Iscensättning  och  analys  av  del  1  –  den  historiska

I grupp 1 visas en PowerPoint-presentation som forskargruppen gjort, se bilaga 3. Läraren introducerar logaritmbegreppet och berättar om det histo-riska behovet av att försöka finna ett sätt att lösa ett problem. Läraren an-vänder Kepler och de beräkningar han behövde göra i sina astronomiska arbeten som ett konkret exempel. Därefter visar läraren de tabeller som Na-pier och Briggs hade tagit fram, se bild nedan.

Bild 5. Briggs 14-ställiga logaritmtabell.

Anledningen till att logaritmtabeller hade konstruerats, förklaras vara för att ersätta multiplikation med addition.

Läraren: [Dessa tal har beräknats] med jättemånga decimaler. Jättenoggrant [pekar på tiologaritmen av två i högra spalten i tabellen]. Vi vet ännu inte vad det här talet är. […] Det här talet kallas för logaritmen av det här talet [pekar på talet 2 i den vänstra spalten]. Vad ska vi ha detta till? Jo, vi har ett problem! Vi vill beräkna 219 gånger 417.

Del  1   Historisk  introdukton  

Del  2   KonstrukWon  av  det   matemaWska  redskapet  

Del  3   RelaWonen  mellan  talen  

Del  4   RelaWonens  unika    

egenskaper  

Läraren visar hur Briggs logaritmtabell används för att ersätta talen (fak-torerna) 219 och 417 med talen 2,34[…] och 2,62[…], se bild nedan.

Bild 6. Talen 219 och 417 och tiologaritmen för dessa tal.

Läraren bräknar summan av de nya talen till 4,96[…], och använder sedan tabellen igen för att visa att detta tal motsvaras av talet 91 323, se bild nedan, och säger sedan att detta är produkten av 219 och 417.

Bild 7. Tiologaritmen för 91 323

Under denna introduktion fick eleverna möjlighet att ställa frågor, och en elev frågar om antalet decimalkomman i den 14-ställiga logaritmtabellen, som läraren förklarade vara ett sätt att gruppera siffrorna. I övrigt ställdes inga frågor av eleverna.

I diskussionen som några i forskargruppen gjorde i anslutning till lektionen, bestämdes att inget i innehållet skulle ändras i denna del för nästa grupp.

Läraren som skulle genomföra lektionen ville dock inte använda den färdig-ställda PowerPoint-presentationen, vilket inte sågs som någon större föränd-ring av innehållets behandling.

I grupp 2 gör läraren precis på samma sätt som läraren i grupp 1, men med skillnaden att allt skrivs på tavlan. Läraren berättar om Napier och Briggs och hur Kepler använde logaritmer för att göra avancerade beräkningar.

Även multiplikationen 219 ∙ 417 används som exempel, och läraren visar hur talen kan skrivas om som en addition med hjälp av logaritmer, hur dessa tal sedan adderas och hur resultatet av produkten därefter kan bestämmas.

Eleverna ställde inga frågor under tiden, men när läraren var klar, ville en elev få en förklaring och läraren sa att det var det lektionen gick ut på.

I anslutning till lektionerna intervjuades några av eleverna i bägge grupperna för att försöka avgöra om eleverna kunde redogöra för varför logaritmer konstruerats ursprungligen. Ett utdrag av en intervju med en av eleverna grupp 1 exemplifierar detta:

Intervjuare: Kommer du ihåg varför man införde logaritmer?

Elev: Ja, det var väl det här… Ah, lite pinsamt, men…

Intervjuare: Det spelar ingen roll!

Elev: Det var väl för att man inte ville, eh… Ah, nä, ärligt talat är jag inte säker.

Intervjuaren ställer direkta frågor kopplade till syftet med uppgiften, men eleven säger sig dock inte veta, genom att uttrycka att det är pinsamt och att eleven inte är säker.

Alla intervjuade elever, totalt 10 stycken i grupp 1 och 2 uttryckte att den historiska introduktionen var spännande och intressant, men många kunde inte redogöra för det ursprungliga behovet av logaritmer.

Designen förändrades därför för den tredje gruppen, så att eleverna skulle ges möjlighet att i handling få möjlighet att erfara hur en multiplikation ut-fördes innan logaritmerna fanns med hjälp av en av dåtidens mest effektiva metoder för att multiplicera två tal, a och b:

𝑎𝑏 =^(!!!)!

! −^(!!!)!

! .

I grupp 3 visar läraren ovanstående formel och förklarar att Babylonierna använde den för att förenkla multiplikation. Läraren låter eleverna beräkna några exempel, och eleverna menar att det inte är så mycket lättare eftersom man fortfarande behöver genomföra en annan multiplikation, när kvadrater-na ska beräkkvadrater-nas.

Sedan fick eleverna samma uppgift som i de två föregående grupperna, som behandlades på liknande sätt med logaritmtabellen. Inte heller i denna grupp användes den färdiga presentationen, på grund av tekniska problem.

Skillnaden jämfört med föregående grupper var att läraren hade försatt ele-verna i en situation där de i handling fick utföra multiplikation med två olika ersättningsmetoder, som sedan (implicit) kunde jämföras. I anslutning till lektionen intervjuades sju elever i gruppen och resultatet av den analys som gjordes av dessa elevers utsagor visade att samtliga kunde redogöra för det ursprungliga behovet av logaritmer.

Resultatet kan förklaras termer av lärandehandlingar. I grupp 1 och 2 be-skrev lärarna syftet med logaritmer genom att introducera begreppet logaritm och sedan visa hur en addition kunde ersätta en multiplikation. Därefter ställdes olika frågor, till exempel ”Vad är det för tal som Napier/Briggs be-räknade?”, ”Hur fungerar metoden?” och ”Vilka fler spännande egenskaper har talen?”. Eftersom lärarna visade och formulerade frågorna, utfördes inga lärandehandlingar av eleverna.

I grupp 3 försattes eleverna i en situation där de själva fick beräkna produk-ten av två tal på två olika sätt, med och utan hjälp av logaritmer. I de hand-lingar eleverna utförde, fick de möjlighet att erfara och reflektera över denna skillnad.

Genom den lärandeverksamhet som iscensattes fick eleverna i grupp 3 möj-lighet genom olika handlingar jämföra multiplikation med och utan logarit-mer. Eleverna kunde i högre grad redogöra för syftet ur ett historiskt per-spektiv, till skillnad mot eleverna i grupp 1 och 2, vilket indikerar att uppgif-ten i sig kanske har genererat ett internt motiv, vilket är en viktig del i en lärandeverksamhet.

6.3.2 Iscensättning och analys av del 2 – konstruktion av det