Likhetstecknet som resultattecken - Diskussion och slutsatser

6. Diskussion och slutsatser

6.1 Likhetstecknet som resultattecken

När vi frågade eleverna om likhetstecknets betydelse så visade det sig att drygt hälften uppfattade likhetstecknet som det blir (se figur 1). Även i Alibalis och McNeils undersökning 2005 visade det sig att många elever uppfattade likhetstecknet på detta vis. Följden av att ha uppfattningen att det är något som ska bli något är ofta att likhetstecknet ses som en uppmaning att svaret ska komma efter, alltså till höger (Ahlberg, 2000). Elever som har denna uppfattning om likhetstecknet kan få svårigheter med att förstå ekvationer som består av mer än en term i högerledet (Häggström, 1996). Detta märktes tydligt i vår undersökning när eleverna skulle lösa uppgifterna som bestod av en eller två obekanta tal. Den första uppgiften: _ + 5 = 11 klarade samtliga elever av att lösa. Däremot när de skulle lösa lite mer avancerade uppgifter som t.ex. 15 - _ = 7 + 2 och _ + 16 = 8 + _, så uppstod det genast svårigheter. Mindre än hälften av eleverna klarade av dessa uppgifter. Det märktes tydligt att de hade svårigheter med att högerledet bestod av mer än en term. Någon grupp tyckte att termerna i det vänstra ledet i uppgiften 15 - _ = 7 + 2 skulle bli sju eftersom det talet var det första som kom efter likhetstecknet. Eleverna ignorerade, att efter talet 7 så kom det + 2 och när intervjuaren påpekade detta så skrev de till 9, eftersom 7 + 2 är nio.

En grupp elever poängterar att de aldrig tidigare stött på uppgifter med symbolen: _. Detta reflekterar de dock först över i den andra uppgiften där understrecket förekommer medan de i den första uppgiften som visas ovan inte reflekterar över det. Häggström (1996) menar att en orsak till detta kan vara att eleverna huvudsakligen stött på uppgifter som liknar den första uppgiften: _ + 5 = 11 (Häggström, 1996).

6.2 Likhetstecknet kopplat till ett räknesätt

I både bilduppgiften och i ekvationsspelet märkte vi att många av eleverna hade svårt att förstå varför de inte skulle räkna ut något när det fanns ett likhetstecken.Eleverna ville gärna byta ut likhetstecknet mot att annat tecken vanligtvis mot ett additionstecken. De hade också svårigheter med hur de skulle angripa problemen. En tolkning till dessa brister kan vara att eleverna sällan eller aldrig stött på liknande problem.

I alla uppgifter förutom: _ + 5 = 11 som ingick i denna studie, fanns de grupper som adderade ihop termerna på vänster sida av likhetstecknet med termerna på höger sida av likhetstecknet. Eleverna ignorerade i dessa fall att det var ett likhetstecken mellan det högra och vänstra ledet i uppgifterna. Liknande resultat presenteras i McNeils och Alibalis studie från 2005. En orsak till att eleverna räknade ihop termerna kan vara att de ser likhetstecknet som en uppmaning för att utföra en aritmetisk operation och att de saknar förståelse för att likhetstecknet står för ekvivalens (McNeil & Alibali, 2005).

6.3 Likhetstecknets ekvivalens

En del av de elever vi observerat anser vi har en viss förståelse för likhetstecknets betydelse. Vi kunde se att dessa elever hade lättare att lösa de uppgifter vi givit dem än de som saknade denna förståelse. De flesta eleverna i denna kategori har uppfattningen om att likhetstecknet betyder lika mycket på båda sidor. En elev resonerar kring uppgiften: _ + 16 = 8 + _ att det inte spelar någon roll vilka värden som sätts in på de tomma strecken, bara det är lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Detta anser vi tyder på att eleven har förståelse för ekvivalensen i uppgiften. Bergsten m.fl. (1997) menar att förståelsen för likhetstecknets betydelse är viktig för att kunna förstå ekvationer och ekvationslösning.

En del av eleverna såg direkt i uppgifterna om det förekom ekvivalens eller inte. I några fall var vi tvungna att uppmärksamma eleverna på likhetstecknet och ibland även på dess betydelse. Denna sortens handledning ansåg vi var nödvändig för att eleverna skulle se ekvivalensen i uppgifterna och på så sätt nå en lösning. Vygotskij menar att samspelet mellan lärare och elever är ett viktigt redskap för att utveckla elevers tänkande. Att ge eleverna handledning på rätt nivå är betydelsefullt för att eleven ska

komma vidare i sin utveckling (Egidius, 2002). Även diskussioner mellan eleverna är betydelsefulla. I ett flertal av fallen förde eleverna diskussioner i grupperna som ledde till att de kom vidare i sina resonemang vid lösandet av uppgifterna. Vygotskij menar att kommunikationen med andra människor är en resurs för tänkande (Säljö, 2005).

6.4 Slutsatser

Många av de elever vi observerat hade dåliga förkunskaper i pre- algebra och majoriteten av eleverna saknade förståelse för att likhetstecknet står för ekvivalens. En trolig orsak till detta menar Bergsten m.fl. (1997) kan vara att eleverna enbart arbetar med uppgifter av typen 3 + 5 = _ och 6 + 5 = _. Arbetar eleverna enbart med uppgifter av detta slag så kan de i framtiden få svårigheter med att tolka ekvationer.

Förståelsen för likhetstecknet är viktig för att kunna gå vidare i sin utveckling inom matematik. Saknas förståelse påverkar detta elevernas förmåga att lösa mer avancerade algebraiska ekvationer (Knuth m.fl. 2006). Precis som i vår studie visade det sig i Knuth m.fl. s undersökning, Does understanding the equal sign matter?, att förvånansvärt få elever hade en relational förståelse för likhetstecknet, alltså att de inte visste att likhetstecknet står för ekvivalens. I studien nämns också att förståelsen för likhetstecknet inte ändrades för eleverna ju äldre de blev (Knuth m.fl. 2006). Enligt McNeil och Alibali så är grunden till svårigheter med att lösa ekvationer ofta baserad på att eleven inte har någon förståelse för likhetstecknets betydelse (McNeil & Alibali, refererad i Knuth m.fl.2006).

Elever som uppfattade likhetstecknet som ett resultattecken eller ett tecken som var kopplat till ett räknesätt hade svårt att lösa flertalet av de uppgifter vi givit dem. Efter att ha grupperat elevernas resonemang i tre olika grupper insåg vi att elever som ser likhetstecknet som ett resultattecken och de som ser det kopplat till ett räknesätt, är kopplade till varandra. Ett flertal av de elever som adderar ihop de båda leden om likhetstecknet antyder att det är något som ska bli något. Att eleverna adderade ihop vänster och höger led var något som var nytt för oss. När vi diskuterade tänkta resultat på vår forskningsfråga föreställde vi oss inte denna tolkning.

Resultaten vi fått fram efter att ha gjort denna undersökning kommer att påverka vårt sätt att undervisa i framtiden. Tyngden på matematikundervisningen kommer att läggas på att eleverna ska få en förståelse för likhetstecknet. Likhetstecknet är ett tecken som vi båda kanske har tagit förgivet att eleverna har haft en förståelse för när vi planerat tidigare undervisning. Efter att ha läst tidigare gjorda undersökningar ser vi också att det är en nödvändighet att vi lägger vikten på förståelsen för likhetstecknet eftersom många elever får svårigheter längre fram i sin skolgång inom området algebra om de saknar denna förståelse. Vi tycker att likhetstecknet är ett tecken som eleverna måste ha en förståelse för innan man introducerar de fyra räknesättstecknena (+, – , • och ÷) och dess betydelse.

6.5 Metoddiskussion

Vi valde att låta eleverna lösa uppgifterna i grupp eftersom vi ville se hur de resonerade med varandra. Vi ansåg att vi skulle få ett bredare material om de fick diskutera med varandra än vad vi fått om vi gjort intervjuer med dem en och en. En av bristerna med att ha dem i grupp var att det var svårt för oss att veta om eleverna verkligen förstod vad problemet gick ut på och om de hade förståelse för lösningen av problemet. I en del fall kändes det som om eleverna bara upprepade det en kompis sagt vid tidigare tillfälle när vi frågade om de kunde förklara det gruppen kommit fram till. Vi anser dock att vår metod att ha dem i grupp varit bra och att den tidigare nämnda bristen är något som är svårt att komma ifrån. En annan tanke som dykt upp nu i efterhand är att vi gärna hade videofilmat eleverna istället för att spela in dem på band. Detta eftersom det varit svårt att följa enskilda elevers uttalanden då många av elevernas röster låter likadant. Vid analysen av elevernas svar har det förts mycket diskussioner oss emellan för att försäkra oss om att vi båda uppfattat svaret på liknade sätt. Vi tycker att det varit en klar fördel att vi båda varit närvarande vid samtliga av observationerna.

Om vi skulle gjort om vår undersökning hade vi valt att ha med ytterligare ett ekvationsspel, eftersom vi nu i efterhand inser att det var svårt att se om eleverna hade förståelse för ekvivalensen. I spelet fanns det två synliga ärtor och därför är det svårt att avgöra om eleverna svarade att det låg två ärtor i vardera ask för att de såg ärtorna eller för att de förstod hur spelet fungerade.

7. Avslutning

Avslutningsvis så vill vi tacka de tre klasslärare som ställt upp och låtit oss plocka ut elever ur deras klasser under vår observation. Vi vill också tacka de elever som ställt upp. Ett stort tack vill vi också rikta till vår handledare Eva Davidsson (Doktorand, Malmö Högskola) på Lärarutbildningen, som varit ett stort stöd under arbetets gång.

Källförteckning

Ahlberg, A. (2000). Matematik från början. Göteborg: Göteborgs universitet.

Andersen, I. (1998). Den uppenbara verkligheten. Val av samhällsvetenskaplig metod. Lund: Studentlitteratur.

Arfwedson, G. (1998). Undervisningens teorier och praktiker. HLS Förlag. Stockholm. Bergsten, C. m.fl. (1997). Algebra för alla. Göteborg: Göteborgs Universitet.

Bryman, A. (1997). Kvantitet och kvalitet i samhällsvetenskaplig forskning. Lund: Studentlitteratur.

Egidius, H. (2002). Pedagogik för 2000- talet. Henry Egidius och bokförlaget Natur och Kultur. Stockholm.

Evenshaug, O & Hallen, D. (2001). Barn och ungdomspsykologi. Lund: Studentlitteratur.

Grønmo, L. (1999). Att sätta ord på algebra. Nämnaren nr 1, s. 19 - 25. Grønmo, L. & Rosén, B. (1998). Att förstå algebra. Nämnaren nr 4, s. 35 - 41. Häggström, J. (1996). Förstå algebra. Nämnaren nr 1, s. 38 - 44.

Knuth, E. m.fl. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for research in mathematics education. Vol. 37, No. 4. s. 297 – 312.

Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.

McLeish, J. (1991). Matematikens kulturhistoria. Bokförlaget Forum AB. Falkenberg. McNeil, N. M. & Alibali, M. W. (2005). Knowledge change as a function of mathematics experience: All contexts are not created equal. Journal of Cognition and Development. Vol. 6, s. 285-306.

Nationalencyklopedin. Hämtat från http://www.ne.se. Uppdaterad 2006. Hämtat 9 november 2006.

Olsson, H. & Sörensen, S. (2001). Forskningsprocessen. Kvalitativa och kvantitativa perspektiv. Författarna och Liber AB. Stockholm

Patel, R. & Davidsson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur.

Persson, P-E. (2005). Bokstavliga svårigheter. Faktorer som påverkar gymnasieelevers algebra lärande. Luleå: Universitet tryckeriet.

Persson, P-E. & Wennström, T. (1999). Gymnasieelevers algebraiska förmåga och förståelse. Hämtat från http://tsunami.hkr.se. Publicerad 1999. Hämtat 13 november 2006.

Skolverket (2000). Grundskolan kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket/Fritzes.

Skolverket, (1996). Skolverkets rapport 114, TIMSS svenska 13-åringars kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Stockholm: Liber distribution.

Skolverket, (2003). TIMSS 2003 – Trends in international mathematics and science study. Hämtat från http://www.skolverket.se. Uppdaterad 2006. Hämtat 13 november

Säljö, R. (2005). Lärande och kulturella redskap: om läroprocesser och det kollektiva minnet. Stockholm: Nordstedts förlag

Vejde, O. & Roth, G. (1999). Liten ordbok i matematik. Olle Vejde Förlag. Borlänge. Unenge, J. m.fl. (1994). Lära matematik. Lund: Studentlitteratur.

Bilaga 1

Bilduppgift

Vad är det för fel med denna uppgift?

=

Bilaga 2

Stencil men en eller två obekanta

__ + 5 = 11 12 + 8 = 3 + __ 15 - __ = 7 + 2 __ + 16 = 8 + __ 8 + __ = __ + 16

Bilaga 3

Ekvationsspelet

Spelplanen såg ut så här:

Eleverna ska komma fram till hur många ärtor det finns i varje ask.

Bilaga 4

Förberedande problem till ekvationsspelet

Problem 1

Hur många ärtor ligger det i asken?

Problem 2