3.3 F¨ ors¨ aljningsdata
3.3.1 Insamling och bearbetning
F¨ors¨aljningsstatistik fr˚an varje enskild station har h¨amtats fr˚an Vapianos data- bas p˚a Sturegatan. Datan som anv¨ants ¨ar fr˚an den 11 mars - 2 april, eftersom det ¨ar under denna period som datainsamlingen till detta arbete har utf¨orts. Att anv¨anda samma period f¨or b˚ade f¨ors¨aljningsdatan och tidtagningsdatan g¨or att datan kan direkt j¨amf¨oras. F¨ors¨aljningsdatan inneh˚aller detaljerad information om hur m˚anga matr¨atter som s˚alts vid varje enskild station under varje timme.
Figur 3.2: Vapianos f¨ors¨aljningsdata fr˚an s¨ondagen den 13 mars I detta arbete begr¨ansas unders¨okningarna till lunchrusningen. D¨arf¨or har data fr˚an de tv˚a timmar med st¨orst f¨ors¨aljning per dag anv¨ants. Genom inspektion av f¨ors¨aljningsdatan bekr¨aftades att lunchrusningen under vardagar ¨ar kl 11- 13 och under helgdagar kl 13-15, vilket ¨ar ungef¨ar samma tider p˚a dagen som tidtagningarna har utf¨orts (se exempel i fig 3.2). D¨arf¨or sammanst¨alldes den relevanta datan som den syns i bilaga C med antal s˚alda r¨atter per lunch och dag f¨or varje pastastation. F¨ors¨aljningsdatan som anv¨ands i denna rapport ben¨amns xjk, j = 1 . . . 23, k = 1 . . . 5. H¨ar st˚ar index j f¨or dagen datan kommer fr˚an,
och index k f¨or vilken pastastation datan kommer fr˚an. Datan visade ¨aven att under 87 % av dagarna i m¨atperioden s˚a hade Vapiano Sturegatan endast fyra av fem pastastationer ¨oppna.
Kapitel 4
Metod
I f¨oljande avsnitt presenteras arbetets metod samt hur olika potentiella modeller utformas och utv¨arderas.
4.1
Utfomning av modellen
4.1.1
Identifiera k¨otyp
F¨or att g¨ora en modell av Vapiano Sturegatan med markovsk k¨oteori s˚a analyse- ras k¨osystemet. Vi utg˚ar fr˚an M/M/c-modellen och beh¨over f¨oljaktligen endast best¨amma hur m˚anga kunder som kan betj¨anas samtidigt. Den del av systemet som modelleras ¨ar inringad i fig. 1.2 p˚a s.8. I denna rapport behandlas tv˚a al- ternativa s¨att att modellera Vapianos k¨osystem, som sedan j¨amf¨ors. Den mest realistiska modellen v¨aljs d¨arefter ut f¨or att testa tv˚a olika s¨att att f¨orkorta k¨otiderna till pastastationerna.
M/M/2-k¨o
Den utvalda delen av systemet kan modelleras som parallella M/M/2-k¨oer, ef- tersom varje station kan betj¨ana tv˚a kunder samtidigt. Motiveringen till detta ¨ar att vid pastastationerna finns tv˚a stekpannor, s˚aledes kan tv˚a r¨atter lagas samti- digt. Oavsett hur mycket personal som finns bakom disken kan endast tv˚a r¨atter lagas samtidigt, f¨oljaktligen kan bara tv˚a kunder betj¨anas samtidigt. Eftersom utg˚angspunkten ¨ar att modellera med markovska k¨oer s˚a kommer systemet att modelleras med exponentialf¨ordelade betj¨aningstider och Poissonf¨ordelade an- komster oavsett hur datan ser ut.
M/M/8-k¨o
En svaghet med att modellera systemet som parallella M/M/2-k¨oer ¨ar att kun- derna enligt denna modell f¨orv¨antas v¨alja k¨o helt slumpm¨assigt. En kund skulle
KAPITEL 4. METOD 24
Figur 4.1: De fem pastastationerna modellerade som fem identiska parallella M/M/2-k¨oer
enligt M/M/2-modellen inte alltid st¨alla sig i den kortaste k¨on, vilket kan leda till att den f¨orv¨antade tiden i systemet W och personer i systemet L ¨overskattas. Ett alternativ ¨ar att ist¨allet modellera systemet som en enda M/M/8-k¨o f¨or att ta h¨ansyn till att kunder oftast v¨aljer att st¨alla sig i den kortaste k¨on, eller byter k¨o om en annan k¨o verkar snabbare. I M/M/8-modellen s˚a betraktas de parallel- la fysiska k¨oerna som en enda k¨o. B˚ade M/M/2-modellen och M/M/8-modellen kommer att unders¨okas och j¨amf¨oras nedan.
4.1.2
Betj¨aningsintensitet
Betj¨aningstiderna antas vara exponentialf¨ordelade eftersom utg˚angspunkten ¨ar markovsk k¨oteori. Betj¨aningsintensiteten kan uppskattas p˚a tv˚a olika s¨att, an- tingen med hj¨alp av den insamlade datan fr˚an tidtagningarna eller med hj¨alp av Vapiano Sturegatans egen f¨ors¨aljningsdata.
Betj¨aningsintensitet baserad p˚a insamlad tidtagningdata
F¨or det f¨orsta kan intensiteten skattas med maximum likelihoodmetoden, det vill s¨aga best¨amma den intensitet som ger st¨orst sannolikhet att f˚a den erh˚allna datan i bilaga B. ML-estimatorn ¨ar (Blom et al. 2005) ˆµ = 1/ ¯T2 d¨ar ˆµ ¨ar
den estimerade betj¨aningsintensiteten och ¯T2 ¨ar medelv¨ardet av de insamlade
betj¨aningstiderna. Se avsnitt 2.3.1 om maximum likelihood-metoden.
Betj¨aningsintensitet baserad p˚a f¨ors¨aljningsdata
F¨or det andra s˚a kan betj¨aningsintensiteten ber¨aknas med hj¨alp av f¨ors¨aljnings- datan. F¨ors¨aljningsdatan (se bilaga C) visar hur m˚anga r¨atter som s˚aldes under den tv˚a timmar l˚anga lunchrusningen per dag.
KAPITEL 4. METOD 25
Datan f¨or hela perioden (3 mars till 2 april) anv¨andes till ber¨akning av be- tj¨aningsintensiteterna med hj¨alp av Microsoft Excel (se bilaga C). F¨orst be- r¨aknades betj¨aningsintensiteten f¨or varje dag ( j = 1 . . . 23). Den totala f¨or- s¨aljningen av pasta per timme ber¨aknades. D¨arefter delades den totala f¨ors¨aljningen per timme med antalet ¨oppna stationer, och med tv˚a samt med 60 f¨or att f˚a betj¨aningsintensiteten f¨or varje enskild dag i enheten kunder/minut.
µj=
1 2
P5
k=1xjk
Antal ¨oppna stationerj· 2 · 60
(4.1)
I modellen anv¨ands medelv¨ardet av dessa betj¨aningsintensiteter,
ˆ µ = 1 23 23 X j=1 µj. (4.2)
4.1.3
Ankomstintensiteter i M/M/2-modellen
Ankomstprocessen till Vapiano Sturegatan antas vara en Poissonprocess med intensitet λv i enlighet med den markovska k¨oteorin, d¨ar index v ¨ar ankomster
till restaurangen p˚a Sturegatan. Personerna som v¨aljer att ¨ata p˚a Vapiano Stu- regatan antas ocks˚a v¨alja mat oberoende av varandra, utan att falla f¨or n˚agot grupptryck. Detta medf¨or att ankomstprocessen till varje enskild station ¨ar en Poissonprocess, eftersom Poissonprocesser har egenskapen att de kan uttunnas (se avsnitt 2.1.3). Kunderna antas v¨alja pasta med sannolikhet a, sallad med sannolikhet b och pizza med sannolikhet c (a+b+c ≤ 1 g¨aller). Pizza- och sallads- stationerna ing˚ar inte fr˚agest¨allningen och ¨ar s˚aledes inte med i ber¨akningarna nedan. Ankomstprocessen delas allts˚a upp i tre, en till pastadelen av systemet med ankomstintensitet aλv, en till salladsstationen med ankomstintensitet bλv
och en till pizzastationen med ankomstintensitet cλv. Till varje enskild pastas-
tation antar vi att kunderna v¨aljer k¨o slumpm¨assigt. Ankomstintensiteten till varje enskild pastastation blir λ = aλv/5.
Ankomstintensiteterna kan best¨ammas p˚a tv˚a s¨att. Antingen anv¨ands Littles lag (2.10) eller en kombination av Littles lag och ekvation (2.19).
Littles lag
Littles lag (2.10) ger
λ = L
W. (4.3)
H¨ar ¨ar L det genomsnittliga antalet personer i systemet och W den f¨orv¨antade tiden i systemet. Genom att anv¨anda ekvationerna ovan med den insamlade datan fr˚an tidtagningarna erh˚alls en estimering λlittle av ankomstintensiteten.
KAPITEL 4. METOD 26
W erh˚alls genom att addera genomsnittet av k¨otiden Wq till genomsnittet av
servicetiden T2, det vill s¨aga
W = ¯Wiq+ ¯Ti2. (4.4)
L ¨ar i detta fall medelv¨ardet av Li + 1, i = 1 . . . 132. F¨orklaring till att ett
adderas finns i avsnitt 3.2.2 om utformningen av fr˚ageformul¨aret.
Modifierad Littles lag
Med Littles lag (2.10), antal kunder i systemet L (2.19) och uttrycket f¨or ρ (2.18) s˚a f˚ar vi genom substitution och f¨orenkling
λ = 2pµ(µ − 1/W ) (4.5)
och har s˚aledes en ekvation som beror p˚a betj¨aningsintensiteten µ och den f¨orv¨antade tiden i systemet W . Ekvation (4.4) ger W och det finns tv˚a m¨ojliga utfall eftersom µ kan estimeras p˚a tv˚a olika s¨att (se avsnitt 4.1.2 om betj¨anings- intensiteter.)
4.1.4
Ankomstintensiteter i M/M/8-modellen
I M/M/8-modellen s˚a modelleras k¨oerna till de fyra ¨oppna pastastationerna som en enda l˚ang k¨o f¨or att ta mer h¨ansyn till att kunder tenderar att v¨alja den kortaste k¨on och kan byta k¨o. Eftersom den insamlade datan m¨ater antal kunder i systemet per station s˚a m˚aste L multipliceras med fyra. Tiden i systemet W p˚averkas inte. Littles lag (2.10) ger d˚a ankomstintensiteten
λ = 4L
W. (4.6)
Vi ser att ankomstintensiteten ¨ar fyra g˚anger s˚a stor om systemet modelle- ras som en M/M/8-k¨o j¨amf¨ort med om det modelleras som fyra M/M/2-k¨oer. F¨or att ber¨akna m¨ojliga ankomstintensiteter i M/M/8-modellen multipliceras f¨oljaktligen ankomstintensiteterna fr˚an M/M/2-modellen med fyra.