Fortsatt arbete

Mer arbete kan g¨oras, t ex:

• Teoretisk uppskattning av det maximala felet vid ber¨akning av den kartesiska banan utifr˚an splinefunktionerna.

• Att n¨ar den kartesiska banan transformeras till motorvinkelkoordinater un- ders¨oka n¨odv¨andig noggrannhet i ber¨akningarna.

• Studera tidsaspekter som hastighet och acceleration, vinkelhastighet och vin- kelacceleration l¨angs banan.

Litteraturf¨orteckning

[1] Samuel R. Buss and Jay P. Fillmore. Spherical Averages and Applications to Spherical Splines and Interpolation. In Proceedings of ACM Transactions on Graphics, volume 20, pages 95–126. University of California, San Diego, April 2001.

[2] P.I. Corke. A Robotics Toolbox for MATLAB. IEEE Robotics and Automation Magazine, 3(1):24–32, March 1996.

[3] Erik B. Dam, Martin Koch, and Martin Lillholm. Quaternions, Interpolation and Animation. Technical Report DIKU-TR-98/5, Department of Computer Science, University of Copenhagen, DK-2100 Kbh Ø, Denmark, July 1998. [4] David Eberly. Quaternion Algebra and Calculus. http://www.magic-

software.com, September 2002.

[5] David Eberly. Kochanek-Bartels Cubic Splines (TCB Splines). http://www.magic-software.com, March 2003.

[6] J. Funda and R.P. Paul. A comparison of transforms and quaternions in robotics. In IEEE International Conference on Robotics and Automation, volume 2, pages 886–891, April 1995.

[7] Peter Grogono. Rotation with Quaternions. http://www.cs.concordia.ca/ gro- gono/CUGL/, December 2001. Department of Computer Science, Concordia University.

[8] William Rowan Hamilton. On Quaternions, or on a new System of Imaginaries in Algebra. http://www.maths.tcd.ie /pub/HistMath/People/Hamilton/OnQuat/, 2000. Edited by David R. Wilkins.

[9] F.S. Hill Jr. Computer graphics. Macmillan Publishing Company, 1990. [10] Myoung-Jun Kim, Myung-Soo Kim, and Sung Yong Shin. A C2_-continuous

B-spline quaternion curve interpolating a given sequence of solid orientations. In Proceedings of Computer Animation ’95, pages 72–81, April 1995.

Performance Numeric Computation and Visualization Software, 1992. [13] K.T. Miura, T. Nakaseko, and T. Ikedo. A New Type of Free-Form Curve Gi-

ven by an Integral Form. In Proceedings of Computer Graphics International, pages 722–725, June 1998.

[14] Mikael Norrl¨of. Modeling of industrial robots. Technical Report LiTH-ISY-R- 2208, Department of Electrical Engineering, Link¨oping University, SE-581 83 Link¨oping, Sweden, Dec 1999.

[15] Mikael Norrl¨of. On path planning and optimization using splines. Technical Report LiTH-ISY-R-2490, Department of Electrical Engineering, Link¨oping University, SE-581 83 Link¨oping, Sweden, Feb 2003.

[16] M. Nystr¨om and Mikael Norrl¨of. PGT - A path generation toolbox for Matlab (v0.1). Technical Report LiTH-ISY-R-2542, Department of Electrical Engine- ering, Link¨oping University, SE-581 83 Link¨oping, Sweden, Sep 2003.

[17] M. Nystr¨om. Bangenerering f¨or industrirobot. Master’s thesis LiTH-ISY- EX-3357-2003, Department of Electrical Engineering, Link¨oping University, Link¨oping, Sweden, 2003.

[18] L. Eld´en och L. Wittmeyer-Koch. Numerisk analys - en introduktion. Stu- dentlitteratur, 1996.

[19] L. Sciavicco and B. Siciliano. Modelling and Control of Robot Manipulators. Advanced Textbooks in Control and Signal Processing. Springer-Verlag, 2nd edition, 2000.

[20] K. Shoemake. Animating rotation with quaternion curves. In Proceedings of ACM SIGGRAPH, pages 245–254, (San Francisco), 1985. The Singer Compa- ny, Link Flight Simulation Division.

Bilaga A

Denavit-Hartenberg-

konventionen

Vid direktkinematiska ber¨akningar f¨or en robot vill man veta hur de olika lederna ¨ar relaterade. Den av Denavit-Hartenberg (DH) framtagna metoden kallad Denavit- Hartenbergkonventionen tar p˚a ett systematiskt vis fram transformationsmatriser som beskriver just detta.

Med DH-konventionen kan man ta fram en modell f¨or en robot oavsett vilken struktur (¨oppen eller sluten kinematisk kedja) den har. Det finns ¨aven tv˚a olika varianter av metoden beskrivna i [2]. Denna beskrivning g¨aller dock enbart f¨or en ¨oppen struktur (d¨ar l¨ankarna ¨ar kopplade i en f¨oljd) och roterande leder, med notation i stort sett enligt [19]. Figur A.1 visar relationerna mellan l¨ankar och leder.

Led i Led i − 1 Led i + 1 L¨ank i L¨ank i − 1 Oi xi y_i zi Oi−1xi−1 y_i−1 zi−1 Oi′ xi′ yi′ zi′ ai ai−1 di αi θi

Figur A.1.Relationerna mellan l¨ankar och leder enligt DH-konventionen. 63

f¨or att beskriva koordinatsystemet Oi relativt Oi−1:

αi ¨ar den vinkel som runt xi-axeln roterar Oi−1 s˚a att axlarna zi−1 och zi f˚ar

samma riktning. Positiv vid moturs vridning.

ai beskriver avst˚andet mellan axlarna zi−1 och zi l¨angs den gemensamma nor-

malen.

θi ¨ar den vinkel som runt axeln zi−1 roterar Oi−1 s˚a att axlarna xi−1 och xif˚ar

samma riktning. Positiv vid moturs vridning.

di beskriver avst˚andet mellan Oi−1 och sk¨arningen mellan axeln zi−1 och den

men zi-axeln gemensamma normalen.

Framtagning av modell

F¨orst best¨ams DH-parametrarna enligt beskrivningen i algoritm 3 (vilken ¨ar giltig endast f¨or en ¨oppen struktur och roterande leder).

Algoritm 3 Tillv¨agag˚angss¨att vid framtagande av DH-parametrar.

1: Best¨am riktning f¨or alla axlar och numrera dessa i f¨oljd (z0, z1, . . . , zn−1).

2: Placera koordinatsystem O0 l¨angs axel z0. V¨alj x0 och y0 s˚adana att ett

h¨ogersystem bildas.

3: Upprepa dessa tre steg f¨or i = 1, . . . , n − 1:

I. Placera Oid¨ar zisk¨ar den med zi−1gemensamma normalen. Om axlarna

¨ar parallella v¨aljes Oi s˚a att di= 0.

II. L˚at axel xi vara riktad fr˚an led i mot led i + 1 l¨angs den gemensamma

normalen till axel zi−1 och axel zi.

III. V¨alj axel yi s˚a att ett h¨ogersystem bildas.

4: V¨alj zn l¨angs zn−1.

5: V¨alj xn p˚a samma s¨att som i II.

6: V¨alj yn som i III.

7: Best¨am parametrarna αi, ai, θi och di f¨or i = 1, . . . , n.

N¨ar alla parametrar, som beskriver translationer och rotationer, har best¨amts kan man ber¨akna de homogena transformationsmatriser som beskriver hur koordinat-

65

systemen ¨ar relaterade. Den matris som beskriver Oi relativt Oi−1 blir

Ai−1_i (qi) =     cθi −sθicαi sθisαi aicθi sθi cθicαi −cθisαi aisθi 0 sαi cαi di 0 0 0 1     (A.1)

d¨ar qi ¨ar ledvariabeln. F¨or en roterande led g¨aller qi = θi och att αi, ai och di ¨ar

konstanter.

Genom multiplikation av matriserna Ai−1_i f˚ar man ett uttryck f¨or position och orientering av On relativt O0:

På svenska

Detta dokument hålls tillgängligt på Internet – eller dess framtida ersättare –

under en längre tid från publiceringsdatum under förutsättning att inga extra-

ordinära omständigheter uppstår.

Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner,

skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat för

ickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten

vid en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd. All annan användning av

dokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För att garantera äktheten,

säkerheten och tillgängligheten finns det lösningar av teknisk och administrativ

art.

Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman i

den omfattning som god sed kräver vid användning av dokumentet på ovan

beskrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras eller presenteras i sådan

form eller i sådant sammanhang som är kränkande för upphovsmannens litterära

eller konstnärliga anseende eller egenart.

För ytterligare information om Linköping University Electronic Press se

förlagets hemsida

http://www.ep.liu.se/

In English

The publishers will keep this document online on the Internet - or its possible

replacement - for a considerable time from the date of publication barring

exceptional circumstances.

The online availability of the document implies a permanent permission for

anyone to read, to download, to print out single copies for your own use and to

use it unchanged for any non-commercial research and educational purpose.

Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other uses

of the document are conditional on the consent of the copyright owner. The

publisher has taken technical and administrative measures to assure authenticity,

security and accessibility.

According to intellectual property law the author has the right to be

mentioned when his/her work is accessed as described above and to be protected

against infringement.

For additional information about the Linköping University Electronic Press

and its procedures for publication and for assurance of document integrity,

please refer to its WWW home page:

http://www.ep.liu.se/

In document Bangenerering för industrirobot med 6 frihetsgrader (Page 74-81)