Programmets uppbyggnad

Programmets övergripande struktur utgörs av en inmatningsfil, Input.m, där all data som behövs för beräkning och plottning matas in. Huvudfunktionsfilen Susb.m tar därefter emot all data som matas in i inputfilen. Från Susb.m utförs alla beräkningar och anrop till funktionsfiler. Beräkningsstegen redovisas i Figur 3-7 där ett förenklat och översiktligt flödesschema för programmet redovisas med tillhörande förklaring. För att åstadkomma en någorlunda allmängiltig utformning av de delar av programmet som utför själva beräkningen och plottar resultaten, indelas brodelarna i elementgrupper. Det innebär rent praktiskt att de matriser som används i beräkningarna delas in i elementgrupper, vilket utförs automatiskt i programmet. Till dessa matriser hör topologimatrisen, elementtopologimatrisen och koordinatmatrisen. Elementgrupperna identifieras av ett nummer i matrisens sista kolumn, benämnt som parametern Bp (Bridge part). Indelningen av elementgrupper, d.v.s. numreringen, sker på så sätt att avstyvningsbalken tilldelas nummer ett, pylonerna tilldelas nummer två och vidare i stigande nummerordning från vänster till höger. Därefter ges varje del av kabeln (kabeln indelas efter spann) en egen indelning i fortsatt nummerordning från det vänstra spannet till det högra. Till sist tilldelas varje hängare ett eget nummer. Anledningen till att hängarna indelas i egna elementgrupper är att de utgör skilda balkelement som inte är sammanknutna i gemensamma noder. I Figur 3-6 visas ett exempel på hur elementindelningen kan se ut för en hängbro med tre spann. Som nämnts tidigare definieras ett spann här som utsträckningen från pylon till pylon eller från backstagsförankring till pylon. För sidospannen gäller detta oavsett om dessa bärs upp av hängare eller inte.

Figur 3-6 Elementgruppsindelning för en hängbro med tre spann, från grupp 1 till

grupp 14. 1 2 ₃ 4 _{7 5} ⁶ 8 9 ¹³ 14 10 11 ¹²

3.3.3 Flödesschema för programmet SusB

Först genereras koordinatmatrisen, topologimatrisen, elementtopologimatrisen och matrisen innehållande ekvationssystemets randvillkor. Därefter löses ekvations-systemet och strukturens reaktionskrafter och förskjutningar beräknas. Vidare skapas influenslinjer och värsta dimensionerande trafiklast räknas ut baserat på influens-linjerna. Slutligen sammanställs snittkrafterna från egentyngd och trafiklast och önskade plottar skapas. Exempel av plottar visas i Figur 3-8 till Figur 3-9.

Matris med brons koordinater skapas.

Topologimatrisen med brons frihets-grader skapas.

Element topologimatrisen med brons elementindelning skapas.

Randvillkoren för bron skapas och lagras i en matris.

Ekvationssystemet löses med en icke linjär beräkning.

Beräkning av influenslinjer för valda punkter.

Plottning av brons deformation. Plottning av krafter.

Plottning av trafikfältens indelning och lasternas placering. Plottning av influensdiagram med värsta trafiklastplacering. Plottning av last för valda influenspunkter.

Beräkning av värsta lastplacering för trafiklast, baserat på influenslinjer. Beräkning av last i vald influenspunkt för värsta trafiklast och för egentyngd.

Funktionen coordassemb.m Funktionen bdofassemb.m Funktionen edofassemb.m Funktionen boundary.m Funktionen calc.m Funktionen influencelines.m Funktionen traffldiv.m Funktionen traffload.m Funktionen SusB.m Start Input.m

I bilaga 0 återfinns funktionsfilen Input.m och calc.m. Resterande funktionsfiler finns att beskåda i den version av detta examensarbete som finns på hemsidan för byggvetenskap, http://www.kth.se/abe/inst/byv/publ/.

Figur 3-8 Exempel på plott för redovisning av deformation i bromodellen efter pålagd egentyngd. I det här exemplet har försök till geometrisk anpassning utförts genom uppflyttning av huvudkabeln och avstyvningsbalken.

Figur 3-9 Exempel på plott som redovisar krafter och deformationer för valda punkter i bromodellen. 0 100 200 300 400 500 600 700 0 20 40 60 80 [m] [m] 1 2 3 4 5

Traffic load and dead weight 1.N =67744 kN 2.M =45299 kNm 3.M =52567 kNm 4.N =1925.1 kN 5.V =1635.7 kN Dead weight 1.N =57222 kN 2.M =905 kNm 3.M =191.51 kNm 4.N =1527.9 kN 5.V =448.38 kN 0 100 200 300 400 500 600 700 0 20 40 60 80 [m] [m] Uppflyttad geometri Deformerad geometri

3.3.4 Bromodellens uppbyggnad

I första utförandet av det program som utarbetats, användes linjära balkelement och stångelement i beräkningarna för att bygga upp bromodellen. Då resultaten visade på allt för stora nedböjningar av avstyvningsbalken och huvudkabeln, inriktades istället användandet på olinjära balkelement. I valet av balkelement och stångelement valdes först att använda stångelement till huvudkabel och hängare, samtidigt som avstyvningsbalk och pyloner byggdes upp av balkelement. Problem uppstod då i form av att få normalkraften i hängarna att konvergera. Därför prövades istället att låta hela bromodellen utgöras av endast balkelement, vilket också resulterade i en stabilare konvergens med avseende på normalkraften, samt betydligt rimligare deformation av bron.

Både huvudkabeln och backstagen utgörs av balkelement utan leder, vilka fästs i pylontopparna med knutpunktskoppling. Detta illustreras i Figur 3-10. Hängarna fästs i huvudkabeln och avstyvningsbalken med knutpunktskoppling, d.v.s. translationen i x- och y-led är delad, samtidigt som rotationen är åtskild, vilket illustreras i Figur 3-11. De spann som har hängare, oavsett om det är sidospann eller huvudspann kan tilldelas valfri pilhöjd och antar då formen av kedjelinjen. Backstagens infästning i spridningskammaren representeras av en knutpunktskoppling. Brospannens upp-byggnad startar från vänster i x-axelns nollpunkt och pylonerna byggs upp från axelns nollpunkt. Vidare utgår samtliga indata som anges i form av x- och y-koordinater ifrån origo likt ett ordinärt koordinatsystem. Upplagsvillkoren för avstyvningsbalk på pylon kan väljas till fast inspänd, fixt lager, fritt upplagd eller helt fri från pylon.

Figur 3-10 Exempel av sammansättning av bromodell med tre spann. y

x o

Figur 3-11 Illustrering av translation mellan huvudkabel och hängare. Som kan ses

i figuren är translationen i x- och y-led sammanlänkad.

3.3.5 Programmets beräkningsmetod

För att åstadkomma korrekt geometri av bron (d.v.s. den som matats in efter belastning från egentyngd), prövades först att stegvis flytta upp huvudkabeln och avstyvningsbalken tills dess att huvudkabeln förskjutits till ett någorlunda korrekt vertikalt läge. Denna metod utfördes på en initialt spänningslös bro med utgångspunkt från ursprunglig geometri. Resultaten visade dock på orimligt stora globala moment och globala tvärkrafter i balken. Detta kan förklaras av huvudkabelns töjning och nedhängning, vilken blir störst i mitten. I Figur 3-12 nedan visas momentdiagrammet för avstyvningsbalken och Figur 3-13 visas dess deformation. Dessa beräkningar har gjorts med indata för Älvsborgsbron i Göteborg, vilka presenteras i Kapitel 4.1.

Figur 3-12 Momentdiagram för avstyvningsbalken då kabeln stegvis flyttats upp.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 −2 −1 0 1 2 3^{x 10} 4 [m] [kNm] Huvudkabel u₁ v1 ϕ1 Hängare ϕ2 u1 v1

Figur 3-13 Pilarna till vänster i bilden markerar den uppflyttade huvudkabeln och

avstyningsbalken, och pilarna till höger visar dess deformation.

Under uppförandet av en hängbro monteras avstyvningsbalken stegvis, bitar lyfts upp en i taget, justeras i rätt vertikalt läge och svetsas ihop först då alla segment är på plats, vilket visas i Figur 3-14. Sannolikt uppstår inte de stora globala moment som påvisas i Figur 3-12, vid den typen utförande.

Figur 3-14 Montering av bron Jiangyin Yangtze River Bridge i Jiangyin i Kina, rest

år 1999 (www.chinapage.org/bridge). 150 200 250 300 350 400 450 500 550 47 48 49 50 51 52 53 54 [m] [m]

Om beräkningen däremot utförs med ett minskat tröghetsmoment i avstyvningsbalken, reduceras de globala momenten avsevärt och kvar finns endast de lokala momenten mellan hängarna. Detta kan ses i Figur 3-15, som visar momentfördelningen i avstyvningsbalken. I Kapitel 4.2 kontrolleras riktigheten i resultaten med några enkla jämförande beräkningar.

Figur 3-15 Moment i avstyvningsbalken då tröghetsmomentet reducerats till en

tusendel av det ursprungliga värdet.

Då en jämförelse görs av normalkraften i huvudkabeln mellan ett reducerat tröghets-moment i avstyvningsbalken och ett oreducerat tröghetströghets-moment, påvisas ingen markant skillnad. Detta illustreras i Figur 3-16. ”Normalkraft 1” är normalkraft i huvudkabeln för ett tröghetsmoment i avstyvningsbalken som har reducerats, och ”Normalkraft 2” är normalkraft i huvudkabeln där ett oreducerat tröghetsmoment tillämpats. Därför görs antagandet att ett lägre tröghetsmoment i avstyvningsbalken inte påverkar resterande delar av bron nämnvärt.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 −2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 [m] [kNm]

Figur 3-16 Normalkraft i huvudkabeln för fallet då tröghetsmomentet i

avstyvnings-balken reducerats (Normalkraft 1) och då tröghetsmomentet inte reducerats (Normalkraft 2).

Beräkningsgången utförs därför av programmet i följande ordning. Påvekan på bron från belastning av egentyngd utförs med en icke-linjär beräkning, med en styvhets-matris där avstyvningsbalkens tröghetsmoment reducerats. Vidare utförs en linjär beräkning för generering av influenslinjer. Detta görs med en ny styvhetsmatris där tröghetsmomentet i avstyvningsbalken inte reducerats, som är initialt spänningslös och som sammansatts utifrån införd geometri. Att generera influenslinjer med en olinjär beräkning, d.v.s. en iterering av normalkraften för varje ny position av enhetslasten, tar mycket lång tid och är därför inte gångbart i programmet. Influenslinjerna används därefter för att hitta värsta lastposition för trafiklast. Vidare används en ny styvhetsmatris, utan initial spänning och med ett oreducerat tröghetsmoment, för att beräkna tillskottet i reaktionskrafter från trafiklast. Detta utförs också med en icke linjär beräkning.

Snittkrafterna från de båda beräkningarna summeras för att åstadkomma total belastning från både egentyngd och värsta trafiklast. Då antagandet görs att inga globala nedböjningar existerar i avstyvningsbalken vid belastning av egentyngden, d.v.s. eftersom den justeras i rätt höjd under byggnationen av bron, beräknas nedböjningen i avstyvningsbalken endast för trafiklasten. Förskjutningar på resterande delar av bron summeras dock.

0 5 10 15 20 25 30 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7^{x 10} 7 [m] [kN] Normalkraft 1 Normalkraft 2

3.3.6 Centrala funktionsfiler