4.3. Teorier kring elevers strategier i matematik
4.3.3. Forskning om problemlösningsstrategier
Hur själva problemlösandet går till, problemlösningsprocessen har beskrivits av många forskare, en mycket välkänd och erfaren man, George Pólya har delat in det i dessa fyra faser:
1. Orientering om och förståelse av problemet 2. Göra en plan – välja en lösningsstrategi
3. Genomförande av planen – att utföra beräkningarna 4. Tillbakablick100
Jag kommer här visa på ett antal olika sätt hur elever går tillväga vid problemlösning, olika studier inom området gör olika typer av kategoriseringar.
Många människor har en mycket större förmåga att lösa uppgifter rent praktiskt än vad de har att läsa och tyda en motsvarande textuppgift. Det är ett stort steg mellan hand- lande och förmågan att beskriva handlandet i ord. Ett ännu större steg uppkommer mellan att beskriva handlandet i ord och att formulera händelsen i ett korrekt matema- tiskt symbolspråk. Problemlösningsprocessen och sätt att lösa problemuppgifter kan med utgångspunkt i detta beskrivas i tre steg benämnda; ”göra – pröva”, ”tänka – tala” och ”förstå – formulera”101. Gudrun Malmer har gjort flera undersökningar på elever som ligger till grund för dessa steg. Jag skall förklara stegen med start i den uppgift som följer. Stegen beskrivs med utgångspunkt i hur elever i Malmers undersökning gått tillväga.
Per har 5 plommon och Åsa har 3 plommon. Hur många plommon ska Per ge Åsa för att de ska ha lika många102?
A-nivån, praktisk lösning kallad GÖRA - PRÖVA
Någon form av material används och läggs upp, en rad med 5 för Per och en rad med 3 för Åsa. Som lösning på frågan görs en överföring av ett plommon från Per till Åsa. B-nivån, muntlig lösning kallad TÄNKA - TALA
Plockmaterial kan användas även här men lösningen skall också beskrivas med ord. Om eleverna får frågor som: hur många plommon ska du ge om du är Per? Eller hur många plommon ska du få om du är Åsa? Svarar eleverna väldigt ofta två men efter att de prö- var med material ser de att det är fel och korrigerar då sitt svar.
C-nivån, den formella lösningen kallad FÖRSTÅ - FORMULERA
Detta innebär som tidigare nämnts, en stor stegring jämfört med tidigare nivåer. Ele- verna kan här skriva: 5 – 1 = 3 + 1, det beskriver själva räknehandlingen på ett tydligt sätt och framhåller också likheten men det svarar egentligen inte på frågan.
100Brunström, Mats (2000) ”Generande problem”. Tid för matematik, dokumentation av 11:e
matematikbiennalen, Göteborg 27 – 29 januari 2000. Redaktion: Lindgren, Katarina; Mouwitz, Lars; Wallby, Anders; Wallby, Karin. Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM. s. 418.
101 Malmer, Gudrun (1991) Kreativ matematik. Andra upplagan. Falköping: Ekelunds förlag AB. s. 60. 102 Malmer (1999), s. 198.
Om elevernas tankegång och resultat korrekt skall beskrivas skriftligt i en beräkning måste det stå: (5 – 3)/2 = 1 och det är för elever i skolans lägre år högst osannolikt att de gör, det är också ett orimligt krav103.
I samband med studierna i problemlösning har Gudrun Malmer funnit tre andra huvud- typer av olika lösningssätt. Dessa huvudtyper kallas: numeriskt prövande, labora- tiv/logisk och algebraisk. Att dessa tre lösningssätt uppkommer beror på att elever som möter samma problem reagerar på olika sätt beroende på vilka tankestrukturer de för- fogar över104. Jag förklarar även dessa huvudtyper med utgångspunkt i ett exempel, en uppgift Malmers elever fick.
Ex: Bo och Jan är tillsammans 20 år. Bo är 2 år äldre än Jan.
a) hur gammal är Bo? b) hur gammal är Jan?105
Numeriskt prövande
Eleverna prövar sig fram här och förslag som 12 och 8 kommer. Dessa tal blir 20 till- sammans men det talar inte om åldersskillnaden.
Förslag där åldersskillnaden stämmer kan också komma och t.ex. vara åldrarna 10 och 12 men då är inte summan 20. Eleverna försöker pröva sig fram utan strategi, de vet inte hur problemet skall angripas.
Laborativ/logisk lösning
Eleverna kan ofta under prövning upptäcka att de först kan minska med åldersskillna- den (beräkning: 20 – 2). De får då 18 som de kan halvera och har då fått fram svaret på den yngstes ålder (Jan: 9 år). Den äldstes ålder får man genom att lägga till 2 (9 + 2, Bo: 11 år).
Algebraisk lösning
Här som i föregående huvudtyp måste logiska tankegångar utnyttjas. Oftast görs anta- ganden här att den yngsta personen är x år och ekvationen är då t.ex:
x + x +2 = 20, 2x = 18, x = 9106
Ann Ahlberg har också gjort en undersökning gällande problemlösning. Hon arbetade fram en lektionsserie som lågstadieelever fick delta i. Ahlberg studerade sedan elever- nas upplevelse och förståelse av aritmetisk problemlösning i skolundervisning. Tanken vid utformningen av Ahlbergs lektionsserie var att eleverna vid problemlösning skulle få tillfälle att använda sitt eget språk och kunna utföra olika handlingar.
Eleverna skulle också få möjlighet att variera sitt perspektiv på olika uppgifter av aritmetisk problemlösning som skulle presenteras107. Själv beskriver Ahlberg att:
103 Malmer (1999), s. 198-201. Malmer (1991), s. 61, 62. 104 Malmer (1999), s. 201, 204.
105 Malmer (1999), s. 202. 106 Malmer (1999), s. 202, 203.
”projektets huvudsyfte är att beskriva och analysera vad aritmetiska problem och
aritmetisk problemlösning har för innebörd för lågstadieelever i en skolsituation”108.
Ahlbergs lektionsserie utformades som ett medel för att nå huvudsyftet och lektionerna innehåller olika problemuppgifter som alla är konstruerade av Ahlberg. Problemse- kvensen är i fem faser och har sitt ursprung i fem delmål som Ahlberg satt upp med tanke på vad som är av betydelse för elevers aritmetiska problemlösningsförmåga109. Delmålen är följande:
• att det finns olika sätt att lösa problem och att en konfrontation av olika lösnings- sätt bidrar till förståelsen av problemet
• att matematiska problem är en del av en mängd problem som människor dagligen ställs inför i vardagslivet
• att det vardagliga språket kan förbindas med det matematiska symbolspråket • att tala, skriva och rita är betydelsefulla verktyg vid problemlösning
• att det tar tid att lösa problem110
Problemsekvensen i de fem faserna som följer innehåller tjugo verbala, skriftliga pro- blem och de är speciellt utformade mot delmålen. Innehållet går mot en alltmer forma- liserad aritmetisk problemlösning111.