H ∞ med parameterstyrning och tidsvariabelt system

Viktfunktionerna ovan gav bra regulatorer ¨aven f¨or det tidsinvarianta systemet. Att goda resultat f˚as f¨or tidsvariabla system kan inte garanteras utan m˚aste ve- rifieras med simuleringar. Resultatet beror ocks˚a p˚a hur m˚anga gridpunkter som anv¨ants. Ju fler punkter desto b¨attre resultat. En komplikation som dyker upp

vid parameterstyrning ¨ar effekter som uppkommer d˚a man byter regulator. Det

finns ingen b¨asta metod f¨or hur ¨overg˚angarna ska ske. Till exempel kan interpola- tion eller direkta hopp mellan regulatorerna anv¨andas. H¨ar kommer simuleringar att anv¨andas f¨or att unders¨oka metoderna. Eftersom systemet ska klara av dysfel kommer simuleringarna i detta kapitel inkludera s˚adana.

4.5 Styrning med H∞ 29 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 10−3 10−2 10−1 100 101

Figur 4.14.Bodediagram av T med tillh¨orande inversa viktfunktion (ω0= 10)

0 0.5 1 1.5 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 [rad] Tid [s] α Ref

Ett urartat fall av parameterstyrning ¨ar att endast en regulator anv¨ands. Hur systemet beter sig d˚a regulatorn i kapitel 4.5.2 anv¨ands ses i figur 4.16 ¨Aven om

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 [rad] Tid [s] α Ref

Figur 4.16.αmed referens ˙θ och δ d˚a endast en regulator anv¨ands.

H∞-metoden ska generera regulatorer som ¨ar robusta mot modellvariationer blir

simuleringsresultatet d˚aligt d˚a endast en regulator anv¨ands p˚a det tidsvariabla sy- stemet. Detta ¨ar inte f¨orv˚anande eftersom systemet f¨or¨andras radikalt. En regulator r¨acker allts˚a inte, utan flera m˚aste anv¨andas f¨or det tidsvariabla systemet.

F¨or att f˚a en uppfattning om var i tiden systemf¨or¨andringarna ¨ar som st¨orst kan systemmatrisen studeras. Man ser d˚a att systemet f¨or¨andras v¨aldigt snabbt i b¨orjan av uppskjutningen. D¨arf¨or ¨ar det l¨ampligt att testa om det blir b¨attre med fler regulatorer i b¨orjan.

Det finns flera s¨att att byta mellan regulatorerna. En metod ¨ar att interpolera regulatorv¨ardena. En annan ¨ar att g¨ora abrubta byten vid best¨amda tidpunkter. Det visar sig vara ol¨ampligt att anv¨anda interpolation. Systemet uppf¨or sig olo- giskt och blir ofta instabilt. Att systemet blir instabilt beror f¨ormodligen p˚a att

H∞-metoden tar fram regulatorer som fungerar i gridpunkten och dess omgivning

men den interpolerade regulatorns egenskaper ¨ar ok¨anda och resulterar i ett slutet system utan stabilitetsgarantier. De simuleringar som g¨ors med interpolerande re- gulator visar att systemet sv¨anger kraftigt. Detta visas i figur 4.17. ¨Aven tidigare studier av dimensionering av robotstyrsystem, i f¨oretaget, har visat att abrupta byten ¨ar att f¨oredra framf¨or interpolation. Om abrubta byten mellan regulato- rerna anv¨ands f˚as betydligt b¨attre resultat. Detta ses i figur 4.18. Det blir dock st¨otar i styrsignalen vid regulatorbytet. Detta beror p˚a att tillst˚anden i regulatorn

4.5 Styrning med H∞ 31 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 [rad] Tid [s] α Ref

Figur 4.17.Simulering med tv˚a regulatorer d˚a interpolation mellan regulatorer anv¨ands

¨andrar betydelse n¨ar en ny regulator tar vid. F¨ormodligen ¨ar det b¨asta s¨attet att ˚atg¨arda detta att r¨akna ut vad den nya regulatorns tillst˚and ska ha f¨or v¨arden f¨or att motsvara den gamla. Detta ¨ar inte helt trivialt. Tv˚a metoder f¨or regulatorbyte har anv¨ants. Den f¨orsta ignorerar att tillst˚anden ¨andrar betydelse vilket som ovan n¨amnts ger st¨otar. Den andra l˚ater ett eller flera tillst˚and anpassa sig innan de anv¨ands f¨or utsignalsber¨akning. Ibland kan st¨otarna elimineras men det ¨ar sv˚art att f¨orutse hur l˚ang tid tillst˚anden beh¨over f¨or att stabilisera sig. Det visar sig ¨aven att instabilitet i styrningen kan uppst˚a medan tillst˚anden h˚aller p˚a att stabilisera sig. Om de f˚ar f¨or kort tid p˚a sig kommer st¨otarna inte att f¨orsvinna och vid f¨or l˚anga adaptionstider kan systemet bli instabilt och divergera. Eftersom st¨otarna ¨ar kortvariga och inte p˚averkar systemet alltf¨or mycket kommer forts¨attningsvis ingen h¨ansyn att tas till dem. Det finns andra metoder som kan minska st¨otarna. Till exempel kan ett eller flera tillst˚and korrigeras s˚a att styrsignalen har samma v¨arde efter och f¨ore regulatorbytet. Denna eller andra metoder att minska st¨otar vid ¨overg˚ang behandlas dock inte i detta exjobb.

Om tv˚a regulatorer anv¨ands blir resultaten betydligt b¨attre ¨an om endast en anv¨ands. Detta visas i figur 4.18. St¨otarna i insignalen orsakar ibland st¨orningarna i tillst˚anden, men ¨ar inte avg¨orande f¨or systemprestandan. Om ingen ny regulator anv¨ands efter 0.5 sekunder f˚as ett stort reglerfel. Detta beror f¨ormodligen p˚a att systemet avviker f¨or mycket fr˚an systemet som regulatorn ¨ar designad f¨or. Syste- mets uppf¨or sig dock godtagbart den f¨orsta halvsekunden. Systemet ¨ar sv¨angigare i b¨orjan ¨an d˚a LQ-styrningen anv¨ands. En st¨orre d¨ampning beh¨ovs. Hur m˚anga

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 [rad] Tid [s] α Ref

Figur 4.18.αmed referens d˚a tv˚a regulatorer anv¨ands med direkta byten

regulatorer det kr¨avs f¨or att f˚a bra styrning ¨ar sv˚art att f¨orutse. Detta m˚aste kon- trolleras genom simuleringar. ¨Aven om m˚anga regulatorer anv¨ands ¨ar det sv˚art att kommma ifr˚an att systemet blir sv¨angigt initialt. Den erh˚allna prestandan ¨ar be- tydligt s¨amre ¨an den som erh˚allits med LQG-styrning. Eftersom designen leder till

Bodediagram utan, eller med sm˚a f¨orst¨arkningar vid resonansfrekvensen, och de

tidsinvarianta simuleringarna ger sm˚a sv¨angningar beror f¨ormodligen sv¨angigheten

p˚a de tidsvariabla effekterna. Systemet ¨andras i tiden och Bodediagrammet kom-

mer inte st¨amma med det slutna systemet vid en tid skild fr˚an den som regulatorn ¨ar framtagen f¨or. F¨or att f¨ors¨oka ¨oka d¨ampningen av egenfrekvensen har ytterli- gare tre metoder testats. I den f¨orsta kommer ˙θ att tas med som reglerstorhet. Sv¨angningar i ˙θ ger upphov till att ¨aven α sv¨anger, eftersom ˙θ f¨orenklat kan ses som en l˚agpassfiltrering av ˙θ. Det visar sig dock sv˚art att inkludera ˙θ som regler- storhet eftersom α och ˙θ ¨ar starkt beroende av varandra och endast en styrsignal ¨ar tillg¨anglig. Mer om detta i kapitel 4.5.4. Den andra metoden g˚ar ut p˚a att reglera ˙θ med liknande viktfunktioner som anv¨ants f¨or α. Detta ¨ar beskrivet i kapitel 4.5.4. Slutligen har en viktfunktion som trycker ned egenfrekvensen testats. S˚adana vik- ter har anv¨ants f¨or b˚ade α och ˙θ. N¨ar sv¨angningen d¨ott ut ¨overg˚ar man till det tidigare framtagna reglersystemet f¨or att f˚a referensf¨oljning i α.