I denna avhandling ingår studier av hur två gymnasielärare undervisar i matematik (på B-kursen) på Samhällsprogrammet på ett svenskt gymnasium och hur en matematiklärare undervisar på ett gymnasium i Schweiz. En genomgång av skolornas läroplaner och kursplaner behövs dels för att förstå de förväntningar, som man kan lägga på lärarna, dels för att förstå hur resultaten av analysen kan sättas i relation till den undersökta skolans mål. Vad jag särskilt har extraherat är vad som sägs om datoranvändning och om det finns arbetssätt beskrivet där ett dynamiskt matematikprogram är lämpligt att använda. Kursplanen i kantonen Valise introducerar jag efter en kort beskrivning av dess skolsystem, eftersom det skiljer sig från vårt svenska skolsystem.
Läroplanen för den frivilliga skolformen 94
Under rubriken Karaktär och struktur står det att många rutinoperationer främst av numerisk och grafisk karaktär idag kan utföras med hjälp av
1Forord_Bakgrund_Inledning 060118
miniräknare och datorer. Under rubriken Mål17 står det att eleverna efter genomgången kurs i aritmetik skall ha erfarenhet av användning av datorprogram vid beräkningar. Detta tolkar jag som att datorn skall användas som en kalkylator. Eleverna skall också kunna utnyttja grafritande hjälpmedel inom funktionsläran (SKOLFS: 4, 1994). Under Syfte står det:
Eleverna skall få förståelse för att matematiken har sitt historiska ursprung i många äldre kulturer och få inblick i hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas samt lära sig att med förtrogenhet och omdöme använda sig av miniräknaren och datorer som matematiska verktyg.
(SKOLFS: 4, 1994, sid 40)
Ordet dator i läroplan/kursplan nämns företrädesvis tillsammans med ordet miniräknare eller kalkylator. Också detta indikerar att datorn huvudsakligen betraktas som ett räkneverktyg. Under Särskilda Programmål, Naturvetenskapsprogrammet står det:
Skolan har ansvar för att eleverna efter fullföljd utbildning kan använda datorer som verktyg i studier och arbete (SKOLFS, 1994, sid 30)
Det står emellertid inte angivet på vilket sätt datorer skall användas som verktyg. Det skulle kunna innebära användning i syfte att söka faktakunskaper, dokumentera och presentera fakta och underlätta förståelse.
I den svenska läroplanen för de frivilliga skolformerna står bland annat följande:
Kunskap kommer till uttryck i olika former - såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet - som förutsätter och samspelar med varandra.
Elevernas kunskapsutveckling är beroende av om de får möjlighet att se samband.
Eleverna skall få möjlighet att reflektera över sina erfarenheter och tillämpa sina kunskaper.
Skolan skall inte själv förmedla de kunskaper som eleverna kommer att behöva. Det väsentliga är att skolan skapar de bästa samlade betingelserna för elevernas bildning, tänkande och kunskapsutveckling.
17 Svensk läroplan behandlar endast mål som skall uppnås, ej sättet att uppnå dem.
Varje elev skall få stimulans att växa med uppgifterna och möjlighet att utvecklas efter sina förutsättningar (SKOLFS, 1994, sid 26, min kursivering).
Användningen av begreppen fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet samt samspelet mellan dessa illustrerar hur kunskapsbegreppet kommer till uttryck enligt SKOLFS, 1994. Om eleverna kan ges möjlighet att se olika matematiska samband skulle detta kunna öka deras förståelse och förtrogenhet med matematiken. Och kan eleverna ges möjlighet att reflektera över sina erfarenheter, skulle deras kunskapsutveckling sannolikt fördjupas. I kursplanen under Syfte i SKOLFS: 4, 1994 står det:
Matematikundervisningen syftar till att ge eleverna tilltro till sitt eget tänkande samt till den egna förmågan att lära matematik och använda matematik i olika situationer.
Undervisningen skall utveckla elevernas nyfikenhet, öppenhet, analytiska förmåga, kreativitet och ihärdighet vid matematisk problemlösning samt förmåga att generalisera, abstrahera och estetiskt fullända lösningar och resultat (SKOLFS: 4, 1994, sid 40).
Ett undersökande arbetssätt kan resultera i att elevens tilltro till sig själv och sitt eget tänkande stärks och att nyfikenhet, öppenhet samt analytisk och kreativ förmåga utvecklas. Dessutom kan eleven genom att göra generaliseringar formulera och verifiera hypoteser. Under rubriken Karaktär och struktur står det:
Matematik är ett sätt att undersöka och strukturera teoretiska och praktiska problem. Matematik är också ett sätt att tänka med inslag av både intuition och logik. Matematik handlar om att formulera hypoteser, undersöka dem och dra slutsatser samt kunna övertyga andra om giltigheten i ett resonemang (SKOLFS: 4, 1994, sid 40).
Kursplanen i kantonen Valise i Schweiz
Eleverna kan börja i en frivillig skolform då de är 4 år. Då de är 6-12 år går de i École première, från ca 12 års ålder går de i École secondaire och i åldern 14-19 år går de på Collège. Eleverna går fem år i gymnasiet (collège) och det ger behörighet till teoretiska studier på universitetet. Åk 1 på gymnasiet läser alla eleven samma kurs i matematik med fem lektioner i veckan. Åk 2 väljer de en matematikkurs med sex alternativt tre lektioner i veckan. De tre sista åren kan de välja matematikkurser om fyra, fem,
1Forord_Bakgrund_Inledning 060118
alternativt sex lektioner per vecka. De som väljer kursen med sex lektioner i veckan i åk 2 kan välja ytterligare en kurs med två lektioner i veckan
”Application des Mathématiques” och i den kursen ingår ett dynamiskt matematikprogram som ett verktyg i matematikundervisningen. Ju svårare kurs desto fler lektioner per vecka disponerar kursen. De allmänna målen är likalydande för dessa kurser. De fyra styckena nedan är tagna från olika ställen i kursplanen. I kursmålen står det att läsa (min kursivering):18
Undervisningen i matematik tillåter eleven att erövra ett intellektuellt redskap utan vilket han inte skulle utveckla vetenskaplig kunskap.19
Detta redskap, som mängdernas, modellens och den deduktiva strukturens vetenskap är särskilt lämpat att behandla abstrakta begrepp av alla sorter som man finner i de exakta eller i de experimentella vetenskaperna och i vissa humanistiska och sociala vetenskaper20
Undervisningen bör visa att matematik inte endast är ett hjälpspråk för att formulera och lösa en vetenskaplig fråga utan också ett centrum för oändlig mängd, metoder resonemang och strukturer där språket är exakt och strikt.21
Matematikens värld, rik, abstrakt och strukturerad, är ett kunskapsfält som människan alltsedan antiken försöker vidga och komplettera.
Undervisningen bör underlätta tillgängligheten till matematiken och ge eleven lust och smak att intressera sig för den.22
Dessa fyra fragment beskriver i första hand ämnet matematik och undervisningens förhållande till detta ämne. Eftersom den schweiziska skolan tillhandahåller en specialkurs där ett dynamiskt matematikprogram
18 Översättningar från franska till svenska är gjorda av författaren och granskade av Fredrik Méden, infödd fransman som är utbildad svensk matematiklärare.
19 L’enseignement des mathématiques permet à l’élève d’acquérir un outil intellectuel sans lequel, malgré des dons d’intuition ou d’invention, il ne progresserait pas dans la connaissance scientifique au-delà de certains seuils.
20 Cet outil, comme science de quantité, du modèle et de la structure déductive est particulièrement adapté pour traiter les concepts abstraits de toutes sortes que l’on trouve dans les sciences exactes ou expérimentales et dans certaines sciences humaines et sociales
21 L’enseignement doit montrer que les mathématiques ne sont pas qu’un langage à l’aide duquel une question scientifique peut être posée et résolue, mais un vaste corps de méthodes, de raisonnements et de structures dont le langage est précis et rigoureux.
22 Le monde de mathématiques, riche, abstrait et structuré est un champ de connaissances quel homme, depuis l’Antiquité, cherche à élargir et compléter par une recherche et une remise en cause continues. L’enseignement doit faciliter l’approche des mathématiques et donner à l’élève l’envie et le goût de s’y intéresser (s 15)
är utgångspunkt för matematikstudierna har man därmed i kantonen Valise troligtvis dragit slutsatsen att användandet av dynamiska matematikprogram passar in i ovanstående målformuleringar.
Matematikämnet delas in under de två första åren i tre moment:
aritmetik, algebra och geometri. De följande tre åren delas matematikämnet in i geometri, analys och sannolikhetslära. Geometri finns som tidigare påpekats upptaget som moment i alla fem årskurserna. Varje kurs är också indelad i de olika moment eleven skall ha kunskap om. Därtill är de mål som varje elev skall uppnå preciserade. Begreppet datoranvändning finns däremot inte nämnt någonstans i kursplanen för matematik.
Eleverna har fler vägar att välja för matematikstudier än i Sverige, där det endast finns en väg som kan avslutas vid olika tillfällen. De svenska eleverna har en grundkurs A och kan därefter successivt välja påbyggnadskurser upp till E - eller ibland F-nivå.
Kommentarer: Nedan exemplifierar jag utifrån läroplan/kursplan där användandet av dynamisk programvara kan vara en tillgång, ge tilltro till eget tänkande, utveckla nyfikenhet och sin analytiska förmåga samt att generalisera. Ett exempel kan vara vad eleven kan finna då hon/han undersöker begreppet vinkelrät linje. Då kan följande egenskaper hittas: den vinkelräta linjen bildar 90 grader med en annan linje eller sträcka, den är underlag för att åskådliggöra en höjd i en triangel, en del av linjen bildar det kortaste avståndet mellan två sträckor/linjer, sträcka är en del av en linje.
Skillnaden mellan linje och sträcka framkommer därigenom tydligt. Ett annat exempel på en laboration är troliggörandet av Pythagoras sats, som lämpar sig mycket väl för laborationer med ett dynamiskt geometriprogram.
Denna sats återkommer jag till i kapitel 4 Teoretisk plattform.
De citat ur läroplanerna, som jag givit exempel på skulle kunna förstärkas genom att eleverna inte endast kommunicerar med läraren och med varandra samt löser uppgifter i boken, utan också genom att de har en tredje part, datorn, att laborera med. Skolan kan därmed utnyttja en möjlighet bland flera för att förstärka elevens tänkande och kunskapsutveckling.
Det sätt på vilket jag tolkar läroplanen ovan visar att datorn även kan vara ett användbart matematikdidaktiskt instrument vid ett svenskt
1Forord_Bakgrund_Inledning 060118
gymnasium. Följaktligen finns det stöd i den svenska läroplanen för att använda ett dynamiskt matematikprogram även om det inte är framskrivet explicit.
Min tolkning av ett dynamiskt matematikprogram är att det genom sina dynamiska effekter, och därigenom förmågan till generaliserbarhet, samt visuella förmåga kan underlätta förståelsen av abstrakta begrepp och därmed öka tillgängligheten till djupare förståelse av matematik.
Exaktheten i programmets kommandon kan skapa underlag för diskussioner och generaliseringar samt ett arbete på en vetenskaplig grund vilket betonades i kantonen Valise.
Sammanfattning
Geometri är ett vardagsnära område inom matematikämnet. Att lära sig geometri innebär bland annat att lära sig grundläggande begrepp, att förstå och analysera problem, att tänka logiskt, att välja en genomförbar lösningsmetod, att inse vilken kunskap som behövs och vid behov inhämta den kunskapen samt att generalisera och ställa hypoteser.
Den svenska läroplanen uttrycker specifikt att datorn kan användas som ett verktyg vid beräkningar men läroplanen anger implicit även andra områden där ett dynamiskt matematikprogram kan vara användbart.
Läroplanen i kantonen Valise däremot nämner inte alls datorn. Ämnet matematik beskrivs på olika sätt i kantonen Valise och i Sverige. Momentet geometri har också en starkare ställning i kantonen Valise än i Sverige.
Denna avhandling fokuserar på hur tre lärare har använt dynamisk programvara, Cabri Géomètre i sin matematikundervisning. Eftersom det implicit finns stöd i den svenska läroplanen för att använda dynamiska matematikprogram är det av intresse att studera hur olika lärare använder denna programvara. Användningen belyses även utifrån hur Cabri Géomètre används i en Schweizisk kanton, där det också finns ett implicit stöd i läroplanen för användning av ett dynamiskt matematikprogram.
Kännetecknande för den schweiziska kantonen är också att den deduktiva, abstrakta matematiken står i centrum och där matematiken är ett intellektuellt ämne som behövs för att utveckla vetenskaplig kunskap. Det är av olika skäl intressant att studera på vilket sätt lärarens roll gestaltar sig i dessa olika miljöer och på vilket sätt användningen av dynamiska
matematikprogram skulle kunna påverka undervisningen samt vilka faktorer som påverkar lärarens agerande.
Disposition
Kapitel 2 behandlar den tidigare forskning jag funnit aktuell för min studie Utöver svenska avhandlingar där datorstöd är inblandad, delas kapitlet in i undervisningsmiljö, lärare och dator, problemformulering. Kapitel 3 behandlar teorier om lärande, undervisning och hur dynamisk matematikprogramvara kan kopplas till lärande och undervisning. Kapitel 4 redovisar och analyserar varje lärare var för sig. I det sista kapitlet diskuteras resultatet med avseende på dynamisk matematikprogramvara ur ett didaktiskt perspektiv, matematikundervisningen i förändring och vad som kan vara ett framtidsperspektiv.
1Forord_Bakgrund_Inledning 060118