I denna undersökning har det genomförts intervjuer med fem olika matematiklärare som samtliga undervisar i någon av kurserna i matematik 1. Målet med intervjuerna var att
undersöka hur lärare uppfattar, arbetar med och förmedlar de sju matematiska förmågorna till sina elever. Inför intervjuerna fick alla lärare ett informationsbrev, se Bilaga 1, för att
förberedas på vad intervjun skulle handla om. De frågor som ställdes till lärarna finns i Bilaga 2.
Resultatet från intervjuerna sammanfattas under fyra rubriker där den första är av allmän karaktär om lärarens bakgrund. De övriga rubrikerna besvarar de tre
huvudfrågeställningarna gällande hur lärarna beskriver, kommunicerar samt arbetar med de matematiska förmågorna i klassrummet med eleverna.
Allmänt
De fem lärare som deltagit i undersökningen har alla flera års erfarenhet, mellan 8 och 25 år som matematiklärare. Tre av lärarna har lärarexamen, varav en för gymnasiet och två för yngre elever, en lärare studerar för att snart ha en behörighet och en lärare är obehörig.
Det finns en tendens att de lärare som arbetet längst inom yrket har lagt ner minst förberedelsetid inför de nya kurserna. Generellt tycker lärarna att den tid de lagt ner för förberedelser stämmer väl överens med den tid de önskar ha tillgänglig. Det finns dock ett undantag, den mest erfarne läraren har lagt ner en till två dagar för förberedelsetid men anser att fem dagar eller mer borde finnas till förfogande. När det gäller information inför de nya kurserna anser tre av lärarna att de fått tillräcklig information innan förändringen. Det finns inte något tydligt mönster kring vilka lärare som anser sig fått tillräckligt information och vilka som känner att den varit bristfälligt, en lärare som säger sig ha lagt ner en till två dagar för förberedelser anser att informationen varit tillräcklig, till skillnad från en annan lärare som anser att det borde informerats mera trots en förberedelsetid på tre till fyra dagar.
På frågan om vilken utveckling av sin egen lärarsituation som önskas svarar en lärare:
”Ännu mer bedömning för lärande, naturligtvis med koppling till förmågorna” och en annan:
”Jag skulle vilja visa dem bättre vad som bedöms och hur de ligger till.”. Varför de inte arbetar som de önskar beror på att det är brist på tid, att det tagit tid att komma igång samt som en lärare säger ”Det finns ett motstånd bland elever och en kamp med att hinna med allt centralt innehåll.”.
Hur beskriver lärare de olika förmågorna?
De intervjuade lärarna har fått försöka sätta ord på vad de olika förmågorna betyder för dem.
Efter lärarnas beskrivningar av förmågorna följer en analys av deras svar. I analysen jämförs svaren med ämnesplanens förklaringar av förmågorna. Resultatet presenteras i tabellformat med utvalda ord från lärarnas svar. Dessa ord har i analysen jämförts med orden från operationaliseringen och placerats under respektive rubrik beroende på hur många överensstämmande ord som hittats i svaren.
22 Begrepp
De intervjuade lärarna beskriver att begrepp är, för matematiken, specifika ord som har en särskild betydelse. En lärare uttryckte det som att de är ”byggstenar som skapar matematik”.
Analys av lärares beskrivning av begrepp
Fyra av de intervjuade lärarnas beskrivningar har en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar för förmågan begrepp. En av lärarna uttryckte förmågan som
”Grunderna i matten” vilket inte återfinns i operationaliseringen, beskrivningen bedöms därför ha en låg överensstämmelse. Ingen lärares beskrivning bedöms ha en hög
överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan begrepp. Det vanligaste beskrivande ordet för förmågan begrepp är förstå. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 2.
Tabell 2 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan begrepp överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg
överensstämmelse
Måttlig
överensstämmelse
Hög
överensstämmelse
Lärarnas ordval Grunder Behärska
Förklara Skapa Förstå Förstå
Sammanhang Använda Definiera
Totalt antal 1 4 0
Procedur
Procedurer är mer en typ av arbetsgång. De intervjuade lärarna beskriver förmågan som att eleverna ska lära sig hur de ska välja och använda olika matematiska begrepp. Beskrivningar som ”hantera standarduppgifter” eller ”hur man arbetar med matematiska begrepp, som exempel algoritmer” eller ” ” framkommer vid intervjuerna.
Analys av lärares beskrivning av procedur
Tre av lärarna har i sina beskrivningar en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan procedur och en lärares beskrivning anses ha en hög
överensstämmelse. En lärare nämner en av de karaktäristiska termerna eller dess synonymer, lärarens beskrivning anses därför ha en låg överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan. Det mest frekvent förekommande ordet som lärarna använder för att beskriva förmågan procedur är lösa. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 3.
23 Tabell 3 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan procedur överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg Lärarnas ordval Använda Arbetar med
Algoritm
De intervjuade lärarna förklarar förmågan problemlösning som att lösa uppgifter i någon form. En lärare svarade ”Hur man attackerar en uppgift som man inte tidigare sett. Kanske utan självklara svar.”. Större delen av lärarna anser att problem som är textutformade är vanligare än muntliga.
Analys av lärares beskrivning av problemlösning
Tre lärare har i sina beskrivningar av förmågan problemlösning en låg överensstämmelse med Skolverkets formuleringar. En av dessa lärare säger att problemlösning innebär ”Att kunna lösa problem. Man får en uppgift som man sen ska lösa.”. Denna förklaring skulle kunna anses ha en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar om ord som nya situationer eller övergripande stärkt förklaringen. En lärares beskrivning bedöms ha en måttlig överensstämmelse och en lärares beskrivning bedöms ha en hög överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan problemlösning. Det finns inget ord som är utmärkande när lärarana förklarar förmågan. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 4.
Tabell 4 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan problemlösning överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg Lärarnas ordval Lösa uppgift Inte tidigare sett
Utan självklara svar
24 Modellering
Modellering är en förmåga där de tillfrågade lärarna skiljer sig mycket åt. En lärare svarar att den inte riktigt förstått förmågan, en annan lärare anser att det är att ”... kunna göra en
matematisk modell utifrån en uppgift.”. En tredje lärare förklarar modellering med att ”... man kan använda olika procedurer vid olika tillfällen.”.
Analys av lärares beskrivning av modellering
Fyra lärares beskrivningar av förmågan modellering bedöms ha en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar och en lärare säger sig inte förstå förmågan. Ingen lärares beskrivning av förmågan modellering anses ha en hög överensstämmelse med Skolverkets formuleringar. Lärarna beskriver denna förmåga på skilda sätt därför hittas inga gemensamma värdeord. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 5.
Tabell 5 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan modellering överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg
överensstämmelse
Måttlig
överensstämmelse
Hög
överensstämmelse
Lärarnas ordval Göra
Anpassa lösning Kan använda Ställa upp
Totalt antal 0 4 0
Resonemang
Resonemang anser de intervjuade lärarna innebära förmågan att resonera muntligt och skriftligt. En lärare svarade ”Hur man söker sig fram till ett resultat eller hur man motiverar sina lösningar.”. En annan lärare säger att resonemang har att göra med ”... hur eleverna funderar och pratar kring sina uppgifter och svar. Om de är rimliga.”.
Analys av lärares beskrivning av resonemang
En lärares beskrivning av förmågan resonemang bedöms ha en hög överensstämmelse med Skolverkets formuleringar och tre lärares beskrivningar bedöms ha en måttlig
överensstämmelse. En lärare anger ett karaktäristiskt ord, vilket bedöms som en låg
överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan. Ord som resonera och prata är vanliga förklaringar. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 6.
25 Tabell 6 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan resonemang överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg Lärarnas ordval Förklara Resonerar
Muntligt och skriftligt
Samtliga intervjuade lärare påtalar vikten av språket i såväl tal som skrift för
kommunikationsförmågan, en av lärarna uttrycker sig som ”Vilket språk man använder vid förklaringar, muntligt och skriftligt.”. En annan lärare svarar att kommunikationsförmågan innebär att kunna ”... prata, skriva eller rita matematik.”. Två av de intervjuade lärarna svarar att det är svårt att kommunicera om det inte finns en förståelse för de olika begreppen som behandlas för tillfället.
Analys av lärares beskrivning av kommunikation
Två lärares beskrivningar av förmågan kommunikation anses ha en hög överensstämmelse med Skolverkets formuleringar och två lärares beskrivningar har en måttlig
överensstämmelse. En lärares beskrivning har en låg överensstämmelse med Skolverkets formuleringar. Samtliga lärare har med ordet skriva eller skriftlig, dessutom är ordet prata vanligt förekommande. En lärare använder ordet symboler för att beskriva förmågan. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 7.
Tabell 7 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan kommunikation överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg Lärarnas ordval Skriftliga Tala
Skrift
26 Relevans
För förmågan relevans har lärarna lämnat två typer av svar, det ena behandlar arbetsliv och programinriktning, det andra valet av metod för att lösa en uppgift. Lärarna uttryckte det som att eleven ”... får in det som är viktigt för livet och för den valda studieinriktningen.” och
”Vad som gör att ett visst sätt att lösa en uppgift blir bättre än ett annat.”.
Analys av lärares beskrivning av relevans
Tre av lärarnas beskrivningar av förmågan relevans bedöms ha en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar. Två lärares beskrivningar anses ha en låg överensstämmelse.
Ingen lärares beskrivningar bedöms ha en hög överensstämmelse med Skolverkets
formuleringar av förmågan relevans. De lärare som har en låg överensstämmelse beskriver förmågan relevans som val av metod. Även om lärarna väljer olika sätt att förklara förmågan är de ändå eniga om att relevans har att göra med var eleverna kan finna matematiken i framtiden. En sammanställning av överensstämmande ord presenteras i Tabell 8.
Tabell 8 Analys av hur lärarnas beskrivningar av förmågan relevans överensstämmer med ämnesplanens och dess kommentarers formuleringar
Låg
Hur säger sig lärarna kommunicera de olika förmågorna med eleverna?
Fyra av de intervjuade lärarna berättar att de kommunicerar förmågan begrepp muntligt via genomgångar och diskussioner. En lärare svarar ”Genom att ideligen resonera kring de olika begreppen, främst när de kommer in nya begrepp.”. De tillfrågade påminner sina elever om att begreppen är viktiga att använda vid hantering, samtal och kommunikation inom
matematiken.
När de intervjuade lärarna förklarar procedur för eleverna berättar samtliga lärare att de gör det i samband med genomgångar, antingen skriftligt eller muntligt. En lärare svarade
”Vanligast via tavlan, där visar jag vad som förväntas av eleven. På prov ges formativ bedömning.”. Lärarna använder sig av konkreta exempel i de fall de finns sådana.
Problemlösning förklaras av samtliga lärare i samband med hur elever valt att lösa en uppgift. En lärare svarar ”Ofta ’textuppgifter’ där det inte är helt tydligt vad som ska
beräknas eller lösas.”, en annan svarade ”Uppgifter som diskuteras i små grupper eller tillsammans.”.
När lärarna berättar hur de kommunicerar förmågan modellering nämns exempelvis
”Hur man klarar att ställa upp till exempel en ekvation utifrån en given text.” och ”... visa att
27 det kan finnas flera olika lösningar och att en kan vara mer effektiv.”. Det framgår att
förmågan kommuniceras muntligt av alla fem lärare.
Lärarna kommunicerar resonemang med ”Dialog, visa på tavlan.” eller ”Hur de
angriper uppgifter och tolkar sina lösningar.”. Denna förmåga kommuniceras muntligt av två lärare och sporadiskt, när tillfälle ges, av de övriga tre lärarna.
Kommunikation förklaras av fyra lärare som förmågan att kunna hantera det skriftliga matematiska språket. I detta sammanhang säger en lärare ”Exempel på missförstånd om man slarvar med likhetstecken.” och en annan lärare säger ”Att de kan både skriva och prata matematik så att andra förstår vad de menar. Att de klarar att formulera egna problem.”. En lärare nämner formativ bedömning av skriftliga uppgifter som förklaring på vad förmågan kommunikation innebär.
Alla intervjuade lärarna beskriver relevans för eleverna muntligt till exempel genom att förklara vad ”... man ska med matematiken till.” eller ta ”... exempel på tavlan.”.
Hur säger sig lärare arbeta med de matematiska förmågorna med eleverna?
De intervjuer som genomförts tyder på att de olika förmågorna behandlas på olika sätt.
Samtliga intervjuade lärare anser att förmågan begrepp är något som tränas
kontinuerligt i klassrummet och de är även eniga om att detta till stor del utförs muntligt.
Exempel på sätt att arbeta med begrepp är att gemensamt lösa och diskutera övningar ur boken, ordlistor och glosförhör. En lärare svarar ”Diskussioner tillsammans, uppgifter att träna på i bok och på löspapper. Ordlistor.”.
Samtliga intervjuade lärarna anger att förmågan procedur tränas genom att lösa olika uppgifter, antingen gemensamt eller enskilt. Två av lärarna berättar att de visar ett eller flera lösningsförslag, alltså sätt att komma fram till svaret. Detta följs av att eleverna sedan själva får träna på liknande uppgifter. En lärare har valt att dela ut steg-för-steg-instruktioner för olika procedurer en annan lärare låter eleverna delta vid tavlan då proceduren gås igenom.
Det framkommer att lärarna arbetar med förmågan problemlösning på olika sätt.
Exempel på arbetssätt är gruppövningar och diskussioner, nivågraderade uppgifter och uppgifter med flera möjliga svar. En lärare anser att denna förmåga övas genom att eleven väljer procedur och begrepp som krävs för att kunna lösa en uppgift. En lärare berättar att:
”Eleverna måste själva tänka efter hur de ska lösa problemet. Omsätta procedur och begreppsförmågan för att lösa problemet.”. Alla lärare är eniga om att förmågan tränas via muntliga eller skriftliga övningar.
Arbetet med matematiska modeller sker sparsamt. Det framkommer att två lärare inte ägnar någon planerad tid till att arbeta med matematiska modeller. Resterande tre lärare låter eleverna arbeta med uppgifter, enskilt och i grupp, för att sedan jämföra deras väg till svaret.
En lärare svarar att den ”... ger eleverna möjlighet att träna flera metoder.”.
Alla av de intervjuade lärarna arbetar med resonemang via muntliga diskussioner utifrån givna uppgifter både individuellt eller i grupper. En lärare berättar att arbetet med denna förmåga sker via att ”man säger ofta inte svaret utan försöker ställa frågor till eleverna som gör att de får fundera.”.
Förmågan kommunikation tränas muntligt eller skriftligt av samtliga lärare. Tre av lärarna påtalar den muntliga kommunikationen och två den skriftliga kommunikationen mest i svaren. Exempel på den muntliga kommunikationen är via samtal i grupp och motiveringar i klassrummet. Den skriftliga kommunikationen ska enligt lärarna vara lätt att följa och ett
28 korrekt matematiskt språk ska användas. Dessutom påtalas vikten av att det är snyggt
uppställt. Två lärare påtalar vikten av korrekta lösningar gentemot bedömning betygsmässigt som exempelvis ”Ni får inte betyg om ni inte skriver svar och uträkningar.” eller att det ”Kan vara det som kan utvecklas mest mot ett högre betyg.”.
Tre av lärarna arbetar med relevans genom att försöka anknyta matematiken till
elevernas vardag. Exempelvis beskriver en lärare att övningar som relaterar till ett annat ämne som kemi, fysik eller elämnen används. En annan lärare använder uppgifter av
verklighetsbaserad karaktär som exempelvis lån och mobiltelefonabonnemang. Två av lärarna upplever att det är svårt att få in relevansen naturligt i undervisningen. Det är svårt att
”... relatera till elevernas verklighet, men där det går försöker jag hålla en diskussion kring varför det är viktigt att kunna matematik.”.
29
Diskussion
I detta arbete har vi undersökt hur några olika lärare i matematik uppfattar och förmedlar de sju olika förmågorna inom ämnet. Denna diskussion utgår från undersökningens
frågeställningar vidare till vilken relevans det har för andra lärare och avslutas med våra egna tankar, åsikter och erfarenheter.
Hur beskriver lärare de olika förmågorna?
För förmågan begrepp saknas höga överensstämmelser med Skolverkets formuleringar bland de intervjuade lärarna, endast måttliga överensstämmelser finns. Svar som skapa, förstå och använda tyder på att lärarna tänker på förmågan begrepp som ordförståelse och missar därför infallsvinklar som exempelvis samband och egenskaper.
Procedur är en förmåga där endast en lärare har en hög överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan. Forskning visar och våra erfarenheter är att procedurer är det som tränas mest i skolan. Av den anledningen är det lätt att tänka att fler lärare borde ha en hög överensstämmelse för just denna förmåga. Anledningen till att just procedurer är så vanligt förekommande i undervisningen kan exempelvis bero på traditioner i undervisningen eller läroböckernas utformning. En lärare använder ordet algoritm i sin beskrivning av procedur. Ordet kan användas för procedurträning eller tillvägagångssätt, till exempel vid uppställning av en addition eller en ekvationslösning. Det är förvånande att inte fler lärare använder detta ord. Kanske det beror på att lärarna kopplar det till uppställningar som anses tränas tidigare i skolsystemet och inte så mycket på gymnasiet?
Problemlösning betonas i ämnesplanen men vår analys visar att lärarnas beskrivningar har en låg överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan. Lärarnas
beskrivningar verkar sprida sig inom förmågans ramar, från metodval till igenkänningsfaktor.
Kanske lärarna anser att ej standardkaraktär eller förenkla är självklara inom problemlösning och därför inte nämner dessa.
I analysen för modellering bedöms ingen lärare ha en hög överensstämmelse med Skolverkets formuleringar av förmågan. Det finns inte några gemensamma förklarande ord bland lärarnas svar. En anledning till detta kan vara att lärare inte tänker på modellering som begrepp utan istället som ett moment i en procedur.
Förmågan resonemang beskrivs av de intervjuade lärarana med ord som resonera och prata. Vår känsla är att ordet resonera känns som ett självklart ordval då dess samhörighet med förmågan är tydlig. Däremot funderar vi över vad lärarna egentligen menar med att resonera då ordet har en vid betydelse, som exempelvis fundera kring, utbyta tankar eller samtala.
När de intervjuade lärarna beskriver förmågan kommunikation använder de ord som skriva och samtala. Valen av ord känns för oss som naturliga eftersom det skrivna språket av tradition alltid varit framträdande inom matematiken. De nationella proven har numera en muntlig del vilket gör att talet som förmåga uppmärksammas mera nu än tidigare. Vi funderar kring varför ordet symboler inte nämns av fler än en lärare då dessa möjliggör en effektiv och tydlig skriftlig kommunikation. Vi tror att lärare som beskriver förmågan kommunikation som att skriva anser att symbolhanteringen är en självklar del av det skriftliga språket och därför inte nämner detta.
30 Relevans visade sig svår att beskriva. Att ingen lärare bedömdes ha en hög
överensstämmelse och två lärare bedömdes ha en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar visar att denna förmåga är knepig att förstå. Det känns för oss inte så konstigt
överensstämmelse och två lärare bedömdes ha en måttlig överensstämmelse med Skolverkets formuleringar visar att denna förmåga är knepig att förstå. Det känns för oss inte så konstigt