Från optikbaserade mätvärden till analytisk funktion

Figur 34. Varierande vaksignaturer för Buster Magnum respektive stridsbåt 90H med dess respektive  sönderfallstid t_decay (i samma ordning). Trots märkbara skillnader i ursprunglig vitvattenmängd 

mellan respektive körning finns inget tydligt samband till t_decay. 

5.2.3 Från optikbaserade mätvärden till analytisk funktion

Utifrån den optikbaserade funktionen för sönderfallet (t) W ska en analytisk lösning till (t) W

hänsyn till spridningen av W(t) i slutet av tidsintervallet eftersom det är ett experimentellt mätfel som beror på blankspår enligt tidigare. Däremot beaktas Lspray som påverkar den initiala spridningen på ∂W_∂t vilket redan poängterats. W(t) beskrivs bäst av en dämpad svängningsrörelse. Detta illustreras enklast genom att jämföra genomsnittet av W(t) med alternativa analytiska funktioner som tagits fram genom grafisk kurvanpassning till kurvorna i W(t) . Se figur 35.

Figur 35. Vänster: Grafisk kurvanpassning till W(t) med en exponentialmodell. Höger:  Kurvanpassning med en dämpad svängningsrörelse. 

Den dämpade svängningsrörelsen är en funktion på formen: (x, t) (x, t) os(ωt )

W = K · c + ε + c (5)

Där x är en variabelvektor bestående av miljö, design -och operativa variabler enligt avsnitt 2. Med initial -och randvillkor enligt:

= 1 (x, t ) W = 0 (6) (x, t ) W = t_decay = 0 (7) (x, t ) W → ∞ = 0 (8) W_max= 1 (9)

W_min= 0 (10)

Kan (5) skrivas om till: (x, t)

W = e₂1 −λt [cos(ωt)+ 1] ⁽¹¹⁾

Viktigt att poängtera är att vinkelhastigheten ω och dämpningen λ till de analytiska kurvorna i figur 35 är härledda utifrån experimentell data. Till den slutgiltiga analytiska lösningen eftersträvas istället ett samband mellan och och variablerna i vektorn .ω λ x För en härledning av ω behövs ett uttryck för perioden, dvs totala sönderfallstiden, och således även för L_spray, som uppskattas utifrån videoklippen med respektive båtlängd som referens. Detta eftersom steglängden annars skulle behöva minskas så pass mycket för att ge ett tillräckligt noggrant resultat att beräkningstiden i det numeriska programmet skulle bli för lång. Resultatet för Stridsbåt 90H visas i tabell 4.

 

Tabell 4. L_spray för Stridsbåt 90H med tillhörande fart respektive motoreffekt v P_M enligt  uppskattning från videodokumentation. [kW] P_M   1153  848  715  544  334  260  196  169  145  125  53  [kn] v   40.0  30.0  25.0  20.0  15.0  13.0  11.0  10.0  9.0  8.0  6.8  [m] Lspray   41.6  31.8  28.2  25.4  9.8  10.6  6.2  5.4  3.8  5.8  5.4 

Sönderfallstiden efter Lspray är lika med t_DOM och räknas ut enligt (2), eftersom det motsvarar det område i den turbulenta vaken som kännetecknas av skum. Vakens ålder på avståndet L_spray från akterspegeln är t_spray och räknas ut enligt:

t_spray = ^Lspray_v (12)

där är båtens fart. Den totala sönderfallstiden v t_decay kan nu uttryckas som:

t_decay = t_spray+ t_DOM (13)

Aktervågen uppstår enligt kapitel 2 till följd av övergång från superkritisk till subkritisk strömning. Detta definieras av värdet på Froudes tal n F . Således är ett rimligt antagande att även Lspray analytiskt kan beskrivas som en funktion av n F . Genom grafisk kurvanpassning till L_spray som funktion av Froudetalet kan en asymptotiskt växande kurva härledas i enheten [m] på formen y = a · V²_max/g· (F n^b− c), förutsatt att , ba och c är dimensionslösa konstanter. Genom att ersätta dessa med dimensionslösa variabler med koppling till L_spray

[m]

v L_spray = 8

5g ²max· F n

(

2/7− (B/LW L)^1/3

)

(14) där B =skrovets bredd, W L L = skrovets vattenlinjelängd, vmax är båtens maxfart i [m/s] och

är tyngdaccelerationen. En jämförelse mellan (14), grafiska och experimentella resultat

g

visas i figur 36.

Figur 36. Jämförelse mellan experimentell (blå), grafisk (röd) och analytisk (gul) representation av  som funktion av skrovets Froudetal. De experimentella resultaten härstammar från

Lspray  

videoanalys. 

Med ett analytiskt uttryck L_spray enligt (14) ​–och därmed även för tspray genom (14) i (12) - ges en analytisk lösning till systemets period enligt:

T = 2· t_decay = 2 · (t_spray+ t_DOM)= 2 · t

mean (15)

samt systemets vinkelhastighet:

ω = ^2π_T (16)

där tmean är medelvärdet av t_decay för respektive båt.

Nu återstår enbart härledningen av ett analytiskt uttryck för systemets dämpningskonstant . Dämpningskonstanten påverkar funktionens förändringshastighet och skulle således λ

kunna beskrivas utifrån ett förhållande mellan vakens och den omgivande sjöns rörelseenergi enligt 5.1.4. Ett energiförhållande sea-state/ aktervåg är en enkel men i sammanhanget passande ansats till ett uttryck för λ . Genom att enbart betrakta den mekaniska energin i interaktionen båt/ vatten, anta linjär vågteori samt försumma ytspänningen (våghöjd > några dm) blir energidensiteten per kvm i ett oregelbundet vågsystem:

E = 1

där H är den signifikanta våghöjden för vågsystemet. H = H_1/3 i (17) ger energidensiteten för rådande sea-state E_SS. En linjär approximation av det annars turbulenta ytvattnet i vaken medger att även ytenergin i den turbulenta vaken kan beskrivas med (17). H antas då

– konservativt räknat eftersom den varierar longitudinellt - vara maximal aktervågshöjd . Utifrån slutsatser från [16] och [18] som beskrivs i 5.1.4, kan ett uttryck som ger ett

H_stern

passande närmevärde kan härledas enligt: .014 λ = 0 · C^−4/9_B ·

(

∂t / ∂E_SS ∂t ∂E_stern

)

^1/5 (18)

där C_B är skrovets blockkoefficient och energiflödet ∂E_∂t ges av:

∂t

∂E = E · c_g (19)

Givet dispersionsrelationen samt ett antagande om djupt vatten (vattendjup > 0.5 våglängd) ges vågornas grupphastighet c_g av:

c_g = g/4π · T (20)

där T är vågperioden. Perioden för respektive sea-state är T = T_1/3 och ges av tabell 3. Aktervågens period i detta sammanhang är den transversella aktervågsperioden T = T_stern, vilken också utifrån dispersionsrelationen, och antagande om att våglängden ≈ båtens bredd

räknas ut enligt:

B

T_stern =

√

^2πBg (21)

Utbudet av passande modeller för uppskattning av H_stern efter planande fartyg är sparsamt. En härledning med utgångspunkt i ren vattensprångsteori ger inte tillräcklig noggrannhet vilket talar för att även flödesseparationen från skrovet påverkar H_stern. Ett tillräckligt bra närmevärde ges av:

H_stern ≈ D · _T

stern

2t_spray (22)

där D är fartygets djupgående på even-keel. Ett slutgiltigt uttryck för dämpningen ges av (17)-(22): λ =0.014· C_B^−4/9·

(

H ·T²_{1/3 1/3} H²_stern·Tstern

)

^1/5 = ...[ ] = .0140 · C_B^−4/9· ^{(H ·T )2}1/3 1/3 1/5

(

D ·t^{4 4}_spray

)

1/10 (23)

Därmed är sönderfallsmodellen W komplett. Med hjälp av W kan vitvattenbildningen mellan marina propulsorer på ett visst fartyg jämföras. Jämförelsen kräver kännedom om den tomrumsfraktion den givna propulsorn genererar i den turbulenta vakens yta vid en viss effekt, samt en förbestämt gränsvärde på maximalt tillåten tomrumsfraktion på ytan. En sammanställning av ekvationssystemet W tillsammans med ett praktiskt exempel på hur den kan tillämpas redovisas i nästkommande resultatavsnitt.

6 Resultat

Följande ekvationssystem beskriver sönderfallsmodellen W(x, t) för propulsororsakat vitvatten: (x, t) W = e₂1 −λt [cos(ωt)+ 1] ⁽²⁴⁾ λ =0.014 · C^−4/9_B ·

(

H ·T²_{1/3 1/3} H²_stern·Tstern

)

^1/5= 0.014 · C^−4/9_B · ^{(H ·T )2}1/3 1/3 1/5 g·

(

π2B D ·t^{4 4}_spray

)

1/10 ω = 2π_T = π (t_spray+t_DOM)

t_spray = ^Lspray_v = ^1.6·v_gv²max · F n

(

2/7− (B/LW L)^1/3

)

t_DOM = 8 · e1/8·C_DOM

där x är en variabelvektor bestående av systemets dämpning λ och period ω , t är tiden i sekunder, C_B är blockkoefficienten, H_1/3 och T_1/3 är signifikant våghöjd respektive period för rådande sea-state, H_stern och T_stern är maximal aktervåghöjd och motsvarande transversell vågperiod, D är djupgåendet på even-keel, B skrovets bredd, W L L skrovets vattenlinjelängd, T är systemets period tillika dubbla totala sönderfallstiden, tspray är vitvattnets ålder på avståndet L_spray från båten ​– vilket approximativt motsvarar en aktervågslängd, v är båtens fart, v_max dess maxfart, n F är Froudetalet för skrovet, t_DOM är sönderfallstiden i vaken efter Lspray och C_DOM är bulkmängden löst organiskt material i ytvattnet mätt som vikt/ volymsenhet i [ppt]. Ovanstående ekvationssystem är härlett enligt vad som framgår i kapitel 5. En jämförelse mellan de experimentella och analytiska kurvorna för W visas i figur 37.

Mängden synligt vitvatten mäts i tomrumsfraktion C (volymsandel gasbubblor) på ytan i den turbulenta vaken. varierar med tiden enligt:C

(C )

C = C₀· K_{S S} · W(x, t) (25)

där C₀ är tomrumsfraktionen i sötvatten och funktionen K_S(C_S) är en skalfaktor för saliniteten C_S [ppt] i ytvattnet, vilken räknas ut enligt följande:

K (C )_{S S} =

(

9.9· C⁴_S− 721.4· C_S³+ 14200· C²_S− 27500· C_S

)

· 10⁻⁶+ 1 (26) Notera att för en uppmätt tomrumsfraktion Cm i ett område där saliniteten ≥ 0 [ppm] gäller att C_m= C₀· K_S(S(m)) , där S(m) är saliniteten där mätningen gjorts.

Figur 37. Vänster kolumn är de experimentellt härledda W(x, t) och höger kolumn de analytiskt  härledda. Streckad kurva är genomsnittet av de experimentella kurvorna för respektive båt. 

In document Praktisk modellering av vitvatten i den turbulenta vaken för jämförelse av marina propulsorer (Page 43-51)