Maxwells f¨altekvationer utg¨or den grundl¨aggande matematiska modellen f¨or prak-tiskt taget all teoretisk behandling av makroskopiska elektromagnetiska fenomen.
James Clerk Maxwell1 publicerade sina ber¨omda ekvationer 1864, och de tester som utf¨orts sedan dess har givit god experimentell ¨overensst¨ammelse med denna modell.
F¨orst n¨ar mikroskopiska fenomen skall f¨orklaras m˚aste en mer noggrann teori inf¨oras, d¨ar ¨aven kvantmekaniska effekter tas med. Det har s˚aledes genom ˚aren byggts upp ett ¨overv¨aldigande bevismaterial f¨or ekvationernas giltighet i skilda till¨ampningar.
Maxwells f¨altekvationer utg¨or en av grundstenarna vid behandlingen av makro-skopiska elektromagnetiska v˚agutbredningsfenomen.2 Ekvationerna lyder3
∇ × E = −∂B
∂t (1.1)
∇ × H = J + ∂D
∂t (1.2)
Ekvation (1.1) (eller motsvarande integralformulering) brukar ben¨amnas Faradays
1James Clerk Maxwell (1831–1879), skotsk fysiker och matematiker.
2En utf¨orlig h¨arledning av dessa makroskopiska ekvationer utg˚aende fr˚an en mikroskopisk for-mulering finns att h¨amta i G. Russakoff, “A Derivation of the Macroscopic Maxwell Equations,”
Am. J. Phys., 38(10), 1188–1195 (1970).
3Vi kommer genomg˚aende att anv¨anda oss av SI-enheterna (MKSA) f¨or de elektromagnetiska storheterna.
1
induktionslag,4medan ekvation (1.2) ofta b¨ar namnet Amp`eres (generaliserade) lag.5 De olika ing˚aende vektorf¨alten i Maxwells f¨altekvationer ¨ar:6
E Elektrisk f¨altstyrka [V/m]
H Magnetisk f¨altstyrka [A/m]
D Elektrisk fl¨odest¨athet [As/m2] B Magnetisk fl¨odest¨athet [Vs/m2] J Str¨omt¨athet [A/m2]
Dessa f¨alt ¨ar funktioner av rums- och tidskoordinaterna (r, t). Ofta skriver vi inte explicit ut dessa variabler f¨or att beteckningarna skall bli enkla. Endast i de fall d¨ar missf¨orst˚and kan uppst˚a eller d¨ar vi s¨arskilt vill p˚apeka funktionsberoendet skrivs variablerna ut.
Den elektriska f¨altstyrkan E och den magnetiska fl¨odest¨atheten B definieras genom kraftverkan p˚a en laddad partikel genom Lorentz-kraften
F = q {E + v × B} (1.3)
d¨ar q ¨ar partikelns laddning och v dess hastighet.
De fria laddningarna i materialet, t.ex. ledningselektroner, beskrivs av str¨omt¨at-heten J. De bundna laddningarnas bidrag, t.ex. fr˚an elektroner bundna till atom-k¨arnan, ¨ar innefattade i den elektriska fl¨odest¨atheten D. Vi kommer senare i detta avsnitt och i kapitel 2 att ˚aterkomma till skillnaderna mellan elektrisk fl¨odest¨athet D och elektrisk f¨altstyrka E, liksom till skillnaderna mellan magnetisk f¨altstyrka H och magnetisk fl¨odest¨athet B.
Ett annat fundamentalt antagande i ell¨aran ¨ar lagen om laddningens of¨orst¨or-barhet. ¨Aven denna naturlag ¨ar experimentellt mycket noggrant uttestad. Ett s¨att att uttrycka laddningskonserveringen matematiskt ¨ar genom laddningens kontinui-tetsekvation
∇ · J + ∂ρ
∂t = 0 (1.4)
H¨ar ¨ar ρ den till str¨omt¨atheten J h¨orande laddningst¨atheten (laddning/volyms-enhet). ρ beskriver s˚aledes de fria laddningarnas laddningst¨athet.
Vanligen associeras ytterligare tv˚a ekvationer till Maxwells f¨altekvationer.
∇ · B = 0 (1.5)
∇ · D = ρ (1.6)
Ekvation (1.5) implicerar avsaknaden av magnetiska punktladdningar och inneb¨ar att det magnetiska fl¨odet ¨ar bevarat. Ekvation (1.6) b¨ar namnet Gauss lag. Dessa
4Michael Faraday (1791–1867), engelsk kemist och fysiker.
5Andr´e Marie Amp`ere (1775–1836), fransk fysiker.
6Dessa ben¨amningar ¨overensst¨ammer med Svensk standard [30]. Andra f¨orekommande ben¨am-ningar p˚a H-f¨altet och D-f¨altet ¨ar amperevarvst¨athet, respektive, elektriskt f¨orskjutningsf¨alt [14].
Man ser ¨aven ibland att B-f¨altet kallas magnetiskt f¨alt. Vi kommer dock att anv¨anda de namn som f¨oresl˚as av Svensk standard eller r¨att och sl¨att skriva E-f¨alt, D-f¨alt, B-f¨alt och H-f¨alt.
Avsnitt 1.1 Grundl¨aggande ekvationer 3
b˚ada ekvationer kan under l¨ampliga antaganden ses som en konsekvens av ekvation-erna (1.1), (1.2) och (1.4). Tag n¨amligen divergensen av (1.1) och (1.2). Detta leder till
∇ · ∂B
∂t = 0
∇ · J + ∇ · ∂D
∂t = 0
eftersom ∇ · (∇ × A) = 0. En v¨axling av deriveringsordningen och anv¨andning av (1.4) ger
∂(∇ · B)
∂t = 0
∂(∇ · D − ρ)
∂t = 0
Fr˚an dessa ekvationer f¨oljer att
∇ · B = f1
∇ · D − ρ = f2
d¨ar f1 och f2 ¨ar tv˚a funktioner som ej explicit beror p˚a tiden t (kan d¨aremot bero p˚a rumskoordinaterna r). Om f¨alten B, D och ρ antas vara identiskt noll f¨ore en fix ¨andlig tid, dvs
B(r, t) = 0 D(r, t) = 0 ρ(r, t) = 0
f¨or t < τ f¨or n˚agot ¨andligt τ , s˚a f¨oljer av detta antagande ekvationerna (1.5) och (1.6). Rent statiska f¨alt eller tidsharmoniska f¨alt uppfyller naturligtvis inte detta antagande, eftersom det inte g˚ar att finna n˚agon ¨andlig tid τ , f¨ore vilken alla f¨alt ¨ar noll.7F¨or tidsberoende f¨alt d¨aremot ser vi att, under rimliga antaganden (att f¨alt och laddningar i en punkt inte existerat i evighet), det r¨acker att anv¨anda ekvationerna (1.1), (1.2) och (1.4).
Maxwells f¨altekvationer (1.1) och (1.2) ¨ar tillsammans 6 stycken ekvationer—en f¨or varje vektorkomponent. Om str¨omt¨atheten J ¨ar given, s˚a inneh˚aller Maxwells f¨altekvationer totalt 12 stycken obekanta (4 stycken vektorf¨alt E, B, D och H). Det
”fattas” s˚aledes 6 stycken ekvationer f¨or att f˚a lika m˚anga ekvationer som obekanta.
Dessa ˚aterst˚aende 6 ekvationer kallas de konstitutiva relationerna och kommer att behandlas utf¨orligare i kapitel 2.
I vakuum ¨ar den elektriska f¨altstyrkan E och den elektriska fl¨odest¨atheten D parallella. Detsamma g¨aller f¨or den magnetiska fl¨odest¨atheten B och den magnetiska f¨altstyrkan H. Det g¨aller att
7Vi ˚aterkommer till h¨arledningen av ekvationerna (1.5) och (1.6) f¨or tidsharmoniska f¨alt i kapi-tel 3 p˚a sidan 38.
D = ²0E B = µ0H
d¨ar ²0 och µ0 ¨ar vakuums dielektricitets- respektive permeabilitetskonstant. Nu-meriska v¨arden p˚a dessa konstanter ¨ar ²0 ≈ 8.854 · 10−12 As/Vm och µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am ≈ 1.257 · 10−6 Vs/Am.
Inuti ett material ¨ar skillnaden mellan den elektriska f¨altstyrkan E och den elekt-riska fl¨odest¨atheten D och mellan den magnetiska fl¨odest¨atheten B och den mag-netiska f¨altstyrkan H ett m˚att p˚a v¨axelverkan mellan laddningsb¨ararna i materialet och f¨alten. Ofta inf¨ors tv˚a nya vektorf¨alt, polarisationen P och magnetiseringen M , f¨or att beskriva dessa skillnader mellan f¨alten. De definieras genom
P = D − ²0E (1.7)
M = 1
µ0B − H (1.8)
Vektorf¨altet P kan grovt s¨agas utg¨ora ett m˚att p˚a hur mycket de bundna ladd-ningarna ¨ar f¨orskjutna i f¨orh˚allande till sina neutrala op˚averkade positioner. Detta inkluderar b˚ade permanent och inducerad polarisation. Det st¨orsta bidraget till detta f¨alt h¨arr¨or fr˚an tyngdpunktsf¨orskjutningar hos de positiva och negativa laddnings-b¨ararna i materialet, men ¨aven andra, h¨ogre ordningens effekter bidrar. P˚a liknande s¨att utg¨or magnetiseringen M ett m˚att p˚a de resulterande (bundna) str¨ommarna i materialet. ¨Aven detta f¨alt kan vara av b˚ade permanent eller inducerad natur.
Att ange ett materials polarisation och magnetisering ¨ar ekvivalent med att ange de konstitutiva relationerna f¨or materialet och inneb¨ar att ytterligare 6 ek-vationer som karakteriserar materialet specificeras. I kapitel 2 kommer vi att anal-ysera olika modeller f¨or ett materials polarisation och magnetisering mera i detalj.
I de ˚aterst˚aende avsnitten i detta kapitel unders¨oker vi ytterligare konsekvenser av Maxwells f¨altekvationer, n¨amligen randvillkor och energikonservering.