M ATEMATICKÁ MORFOLOGIE

Matematická morfologie vychází z vlastností bodových množin a s jejíchž pomocí lze zpracovávat či předzpracovávat binární obrazy, které mají pouze dvě barvy, ale také obrazy s více úrovněmi jasu. Metody matematické morfologie nacházejí své uplatnění především při odstraňování šumu, zjednodušení tvaru a zdůraznění struktury

objektů, jako je např. ztenčování a zesilování, ale také pro popis objektů číselnými charakteristikami, jako je např. obvod a plocha objektu.

Hlavní výhodou těchto metod je jejich krátký čas na zpracování a snadná realizovatelnost. Uvedu zde pouze základní operace matematické morfologie, vzhledem k jejich detailnímu popisu v [1].

Dilatace ⊕ skládá body dvou množin pomocí vektorového součtu (Minkovského množinový součet). Dilatace X⊕B je bodovou množinou všech možných vektorových součtů pro dvojice pixelů, vždy jeden z množiny X a jeden z množiny B. Dilatace je definována dle předpisu (3.6.1).

(3.6.1).

Eroze \ skládá body dvou množin pomocí vektorového rozdílu (Minkovského množinový rozdíl). Eroze je duální operací k dilataci, ale ani dilatace, ani eroze nejsou invertovatelné. Eroze \ skládá dvě množiny dle předpisu (3.6.2).

(3.6.2)

Otevření ○ jde o operaci, při které je eroze následovaná dilataci. Otevření množiny X strukturním elementem B se označuje X○B a je definováno dle vzorce (3.6.3). Tato operace oddělí objekty spojené a odstraní detaily v obraze, které jsou menší než strukturní element.

(3.6.3)

Uzavření ● jde o operaci, při které je dilatace následovaná erozí. Uzavření množiny X strukturním elementem B se označuje X●B a je definováno dle vzorce (3.6.4).

Uzavření spojí objekty, které jsou blízko u sebe, zaplní malé díry a zaplní úzké zálivy.

(3.6.4)

Top-hat transformace, nebo-li vrchní část klobouku. Jedná se o množinový rozdíl mezi otevřením a původním obrazem (3.6.5). Části v obraze, které se nevejdou do strukturního elementu B použitého pro otevření, se odstraní. Po odečtení otevřeného obrazu od původního zůstanou právě jen odstraněné části obrazu.

(3.6.5)

Bottom-hat transformace, nebo-li spodní část klobouku. Jedná se o množinový rozdíl mezi původním obrazem a uzavřením (3.6.6). Tato operace zobrazí malé díry a mezery mezi objekty.

(3.6.6) 2D vyplnění děr, je morfologická operace, která se provádí na binárních i šedotónových obrazech. Pokud na binárním obrazu obklopují bílé pixely kolem dokola nějaké černé pixely. Pak tyto černé pixely se stanou bílými. Černé pixely představují tzv. díru a po provedení této funkce dojde k její zaplnění. Důležitá je volba velikosti okolí reprezentativního pixelu, pro kterou považujeme oblast za uzavřenou. Nejčastěji se používá 4-okolí a 8-okolí.

Odstranění hraničních objektů ve 2D, je morfologická operace, která se také provádí na binárních i šedotónových obrazech. Tato funkce odstraní takové objekty z obrazu, které se dotýkají jeho okraje. I zde je důležitá volba velikosti okolí reprezentativního pixelu, pro kterou považujeme oblast za uzavřenou.

3.7 3D metody zpracování obrazu

3D metody zpracování obrazu vychází z některých 2D metod zpracování obrazu. Tyto metody, jak již z názvu vyplývá, musí být aplikovány na 3D data, která reprezentují 3D modely objektů (např. srdce, kostí, těla, atd.). 3D metody mají podstatně větší časovou a výpočetní náročnost než 2D metody. Je proto důležité, aby byly správně a optimálně naprogramovány s ohledem na rychlost výpočtu.

3.7.1 3D filtrace

Trojrozměrná filtrace je jedna z metod, která je pouze rozšířením 2D metody.

Platí zde stejné vlastnosti jako ve 2D. Filtrace převádí hodnoty jasu vstupních dat na jiné hodnoty výstupního obrazu. Na rozdíl od 2D filtrace se k výpočtu nové hodnoty jasu využívá 3D okolí O právě zpracovaného pixelu. I cíle filtrace jsou shodné jako ve 2D. Podle cíle je dělíme na vyhlazování, pro potlačení např. šumu v obraze, a gradientní operace, které zvýrazňují např. hrany v obraze.

Zaměříme se pouze na lineární operace, u kterých se hodnota ve výstupním obraze g(x,y,z) počítá jako lineární kombinace hodnot vstupního obrazu f v malém okolí reprezentativního pixelu (x,y,z). Příspěvek jednotlivých pixelů v okolí O je vážen koeficienty h podle vztahu (3.7.1).

(3.7.1)

Na vztah (3.7.1) lze pohlédnout jako na diskrétní konvoluci s konvolučním jádrem h. Konvoluční jádro h je na rozdíl od 2D filtrace trojrozměrná matice. I zde můžeme použít vyhlazovací filtry prostým průměrováním, mediánem, atd.

3.7.2 Vyplnění děr 3D matice

Jednou z užitečných funkcí ve 3D zpracování obrazu je vyplnění děr v 3D matici. Této funkce může být využito například u matice, která obsahuje pouze binární informaci (jedničky a nuly). Pokud jedničky kolem dokola obklopují nějaké nuly, pak tyto nuly budou přepsány na jedničky. Nebo-li tím dojde k tzv. vyplnění díry. Závisí na volbě velikosti okolí reprezentativního pixelu, pro které považujeme oblast za uzavřenou. U 3D morfologických operací se používá nejčastěji 6-okolí, 18-okolí nebo 26-okolí.

3.7.3 Odstranění hraničních objektů ve 3D

Tato funkce odstraní objekty, které se dotýkají okraje 3D matice. Zde je také nutná volba velikosti okolí pro uzavřenost hranice. Tato funkce je velice užitečná například pro tvorbu a další zpracování 3D matice. Pokud bychom měli matici, která obsahuje například jeden model páteřního obratle a dva neúplné modely páteřních obratlů. Předpokládáme, že neúplné modely jsou na okraji matice a pro další zpracování jsou nepoužitelné. Při použití funkce odstranění hraničních objektů by došlo k odstranění těchto neúplných obratů a v matici by tak zůstal jenom jeden úplný model páteřního obratle.

V mých postupech jsem se této funkce pokoušel využít, ale narazil jsem na problém, kdy objekty byly spojeny na více místech několika málo pixely a došlo tak k odstranění všech objektů, což je nežádoucí.