgrupperas och delas upp på olika sätt
Subitisering Perceptuell subitisering subitisering Konceptuell subitisering
Elever utan förbättrade uppgifter på TEMA-3 testet Kai (elev 3101)
TEMA-3-testet
Inga identifierade förbättrade uppgifter.
Videoinspelning Nivå 1
Kai uppfattar direkt 1, 2, 3 (3a och 3b) och tärningsfyran. Däremot är hen osäker på tärningsfemman som hen representerar på olika felaktiga sätt och hen uppfattar inte att delarna 3 och 2 bildar helheten 5. Hen berättar muntligt att tärningsfyran består av två stycken tvåor då hen säger ”två, två” samtidigt som hen registrerar fyra fingrar med en hand. Övriga kombinationer mappar hen. Kai visar därmed också förståelse för ekvivalensbegreppet.
Nivå 5
Kai känner nu direkt igen tärningsfemman och representerar den som hel hand. Hen uppfattar också direkt 7b som hen korrekt representerar som 2+5. Vidare visar hen att hen nu också känner igen den alternativa gestaltningen för antalet 4 (4b). Hen gör en ansats till att pekräkna gestaltningen 6b men hinner inte.
50
Kai visar att hen är förtrogen med samtliga gestaltningar för antal mellan 1 till 5 samt för mönstret 7b som hen representerar som 5+2. Övriga gestaltningar kan hen ännu inte identifiera. Hen uppfattar helheten 4 som 2+2 och 7 som 5+2.
Sammanfattning videoinspelning
Kai subitiserade antalet 1- 3 som hen representerade korrekt med fingrarna. Kai lärde sig under tiden som hen spelade att känna igen gestaltningarna för 4 och 5. Gestaltningen för 7 (7b) representerade hen som 5+2. Kai visar också att hen uppfattade de ”lika stora” delarna 2+2 i helheten 4.
Del-helhetstestet
Kai kunde på eftertestet visa antalet 3 och 2 med två händer men också antalet 6 som 5+1. Övriga helheter (5,4 8 och 10) kunde hen däremot inte visa med två händer. På eftertestet kunde