VERKLIGHETSANKNYTNING 12 Krävs en modellering eller är en modell given?
11. Presenteras representationsövergångar med eller utan förklaringar?
6.1 Resultatet kopplat till litteraturen
Harels (1987) sammanställning slog fast att elevers förståelse påverkades av läromedlen. Flera elever angav denna ökade förståelse som ett skäl för att läsa teoriavsnitten. Vad som var oväntat var dock att elever med höga ambitioner läste teoriavsnitt i nästan samma utsträckning som stickprovet som helhet. Man kunde ha förväntat sig att ambitiösa elever anstränger sig betydligt mer med läsning av teorin för att uppnå de högt ställda kraven på betygen B och A. En möjlig förklaring till detta felaktiga antagande presenteras av Hattie (2014, s.53), som beskriver ambitiösa elever och deras syn på lärande på följande sätt:
Eleverna menade att lärande för dem i första hand innebar att visa fram kunskaper som handlade om att återge undervisat material för att få högsta möjliga betyg på sina prestationer […] Eleverna styrdes mer av de uppgifter och prov som lärarna och skolorna gav dem […] var eleverna mycket strategiska genom att koncentrera sig på att skaffa sig tillräckligt med ytlig kunskap och sådan djupare förståelse som behövdes för att genomföra uppdrag och klara prov.
Denna beskrivning kan möjligtvis stämma in på de ambitiösa eleverna i mitt stickprov, och spår av denna beskrivning kan läsas i ett av svaren på lärarenkäten. Ena förklaringen till varför elever inte läste teoriavsnitt var att de istället lade sitt “fokus på uppgiftsräknande”.
Eleverna som deltog i enkätundersökningen läste teoriavsnitt i större utsträckning än vad som förväntats av lärarna. Detta kan innebära att lärarnas förväntningar på eleverna är lägre än de borde vara, vilket kan påverka elevernas resultat negativt enligt Hattie (2014). Även elevernas
språkkunskaper underskattades av lärarna. Endast en lärare trodde att eleverna skulle uppleva språket som någorlunda lätt, medan mer än 50 % av eleverna med erfarenhet av teoriavsnitt lutade åt att språket var lätt. Utifrån min analys av elevernas läromedel, framstår det tydligt att samtliga teoriavsnitt och filmer blandar vanligt språk och matematiska termer för att öka förståelsen. På detta område kanske läromedelsskapare som riktar sig till gymnasieelever kommit ganska långt, vilket kan möjliggöra att lärare i större utsträckning än idag kan rekommendera eleverna att de använder läromedlen i sina självstudier. Dock krävs en rekommendation från lärarna om vilka läromedel som lämpar sig för självstudier, eftersom alla internetresurser inte erbjuder lika många lösningsförslag, representationsformer och tillämpningar. Detta var när allt kommer omkring en av skolans ansvar enligt Skolverket (2011, s.15). Lärare får helt enkelt välja att utforma egna läromedel, som håller måttet, eller göra ett urval som hjälper eleverna hitta kvalitet. Annars tvingas eleverna
leta fram material på egen hand. Risken är då att de lägger onödig tid på att leta, tittar på ineffektiva filmer eller också väljs teoriavsnitten − precis som en av eleverna föreslog − eftersom de helt enkelt inte hittar tillräckligt bra filmer.
Utifrån analysen av läromedlen syns det tydligt att det finns flera filmer och teoriavsnitt som för all del har kvaliteter men som inte tar hänsyn till alla de framgångsfaktorer som framkommit i den tidigare forskningen. Rektorer och lärare måste således lyfta fram de läromedel, som bland annat innehåller representationsformer med potential att nå den bredd av elever som Jao (2012, s.5) ser i dagens mångkulturella klassrum. Elever bör alltså erbjudas olika läromedel eller åtminstone läromedel med ett brett register av representationsformer och förklaringsmodeller. När nu flera av dagens läromedel övergår till att blir digitala, finns färre motiv för att hålla ner sidantalet genom att spara in på beskrivningar och illustrationer. I e-böcker kan man således använda sig av fler visuella inslag som kan öka förståelsen och − såsom en av eleverna skrev i enkäten − använda “bilder som ord inte kan beskriva”. I en e-bok kan man dessutom kosta på sig utrymme med humoristiska bilder som har föga instruktiva egenskaper − om man anser att sådana hör hemma i en
matematiklärobok. Man kan också inkludera citat från gamla läroböcker för en historisk/språklig återblick, utan att för den sakens skull betrakta sådana avsnitt som instruktioner för eleverna. Att låta förklaringar från en 1800-talsbok ersätta det moderna språket, såsom Matematik 5 000 1c (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne, 2015, s.110) gjorde, kan ifrågasättas då svåra ord kan leda till att läsare utestängs (Riesbeck, 2008).
I läromedelsanalysen var det endast en liten andel av materialen som inkluderade tillämpningar som ledde fram till tecknandet av en ekvation. Detta styrker den bild som målades upp i Skolverkets (2016 b, s.64, 76; 2016 a, s.78) TIMSS-rapporter, där verklighetsanknytningen utgjorde en liten del av undervisningen i såväl grundskolan som på gymnasiet. Varför tillämpningar används i liten utsträckning i klassrummen, har denna studie inget svar på, då majoriteten av läromedlen omfattade åtminstone någon form av tillämpning. Kanske kan det bero på att forskningen enligt Hattie (2014, s.199-201, 204, 235) inte gett någon tillräckligt samlad bild för att lyckas övertyga läromedelsskapare och lärare om verklighetsanknytningens styrkor när det kommer till just laborativa inslag och tillämpningar. I läromedelsanalysen framkom dock flera vinster med
vardagsanknytning, då läromedelskaparna på detta sätt effektivt och naturligt fick med vardagligt språk, liknelser, andra representationsformer än språk och symboler samt förklaringar av
representationsformer.
Tillämpningar kan också kopplas till problemlösning, som Samuels et al. (2016, s.103-104) berör. Problemet som de noterade var att flera elever fick en ensidig bild av ekvationslösning om man inte betonade textbaserade problem. Visst kan man arbeta med textbaserad problemlösning utan att blanda in vardagen, men då går man emot dels den historiska relationen mellan matematik och samhälle (Johansson, 2015), dels ett av syftena med skolmatematiken enligt Niss (2005). Även Boonen et al. (2016) knyter an till betydelsen av att lösa textproblem och framhåller hur flera
problemlösning. Om vi kan enas om bilden av matematiken som en komplex vetenskap som integrerar flera förmågor, bör vi också enas om att materialet vi tar del av bör vara brett nog att täcka in så många aspekter av matematiken som möjligt. Ställs man dessutom inför det faktum att matematiklektioner är korta enheter som rymmer ett begränsat antal moment − kanske bara ett teoriavsnitt i en lärobok − känns det rimligt att man får in kopplingar till vardagen i varje avsnitt, så att det inte riskerar gå flera lektioner/avsnitt innan eleverna stöter på vardagskopplingen igen.
Verklighetsanknytningen nämndes å andra sidan inte av eleverna i enkätundersökningens fritextsvar. Det var snarare språket och representationsformerna som framstod som viktiga. Kombinationen ord och bild − som även nämns av Ioannou et al. (2017, s.58) − var ett mycket uppskattat innehåll i filmerna. Enligt Lessani et al. (2014) fyllde just bilder en viktig roll i introduktionen av nytt stoff, men inget av de analyserade teoriavsnitten använde bilder i
pedagogiskt syfte, varför styrkorna med textformat inte används fullt ut. Det unika elevargumentet för att se filmklipp − att de innehåller bilder − stämmer alltså överens med resultatet för de
analyserade film- och teoriavsnitten.
Flera filmer och teoriavsnitt var faktiskt ganska lika, varför det blir svårt att ange vad som gör att det ena läromedlet upplevs effektivt av elever och det andra mindre effektivt. Kanske är det så att det faktum att inspelade föreläsningar liknar lärargenomgångar räcker för att göra dem populära. Att filmskaparen pekar med pennan eller ritmarkören kanske är tillräckligt för att “hjälpa eleverna att koppla samman verbala och visuella förklaringar” såsom Hattie (2014, s.280) uttryckt sig. Men om det är dessa inslag som gör att elever beskrev just filmklipp som “pedagogiska” är svårt att avgöra. Vanan i att lyssna till en lärares röst upplevs kanske som mer betydelsefull än hjälpmedlen som lärarna använder i presentationen? En del av eleverna föredrog ju till och med en annan typ av läromedel än vad de trodde var effektivast, vilket talar för att frågan om elevpreferenser är komplex.
Även om jag inte avsåg bedöma vissa faktorer, så måste det ändå poängteras att en behaglig och entusiasmerande röst i filmerna gjorde stor skillnad för intrycket − en begreppstung framställning kunde till och med framstå som enkel i språket om filmskaparen levererade presentationen på ett karismatiskt sätt. Således kan det vara svårt att avgöra exakt vad som är bra enligt eleverna, eftersom de kan uppskatta något helt annat än jag själv. Samma svårighet att förutsäga elevernas reaktion hade lärarna, som hade ganska låga förväntningar angående elevernas förmåga att läsa teoriavsnitt. Dock hade de en god fingertoppskänsla när det kom till att avgöra vilken form av läromedel som eleverna föredrog.
En observation som bör nämnas är att få alternativa lösningsmetoder presenterades − endast inspektionsmetoden och allmän metod. Detta stödjer bilden att det finns en konsensus bland läromedelsskapare och lärare om vilka metoder och representationsformer som är viktigast
att lära ut (Buchbinders et al., 2015, s.7). Nackdelen med detta är att vissa lösningsmetoder, såsom att finna skärningspunkter mellan grafer, inte kommer eleverna till del även om de i litteraturen bedömts som effektiva (Fonger et al. 2018, s.30; Baratta, 2011, s.7-8).
6.2 Slutsats
Studien har bidragit med kunskap om gymnasieläromedels framställning av ekvationslösning samt elevers uppfattningar av teoriavsnitt i såväl text- som filmformat. En majoritet av eleverna som deltog i enkätundersökningen valde filmklipp före teoriavsnitt i läroböcker. De flesta av elevernas matematiklärare väntade sig ett sådant resultat. Skillnader mellan teoriavsnitt i text och inspelade föreläsningar kunde identifieras för samtliga framgångsfaktorer som nämns i den tidigare
forskningen. Språk och representationsformer var dock faktorerna som utgjorde den gemensamma nämnaren för didaktikforskningen och elevönskemålen. För att eleverna lättare ska hitta material av hög kvalitet, bör den undervisande läraren rekommendera lämpliga filmklipp, så att elevers
självstudier kan underlättas och få bättre effekt.
6.3 Förslag till fortsatt forskning
Då det finns flera saker som är effektiva för lärandet är det rimligt att skolan erbjuder de alternativ som eleverna med störst säkerhet väljer. Jag upplever därför att denna typ av kombinationsstudie − där såväl forskning som uppfattningar undersöks − är viktig. Därför föreslås liknande studier som:
● är generaliserbara.
● omfattar fler eller andra områden av matematiken. ● omfattar fler eller andra läromedel.
Annan forskning skulle kunna:
● genomföra en bredare litteraturstudie för att ta fram ännu skarpare ramverk för författare och filmskapare att använda i processen att ta fram läromedel.
● fördjupa sig i den begränsade användningen av visuella representationsformer som framkom i såväl litteraturen som i läromedelsanalysen. Exempelvis skulle man kunna utreda hur lärarstudenterna vid svenska lärosäten hanterar visuella representationsformer. ● utreda om historiska och språkliga anknytningar har effekt på elevers matematikstudier. ● undersöka effekten av CAS-verktyg och grafritare på elevers lärande vid introduktionen av
ekvationslösning.
● avgöra vad som utgör hög respektive låg nivå av tillämpningar, färganvändning mm. ● utforska vilka läromedel lärare anser effektivast för elevers lärande, eftersom varken
Läromedel
Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne (2015). Matematik 5 000 1c. Stockholm: Natur & Kultur
Dahlgren, M. [Larardalle]. (2015, 9 oktober). Matematik 1b Sammanfattning Kapitel 3 [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/Y5gAY0s7wTA
Khan Academy [Khan Academy]. (2010, 15 september). Solving a more complicated equation [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/XoEn1LfVoTo
Khan Academy [Khan Academy]. (2012, 9 februari). The beauty of algebra [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/kpCJyQ2usJ4
Matematikvideo.se [Matematikvideo]. (2011, 22 augusti). Ekvationer − så fungerar dom [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/eD-4R6Zh_ak
Matematikvideo.se [Matematikvideo]. (2011, 22 augusti). Lösa ekvationer − Metod
Ekvationslösning [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/7AXFSBvS6XA
Mattecentrum. (2016, 4 september). Ekvationslösning − Algebra − Steg 1 [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/5s2s6bYpx6U
Mattecentrum (-). Formler och ekvationer. Hämtad 2018-05-11, från
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/formler-och-ekvationer
Mattecentrum (-). Uttryck och variabler. Hämtad 2018-05-11, från
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler
Nilsson, D. [Daniel Nilsson]. (2014, 6 oktober). Dalles matte − Algebra [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/62T8Qn4Ycf0
Nilsson, D. [Daniel Nilsson]. (2014, 6 oktober). Dalles matte − Ekvationer [Videofil]. Hämtad från https://youtu.be/0af8MAoA97s
Sundvall, B. [Börje Sundvall]. (2013, 30 september) Matematik 1 (1a, 1b, 1c,) − Ekvationslösning
Referenslista
Alvey, C., Hudson, R. A., Newton, J., & Males, L. M. (2016). Secondary Pre-Service Teachers’ Algebraic Reasoning About Linear Equation Solving. The Journal, 1 (September), 1-16. Tillgänglig: https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1115162.pdf
Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching - What Makes It Special?. Journal of Teacher Education, 59(5), 389-409. Tillgänglig:
http://journals.sagepub.com.ezproxy.bib.hh.se/doi/pdf/10.1177/0022487108324554
Baratta, W. (2011). Linear Equations: equivalence = success. Australian Mathematics Teacher,
67(4), 6-11. Tillgänglig: https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ956712.pdf
Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (2014). Algebra för alla. Bohus: NCM/Nämnaren.
Björkqvist, O. (2005). Matematisk problemlösning. I B. Grevholm (Red.), Matematikdidaktik −
ett nordiskt perspektiv (s.115-132). Lund: Studentlitteratur.
Boonen, A. J. H., Reed, H. C., Shoonenboom, J., & Jolles, J. (2016). It’s not a math lesson − we’re learning to draw! Teachers’ use of visual representations in instructing word problem solving in sixth grade of elementary school. Frontline Learning Research, 4(5), 55-82. doi:
http://dx.doi.org/10.14786/flr.v4i5.245
Bringsrud Fekjær, S. (2016). Att tolka och förstå statistik. Malmö: Gleerups Utbildning AB
Buchbinder, O., Chazan, D., & Fleming, E. (2015). Insights into the school mathematics tradition from solving linear equations. For the Learning of Mathematics, volym 35(2), 2-8. Tillgänglig: http://flm-journal.org/Articles/36150A50EA49573571336BD71678E5.pdf
Eklund, M. (2008). Interkulturellt lärande − Intentioner och realiteter i svensk grundskola sedan
1960-talets början. (Doktorsavhandling, 2003:34). Luleå: Luleå tekniska universitet. Tillgänglig:
http://ltu.diva-portal.org/smash/get/diva2:990384/FULLTEXT01.pdf
Ellmin, R. (2011). Elevens lärande − att erbjuda möjligheter. Stockholm: Liber AB
Flipped classroom. (2018, 4 januari). I Wikipedia. Hämtad 2018-01-08, från https://en.wikipedia.org/wiki/Flipped_classroom
Fonger, N. L., Davis, J. D., & Rohwer, M. L. (2018). Instructional Supports for Representational Fluency in Solving Linear Equations with Computer Algebra Systems and Paper-and-Pencil.
School Science and Mathematics, 118(1-2), 30-42. https://doi.org/10.1111/ssm.12256
Grevholm, B. (2005). Läraren som forskare i matematikdidaktik − Några exempel och reflektioner. I B. Grevholm (Red.), Matematikdidaktik − ett nordiskt perspektiv (s.257-274). Lund:
Studentlitteratur.
Hansson, Ö. (2012). Lärarstudenters syn på funktioner. I G. Brandell, B. Grevholm, K. Wallby, & H. Wallin (Red.), Matematikdidaktiska frågor − resultat från en forskarskola (s. 42-55). Bohus: NCM och SMDF.
Harel, G. (1987). Variations in Linear Algebra Content Presentations. For the Learning of
Mathematics, 7(3), 29-32. Tillgänglig:
http://www.math.ucsd.edu/~harel/publications/Downloadable/Variations%20in%20Linear%20 Algebra%20Content%20Presentations1.pdf
Hattie, J. (2014). Synligt lärande − en syntes av mer än 800 metaanalyser om vad som påverkar
elevers skolresultat. Stockholm: Bokförlaget Natur & Kultur.
Hjerm, M., Lindgren, S., & Nilsson, M. (2016). Introduktion till samhällsvetenskaplig analys. Malmö: Gleerups
Holmquist, M., & Pettersson, A. (2015). Bedömning för undervisning och lärande. I Skolverket (Red.). Bedömning för lärande och undervisning i matematik − Del 1 Bedömning för undervisning
och lärande. Hämtad 2017-11-01, från
https://larportalen.skolverket.se/webcenter/larportal/api-v2/document/path/larportalen/material /inriktningar/1-matematik/Gymnasieskola/442_bedomningforlarandeochundervisningimatemati k%20GY/1_bedomningforundervisningochlarande/1.%20Bedömning%20för%20undervisning%2
0och%20lärande.pdf
Ioannou, P., Rodiou, E. & Iliou, T. (2017). Pictures with narration versus pictures with on-screeen text during teaching mathematics. Research in Pedagogy, 7(1), 57-68. doi: 10.17810/2015.48.
Jao, L. (2012). The Multicultural Mathematics Classroom: Culturally Aware Teaching through Cooperative Learning & Multiple Representations. Multicultural Education, 19(3), 2-10. Tillgänglig: https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1001529.pdf
Johansson, M. (2012). Om läroböcker och matematikundervisning. I G. Brandell, B. Grevholm, K. Wallby, & H. Wallin (Red.), Matematikdidaktiska frågor − resultat från en forskarskola (s. 56-72). Bohus: NCM och SMDF.
Johansson, B. O. (2015). Matematikens historia. Lund: Studentlitteratur AB.
Juter, K. (2012). Studenter lär sig gränsvärden. I G. Brandell, B. Grevholm, K. Wallby, & H. Wallin (Red.), Matematikdidaktiska frågor − resultat från en forskarskola (s. 74-90). Bohus: NCM och SMDF.
Kinnari-Korpela, H. (2014). Using Short Video Lectures to Enhance Mathematics Learning – Experiences on Differential and Integral Calculus Course for Engineering Students. Informatics in
Education, 14(1), 67-81. doi: http://dx.doi.org/10.15388/infedu.2015.05
Lessani, A., Yunus, A. S., Tarmiz, R. A., & Mahmud, R. (2014). Why Singaporean 8th Grade Students Gain Highest Mathematics Ranking in TIMSS (1999-2011). International Education
Studies, 7(11), 173-181. doi:10.5539/ies.v7n11p173
Nilsson, P. (2012). Elever resonerar om sannolikhet. I G. Brandell, B. Grevholm, K. Wallby, & H. Wallin (Red.), Matematikdidaktiska frågor − resultat från en forskarskola (s.106-119). Bohus: NCM och SMDF.
Niss, M. (2005). Mål för matematikundervisningen. I B. Grevholm (Red.), Matematikdidaktik −
ett nordiskt perspektiv (s.51-90). Lund: Studentlitteratur.
Patel, R., & Davidson, B. (2017). Forskningsmetodikens grunder − Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur AB
Riesbeck, E. (2008). På tal om matematik − Matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen. (Avhandling, 129). Linköping: Institutionen för
Beteendevetenskap och lärande Linköpings universitet. Tillgänglig: http://liu.diva-portal.org/smash/get/diva2:17750/FULLTEXT01.pdf
Samuel, K., Mulenga, H. M., & Angel, M. (2016). An Investigation into Challenges Faced by Secondary School Teachers and Pupils in Algebraic Linear Equations: A Case of Mufulira District, Zambia. Journal of Education and Practice, 7(26), 99-106. Tillgänglig:
Skolverket (2011). Läroplan för gymnasieskolan 2011, examensmål och gymnasiegemensamma
ämnen. Hämtad från
https://gul.gu.se/public/pp/public_noticeboard_attachment/fetch?messageId=736547&fileId=1 8894498
Skolverket. (2016 a). TIMSS Advanced 2015 − Svenska gymnasieelevers kunskaper i avancerad
matematik och fysik i ett internationellt perspektiv. Hämtad från:
https://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskild-publikation?_xurl_=http%3 A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FBlob%2 Fpdf3708.pdf%3Fk%3D3708
Skolverket. (2016 b). TIMSS 2015 − Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Hämtad från:
https://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskild-publikation?_xurl_=http%3 A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FBlob%2 Fpdf3707.pdf%3Fk%3D3707
Skolverket. (2017). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet REVIDERAD
2017. Hämtad från:
https://www.skolverket.se/om-skolverket/publikationer/visa-enskild-publikation?_xurl_=http%3 A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FBlob%2 Fpdf3813.pdf%3Fk%3D3813
Svenska Akademien. (2018). Svensk ordbok. Hämtad 2018-08-25 från https://svenska.se/tre/?sok=spr%C3%A5k&pz=1
Thurfjell, K. (2016, 19 december). Forskarnas 5 råd för den perfekta läxan. Svenska Dagbladet, s.11.
Torst, J. (2006). Enkätboken. Lund: Studentlitteratur
Ulin, B. (2005). Mer matematik i skolmatematiken. I B. Grevholm (Red.), Matematikdidaktik −
ett nordiskt perspektiv (s.275-292). Lund: Studentlitteratur.
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer − inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning. Hämtad från:
https://www.gu.se/digitalAssets/1268/1268494_forskningsetiska_principer_2002.pdf
Wahlström, N. (2016). Läroplansteori och didaktik. Malmö: Gleerups.
Wistedt, I. (2005). Rum för samtal. I B. Grevholm (Red.), Matematikdidaktik − ett nordiskt
perspektiv (s.219-229). Lund: Studentlitteratur.