En metod som är lämplig att använda i SVP vid stora och komplexa optimeringsproblem är heuristiker, eftersom de genererar en tillåten lösning på en begränsad tid. Dock finns inga garantier för att den optimala lösningen hittas, vilket gör att metoden inte är användbar om den optimala lösningen måste hittas. För att kunna optimera över fler målfunktioner samtidigt är de lämpligt att använda MOP. Inom produktion kan det vara viktigt eftersom MOP gör det möjligt att optimera på exempelvis kapacitet och resurser samtidigt. JSP är också användbart eftersom det syftar till att tilldela ett antal jobb till en uppsättning av maskiner.
I en matematisk modell anpassad till Saabs verksamhet bör det tas hänsyn till följande faktorer: • Alla aktiviteter som ingår i produktionsstrukturen och precedenskrav.
• Minsta och maximala tillåtna ledtid för varje aktivitet. • Antal jiggar per aktivitet.
• Information om teknikutbyten som ska inkluderas.
• Antal order som ska tillverkas och leveransdatum för dessa.
Eftersom en del av arbetet syftar till att ta fram en matematisk modell och utifrån den skapa en optimeringsalgoritm är det även viktigt att inkludera alla delar i det ramverk som bygger upp SVP- processen för att uppnå så bra resultat som möjligt inom SVP. Ett optimeringsverktyg som inte är integrerat med övriga processer ger troligtvis inte så stor nytta för företaget i helhet.
6 Matematisk modell
I detta kapitel besvaras F4, som handlar om hur den matematiska modellen ser ut för Saab. Modellen som tagits fram med hjälp av litteraturen och empirin samt en fiktiv produktionsstruktur och avgränsningar för modellen.
Figur 11 visar en fiktiv produktionsstruktur där rutorna symboliserar de olika aktiviteterna som ingår. Strukturen visar också i vilken ordning som aktiviteterna måste genomföras, exempelvis måste aktivitet 17 och 18 genomföras innan aktivitet 16 och aktivitet 3 och 10 kan ske samtidigt. Vissa aktiviteter kan som tidigare nämnt ske på andra fabriker. Om aktivitet 1 på en order tillhör ett teknikutbyte, bidrar det till att den ordern inte kommer ha aktivitet 1 som slutprodukt, utan aktivitet 2. Varje aktivitet har en uppsättning av jiggar som endast kan användas för just den aktiviteten. Detta visas också i rutorna i Figur 11, där till exempel aktivitet 1 har två stycken jiggar som benämns 1 och 2, detta visas i figuren som KJ1: 1,2. Det betyder att två order kan tillverkas
på aktivitet 1 samtidigt. Ledtiden för en aktivitet är alla dagar från starttiden till sluttiden. Till exempel om en aktivitet startar dag 20 och slutar dag 25 har denna en ledtid på sex dagar, då den produceras dag 20, dag 21 och så vidare. Detta betyder också att nästa aktivitet för denna order inte kan påbörja förens dag 26.
I Tabell 3, Tabell 4, Tabell 5 och Tabell 6 presenteras index, set, parametrar och variabler som används i den matematiska modellen.
Tabell 3 - Definiering av index
Index Förklaring
𝒊, 𝒋 Index för order 𝒑, 𝒒 Index för aktivitet 𝒌, 𝒍 Index för jigg
Tabell 4 - Definiering av set
Set Förklaring
𝑰 Alla order 𝑷 Alla aktiviteter 𝑲 Alla jiggar
𝑳𝒊 Sista aktiviteten för order 𝑖 ∈ 𝐼
𝑲𝑱𝒑 Jiggar som kan genomföra aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 𝑶𝑺 Alla order som färdigställs på Saab 𝑹𝒊 Följare-föregångare par på order 𝑖 ∈ 𝐼
𝑭𝑼 Order med teknikutbyte som kommer till Saab 𝑻𝑼 Order med teknikutbyte som skickas från Saab 𝑼 Alla order med något typ av teknikutbyte
𝑶𝒊 Aktiviteter som ska genomföras på Saab för order 𝑖 ∈ 𝐼 𝑶𝑼𝒊 Aktiviteter som inte ska genomför på Saab för order 𝑖 ∈ 𝑈
𝑶𝑼𝑭𝒊 Aktiviteten som ska genomföras precis innan order 𝑖 ∈ 𝑇𝑈 skickas utomlands
Tabell 5 - Definiering av parametrar
Parameter Förklaring
𝑴 Stort tal
𝑷𝒎𝒊𝒏𝒑 Minsta ledtiden som aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 kan utföras på 𝑷𝒎𝒂𝒙𝒑 Maximala ledtiden som aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 kan utföras på 𝑫𝑺𝒊 Dag då order 𝑖 ∈ 𝐹𝑈 återvänder till Saab
𝑫𝑺𝑳𝒊 Dag då order 𝑖 ∈ 𝑇𝑈 ska skickas iväg från Saab 𝑫𝒊 Dag då order 𝑖 ∈ 𝑂𝑆 ska vara leveransklar på Saab
𝑽𝟏 Viktningskoefficient 1 𝑽𝟐 Viktningskoefficient 2
Tabell 6 - Definiering av variabler
Variabler Förklaring
𝑺𝒊𝒑𝒌 Starttiden för order 𝑖 ∈ 𝐼 på aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 på jigg 𝑘 ∈
𝑺𝑳𝒊𝒑𝒌 Sluttiden för order 𝑖 ∈ 𝐼 på aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 på jigg 𝑘 ∈ 𝐾
𝑻𝒊𝒑𝒌 31, 𝑜𝑚 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡 𝑝 ∈ 𝑃 𝑎𝑣 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑖 ∈ 𝐼 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑑𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑗𝑖𝑔𝑔 𝑘 ∈ 𝐾 0, 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠 𝒀𝒊𝒋𝒑𝒌 h 1, 𝑜𝑚 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡 𝑝 ∈ 𝑃 𝑎𝑣 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑖 ∈ 𝐼 𝑓ö𝑙𝑗𝑒𝑟 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡 𝑝 ∈ 𝑃 𝑎𝑣 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑗 ∈ 𝐽 𝑝å 𝑗𝑖𝑔𝑔 𝑘 ∈ 𝐾 0, 𝑎𝑛𝑛𝑎𝑟𝑠
𝑷𝑻𝒊𝒑𝒌 Ledtiden för order 𝑖 ∈ 𝐼 på aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 på jigg 𝑘 ∈ 𝐾
𝑺𝑱𝒑𝒌 Tid då första produktionen av aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 sker på jigg 𝑘 ∈ 𝐾 𝑺𝑳𝑱𝒑𝒌 Tid då sista produktionen av aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 sker på jigg 𝑘 ∈ 𝐾
𝑮𝑳𝒑𝒌 Tiden mellan produktion av aktivitet 𝑝 ∈ 𝑃 på jigg 𝑘 ∈ 𝐾
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎: 𝑉!mn n 𝐺𝐿+$ $∈-.! +∈/ q − 𝑉0mn n n 𝑃𝑇1+$ $∈-.! +∈/ 1∈2 q (1) 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎: 𝑉!mn n 𝐺𝐿+$ $∈-.! +∈/ q + 𝑉0mn n 𝐺𝑂1+ +∈/ 1∈2 q (2) 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎: 𝑉!mn n 𝐺𝑂1+ +∈/ 1∈2 q − 𝑉0mn n n 𝑃𝑇1+$ $∈-.! +∈/ 1∈2 q (3) 𝑃𝑇1+$ ≥ 𝑃𝑚𝑖𝑛+∗ 𝑇1+$ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑂1, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (4) 𝑃𝑇1+$ ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥+∗ 𝑇1+$ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑂1, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (5) n 𝑆13$ ≥ n 𝑆𝐿1+4+ 1 ∀ 𝑖 ∈ I, (𝑞, 𝑝) ∈ 𝑅1 4∈-.! $∈-." (6) n 𝑆13$− n 𝑆𝐿1+4 = 𝐺𝑂1+ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, (𝑞, 𝑝) ∈ 𝑅1 4∈-.! $∈-." (7) 𝑆#+$ ≥ 𝑆𝐿1+$− 𝑀*1 − 𝑌1#+$. + 1 ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 𝑑ä𝑟 𝑖 < 𝑗, 𝑝 ∈ 𝑂1 ∪ 𝑂#, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (8) 𝑆𝐿1+$ ≥ 𝑆1+$+ 𝑃𝑇1+$− 1 − 𝑀*1 − 𝑇1+$. ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑂1, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (9) 𝑆𝐿1+$ − 𝑆1+$+ 1 ≤ 𝑃𝑇1+$ + 𝑀*1 − 𝑇1+$. ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑂1, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (10)
𝑆𝐿𝐽+$− 𝑆𝐽+$+ 1 − n 𝑃𝑇1+$ 1∈2 ≤ 𝐺𝐿+$ ∀ 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (13) n 𝑆𝐿1+$ ≤ 𝐷𝑆𝐿1 $∈-.! ∀ 𝑖 ∈ 𝑇𝑈, 𝑝 ∈ 𝑂𝑈𝐹1 (14) n 𝑆1+$ ≤ 𝐷𝑆1 $∈-.! ∀ 𝑖 ∈ 𝐹𝑈, 𝑝 ∈ 𝑂𝑈𝑆1 (15) n 𝑆𝐿1+$ $∈-.! ≤ 𝐷1 ∀ 𝑖 ∈ 𝑂𝑆, 𝑝 ∈ 𝐿1 (16) n 𝑇1+$ = 1 $∈-.! ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑂1 (17) n 𝑇1+$ = 1 $∈- ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑂1 (18) n 𝑇1+$ = 0 $∈- ∀ 𝑖 ∈ 𝑈, 𝑝 ∈ 𝑂𝑈1 (19) 𝑇1+$ + 𝑇#+$ ≥ 2𝑌1#+$ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 𝑑ä𝑟 𝑖 < 𝑗, 𝑝 ∈ 𝑂1 ∪ 𝑂#, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (20) 𝑇1+$+ 𝑇#+$ ≤ 𝑌1#+$+ 1 ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 𝑑ä𝑟 𝑖 < 𝑗, 𝑝 ∈ 𝑂1 ∪ 𝑂#, 𝑘 ∈ 𝐾𝐽+ (21) 𝑆1+$ ≤ 𝑀 ∗ 𝑇1+$ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (22) 𝑆𝐿1+$ ≤ 𝑀 ∗ 𝑇1+$ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (23)
𝑃𝑇1+$ ≤ 𝑀 ∗ 𝑇1+$ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (24) 𝑆1+$, 𝑆𝐿1+$, 𝑃𝑇1+$ ≥ 0 ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (25) 𝑆𝐽+$, 𝑆𝐿𝐽+$, 𝐺𝐿+$ ≥ 0 ∀ 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (26) 𝐺𝑂1+ ≥ 0 ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃 (27) 𝑇1+$ ∈ {0,1} ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (28) 𝑌1#+$ ∈ {0,1} ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 (29)
MOP har använts då denna typ av optimeringsproblem inkluderar att fler målfunktioner optimeras samtidigt. Det resulterar sedan i att fler optimala lösningar fås ut, vilka kallas paretooptimala lösningar, se kapitel 3.11. Även JSP har använts då modellen tilldelar olika order till olika jiggar.
Till den matematisk modellen har tre olika målfunktioner kombinerats på tre olika vis. Detta för att testa alla kombinationer som är möjliga för att väga två målfunktioner mot varandra. Vidare benämns den första kombinationen som målfunktion (1), den andra kombinationen som målfunktion (2) och den tredje kombinationen som målfunktion (3). Målfunktion (1) syftar till att minimera glapptiden per jigg och maximera ledtiden för varje aktivitet. Målfunktion (2) minimerar glapptiden per jigg samt glapptiden mellan olika aktiviteter per order. Målfunktion (3) minimerar glapptiden mellan aktiviteterna per order och maximerar ledtiden för varje aktivitet. Syftet med att minimera glapptiden per jigg är att jiggen ska vara i bruk så mycket som möjligt och målet med att minimera glapptiden per order är att en order ska lagras så lite som möjligt mellan olika aktiviteter. Syftet med att maximera ledtiden är att ledtiderna för respektive aktivitet ska vara så
Bivillkor (4) och (5) säkerställer att ledtiden för varje aktivitet är inom tillåtet tidsintervall. Starttiden för en aktivitet måste vara senare än sluttiden för föregående aktivitet för samma order, detta kontrolleras med bivillkor (6). I bivillkor (7) beräknas glapptiden för en order. Bivillkor (8) ser till att starttiden för nästkommande order på en jigg är senare än sluttiden för föregående order på samma jigg. Sluttiden för varje aktivitet på varje order beräknas med bivillkor (9) och bivillkor (10) beräknar ledtiden. Bivillkor (11) beräknar tiden då en jigg används för första gången och bivillkor (12) när jiggen används för sista gången. Detta används sedan i bivillkor (13) tillsammans med ledtiden för att beräkna den totala glapptiden på jiggarna. Bivillkor (14) säkerställer att den sista aktiviteten som ska genomföras innan en order skickas från Saab färdigställs i rätt tid och bivillkor (15) ser till så att första aktiviteten för en order som återvänder till Saab efter att den processats hos annat företag startas i rätt tid. De order som färdigställs på Saab ska vara leveransklara med jämn takt, vilket styrs med bivillkor (16). Bivillkor (17) säkerställer att en order endast blir tilldelad till en tillåten jigg och bivillkor (18) ser till att rätt jiggar tilldelas. Bivillkor (19) säkerställer att de order vars aktiviteter ska behandlas utanför Saab inte blir tilldelad en jigg. Bivillkor (20) och (21) skapar koppling mellan variabeln 𝑇1+$ och 𝑌1#+$, detta ifall två order blir tilldelade till samma jigg måste ena order komma för den andra. Om en order inte blir tilldelad till en jigg ska starttiden, sluttiden och ledtiden för denna order vara noll, detta säkerhetsställs med bivillkor (22), (23) och (24). Bivillkor (25) – (27) definierar att variablerna måste vara positiva tal och bivillkor (28) och (29) definierar de variabler som måste vara binära.
I kapitel 4 presenterades en ekvation för hur antalet personal som behövs per dag för att färdigställa en order på en aktivitet beräknas med ledtiden som modellen bestämt, se ekvation (3). Antalet personal som behövs per dag beräknas genom att multiplicera den uppskattade aktivitetstiden med kalibreringsfaktorn och sedan dividera det med ledtiden. Eftersom ledtiden är en variabel blir den matematiska modellen olinjär om antalet personal ska räknas ut i modellen, vilket inte är lämpligt. Därför inkluderas inte antalet personal i modellen utan det beräknas utifrån den ledtid som sätts.
I dagsläget använder huvudplaneringen en så kallad inkörningsfaktor för att förlänga ledtiden i och med att de har många nyanställda samtidigt som de ska lära upp brasilianska montörer på grund utav det pågående teknikutbytet. Den matematiska modellen inkluderar dock inte någon inkörningsfaktor.
7 Verktyget i Excel
I detta kapitel presenteras information om verktyget i Excel, hur det skapats, vilka hinder som uppstått under arbetets gång, steg för steg hur verktyget fungerar och vad det genererar för resultat.