4.3 (Skol)böckernas makt
4.3.1. För mycket kunskap?
Att det under historiens gång utvecklats ett omfattande matematiskt symbolspråk har medfört att skolans undervisning har som uppgift att eleverna ska nå grundkunskaper om matematikens notation, bl.a. inför
fortsatta studier. Mot detta kan kritiker lyftas fram, bl.a. Lakatos, som menar att den
225 Säljö, 47f.
226 Jan Unenge, Människorna bakom matematiken, Studentlitteratur, Lund (1997), 6. 227 Unenge, 7.
matematik som möter eleverna i skolan alltför mycket inriktats mot formell kunskap om uttryck och metoder. Följden har blivit att matematiken alltmer framstår för eleverna som ett mekaniskt och ofta fantasilöst följande av givna regler. Också förespråkare för de teoribildningar som har stort inflytande på dagens matematikdidaktiska forskning (huvudsakligen sociokulturell och metakognitiv teori) anser att skolmatematiken borde gå in också på tankegångar och begrepp som ligger till grund för den formella matematiken, liksom de möjligheter matematiken ger oss. Sett ur ett historiskt perspektiv har matematiken existerat både som vetenskap och som redskap i vardagen långt innan utvecklingen av en standardiserad matematisk notation, och denna kulturella betydelse bör eleven enligt kursplanerna nå insikt om. Före införandet av vedertagna symboler (för t.ex. addition och subtraktion) var vetenskapen retorisk, och ett viktigt led i problemlösandet var att kunna redogöra för och förklara vad problemet bestod av228, och att redogöra för sina tankar återfinns också som ett mål i skolans styrdokument. Det enda som återstår borde rimligen vara att i stor omfattning införa ett historiskt perspektiv i matematikundervisningen?
Kombineras de olika aspekter som lyfts fram i diskussionen om fördelarna av en integrering av matematik och historia, blir det tydligt att med olika perspektiv på nyttan av en integrering följer också olika betoning på hur och vad som ska studeras av matematikens långa och omfattande historia. I exemplet med geometrin skulle det t.ex. vara möjligt att, för att öka förståelsen utnyttja de möjligheter till variation som historien erbjuder; dels visuellt, dels konkret med passare och linjal, dels med logiska satser kunna nå fram till bevis. Alternativt skulle fokus kunna vila på några historiska problem vilka bidragit till utvecklingen av geometrin för att visa på meningen och nyttan av kunskaperna. En tredje variant skulle kunna vara att steg för steg visa samband mellan matematikhistoriens satser och dagens algoritmer.
Skolans matematikundervisning svarar mot behov av och efterfrågan på allt mer omfattande matematiska kunskaper, vilket gör det till en omöjlighet att ”gå till historien” med alla matematikens områden och begrepp. Det saknas ofta tid för illustrerande exempel och redogörelser av den många gånger krokiga utvecklingen fram till dagens metoder, inte minst om man tar sin utgångspunkt i en sociokulturell syn på matematiken som en kulturell verksamhet som inte går att studera isolerad från sin omgivning.
Den formalisering och abstraktion som blivit något av ett mål för matematiker har också till stor del utvecklats just för att spara tid och för att kunna förena och ”komprimera” matematiska operationer till enklare uttryck. I likhet med andra vetenskaper, inte minst historievetenskaperna, utvidgas den samlade kunskapsmassan från år till år. Vid sidan av ”nya” kunskaper tillkommer också andra kunskaper och nya praktiker. Om det då inte går att få med ”allt” vad bör man i sådana fall prioritera?
I ICMI-studien om möjligheterna att integrera historia och matematik antyder flera av rapportens många artikelförfattare att införandet av historia i matematikundervisningen ofta riskerar att bli en balansgång mellan å ena sidan alltför ”smala” matematikhistoriska fördjupningar som riskerar att ge eleverna en felaktig syn på historieforskningens villkor, å andra sidan en historiskt sett bred återgivning av matematikens utveckling som kanske inte svarar mot de krav på matematikkunskaper som bl.a. styrdokumenten efterfrågar. En lösning måste vara att arbeta för att anta ett historiskt perspektiv inom den existerande matematik- undervisningen.229
Löwing och Kilborn argumenterar i Baskunskaper i matematik för att skolmatematiken, speciellt dess abstrakta språkliga begrepp, bör konkretiseras med exempel från historien som visar dess bakgrund som vardagliga problem. Samtidigt kritiserar författarna skolan för att inte tydliggöra för eleverna att vissa områden inom matematiken inte går att konkretisera eller förenkla. I kombination med (den inom både kognitivism och konstruktivism förekommande)
228 Stig Olsson, Matematiska nedslag i historien, Ekelunds Förlag AB, Solna (1999), 26. 229 Barbin, ”Integrating history: research perspectives, 65ff.
uppfattningen att kunskaper konstrueras utifrån individens tidigare erfarenheter och förståelse, menar de att frånvaro av konkreta förklaringar och exempel inom den mer abstrakta matematiken delvis kan fyllas av samma abstrakta matematiks historiska utveckling.230 Inom historielitteraturen förekommer ofta att fakta blandas med kuriosa och historiska ”parenteser”, då sådant antas bidra till att öka elevernas intresse. Bengt Ulin framhåller att matematikens historia kan ses som en ”guldgruva” av material som kan utnyttjas för att samtidigt som det stimulerar och vidgar elevernas vyer övar upp deras problemlösningsfärdigheter;
Att få kulturhistoriska bakgrunder till matematik brukar ge god stimulans åt problemlösningen. Triumferna i funktionsläran och brottningen med parallellaxiomet är exempel på idéhistoriska skeenden som bjuder på både dramatik och allmänbildning. [...] Motivet för matematisk problemlösning är först och sist utveckling av den egna tankeförmågan, så att självförtroendet och tilliten till tänkandet kan växa.231
I Skolverkets rapport Lusten att lära – med fokus på matematik framgår att många lärare skulle vilja arbeta mer varierat inom matematikundervisningen, t.ex. genom samarbete med andra ämnen, t.ex. samhällskunskap eller historia, men att den vanligaste förklaringen till att detta inte går att genomföra i verkligheten går ut på att det skulle ta för mycket tid från det ”obligatoriska” arbetet att nå kursplanernas uppnåendemål. I rapporten konstateras att många lärare följer läroboken ganska strikt, vilket gör att de ofta har svårt att hitta utrymme i planeringen för att lyfta in andra inslag i undervisningen.232 Samtidigt visar undersökningen att lärare som kan ta undervisningen ”utanför” boken och anknyta matematiken till verkligheten, lärare som ”engagerar elever i utmanande samtal och visar hur kunskapen används”, efterfrågas av elever och svarar mot lärare som kan förmedla lust att lära.233
I Lpf 94 konstateras också att:
Skolan kan inte själv förmedla alla de kunskaper som eleverna kommer att behöva. Det väsentliga är att skolan skapar de bästa samlade betingelserna för elevernas bildning, tänkande och kunskapsutveckling. Därvid skall skolan ta till vara de kunskaper och erfarenheter som finns i det omgivande samhället och som eleverna har från bl.a. arbetslivet. Den värld eleven möter i skolan och det arbete eleven deltar i skall förbereda för livet efter skolan.234
Vikten av att lyfta fram olika kunskapsformer i matematikundervisningen och samtidigt ge eleverna både möjlighet att utveckla sitt tänkande och övning i ”verkliga” problemsituationer belyses bl.a. av Conny Stendrup:
Vi [är] i matteundervisningen ofta tvungna att ur ett metodiskt perspektiv plocka isär begrepp. Detta medför givetvis problem speciellt för de som skall lära sig dem. Min erfarenhet är att eleverna i allmänhet inte lyckas att återskapa dessa begreppsliga tankehelheter med att räkna massor av uppgifter i en mattebok. Det socialt dialogiska i undervisningen måste enligt min erfarenhet vara helheten som hjälper eleverna att göra tankar av begrepp.235
De ovanstående citaten kan ses som exempel på skolans svåra balansgång mellan att å ena sidan hinna behandla alla matematikområden som behövs för att eleven ska kunna bygga en grund för vidare studier och erfarenheter, och å andra sidan behandla dessa så pass ingående att eleven får tid och möjligheter att förstå och skaffa sig en helhetsförståelse. Skolverkets
Kommentar till grundskolans kursplan och betygskriterier i matematik anger också att ”ett
sätt att få ökat lärande i matematik är att använda en del av matematiktimmarna för
230 Löwing och Kilborn, 201ff. 231 Ulin, 10.
232 Skolverkets rapport nr 221, Lusten att lära – med fokus på matematik, (2003), 45. 233 Ibid., 35.
234 Skolfs 1994:2, 3.
235 Conny Stendrup, Undervisning och tanke: En ämnesdidaktisk bok om språk och begreppskunskap: Exemplet
ämnesövergripande samordning [...] tio timmar matematik tillsammans med exempelvis tio timmar hemkunskap kan göra mer nytta än tjugo traditionella ämnestimmar”.236
I det följande ges en överblick av de argument och motiv som berörts i denna uppsats för och emot ett ökat historieinslag i matematikundervisningen. De streckade förbindelser som gjorts mellan olika argument ska endast ses som exempel på hur för- och nackdelar kan vägas mot varandra. Det går att göra andra, och betydligt fler kopplingar. Syftet med illustrationen har varit att ge ett exempel på hur lärare kan ställa upp för- och nackdelar och samtidigt fundera över vilka egna värderingar hon/han har i fråga om historiens betydelse och relevans för matematikundervisningen.
Fördelar med ett historiskt perspektiv ...och nackdelar
kan bidra med åskådlighet och
konkreta exempel ...eller otidsenliga och
inaktuella exempel ...och kanske ”eviga” och
grundläggande exempel... eventuellt också svårigheter att se kopplingarna mellan nyttan då och nu...
...och tar ner matematiken på jorden, bl.a. genom att visa att utvecklingen inte varit spikrak och man inte måste vara ett
geni för att förstå matematik fler matematikkunskaper ska
rymmas i huvudet tillför intressanta inslag
och variation
... risk för mycket kuriosa kan göra matematikmoment
mer realistiska och synliga ...risk att fastna i exempel och
inte se helheten ...men inte lika stor risk som att fastna i
vardagsmatematikens exempel
många nya begrepp som tar tid att ta till sig innan de går att använda för att argumentera med många möjligheter till att tala
matematik (retoriskt)
ger övning i logiskt tänkande
nöjesmatematik kan bidra till variation och lust
mer som ska rymmas i en redan överfull kursplan
men matematikens praktiska och icke-formella ursprung kan också bidra till öppnare diskussioner som fler elever vågar delta i
Figur 11. Översikt av för- och nackdelar med att arbeta utifrån ett historiskt perspektiv i