En f¨orhoppning (d˚a denna unders¨okning p˚ab¨orjades) var att f˚a ett representativt urval gymnasieelever som svarade p˚a enk¨aterna. P˚a s˚a vis hade m¨ojligen hypotesen att typen av till¨ampade matematiska problemformuleringar har betydelse f¨or elevers estetiska upple-velser b¨attre kunnat testas. Vidare hade gymnasieelevers estetiska f¨orh˚allningss¨att kunnat ges en mer generell karakt¨arisering, t.ex. genom en explorativ faktoranalys av underskalor-na i tabell 4. P˚a s˚a vis hade s˚av¨al relationen mellan de olika underskalorna och s˚aledes de olika lokala affekterna tydligare kunnat relateras till varandra, f¨or att ge en tydligare bild av den matematikestetiska upplevelsen under probleml¨osning. Jag hade g¨arna sett att framtida
forskning g¨or just detta. Allts˚a att forskare testar renodlade k¨ansloskalor likt den i tabell 4 f¨or att p˚a s˚a vis kunna ge en tydligare bild av vilka k¨anslor som ses som v¨asentliga f¨or den matematikestetiska upplevelsen.
I f¨oreliggande unders¨okning fanns det varken tid eller fokus p˚a att unders¨oka elevers glo-bala affekter och hur de kan t¨ankas p˚averka lokal affekt under probleml¨osning, dvs. huruvida exempelvis negativa attityder eller distinkta f¨orest¨allningar om matematiken har p˚averkan p˚a vilka lokala affektv¨agar som elever utvecklar under gymnasiematematiken. S˚adan forsk-ning hade med f¨ordel kunnat g¨oras som longitudinella projekt d¨ar exempelvis elever i en gymnasieklass f¨oljs under sina tre gymnasie˚ar. P˚a s˚a vis hade globala och lokala affekter kunnat studeras ¨over l¨angre tidsspann f¨or att mer p˚alitligt dra eventuella samband mellan dessa tv˚a centrala begrepp inom en framv¨axande matematikdidaktisk forskning med fokus p˚a affekt.
Ett s˚adant longitudinellt forskningsprojekt skulle ¨aven kunna best˚a i en viss del aktions-forskning d¨ar allts˚a insatser g¨ors f¨or att exempelvis fr¨amja elevers affektbaserade kompeten-ser, som jag f¨oreslagit i resultatavsnittet, d¨ar en m¨ojlig hypotes ¨ar att: ju fler l¨osningsmetoder och kunskaper om heuristiska processer som gymnasieelever ackumulerar under sin gymna-sietid, ju fler yttranden av affektbaserade kompetenser och gynnsamma lokala affektv¨agar kommer att med tiden observeras. Den l¨arare som deltar i ett s˚adant forskningsprojekt skulle s˚aledes kunna bli instruerad i att till¨ampa en (f¨or tillf¨allet ok¨and) utarbetad un-dervisningsmetodik som ¨amnar att ge eleverna f¨ortrogenhet till sina egna f¨orm˚agor under probleml¨osningsprocesser, exempelvis:
• Utf¨orliga demonstrationer av problem i klass som utg˚ar fr˚an P´olyas (2004) olika faser f¨or att ge eleverna en tydlig uppfattning om vad de olika faserna av probleml¨osning
¨
ar eller kan vara samt vad man i dessa faser kan g¨ora f¨or att framg˚angsrikt l¨osa ett problem (rita figurer, anv¨anda tabeller, gissa, osv).
• Under elevers individuella arbete med uppgifter i deras studielitteratur ges l¨araren instruktioner och m¨ojligen kompetensutveckling kring hur han eller hon b¨or bem¨ota elevernas fr˚agor och oklarheter. Detta skulle exempelvis kunna best˚a i att effektivt st¨alla fr˚agor som leder eleven fram˚at i att f¨orst˚a problemet, som t.ex: Vad ¨ar det som
¨
ar ok¨ant?, Vilken data har vi?, Vad ¨ar villkoren? eller fr˚agor som ¨amnar att ge eleven b¨attre m¨ojligheter att g¨ora upp en plan och utf¨ora den: K¨anner du till ett relaterat problem?, H¨ar ¨ar ett problem som ¨ar relaterat till ditt och som l¨osts f¨orut! Tror du att du kan anv¨anda dig av den?, Kan du oformulera problemet? (P´olya, 2004, s. 24-25).
• I samband med ovanst˚aende punkter ¨ar det viktigt f¨or utvecklandet av affektbaserade kompetenser att k¨anslor (lokala affekter) synligg¨ors i undervisningen. Detta kan inne-fatta att l¨araren ¨oppet reflekterar kring hur han eller hon agerar utifr˚an k¨anslor som frustration, f¨orvirring eller nyfikenhet under probleml¨osning, f¨or att p˚a s˚a s¨att tydligt relatera allm¨anna heuristiska processer till lokala affekter. Detta har i tidgare forskning f¨oreslagits (Goldin, 2000; DeBellis & Goldin, 2006; Hannula, 2015). Ett s˚adant under-visningss¨att skulle kunna normalisera de k¨anslor elever sj¨alva har, vilket kan underl¨atta deras hanterande av disparata k¨anslotillst˚and men ocks˚a ge dem konkreta verktyg som kan nyttjas n¨ar dessa k¨anslor p˚atr¨affas.
Jag vill h¨ar understryka att jag inte betvivlar att l¨araren f¨or gymnasieeleverna i f¨oreliggande unders¨okning nyttjar liknande (eller till och med exakt motsvarande) instruktioner i klass-rummet, utan jag vill endast po¨angtera att longitudinella aktionsforskningsprojekt som
¨amnar att unders¨oka och fr¨amja elevers affektkbaserade kompetenser kan dra nytta av att systematiskt f¨orh˚alla sig till instruktioner och undervisningsf¨orslag som i tidigare matema-tikdidaktisk forskning givits (Goldin, 2000; P´olya, 2004; DeBellis & Goldin, 2006; Hannula, 2015).
Den explorativa fallstudie som beskrivs i detta arbete kan allts˚a ses som en prelimin¨ar in-dikation p˚a dels elevers befintliga matematikestetiska f¨orh˚allningss¨att och dels vilka typer av affektbaserade kompetenser som kommer till yttrande i individuella probleml¨osninsprocesser.
I fallstudien betonas vikten av att elever ges heuristiker och metoder f¨or att kunna han-tera probleml¨osningssituationer, och p˚a s˚a vis kunna plocka fram befintliga matematiska kunskaper om procedurer och fakta. Det b¨or noteras att affektfokuserad matematikdidak-tikforskning ¨ar relativt nytt, varf¨or nya analysverktyg och metodutveckling b¨or ses som en v¨asentlig del i framtida matematikdidaktisk forskning, med fokus p˚a elevers lokala affekter under probleml¨osning.
Referenser
Blom, G., Enger, J., Englund, G., Grandell, J. & Holst, L. (2005). Sannolikhetsteori och statistikteori med till¨ampningar (5., [omarb.] uppl.). Lund: Studentlitteratur.
Brinkmann, A. (2009). Mathematical beauty and its characteristics-a study on the student’s point of view. The Mathematics Enthusiast, 6 (3), 365–380.
Carlson, M. P. & Bloom, I. (2005). The cyclic nature of problem solving: An emergent multidimensional problem-solving framework. Educational studies in Mathematics, 58 (1), 45–75.
Chamberlin, S. A. (2010). A review of instruments created to assess affect in mathematics.
Journal of Mathematics education, 3 (1), 167–182.
Ciuk, D., Troy, A. & Jones, M. (2015). Measuring emotion: Self-reports vs. physiological indicators. Physiological Indicators (April 16, 2015).
DeBellis, V. A. & Goldin, G. A. (2006). Affect and meta-affect in mathematical problem solving: A representational perspective. Educational Studies in Mathematics, 63 (2), 131–147.
Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken: f¨or sm˚askaliga forskningsprojekt inom samh¨allsvetenskaperna. Studentlitteratur.
Dreyfus, T. & Eisenberg, T. (1986). On the aesthetics of mathematical thought. For the learning of mathematics, 6 (1), 2–10.
Goldin, G. A. (2000). Affective pathways and representation in mathematical problem solving. Mathematical thinking and learning, 2 (3), 209–219.
Hannula, M. (1999). Cognitive emotions in learning and doing mathematics. I Eighth european workshop on research on mathematical beliefs (s. 57–66).
Hannula, M. (2015). Emotions in problem solving. I Selected regular lectures from the 12th international congress on mathematical education (s. 269–288).
Hardy, G. H. (1940). A mathematician’s apology. Cambridge University Press.
Huron, D. (2009). Aesthetics. I Oxford handbook of music psychology.
Johansson, B. & Svedner, P. O. (2010). Examensarbetet i l¨ararutbildningen, femte upplagan.
Uppsala: Kunskapsf¨oretaget AB.
Juter, K. (2014). De matematiska f¨orm˚agorna. Skolverket [H¨amtad: 2018-11-12].
Koichu, B., Katz, E. & Berman, A. (2007). What is a beautiful problem? an undergraduate students’ perspective. I PME conference (vol. 31, s. 3).
Koichu, B., Katz, E. & Berman, A. (2017). Stimulating student aesthetic response to mathematical problems by means of manipulating the extent of surprise. The Journal of Mathematical Behavior , 46 , 42–57.
Lehman, B., D’Mello, S. & Person, N. (2008). All alone with your emotions: An analysis of student emotions during effortful problem solving activities. I Workshop on emotional and cognitive issues in its at the ninth international conference on intelligent tutoring systems.
Lindqvist, U., Emanuelsson, L., Lindstr¨om, J.-O. & R¨onnberg, I. (2003). Lusten att l¨ara–med fokus p˚a matematik. Stockholm: Skolverket. Skolverkets rapport, 221 .
Linn´euniversitetet. (2016). Allm¨an studieplan f¨or utbildning p˚a forskarniv˚a i matematik.
[studieplan]. Ort: Linn´euniversitetet, matematikinstitutionen. H¨amtad 2019-10-05 fr˚an https://lnu.se/utbildning/forskarutbildning/matematik/.
Marmur, O. & Koichu, B. (2016). Surprise and the aesthetic experience of university students:
A design experiment. Journal of Humanistic Mathematics, 6 (1), 127–151.
Menninghaus, W., Wagner, V., Wassiliwizky, E., Schindler, I., Hanich, J., Jacobsen, T. &
Koelsch, S. (2018, 09). What are aesthetic emotions? Psychological Review.
Nationalencyklopedin. (u. ˚a.-a). Emotion. https://www-ne-se.proxy.lnu.se/uppslagsverk/encyklopedi/l˚ang/emotion. (H¨amtad: 2019-11-30)
Nationalencyklopedin. (u. ˚a.-b). Heuristik. https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l˚ang/heuristik.
(H¨amtad: 2019-10-05)
Nationalencyklopedin. (u. ˚a.-c). Matematik. https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l˚ang/matematik.
(H¨amtad: 2020-01-07)
Persson, P.-E. (2005). Bokstavliga sv˚arigheter : faktorer som p˚averkar gymnasieelevers algebral¨arande. Lule˚a: Lule˚a tekniska universitet. (Lic.-avh. Lule˚a : Lule˚a tekniska univ., 2005)
P´olya, G. (2004). How to solve it: A new aspect of mathematical method (nr. 246). Princeton university press.
Poincar´e, H. (1924). Mathematical creation. Resonance, 5 (02).
Russell, B. (1971). Mysticism and logic, and other essays. Barnes & Noble.
Samuelsson, J. & Muhrman, K. (2015). Hur man arbetar med elever som har matema-tik¨angslan. Skolverket.
Schindler, I., Hosoya, G., Menninghaus, W., Beermann, U., Wagner, V., Eid, M. & Scherer, K. R. (2017). Measuring aesthetic emotions: A review of the literature and a new assessment tool. PLoS One, 12 (6), e0178899.
Schoenfeld, A. H. (1989). Explorations of students’ mathematical beliefs and behavior.
Journal for research in mathematics education, 338–355.
Schoenfeld, A. H. (2016). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics (reprint). Journal of Education, 196 (2), 1–38.
Shelley, J. (2017). The concept of the aesthetic. I E. N. Zalta (red.), The stanford encyclopedia of philosophy (Winter 2017 utg˚avan). Metaphysics Research Lab, Stanford University.
https://plato.stanford.edu/archives/win2017/entries/aesthetic-concept/.
Silver, E. A. & Metzger, W. (1989). Aesthetic influences on expert mathematical problem solving. I Affect and mathematical problem solving (s. 59–74). Springer.
Sinclair, N. (2001). The aesthetic”isrelevant. For the learning of mathematics, 21 (1), 25–32.
Sinclair, N. (2004). The roles of the aesthetic in mathematical inquiry. Mathematical Thinking and Learning, 6 (3), 261–284.
Skolverket. (u. ˚a.). Kommentarmaterial till ¨amnesplanen i matematik i gymnasieskola.
Stockholm: F¨orfattare.
Skolverket. (2011). Matematik. Skolverket.
Skolverket. (2017). L¨aroplan, examensm˚al och gymnasiegemensamma ¨amnen f¨or gymnasie-skola 2011. Stockholm: F¨orfattare.
Vetenskapsr˚adet, S. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samh¨allsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsr˚adet.
A F¨ oljebrev och informationsbrev till f¨ or¨ aldrar
B Enk¨ at 1
C Enk¨ at 2
D L¨ osningsf¨ orslag fr˚ an pilotunders¨ okning
Figur 2: L¨osningsf¨orslag p˚a rent matematiskt problem av student S3.
E Elevers l¨ osningsf¨ orslag
Figur 3: L¨osningsf¨orslag p˚a rent matematiskt problem av Elev E1. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.1.
Figur 4: L¨osningsf¨orslag p˚a till¨ampat matematiskt problem av Elev E1. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.1.
Figur 5: L¨osningsf¨orslag (s. 1) p˚a rent matematiskt problem av Elev E5. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.2.
Figur 6: L¨osningsf¨orslag (s. 2) p˚a rent matematiskt problem av Elev E5. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.2.
Figur 7: L¨osningsf¨orslag (s. 3) p˚a rent matematiskt problem av Elev E5. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.2.
Figur 8: L¨osningsf¨orslag (s. 1) p˚a till¨ampat matematiskt problem av Elev E5. Se in-neh˚allsanalys i avsnitt 5.3.2.
Figur 9: L¨osningsf¨orslag (s. 2) p˚a till¨ampat matematiskt problem av Elev E5. Se in-neh˚allsanalys i avsnitt 5.3.2.
Figur 10: L¨osningsf¨orslag p˚a rent matematiskt problem av Elev E8. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.3.
Figur 11: L¨osningsf¨orslag p˚a till¨ampat matematiskt problem av Elev E8. Se inneh˚allsanalys i avsnitt 5.3.3.