Sammanfattning av transposition av praxeologier

I tabellen nedan sammanställer jag vilka kunskapen som elever har lärt sig och visat i samlat underlag mot kunskaper som undervisats. Jag tar inte hänsyn till logos del av min REM för att samlat underlag och möjligheten att bedöma elevernas teoretiska kunskap är begränsad.

Tabell 3. Transposition av praxeologier

Knowledge to be taught Knowledge actually taught Praxis Proportion och förhållande.

Reducera till enheten. Proportionella mängder.

Proportion och förhållande. Uppbyggnadsstrategi (se Elevlösning III.10.a) -

Proportionella sambandet mellan delen, andelen och det hela

Minnesregel med korsvismultiplikation (statisk proportionalitet). 𝑎 𝑏= 𝑐 𝑑 ⇔ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑑

Intern proportionalitet är ett förhållande mellan storheter av samma slag

𝑠 𝑠 =

𝑡 𝑡 Vägen över ett,

Sambandsmultiplikation, Proportion, Korsvis multiplikation, Minnesregel med korsvismultiplikation (statisk proportionalitet). Intern proportionalitet. - Sambandsmultiplikation med procent i decimalform

Proportion skrivs inte tydligt i form av ekvation

Endast som minnesregel (inte som en lösning till en proportion ekvation)

Det står ett streck för vissa tekniker i tabellen för att eleverna inte har visat kunskaper av dem i deras lösningar.

Resultat jag fick stämmer överens med Lundberg (2011) på det vis jag har mest gått genom proportioner som lösningsteknik, medan elever har löst de flesta uppgifter genom multiplikation med en koefficient.

7 Diskussion

Det är svårt att göra en slutsats i denna studie om vilka variabler som påverkade elevernas prestationer (Tourniaire & Pulos, 1985).

I början av denna studien hade jag en förhoppning att introduktion av proportionsmetoden till elever kan bidra till förståelse av begreppet proportionalitet samt ge eleverna ett effektivt problemlösningsverktyg.Dock var den här studien tidsbegränsat och gav ingen möjlighet att arbeta med proportionalitet i flera sammanhang i olika område. Proportionella resonemang är grundläggande för utveckling av algebraiska resonemang och måste utvecklas under längre tid och inte isoleras som ett separat område enligt Lundberg (2011). Det som kan vara av intresse är att integrera proportionalitets begrepp och proportionella resonemang i undervisning av olika område i matematiken med hjälp av REM. Förhoppningsvis kommer proportionalitet att ge elever flera modeller för problemlösning, ge dem en ny syn på matematiken i dess helhet där olika områden hänger ihop samt utveckla deras förståelse för proportionalitet som är ganska komplex att både undervisa och lära sig.

Det kan vara intressant att ändra synvinkeln på introduktion av proportionsmetod och reguladetri till eleverna och studera den som en del av matematikhistoria som ingår i kursplanen. Då kommer eleverna att inse att proportion teknik eller reguladetri är en

gammal metod som går tillbaka till antiken men samtidigt är den en effektiv strategi även idag och kan användas i olika områden i matematiken.

För att planera undervisning med mer fokus på proportionalitet kan man utgå från Lamons kriterier av proportionalitetförståelse (Lamon, 2007) som jag har tidigare presenterat i avsnittet om didaktisk forskning kring proportionalitet.

Som jag har skrivit tidigare väljer elever inte att använda proportionsmetoden på egen hand även om de har lyckats att lösa uppgifter med den tidigare. En av anledningarna till det kan vara att tekniken inte var obligatorisk för dem att kunna, de var vana vid andra metoder som de har lärt sig tidigare. Tekniken ingår inte i kursplanen och vanligtvis används den inte i undervisningen på svenska skolor, den är inte ”legitimerad” eller monumentaliserad av matematiska institutioner. Det kan vara svårt att veta vilka begränsningar som finns och på vilken nivå, för en viss praxeologi. Det verkar som ett väsentligt transpositivt fenomen som går utöver matematisk utbildning och påverkar nästan alla slags praxeologier som undervisas i skolan (Bosch & Gascόn, 2006, s.61). Samtidigt är det upp till lärare att tolka och planera olika aspekter av undervisning och använda läromedel i klassrummet

Efter analysen av elevlösningar och intervyn kom jag på att det skulle vara bättre att skriva proportionella ekvationen på ett enklare sätt och börja med 𝑥 så att den hamnar i täljaren. Till exempel i Uppgift V ovanför är det bättre att skriva proportionen på följande sätt.

𝑥 𝑘𝑟 50000 𝑘𝑟=

100 % 20%

Då kan man lösa ekvationen och bestämma 𝑥 omedelbart genom multiplikation med 50 000 i båda led. Det kan hjälpa elever att lösa linjära ekvationer i en variabel framöver. Resultat av denna studien, som var inspirerad av aktionsforskning, kommer användas för utveckling av min egen praxis och en långsiktig planering av undervisning i olika matematikområde med fokus på proportionalitet.

Referenser

Alfredsson, L., Erixon, P. & Heikne, H., 2011. Matematik 5000 Kurs 1a Röd Lärobok. Stockholm: Natur & Kultur Läromedel.

Alfredsson, L., Erixon, P. & Heikne, H., 2011. Matematik 5000 Kurs 1b Grön Lärobok. Stockholm: Natur & Kultur Läromedel.

Barbé, J., Bosch, M., Espinoza, L. & Gascόn, J., 2005. Didactic restrictions on the teacher’s practice: the case of limits of functions in spanish high schools. Educational Studies in Mathematics, Volym 59, p. 235–268.

Bosch, M. & Gascón, J., 2006. Twenty-five years of the didactic transposition. ICMI Bulletin, Volym 58, pp. 51-65.

Chevallard, Y., 2006. Steps towards a new epistemology in mathematics education. i M. Bosch (Red.), Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for

Research in Mathematics Education (ss. 21-30). Barcelona: Universitat Ramon Llull, pp. 21-30.

Christoffersen, L. & Johannessen, A., 2018. Forskningsmetoder för lärarstudenter. Malmö : Studentliteratur.

Corey, S. M., 1954. Action Research in Education. The Journal of Educational Research, 47(5), pp. 375-380.

Dole, S. L., 1999. Percent knowledge : effective teaching for learning, relearning and unlearning, PhD thesis, Australia: Queensland University of Technology.

Ercole, L. K., Frantz, M. & Ashline, G., 2011. Multiple Ways to Solve Proportions. Mathematics Teaching in the Middle School, Volym 16(8), pp. 482-490.

Florensa, I., Bosch, M. & Gascón, J., 2015. The epistemological dimension in didactics: two problematic issues. CERME 9 - Ninth Congress of the European Society for

Research in Mathematics Education (ss. 2635-2641). Prague, Czech Republic: Charles University in Prague, Faculty of Education.

Freudenthal, H., 1983. Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel Publ. Co..

Garcia, F., Gascón, J., Higueras, L. R. & Bosch, M., 2006. Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics. ZDM, Volym 38(3), p. 226–246.

Hatami, R., 2007. Reguladetri: En retorisk räknemetod speglad i svenska läromedel från 1600-talet till början av 1900-talet. Lic-avh.Växjö: Växjö universitet.

Lamon, S. J., 1949. Teaching Fractions and Ratios for Understanding : Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers. 2012 red. New York : Routledge.

Lamon, S. J., 2007. Rational numbers and proportional reasoning: Toward atheoretical framework for research. i: Second handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the national council of teachers of mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 629-666.

Lundberg, A. L. & Kilhamn, C., 2018. Transposition of Knowledge: Encountering Proportionality in an Algebra Task. International Journal of Science and Mathematics Education, Volym 16, pp. 559-579.

Lundberg, A. L. V., 2011. Proportionalitetsbegreppet i den svenska

gymnasiematematiken: en studie om läromedel och nationella prov. Lic.-avh. Linköping: LiU-Tryck.

Magnusson, J., 2014. Proportionella samband - Innehållets behandling och elevernas lärande. Lic.-avh. Göteborg: Göteborgs universitet.

Miyakawa, T. & Winsløw, C., 2009. Didactical designs for students' proportional reasoning: An "open approach" lesson and a "fundamental situation". Educational Studies in Mathematics, Volym 72(2), pp. 199-218.

Nichlany, F., 2019. PCK Tools. Proportional Reasoning: Student Misconceptions and Strategies for Teaching, u.o.: https://undiksha.academia.edu/FrizikhaNichlany Hämtad 2019.

Olteanu, L., 2011. Proportioner och reguladetri. Nämnaren, Volym 4, pp. 51-56. Perez, M., 2018. A teacher-centred design system to integrate digital technologies in secondary mathematics classrooms. Doktorsavhandling. Växjö: Linnaeus University Press.

Tourniaire, F. & Pulos, S., 1985. Proportional Reasoning: A Review of the Literature. Educational Studies in Mathematics, Volym 16 (2), pp. 181-204.

Bilagor