Fall 6

I Fall 6 har följande parametrar valts: • Linjära produktionsfunktioner. • Indata tillåts korrigeras.

• Simuleringens tidssteg är 15 minuter.

Fall 6 är alltså samma som Fall 5, med undantaget att indata tillåts korrigeras.

När indata tillåts att korrigeras begränsas avvikelsen i vattennivåer. De drar inte iväg till orealistiska värden som i Fall 5. Det finns dock fortfarande en stor avvikelse mellan optimering och simulering. Det kan även ses att dämningsgränsen överskrids en stor andel av simuleringstiden.

Mar 15 Mar 22 Mar 29 Apr 05 Apr 12 2017 75.5 76 76.5 77 77.5 78 78.5 Nivå [m] Optimering Simulering (a) Uppströms.

Mar 15 Mar 22 Mar 29 Apr 05 Apr 12 2017 43.5 44 44.5 45 45.5 Nivå [m] Optimering Simulering (b) Nedströms.

Figur 27: Vattennivå i magasin angränsande till exempelstationen i både simulering och opti-mering. Fall 6.

Mar 15 Mar 22 Mar 29 Apr 05 Apr 12 2017 0 200 400 600 800 1000 Flöde [m 3 /s] Optimering Simulering

Figur 28: Flöde genom exempelstationen i både simulering och optimering. Fall 6.

För att vattennivåerna ska förbli på rimliga nivåer har dock effekten behövts korrigeras i stor utsträckning. Detta är inte att föredra då effekt är indatavariabel. Genom att korrigera indatavariabeln frångås den optimalitet som optimeringslösningen ger.

Mar 15 Mar 22 Mar 29 Apr 05 Apr 12 2017 0 50 100 150 200 250 Effekt [MW] Optimering Simulering (a) Första

Mar 15 Mar 22 Mar 29 Apr 05 Apr 12 2017 0 50 100 150 200 250 Effekt [MW] Optimering Simulering (b) Femte

Figur 29: Producerad effekt första och femte iterationen av exempelstationen. Både simulering och optimering. Fall 6.

I Fall 6 korrigeras produktionen vilket ger avvikelse mellan simulering och optimering. Avvikelsen i total energiproduktion är låg, så den totala produktionen går att realisera. Den större avvikelsen i intäkt tyder dock på att produktionen sker vid olika tidpunkter, vilket är ett resultat av att indata har behövts korrigeras.

Tabell 7: Total produktion, spill och intäkt för period. Inkluderar hela älven. Fall 6. Total energiproduktion Totalt spill Total intäkt

[GWh] [GWh] [MEUR]

Simulering 961.42 0.00 28.96

Optimering 963.58 0.00 29.93

Differens [%] 0.22 0.00 3.35

6.3 Skattning av realiserbarhet

För att uppskatta hur nära realiserbarhet optimeringslösningarna är har ett flertal simu-leringar utförts med samma parametrar som Fall 1, undantaget att tidsperioden varierats. Parametrarna från Fall 1 har valts då skillnaden mellan optimering och simulering, med avseende på total energiproduktion och genomsnittlig absolut effektavvikelse, är lägst av de fall som undersökts.

Tidsperioden har varierats från en dag till ett halvår. Två olika starttider för simuleringar har använts, 15:e mars 2017 och 15:e novenber 2018. Starttiderna har valts slumpmässigt. Fem iterationer har utförts i samtliga simuleringar då det visar sig vara tillräckligt för att avvikelsen ska konvergera i Fall 1. Resultatet från första och sista iterationen har utvärderats. Differensen mellan optimeringslösning och simuleringsresultat har bedömts utifrån fyra kategorier: total energiproduktion (∆E), genomsnittlig absolut effektavvi-kelse (|dP |avg), maximal effektavvikelse (|dP |max) samt standardavvikelse för momentan effektavvikelse (σ(dP )). Dessa värden beräknas enligt ekvation 10-14. I samtliga

katego-där s beräknas enligt ekvation 15 . Resultatet visas i tabell 8 och 9. Det bör dock endast ses som en uppskattning av produktionsplanernas realiserbarhet. Uppskattningen baseras på antagandet att Opt+data, med linjär interpolation mellan datapunkter, är väl över-ensstämmande med verkligheten. Avvikelse mellan Opt+data och verkligheten är således en felkälla till denna skattning. Normalfördelning antas för samtliga avvikelser.

Resultatet från simuleringarna visar att produktionsplaner som tas fram med en kalibre-rad optimeringsmodell och enligt parameterinställningar från Fall 1 med 97.5% sannolik-het är realiserbara inom 0.61% felmarginal för total energiproduktion, och inom 0.59% felmarginal för genomsnittlig absolut effektavvikelse. Detta sett över en hel tidsperiod som är mellan en dag och ett halvår. Den maximala momentna effektavvikelsen är med 97.5% sannolikhet lägre än 15.63% av installerad maxkapacitet, och den momentana ef-fektavvikelsen kan förväntas vara lägre än 1.01% under 97.5% av tidsperioden.

Med en okalibrerad optimeringsmodell kan istället produktionsplanerna förväntas vara realiserbara inom 6.95% felmarginal för total energiproduktion och inom 2.85% för ge-nomsnittlig absolut effektavvikelse. Den maximala momentana effektavvikelsen är med 97.5% sannolikhet lägre än 11.64% av installerad maxkapacitet, och den momentana ef-fektavvikelsen kan förväntas vara lägre än 2.67% under 97.5% av tiden.

Väntevärdet (µ) för samtliga parametrar kan ses i tabell 8 och 9.

Tabell 8: Skattning av produktionsplanernas realiserbarhet, första iterationen.

Start ∆E |dP |_avg dP_max σ(dP )

[%] [%] [%] 1 d ^15/3-17_{15/11-18 2.40}^{3.73 0.37}_0.67 ^1.00_2.04 ^0.98_0.87 1 v ^15/3-17_{15/11-18 2.73}^{7.10 2.48}_1.24 ^6.37_3.52 ^2.04_1.27 1 mån 15/3-17_{15/11-18 3.17}^{5.38 1.82}_1.41 ^7.27_4.14 ^2.27_1.34 3 mån 15/3-17_{15/11-18 4.02}^{4.49 1.39}_2.06 ^10.60_5.99 ^2.10_1.55 6 mån 15/3-17_{15/11-18 4.90}^{3.19 1.16}_2.30 ^7.61_8.27 ^1.91_2.15 µ 4.11 1.49 5.68 1.65 s 1.42 0.68 2.98 0.51

Tabell 9: Skattning av produktionsplanernas realiserbarhet, femte iterationen.

Start ∆E |dP |avg dPmax σ(dP )

[%] [%] [%] 1 d ^15/3-17_{15/11-18 0.04}^{0.74 0.06}_0.12 ^0.16_0.87 ^0.16_0.22 1 v ^15/3-17_{15/11-18 0.06}^{0.07 0.19}_0.24 ^1.77_1.30 ^0.31_0.36 1 mån 15/3-17_{15/11-18 0.06}^{0.23 0.22}_0.25 ^8.71_2.03 ^0.52_0.37 3 mån 15/3-17_{15/11-18 0.08}^{0.28 0.20}_0.38 ^10.76_8.68 ^0.56_0.59 6 mån 15/3-17_{15/11-18 0.15}^{0.21 0.52}_0.55 ^11.99_11.47 ^0.89_0.92 µ 0.19 0.27 5.77 0.49 s 0.21 0.16 4.93 0.26

6.4 Beräkningstid

Beräkningstiden är beroende av hur många tidssteg som simuleras och val av paramet-rar. De mest betydelsefulla parametrarna för beräkningstiden är propagationDelay och

modInput. Figur 30 visar beräkningstiden för en simulering över tidperioden 3, 6, 9 och

12 månader, med tidsintervall en timme (samma som optimeringen) och några olika pa-rametrarval.

Beräkningstiden ökar relativt konstant upp till 9 månaders simuleringstid. Efter det tilltar ökningen. Orsaken har inte kunnat fastställas i detta projekt. Det finns inget i simulerings-modellen som ska påverkas av antalet tidssteg. Antagandet var därför att beräkningstiden skulle öka linjärt mot antalet tidssteg, vilket visade sig inte stämma.

Att aktivera propagationDelay eller modInput får stora konsekvenser på beräkningsti-den. Parametern propagationDelay medför att funktionerna moveFlowWater och

move-SpillWater måste utföras genom loopar, i stället för matrismultiplikationer. Parametern

modInput medför att extra beräkningar måste utföras.

Som referens har även tiden för att utföra en optimering utan simulering under sam-ma tidsperioder och med samsam-ma tidsintervall inkluderats i figuren. Optimeringsmodellen visar en långsammare ökning när antalet tidssteg ökas från 9 till 12 månader.

0 2 4 6 8 10 12 Antal månader 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Beräkningstid [s] Båda av propagationDelay på modInput på Båda på Endast Optimering

Figur 30: Beräkningstid för simuleringar och optimering. Tidsintervallen är en timme i samt-liga beräkningar.

7 Sammanfattande diskussion

Det primära syftet med utvecklingen av simuleringsmodellen har varit att visualisera vad som händer ifall optimeringslösningen skulle appliceras i “verkligheten”, för att avgöra ifall optimeringslösningarna är realiserbara. Modellen utför detta och genererar resultat som bedöms vara rimliga utifrån de indata som valts. Att vissa fall ger resultat som är långt ifrån verklighetstrogna beror snarare på ett för känsligt system, som i fallen då effekt är indatavariabel. Då modellen bedöms trovärdig kan den användas för att bedöma produktionsplaners realiserbarhet.

Det sekundära syftet var att kalibrera optimeringsmodellen och korrigera indata för att försöka få realiserbara och optimala lösningar. Modellen utför detta med blandade re-sultat. Ofta kommer lösningarna närmre realiserbarhet efter kalibrering, men inte helt. Korrigering av indata gör förvisso lösningen realiserbar, men optimalitet frångås. Ofta sker det även på bekostnad av att vattendomar bryts.

Flöde som indatavariabel fungerar klart bättre än effekt. Detta beror, som konstaterat i avsnitt 6.2, på den höga känslighet för förändringar i flöden som systemet har. Linjära eller tvådelat linjära produktionsfunktioner visar sig helt enkelt vara otillräckliga för att ge ett stabilt system, även efter kalibrering. Detta insågs relativt tidigt i projektet och därför har fokus varit på de fall då flöde är indatavariabel. Då fås ingen avvikelse i systemets tillstånd eftersom flöde, spill och volymer är samma i både optimering och simulering. Detta ger ett mer stabilt system som därefter kan finjusteras genom kalibrering. Det kommer dock alltid att finnas momentana avvikelser i produktionen eftersom fallhöjden varierar, vilket inte beaktas i optimeringen vars produktionsfunktioner är konstanta.

För linjära och tvådelat linjära produktionsfunktioner används två olika metoder vid kalibrering. Både ger ungefär likvärdiga resultat. Skillnaden är att tvådelat linjära pro-duktionsfunktioner konvergerar snabbare då de baseras på medelfallhöjden, medan lin-jära produktionsfunktioner baseras på föregående simuleringsresultats qp-punkter vilket medför en potentiellt bättre precision. Linjära produktionsfunktioner visar sig dock vara bättre för körning utan kalibrering då antagandet om qp-punkten för bästa verkningsgrad ofta visar sig vara felaktig.

Simuleringar visar att optimeringsmodellen ofta inte genererar helt realiserbara lösningar. För att komma närmre skulle optimeringsmodellen behöva använda binära variabler för att utesluta intervallen (0, Qmin) och (0, Pmin) från produktionsfunktionerna, och använda säkerhetsmarginaler för att maxflöde tillsammans med hög fallhöjd inte ska ge effekt över maxeffekt. Samma säkerhetsmarginal skulle behövas för minimumeffekt. Ett annat alternativt är att använda dynamiska produktionsfunktioner som ändras beroende på säsong, fallhöjder eller liknande.

Korrigeringsfunktionen visar upp brister då ingen hänsyn till framtida tillstånd tas. Ett tydligt exempel på detta är i Fall 4 då magasinen översvämmas regelbundet. Dessutom så frångås optimaliteten när dessa korrigeringar görs.

Skattning av realiserbarhet ger en indikation på hur långt ifrån realiserbarhet produk-tionsplanerna kan förväntas vara. Då det statistiska urvalet är relativt litet ska detta endast ses som en indikation och inte någon garanti. Det som dock kan utläsas från resul-tatet är att en kalibrerad optimeringsmodell med stor sannolikhet kan förväntas generera produktionsplaner som är realiserbara inom 1% felmarginal, sett över en hel

tidsperi-od. Momentant kan dock avvikelsen överstiga 10% av installerad kapacitet, men är med stor sannolikhet mindre än 20%. För att med säkerhet fastställa en förväntad avvikel-se behöver ett större statistiskt underlag undersökas. En sak att ta i beaktning är att felmarginalerna generellt ökar när tidsperioden ökas. Produktionsplaner längre än de un-dersökta tidsperioderna kan vara än längre ifrån realiserbarhet. Andra felmarginaler kan även förväntas om andra parameterinställningar används.

Felmarginalen från realiserbarhet minskar med en kalibrerad optimeringsmodell, med un-dantaget att maximal momentan effektavvikelse ökar. Genomsnittligt är ökningen endast 0.09 procentenheter men en större standardavvikelse ger ett större förväntat intervall. För att fastställa om detta är tillfällighet eller något som generellt kan förväntas behövs även här ett större statistiskt underlag undersökas.

Beräkningstiden är klart längre än en optimering. Ambitionen var att simuleringsmo-dellen skulle vara en beräkningsmässigt snabbare metod än att införa ökad detaljrikhet i optimeringsmodellen. Huruvida det är sant eller ej kan inga slutsatser dras från detta projekt. Det finns dock marginal för att öka beräkningstiden i optimeringsmodellen innan den kräver lika lång tid som en optimering och simulering tillsammans. Noterbart är även att tiderna i figur 30 visas för simuleringar med tidsupplösning 1 timme, men som ses i Fall 4 ger tidssteg längre än 15 minuter kraftiga avvikelser i vattennivåer. Detta visar på ett problem då simuleringsmodellen är beroende av hög tidsupplösning, men en ökning av antal tidssteg är kostsamt. Simuleringsmodellen bedöms därför passa bättre till korta tidsperioder. Varför beräkningstiden per tidssteg ökar vid längre simuleringar behöver undersökas vidare.

Parametrarna modInput och propagationDelay ger stor påverkan på beräkningstiden.

pro-pagationDelay är dock viktig för att efterlikna ett verkligt system och rekommenderas

ändå att ha aktiverad. modInput däremot ger lång extra beräkningstid samtidigt som fördelarna varierar. En bra optimeringslösning bör medföra att inga fysiska gränser bryts under simuleringen. Att inga mekaniska gränser bryts är positivt, men sker ofta på be-kostnad av att juridiska gränser i stället bryts. Ingen rekommendation om modInput kan därför göras utan bör/bör ej användas beroende på syftet med simuleringen.

Simuleringsmodellen bedöms vara användbar för att testa föreslagna produktionsplaner. Om planen ej är realiserbar ses det enkelt i resultatet då simuleringsmodellen kontrollerar och varnar för brutna fysikaliska, mekaniska eller juridiska gränser. Om en annan form av indata önskas behövs extra tillägg implementeras då modellen endast kan ha ett Opti-mizationResult som indata i nuläget. Förslagsvis kan en Excelfil användas i stället. Att hitta en optimal och realiserbar lösning via en optimering och simulering kan inte garanteras då det ofta sker överträdelser av gränsvärden när en optimeringslösning simu-leras. För att hitta en sådan lösning behöver optimeringsmodellen vidareutvecklas och göras mer detaljerad.

8 Slutsats

När optimeringslösningar används som indata till den skapade simuleringsmodellen inses att optimeringsmodellen inte genererar realiserbara lösningar. Används flöde från opti-meringslösningen som indata fås inte samma effekt i simulering och optimering. Genom kalibrering av produktionsfunktionerna kan dock en avvikelse som genomsnittligt över en hel tidsperiod understiger 1% erhållas. Momentant kan dock avvikelser över 10% av installerad maxkapacitet uppstå. Används effekt från optimeringslösningen som indata fås en stor avvikelse i flöde och vattennivåer, även efter kalibrering, vilket gör produk-tionsplanerna omöjliga att genomföra.

Korrigering av indata (optimeringslösningen) ger realiserbara lösningar men på bekostnad av att optimalitet frångås och ofta att juridiska gränser bryts.

Genom att använda flöde från optimeringslösningar som indata och tillräckligt korta tidssteg fås lösningar som är nära realiserbara och optimala. Att använda effekt som indata ger ett instabilt system och långt ifrån realiserbara och optimala lösningar. Simuleringsmodellen kan användas för att testa om föreslagna lösningar är realiserbara eller ej. Den ger en bra insyn i hur systemet utvecklas givet det indata som specificerats och visar specifikt var och när problem uppstår.

Beräkningstiden ökar flerfaldigt genom att addera en simulering till optimeringen. Fort-satt arbete behövs för att utvärdera om det finns effektivare sätt att generera lösningar som är realiserbara.

9 Rekommendation till fortsatt arbete

Projektet har resulterat i en, i många avseenden, väl fungerande simuleringsmodell. Ett flertal potentiella förbättringsförslag har dock identifierats under projektets gång, men har förbisetts på grund av tidsbegränsning. Dessa beskrivs nedan.

Högre prestanda

Simulering tar i nuläget längre tid än önskvärt. Ett flertal delar kan säkerligen effektivi-seras genom att tillexempel utföra vektor- eller matrisoperationer i stället för loopar. Det bör även utredas varför beräkningstiden inte ökar linjärt med antalet tidssteg trots att varje tidssteg genomförs med samma loop.

Tidsberoende produktionsfunktioner

På grund av vattendomar har en del magasin säsongsberoende vattennivåer. Att anpassa en produktionsfunktion till en längre tidsperiod medför då ett säsongsberoende fel. Ett potentiellt sätt att motverka detta är att använda olika produktionsfunktioner för olika tidsperioder.

Korrigera indata med hänsyn till framtida tillstånd

Problem uppstår på grund av att korrigeringar inte tar hänsyn till framtida tillstånd. Att utveckla modellen till att kunna se framtida tillstånd och anpassa korrigeringarna efter dessa kan resultera i fler rimliga lösningar. Alternativt kan säkerhetsmarginaler adderas så att korrigeringarna inte orsakar otillåtna tillstånd i framtiden.

Möjliggöra längre tidssteg

Då beräkningstiden är beroende av antalet tidssteg och systemet blir instabilt ifall för långa tidssteg väljs gör det att simuleringar över längre tidsperioder blir tidskrävande eller felaktiga. Genom att möjliggöra för att vatten kan anlända mitt i ett tidssteg (likt optimeringsmodellen) kan längre tidssteg väljas och beräkningstiden hållas nere.

Högre tidsupplösning i grafer

I vissa fall kan det vara önskvärt att ha full tidsupplösning i graferna. I nuläget används optimeringsmodellens tidsupplösning vilket betyder att högsta upplösning är en timme. Andra indata än OptimizationResult

I nuläget måste en optimering utföras för att användas som indata. Om önskvärt kan kod adderas för att möjliggöra andra typer av indata, exempelvis en Excelfil.

Referenser

Carson, Y. och A. Maria (1997). “Simulation optimization: methods and applications”. I: Proceedings of the 29th conference on Winter simulation - WSC ’97. the 29th conference. Atlanta, Georgia, United States: ACM Press, s. 118–126. doi:

10.1145/268437.268460. url:

http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=268437.268460(hämtad 2021-02-02).

Hochbaum, D. S. (6 juni 2007). “Complexity and algorithms for nonlinear optimization problems”. I: Ann Oper Res 153.1, s. 257–296. doi: 10.1007/s10479-007-0172-6. url: http://link.springer.com/10.1007/s10479-007-0172-6 (hämtad

2021-02-12).

KTH (4 april 2005). Minsta kvadratmetoden. url:

https://people.kth.se/~lhakan/Nr8april4.pdf(hämtad 2021-04-22).

Lund, H., F. Arler, P. Østergaard, F. Hvelplund, D. Connolly, B. Mathiesen och P. Karnøe (23 juni 2017). “Simulation versus Optimisation: Theoretical Positions in Energy System Modelling”. I: Energies 10.7, s. 840. doi: 10.3390/en10070840. url:

http://www.mdpi.com/1996-1073/10/7/840 (hämtad 2021-02-02).

Yang, X.-S. (2011). “Optimization Algorithms”. I: Computational Optimization,

Methods and Algorithms. Utg. av S. Koziel och X.-S. Yang. Bearb. av J. Kacprzyk.

Vol. 356. Series Title: Studies in Computational Intelligence. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, s. 13–31. doi: 10.1007/978-3-642-20859-1_2. url: