Metoddiskussion - Translation av funktionsgrafer med dynamiska matematikprogram : En fallstudie

Det finns flera begränsningar i denna studie. För det första, som det nämndes i metodavsnit tet, så genomförde eleverna endast första steget i den didaktiska cykeln, vilket begränsar elevernas bildande av tecken och speciellt tecken som än mer generaliserar bortanför artefakten. Om också steget individuell produktion av tecken varit med kunde studien än mer belyst vad för potential det finns att med dynamiska matematikprogram främja elevers meningsskapande av translation. Det andra steget i cykeln ger eleverna tillfälle att reflektera över sina observationer och kan leda till att de initiala uppfattningarna utvecklas, vilket ger bättre underlag för en studie av den semiotiska processen. Således är ett förslag på en förbättring av studien att designa en workshop så att både första och andra steget i den didaktiska cykeln är med.

För det andra så fanns det vissa begränsningar med den inspelningsutrustning som användes. Loom (Version 3.2.79; Hiremath, 2018) var smidigt att använda och gick snabbt att starta upp men vissa gruppers inspelningar tog upp mycket bakgrundsljud. Detta gjorde att det blev en tidskrävande process att transkribera materialet då det krävde att inspelningarna bitvis lyssnades om flera gånger. Vid vissa tillfällen var det till och med svårt att avgöra om det var eleverna vid datorn eller elever från en annan grupp som hördes. Så om än möjligheten med inspelni ngar att lyssna om elevernas samtal flera gånger främjar en noggrann analys medför dessa problem att studiens reliabilitet inte blir lika hög som den kunde varit om bakgrundsljud inte hade kom- mit med. Vidare så spelades inte elevernas gester in vilket begränsade möjligheten att under- söka hur eleverna pekade på skärmen och i uppgiftshäftet. Sådan data skulle kunna ha använts i undersökningen för att se hur eleverna växlade mellan GeoGebra och uppgiftshäftet i workshopen och vidare behjälpt analysen av uppgift 4 c), där eleverna skulle skissa en translaterad graf. Eleverna pekade då mycket i uppgiftshäftet och detta skulle kunna ha analyserats för att tydligare se hur eleverna gjorde för att skissa grafen.

För det tredje så hade eleverna inga förkunskaper utav att använda GeoGebra. Detta medförde att det tog längre tid än planerat att genomföra workshopen, då det var tidskrävande för eleverna att skriva in och ändra funktionernas matematiska uttryck mellan uppgifterna. Dessutom före- kom det flera tillfällen då eleverna fick problem med att ta fram glidare och att allt eleverna

skrivit in raderades. Det senare problemet kunde åtgärdas genom att använda ”ångra” funktionen i GeoGebra så att allt kom tillbaka. Svårigheten med att ta fram glidare fann vi inte någon enkel lösning på mer än att skriva in ett matematiskt uttryck på nytt i programmet eller att definiera glidare först och sen skriva in en funktion. Mina interaktioner med eleverna bestod därmed mestadels av att hjälpa dem med dessa tekniska problem.

För det fjärde så var det svårt att kombinera rollerna lärare och observatör. Det var svårt att bedöma om jag skulle rycka in och hjälpa eleverna eller om jag skulle ta ett steg tillbaka för att kunna undersöka om eleverna själva löste problemen. Jag fokuserade på att låta eleverna till större grad lösa problem själva vilket troligen ledde till att elevernas diskussioner och resone- rande avstannade tidigare än önskat. Speciellt kunde det varit lämpligt att eleverna i sista upp- giften fått feedback som hade lett till att eleverna ritade in punkter för ursprungsfunktion och translaterad funktion i ett koordinatsystem. Om denna studie genomförs igen är det dock centralt att beakta den position jag hade i undersökningen, då forskare som önskar få jämförbara data behöver inta samma sociala position som forskaren i originalstudien (LeCompte & Goetz, 1982).

Slutligen så är extern validitet alltid ett problem med fallstudier (Bryman, 2008/2011) och det gäller även i denna studie. Schoenfeld (2007) lyfter dock fram att en studie, oavsett om den är kvantitativ eller kvalitativ, kan vara potentiellt generaliserbar. En studies resultat kan fram- bringa uppmärksamhet på olika frågor i en verksamhet som är av betydelse. Relaterat till denna studie kan resultatet potentiellt bringa uppmärksamhet på frågeställningar i liknande situatio ner. Identifierandet av en rörelse från matematiska till artefaktiska tecken och att det undersökande arbetet med dynamiska matematikprogram gav upphov till beskrivningar, och inte förklaringar, kan potentiellt vara något som sker generellt i undervisning som liknar den workshop som ge- nomförts i denna studie. Det kan därmed finnas ett mervärde av studien på så vis att den kan skapa en ingång för möjliga problem lärare behöver beakta i undervisning av translation av funktionsgrafer med dynamiska matematikprogram. Men, endast mer forskning kan garantera om generalitet föreligger och som Schoenfeld (2007) nämner: ”tiden får avgöra” (s. 91; Förfat- tarens översättning).

10. Implikationer för undervisningen

De implikationer denna studie medför för matematikundervisningen är flera. För det första be- höver undervisning om translation av funktionsgrafer med en workshop liknande den i denna studie inbegripa situationer där elevernas tolkningar sätts på prov. Speciellt för behöver eleverna hamna i situationer där tolkningen av konstanten 𝑐 som 𝑚-värde behöver revideras och specificering av riktning grafen rör sig för ökande/minskande 𝑐 och 𝑑 behöver göras. Detta skulle kunna vara att eleverna får arbeta med fler uppgifter av typen 4 c) (se Bilaga 1) där eleverna behöver förutsäga translationen av en graf i fall då 𝑐 ≠ 𝑚 och fall med grafer som translateras i både negativt och positivt 𝑥-led.

För det andra behöver eleverna hamna i situationer som efterfrågar mer förklaringar för att det inte endast ska bli beskrivningar av hur graferna flyttar sig och för att rikta eleverna mot att fundera över den bakomliggande matematiken. Detta gäller då speciellt för translation i 𝑥-led och det skulle kunna innebära att designa uppgifter som riktar fokus på enstaka punkter som translateras, som också föreslås av (Zaskis et al., 2003). Det skulle exempelvis vara möjligt att utvecklar uppgift 9 (men också 8) i workshopen till att eleverna får rita båda tabellernas värden

som punkter i ett koordinatsystem. Då får eleverna gå från en representation i tabellform till grafisk, vilket kanske kan underlätta för eleverna att förklara varför grafen flyttas som den gör. En tredje och sista punkt att beröra är att denna studie visar att läraren behöver beakta sin roll i den semiotiska processen. Det räcker inte med en workshop där eleverna själva får arbeta med ett dynamiskt matematikprogram, utan läraren behöver utforma undervisningen så att elever, lärare och artefakter samspelar för att det didaktiska målet ska nås. Det kan innebära, i relation till det specifika fall som studerats här, att läraren måste ge eleverna feedback som kompletterar det dynamiska matematikprogrammet och riktar fokus på olika aspekter av artefakten som hjäl- per eleverna vidare mot det didaktiska målet.

11. Vidare forskning

För att få mer insikt om huruvida resultaten i denna studien kan bekräftas och generalise ras behöver mer studier göras som undersöker användning av dynamiska matematikprogram i undervisningen utifrån teorin om semiotisk mediering. Speciellt behövs studier av undervis nin g som designats utifrån den didaktiska cykeln och av elever som också får genomföra andra steget i cykeln, för att se om det ger en än mer rörelse från artefakten mot matematikens domän. Det behövs också studier som undersöker vidare hur utbredd processen är att elever går från matematiska till artefaktiska tecken, vad en sådan process kan ge för konsekvenser och hur denna process kan inkorporeras i teorin om semiotisk mediering.

Referenser

Arzarello, F. (2006). Semiosis as a multimodal process. Relime, (speciell utgåva), 267–299. Baker, B., Hemenway, C. & Trigueros, M. (2000). On transformations of basic functions. I H.

Chick, K. Stacey, J. Vincent & J. Vincent (Red.), Proceedings of the 12th ICMI

Study Conference on the Future of the Teaching and Learning of Algebra, Vol. 1 (s.

41-47). University of Melbourne.

Bartolini Bussi, M. G., & Mariotti, M. A. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom: Artifacts and signs after a Vygotskian perspective. I L. English, M. Barto- lini Bussi, G. Jones, R. Lesh, & D. Tirosh (Red.), Handbook of International Re-

search in Mathematics Education (2:a uppl.) (s. 746–783). Mahwah, NJ: Lawrence

Erlbaum.

Borba, M. C. & Confrey, J. (1996). A student's construction of transformations of functions in a multiple representational environment. Educational Studies in Mathematics, 31, 319–337.

Brunström, M. (2015). Matematiska resonemang i en lärandemiljö med dynamiska matematik-

program (Doktorsavhandling, 2015, 12). Karlstad: Karlstad University Studies. Till-

gänglig: https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:784065/FULLTEXT01.pdf

Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder (B. Nilsson, Övers. 2: a uppl.). Stockholm: Liber. (Originalarbete publicerat 2008).

Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M., & Pitta-Pantazi, D. (2004). Proofs through explora- tion in dynamic geometry environments. International Journal of Science and Mathe-

matics Education, 2(3), 339-352.

Daher, W. M. & Anabousy, A. A. (2015). Students’ recognition of function transformatio ns’ themes associated with the algebraic representation. REDIMAT, 4(2), 179-194. David, M. & Sutton, C. D. (2016). Samhällsvetenskaplig metod (S.-E. Torhell, Övers.). Lund:

Studentlitteratur. (Originalarbete publicerat 2011).

Drijvers, P. (2003). Learning algebra in a computer algebra environment: Design research on

the understanding of the concept of parameter (Doktorsavhandling). Utrecht: Utrecht

University.

Drijvers, P., Kieran, C. & Mariotti, M.-A. (2010). Integrating Technology into Mathemat ics Education: Theoretical Perspectives. I C. Hoyles, & J.-B. Lagrange, Mathematics Ed-

ucation and Technology-Rethinking the Terrain: The 17th ICMI Study (s. 89–132).

London, United Kingdom, Europe: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-0146-0

Granberg, C., & Olsson, J. (2015). ICT-supported problem solving and collaborative creative reasoning: Exploring linear functions using dynamic mathematics software. The Jour-

nal of Mathematical Behaviour, 37, 48-62. doi:10.1016/j.jmathb.2014.11.001

Hohenwarter, M., Jarvis, D., & Lavicza, Z. (2009). Linking geometry, algebra, and mathemat ics teachers: GeoGebra software and the establishment of the International GeoGebra In- stitute. International Journal For Technology In Mathematics Education, 16(2), 83- 86.

Hohenwarter, M., & Jones, K. (2007). Ways of linking geometry and algebra: The case of Ge- oGebra. I D. Küchemann (Red.), Proceedings of British society for research into

Hohenwarter, M & Lavicza, Z (2010). GeoGebra, its community and future, Johannes Kepler University and University of Cambridge. Hämtad 2018-05-10, från https://archive.geogebra.org/en/upload/files/GG_support/Hohenwarter-Lavicza-GeoGebra- ATCM-Final.pdf

Hohenwarter, M., & Preiner, J. (2007). Dynamic mathematics with GeoGebra. Journal Of

Online Mathematics And Its Applications, 7. Hämtad 2018-05-10 från http://www.maa.org/external_archive/joma/Volume7/Hohenwarter/index.html

Jones, K. (2000). The mediation of mathematical learning through the use of pedagogical tools: A sociocultural analysis. Invited paper presented at the conference on Social Construc-

tivism, Socioculturalism, and Social Practice Theory: relevance and rationalisations in mathematics education, Norway, March 2000.

Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt Cent- rum för Matematikutbildning, NCM.

Lage, A. E. & Trigueros Gaisman, M. (2006). An analysis of students’ ideas about transformations of functions. I A. S., Cortina, J.L., Sáiz, and Méndez, A.(Red.) (s. 23-30),

Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the Inter- national Group for the Psychology of Mathematics Education. Mérida, México: Uni-

versidad Pedagógica Nacional.

LeCompte, M. D. & Goetz, J. P. (1982). Problems of reliability and validity in ethnographic research. Review of Educational Research, 52(1), s. 31-60.

Olive, J. & Makar, K. (2010). Mathematical knowledge and practices resulting from access to digital technologies. I C. Hoyles, & J.-B. Lagrange (Red.), Mathematics education and

technology-Rethinking the terrain: The 17th ICMI study (s. 133-177). London, United

Kingdom, Europe: Springer.

Olsson, J. (2017). GeoGebra, Enhancing Creative Mathematical Reasoning (Doktorsavhan- dling). Umeå: Umeå universitet. Tillgänglig: http://umu.diva-portal.org/smash/re-

cord.jsf?pid=diva2%3A1085687&dswid=-6395

QSR International. (2017). NVivo 11 [Datorprogramvara]. Tillgänglig från http://www.qsr i n- ternational.com

Sandall, B. (2015). IPAD/TABLET/COMPUTER APPLICATION: GeoGebra3D. Mathemat-

ics & Computer Education, 49(2), 149–150.

Santos-Trigo, M., & Espinosa-Perez, H. (2002). Searching and exploring properties of geomet- ric configurations using dynamic software. International Journal of Mathematical Ed-

ucation in Science and Technology, 33(1), 37-50.

Schoenfeld, A. H. (2007). Method. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on math-

ematics teaching and learning (s. 69-107). Charlotte, NC: Information Age

Publishing.

Skolverket. (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnas ie- skola 2011. Hämtat från https://www.skolverket.se/publikationer?id=2705

Säljö, R (2010). Lärande och kulturella redskap: om lärprocesser och det kollektiva minnet. Stockholm: Nordstedts Akademiska Förlag.

Turgut, M. (2015). Theory of semiotic mediation in teaching and learning linear algebra: In search of a viewpoint in the use of ICT. I K. Krainer, & N. Vondrová (Red.), Proceed-

ings of the 9th Congress of European Society for Research in Mathematics Education

(s. 2418–2424). Prague, Czech Republic: Charles University in Prague, Faculty of Ed- ucation and ERME.

Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskap l ig forskning. Hämtad 2018-05-14, från https://www.gu.se/digitalAs- sets/1268/1268494_forskningsetiska_principer_2002.pdf

Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet. Hämtad 2018-01- 26, från https://publikationer.vr.se/produkt/god- forskningssed/

Hiremath, V., Thomas, J. & Khan, S. (2018). Loom [Datorprogramvara]. Hämtad från

https://www.useloom.com/

Vygotskij, L. S. (1986). Thought and language (A. Kozulin, Övers. rev. uppl.). Cambridge, Mass: MIT Press. (Originalarbete publicerat 1934).

Zaskis, R., Liljedahl, P. & Gadowsky, K. (2003). Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450.

Bilaga 1 – Workshop

Workshop – GeoGebra och funktionsgrafer

GeoGebra är ett program som man kan använda för att rita exempelvis grafer och geometriska figurer. Till skillnad från en grafräknare kan man i GeoGebra arbeta mer dynamiskt med de objekt man ritar, exempelvis att man kan rita en triangel och dra i den, rotera den och ändra dess storlek.

GeoGebra kan vara lämpligt att använda för att undersöka egenskaper hos funktioner och hur deras grafer påverkas av att olika konstanter ändras. Uppgifterna som ni får göra i detta häfte handlar om att just manipulera grafer och till dem behöver ni använda GeoGebra. För att starta GeoGebra, gå in på https://www.geogebra.org/graphing (eller använd appen/applikat- ionen på era datorer om ni har den).

I bilderna nedan visas hur GeoGebra ser ut med markeringar på olika objekt som ni kan be- höva trycka på. Om ni använder appen ser det annorlunda ut, men samma funktioner finns.

Figur 1. Olika objekt i GeoGebra.

I bilden ovan så har det i ”Inmatningsfält…” skrivits in 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑑)2 _{+ 𝑐. Det kommer då}

upp en ruta där det står ”SKAPA GLIDARE”. Klickar man på den så skapas det så kallade ”glidare” för 𝑐 och 𝑑. Dessa glidare är reglage som man kan dra i för att ändra värdena på konstanterna 𝑐 och 𝑑, se bilden nedan.

1_{Workshopen återges precis som den gavs till eleverna i undersökningstillfället, inklusive figurnumrering. Dock}

förekommer sidbrytningar på andra ställen än i originalet på grund av rubriken, således erhålls den identiska workshopen om rubriken ”Bilaga 1 – Workshop” raderas (inklusive denna fotnot).

Operationer, ex. upphöjt, roten ur Tryck för att skapa glidare, i exemplet får vi glidare för d och c

Figur 2. Objektet glidare i GeoGebra.

Nedan har ni uppgifter att göra där ni kommer använda GeoGebra, så starta upp programmet om ni inte redan har gjort det. Jobba två och två och skriv ner era svar, kommentarer och resonemang i detta häfte. Så, prova på att lösa uppgifterna och ställ frågor om ni inte får GeoGe- bra att funka!

1. Nedan visas grafen till 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

Figur 3. Grafen till 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Undersök vad som händer med grafen om 𝑥 byts ut mot 𝑥 + 𝑑 och det läggs till en konstant 𝑐. Alltså, undersök funktionen 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑑)2+ 𝑐 och vad som händer när 𝑐 och 𝑑 ändras.

Öppna GeoGebra. Skriv in där det står ”Inmatningsfält…” följande: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑑)2+ 𝑐

(För att göra upphöjt utnyttja operatorerna, se bilden på första sidan.) Glidare

Tryck på ”SKAPA GLIDARE”. Ni ser nu två reglage ovanför erat uttryck för 𝑓(𝑥).

Dessa kan ni dra i för att ändra värdena på 𝑐 och 𝑑.

Ställ in så att 𝒄 = 𝟎 och 𝒅 = 𝟎. Om det är svårt att göra genom att dra i reglagen kan ni skriva in värdena manuellt istället, tryck då på siffran som konstanten är lika med och skriv in önskat värde.

a) Med 𝑐 = 0 och 𝑑 = 0 vad har ni för uttryck av 𝑓(𝑥)?

𝑓(𝑥) =_________________________________________________________

b) Får ni en likadan graf som den som visas i Figur 3 ovan?

_______________________________________________________________

Testa nu att dra i reglagen för 𝑐 och 𝑑.

c) Hur förändras grafen när ni ändrar värdet på 𝑐?

d) Hur förändras grafen när ni ändrar värdet på 𝑑?

Ändra tillbaka så att 𝑐 = 0 och 𝑑 = 0. Ändra sedan så att 𝑐 = 3.

e) Hur ser uttrycket ut nu för 𝑓(𝑥)?

𝑓(𝑥) =_________________________________________________________

f) Hur ändrades grafen när ni satte 𝑐 = 3?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Ändra tillbaka så att 𝑐 = 0. Ändra sedan så att 𝑑 = 2.

g) Hur ser uttrycket ut nu för 𝑓(𝑥)?

𝑓(𝑥) =_________________________________________________________

h) Hur ändrades grafen när ni satte 𝑑 = 2?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Ändra tillbaka så att 𝑐 = 0 och 𝑑 = 0. Ändra sedan så att 𝑐 = 3 och 𝑑 = 2.

i) Hur ser uttrycket ut nu för 𝑓(𝑥)?

𝑓(𝑥) =_________________________________________________________ _______________________________________________________________

j) Hur ändrades grafen när ni satte 𝑐 = 3 och 𝑑 = 2?

k) Efter att ha gjort dessa skisser, är det någonting ni vill tillägga utöver svaren i c) och d) gällande hur ni uppfattar att 𝑐 och 𝑑 påverkar grafen till 𝑓(𝑥)? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

2. Radera 𝑓(𝑥) genom att klicka på ⋮ symbolen och välj ”Radera”. Undersök nu hur 𝑐 och 𝑑 påverkar 𝑓(𝑥) = 1

𝑥 då 𝑥 byts ut mot 𝑥 + 𝑑 och det läggs till

en konstant 𝑐. Skriv alltså in

𝑓(𝑥) = 1

𝑥 + 𝑑 + 𝑐

(Var noggranna med parenteser så att uttrycket blir som det står ovan. Glidare behöver inte skapas igen, de är kvar).

a) Med 𝑐 = 0 och 𝑑 = 0 vad har ni för uttryck av 𝑓(𝑥) då?

𝑓(𝑥) =_________________________________________________________

Testa nu att dra i reglagen för 𝑐 och 𝑑.

b) Hur förändras grafen när ni ändrar värdet på 𝑐?

c) Hur förändras grafen när ni ändrar värdet på 𝑑?

Dra i reglagen för 𝑐 och 𝑑.

d) Ser ni några likheter med hur grafen ändras jämfört med när ni hade

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑑)2+ 𝑐 i uppgift 1? Vilka i så fall?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

3. Radera 𝑓(𝑥).

Undersök nu 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 2𝑥 + 1 då 𝑥 byts ut mot 𝑥 + 𝑑 och det läggs till en konstant 𝑐.

Skriv alltså in

a) Med 𝑐 = 0 och 𝑑 = 0 vad har ni för uttryck av 𝑓(𝑥) då?

𝑓(𝑥) =_________________________________________________________

Dra i reglagen för 𝑐 och 𝑑.

b) Hur ändras grafen när 𝑐 och 𝑑 ändras?

c) Ser ni några likheter med uppgift 1 och 2 hur 𝑐 och 𝑑 ändrar grafen till 𝑓(𝑥)? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

4. Använd inte GeoGebra i denna uppgift. Nedan är grafen till 𝑓(𝑥) = 𝑥3_given.

Byt ut 𝑥 mot 𝑥 + 𝑑 och lägg till en konstant 𝑐 till funktionen, så vi får att 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 𝑑)3_{+ 𝑐}

a) Utan att använda GeoGebra, hur tror ni att grafen kommer ändras när 𝑐 ändras? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

b) Utan att använda GeoGebra, hur tror ni att grafen kommer ändras när 𝑑 änd- ras?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

c) Utan att använda GeoGebra, skissa 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3_{+ 2 i figuren nedan.}

d) Kontrollera med GeoGebra. Stämmer dina svar i a), b) och c)? Om de inte

stämmer, hur skiljer sig era svar från GeoGebra?

5. Om ni har 𝑓(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥2+ 3 och sedan byter ut 𝑥 mot 𝑥 + 𝑑 och lägger till en konstant 𝑐, i likhet med vad ni gjort i föregående uppgifter, hur ska ni skriva er nya funktion 𝑓(𝑥)?

𝑓(𝑥) =_______________________________________________________________

6. Testa att ändra 𝑓(𝑥) till någon funktion ni själva vill prova! (OBS: Testa inte

𝑓(𝑥) = 𝑥, den funktionen tas upp i diskussionen sen). Byt sedan ut 𝑥 mot 𝑥 + 𝑑 och lägg till en konstant 𝑐 i er funktion. Er funktion blir alltså 𝑓(𝑥 + 𝑑) + 𝑐. Undersök sedan grafen av för olika värden på 𝑐 och 𝑑. Hur påverkar 𝑐 och 𝑑 er graf?

Vi satte 𝑓(𝑥) =________________________________________________________ Med 𝑥 bytt mot 𝑥 + 𝑑 och tillägg av en konstant 𝑐 fick vi:

𝑓(𝑥) =_______________________________________________________________ Påverkan av 𝑐 och 𝑑: ____________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

7. Om ni är givna vilken funktion 𝑓(𝑥) som helst och sedan ändrar den till 𝑓(𝑥 + 𝑑) + 𝑐, det vill säga byter ut 𝑥 mot 𝑥 + 𝑑 och lägger till en konstant 𝑐, vad säger ni utifrån era undersökningar om hur 𝑐 och 𝑑 påverkar funktionens graf?

𝑐:____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 𝑑:___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

8. Betrakta värdetabellerna på nästa sida, den ena för 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{och den andra för}

𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 3. Fyll i de saknade värdena i högra tabellen. Kan ni utifrån dessa tabel- ler försöka förklara varför 𝑐 påverkar grafen som den gör?

Svar:_________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

9. Betrakta värdetabellerna nedan, den ena för 𝑓(𝑥) = 𝑥2 och den andra för

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2_{. Fyll i de saknade}_{𝑥 värdena i högra tabellen. Kan ni utifrån dessa}

tabeller försöka förklara varför 𝑑 påverkar grafen som den gör?

𝑓(𝑥) = 𝑥2 _{𝑓(𝑥) = 𝑥}2_{+ 3} 𝑥 𝑥2 _𝑥 _𝑥2_{+ 3} 0 0 0 1 1 1 2 4 2 3 9 3 4 16 4 5 25 5 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 𝑥 𝑥2 _𝑥 _{(𝑥 + 2)}2 0 0 0 1 1 1 2 4 4 3 9 9 4 16 16 5 25 25

Övrigt ni vill tillägga:

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

In document Translation av funktionsgrafer med dynamiska matematikprogram : En fallstudie av gymnasieelevers undersökande arbetssätt med GeoGebra (Page 33-51)