Nästan godkänt svar.

Det var cirka 10 % av eleverna som hade ett nästan godkänt svar. En elev motiverade sitt svar på följande sätt:

”Lutningen ger värdeminskningen = ju brantare lutning desto större värdeminskning”

Det här svaret visar på eleven har en viss förståelse för lutningen i detta exempel eftersom eleven beskriver att värdeminskningen hade varit större om lutningen hade varit brantare. Utifrån detta citat är det svårt att avgöra om eleven uppfattar hur k-värdet förändras för att lutningen ska vara brantare och för att värdeminskningen ska vara större. Sedan skriver eleven att lutningen ger värdeminskningen och för att jag ska kunna tolka elevens svar som godkänt hade jag velat att eleven utvecklar detta svar. Om eleven istället hade skrivit lutningen anger värdeminskningen per mil = ju brantare lutning desto större värdeminskning per mil hade jag bedömt svaret som godkänt.

6.2.3.3 Fel svar

Det var 48 % av eleverna som hade fel svar på frågan. En elev motiverade på följande sätt:

”Den visar bilens värde i förhållande till mil körda.”

Citatet tyder på att eleverna har en felaktig förståelse av lutningen (k) i den aktuella uppgiften. Därför är det möjligt att konstatera att eleven därmed inte har en fullständig strukturell förståelse av funktionsbegreppet.

6.3 Uppgift 3

Syftet med denna uppgift var att upptäcka vilka begreppsdefinitioner eleverna har om funktioner. Dessa har jag sedan delat in i kategorier konstruerade av Vinner och Dreyfus (1989).

1. Korrespondens: I denna kategori passar in de definitioner som beskriver en korrespondens, samband eller förhållande mellan två mängder.

”Hur den ena variabeln förhåller sig till en annan variabel”

”Visar hur något förändras i förhållande till varandra, t.ex. tiden i förhållande till hastigheten.”

”Funktionen är ett samband mellan värdena på x och y axeln.”

2. Beroenderelation: En elev tolkade funktionen som en beroenderelation mellan två variabler.

” Någonting som är beroende av något annat”.

3. Regel: Det var ingen av eleverna som beskrev en funktion som en regel. 4. Formel: Elever som tolkade en funktion som en formel skrev på följande sätt: ”y= något med x”

” x² + 4x +6 är en funktion. En funktion är en ritning.” ”En funktion är när man får ut ett y- värde av ett x- värde.” ”Ett sätt att beskriva ett problem med siffror.”

5. Representation:

Denna kategori innefattar definitioner av en funktion beskrivna på ett meningslöst sätt.

” En lösning på ett matematiskt problem.” ”Är en lösning på någonting.”

De funktionsdefinitioner presenterade i kategorierna 1-4 anger de definitioner som är i någon mening tolkbara och har en grund. Det visade sig att endast 8 av 31 gick att placera i dessa kategorier. Resten dvs. 23 elever av 31 svarade antingen i överensstämmelse med kategori 5 eller gav inga svar.

7 DISKUSSION

Syftet med studien har varit att undersöka hur elever i matematik B på en komvuxskola tolkar övergången mellan representationsformerna graf- situation och formel. Resultatet visade att övergången mellan graf- situation och situation- graf var bäst utvecklad. I den första uppgiften undersöktes övergången mellan situation och graf och det var ca 45 % av eleverna som svarade godkänt. Dock var det flera elever som tolkade grafen som en bild av händelsen i uppgiften, ett fenomen som är väl dokumenterat hos Janvier (1987). Utifrån min undersökning framgick även en annan missuppfattning hos eleverna, att tolka grafen som en funktion mellan sträckan och tiden istället för hastigheten och tiden. Det är viktigt enligt min mening, att lärare uppmärksammar dessa missuppfattningar i klassrummet eftersom de, utifrån undersökningen finns presenterade hos de flesta eleverna i de två klasserna. Lärare kan exempelvis presentera missuppfattningen i undervisningen och låta eleverna diskutera i grupp huruvida lösningen är korrekt eller ej. Annars finns en risk att uppfattningen inte ändras om den inte blir behandlad, vilket har visat sig stämma hos dessa elever i slutfasen av kursen. Vidare var övergången mellan graf och situation väl utvecklad hos eleverna då en del av dem hade en korrekt tolkning av grafen. Janvier (1987) menade i sin forskning att övergången var bäst utvecklad mellan graf- situation och vice versa och det visade sig även gälla hos dessa elever.

I uppgift två skulle eleverna skriva ett algebraiskt uttryck till grafen och det var endast 13 % av eleverna som hade ett korrekt svar. Det var ett resultat som var väldigt förvånande för mig då eleverna i undervisningen ofta hade arbetat med övergången mellan graf och formel, detta grundar jag på mina egna erfarenheter på praktikskolan. Min undersökning visar på att dessa elever högst sannolikt inte har utvecklat en processförståelse av funktionsbegreppet. Vidare kan orsaken vara att eleverna inte undersökte grafen utifrån en formels synvinkel och enligt Janvier (1987) är detta väsentligt för att en korrekt övergång mellan representationsformerna ska ske. I uppgiften där eleverna skulle beskriva betydelsen av lutningen (k) i uppgiften var det endast 6 % av eleverna som svarade godkänt vilket tyder på att de flesta eleverna i undersökningen enligt min tolkning saknar en fullständig strukturell förståelse av funktionsbegreppet. Överlag visar undersökningen att en del elever saknar både en fullständig process- och strukturförståelse av funktionsbegreppet vilket bekräftar de

tankar jag hade i början av arbetet om begreppets svårbegriplighet och abstrakta form. Därför är det vikigt att elever får erfarenhet i alla representationsformer och övergången mellan dessa för att utveckla en förståelse av ett matematiskt begrepp.

I kursplanen för Matematik B står det beskrivet att eleverna ska kunna förklara vad som kännetecknar en funktion. Den sista uppgiften i enkäten skulle undersöka just detta då eleverna hade i uppgift att förklara betydelsen av funktionsbegreppet. Det visade sig att de flesta eleverna i undersökningen inte hade en godkänd tolkning av funktionsbegreppet. Även de elever som gav en definition av det matematiska begreppet hade dock ingen relativt fullständig definition. I läroboken beskrivs funktionsbegreppet som ett samband mellan variabler, varje värde på x i definitionsmängden ger exakt ett värde på y i värdemängden. Det var endast några elever som uttryckte funktionsbegreppet som ett samband/förhållande mellan variabler. Resten kännetecknade begreppet med en formel eller gav inget svar. Även om eleverna beskrev en funktion som ett samband mellan variabler är det inte säkert att de förstår vad detta innebär och att de har utvecklat en strukturell förståelse. För att kunna dra en sådan slutsats måste vidare undersökningar göras. Det är i alla fall möjligt att konstatera att de flesta eleverna i undersökningen inte benämner den formella definitionen som finns representerad i läroboken. De beskriver en funktion utifrån de begreppsbilder de har, exempelvis skriver de en andragradsformel och menar att det kännetecknar en funktion.

För mig är det viktigt att som blivande lärare göra liknande undersökningar för att utveckla förståelse för elevers begreppsbilder i en klass. Lärare kan förbättra kommunikationen med eleverna i undervisningen genom att undersöka vilka begreppsbilder de har kring matematiska begrepp. Dock har jag i efterhand kommit till insikt om att en bättre undersökningsmetod är kvalitativ intervju eftersom den ger en bättre insikt i elevers tankegång. Det var i samband med intervjuerna som jag fick mer uttömmande svar från eleverna medan svaren i enkäten kunde ibland vara väldigt knapphändiga. Under analysprocessen insåg jag att jag hade behövt intervjua vissa elever för att få en bättre förståelse av de svar de gav mig i enkäten, exempelvis intervjua någon av eleverna som hade svarat graf D i uppgift 1 (Bilaga 1). Därför skulle man kunna hävda att reliabiliteten i min undersökning hade ökat om en kvalitativ intervju hade utförts på flera elever. Min uppfattning är att frågorna i undersökningen

frågor som skulle hjälpa mig att nå en bättre förståelse av elevers tolkningar, exempelvis frågor som undersöker elevers tolkningar av sambandet mellan variabler.