Studiens kategorier - Är det en utmaning? : En läromedelsanalys om vilka kognitiva utmaningar e

8. Resultatdiskussion

8.2 Studiens kategorier

Studien har utgått från Brändströms (2005) huvudkategori utmaning och haft underkategorierna

memorering, procedur utan koppling, procedur med koppling samt utöva matematik som

analytiska begrepp. Totalt har elva uppgifter kategoriserats som memorering, sex uppgifter som

procedur utan koppling, tre uppgifter som procedur med koppling och noll uppgifter har

33 kategoriseras inom någon av Brändströms (2005) kategorier. Uppgiften krävde att elever enbart läste av den, därför kunde inte uppgiften kategoriseras som Brändströms lägsta kategori för kognitiv utmaning. Uppgiften innebar att Brändströms analysverktyg inte berör alla former av uppgifter. Brändström skapade analysverktyget för att kunna genomföra och finna olika kognitiva utmaningar i olika matematikböcker. Eftersom denna studie presenterar en uppgift som inte kan kategoriseras utifrån analysverktyget kan analysverktyget sägas vara i behov av en uppdatering. Fokus för analysverktyget är att finna olika kognitiva utmaningar i matematikböcker, därför borde uppgifter som denna studie benämner som lägre än memorering tas med i analysverktyget.

Resultatet i denna studie synliggör att majoriteten av uppgifter som berör sambandet mellan multiplikation och division i Pixel 3A och Pixel 3B är uppgifter som avser en låg kognitiv utmaning. När Brändström (2005) analyserade matematikböcker utifrån sitt analysverktyg fick hon ett likartat resultat som denna studie. Hennes studie presenterar att i matematikböcker var det vanligast att elever fick arbeta med uppgifter som fokuserade på låga kognitiva utmaningar. Eftersom såväl vår studie och Brändströms (2005) synliggör att en stor mängd uppgifter i matematikböcker avser låga kognitiva utmaningar är det viktigt att lärare arbetar utöver matematikboken. Enligt Skolverket (2003: 29) är enskilt arbete med matematikboken dominant i undervisningen i de yngre åldrarna. Problemet som uppstår är att när arbete med dessa matematikböcker är dominant berörs elever inte av uppgifter som avser höga kognitiva utmaningar. Vilket betyder att elevers matematiska tänkande inte utvecklas och deras lust till att lära sig mer om ämnet riskerar att försvinna. Meningen är att matematikboken ska vara ett hjälpmedel för att nå målen i Lgr11 och för att elever ska kunna få möjligheten att arbeta på ett ytterligare sätt, och inte att den ska vara hela matematikundervisningens underlag (SOU, 2004:97). För att elever ska stimuleras och utmanas är det därför viktigt att lärare är aktiva och planerar ytterligare undervisningsinnehåll.

Eftersom lärobokens dominans inom matematikundervisningen är ett faktum finns det saker lärare bör tänka på vid val av matematikböcker. En viktig sak att ha i åtanke är att vem som helst kan skapa ett läromedel. Johansson Harrie (2009: 10) skriver till exempel att det inte finns någon statlig granskning av matematikböcker. Anledningen till att lärare bör ha detta i åtanke är för att de som säljer läromedel inte alltid har ett pedagogiskt intresse, vilket innebär att läroböckerna inte alltid är kopplade till läroplanen och syftar till att utveckla elevers matematiska tänkande. Till följd av att vem som helst kan skapa ett läromedel är det viktigt att i någon mån analysera innehållet i matematikböckerna. Lärare behöver exempelvis analysera om matematikböckerna erbjuder uppgifter som avser låg kognitiv utmaning eller om uppgifterna faktiskt fokuserar på att utveckla elevers matematiska tänkande. Inom matematikundervisningen känner sig många lärare även osäkra på att undervisa utan någon matematikbok och upplever lektionerna som innehållslösa utan ett läromedel att utgå ifrån (Bergqvist et al., 2010: 35). En granskning av matematikboken är därför väsentlig. Johansson Harrie (2003: 8) nämner att den enda granskning som finns av läromedel är den granskning professionella lärare gör. Vid val av matematikböcker är det därför viktigt att lärare i sitt uppdrag lägger ner hårt arbete för att göra undervisning som förverkligar de mål som finns i

34 läroplanen och kursplaner genom att välja adekvata läromedel och som ökar elevers matematiska tänkande.

8.3 Strategin arrays

I analysen om huruvida elever får arbeta med arrays i matematikböckerna kan det tydligt ses att det enbart är i Pixel 3B som elever får arbeta med arrays. Det som upptäcktes vid analyseringen av uppgiften som behandlade arrays var att elever inte får arbeta med sambandet mellan multiplikation och division, utan får enbart arbeta med multiplikation. I uppgiften får elever tilldelat sig vad det är de ska göra och hur de ska gå tillväga för att lösa uppgiften. Med det upplägget för uppgiften gör att elever inte behöver tänka särskilt mycket, utan de får en låg kognitiv utmaning. Hurst och Hurrell (2016: 9) skriver att arrays behöver användas mer i undervisningen för att elever ska kunna få med sig förståelsen av sambandet mellan multiplikation och division. Elever behöver få förståelsen om att “y” rader av “x” ger samma resultat som “x” rader av “y” då detta hjälper dem att utveckla sina kommutativa egenskaper. Därför kan det argumenteras för att matematikböckerna bör erbjuda fler uppgifter där elever får arbeta med strategin arrays.

Som ovan nämnt behandlar Pixel 3A inte uppgifter med strategin arrays vilket innebär att under höstterminen får eleverna inte arbeta med denna strategi. Strategin arrays är en användbar strategi inom ämnet matematik, som kan uppmuntra elever att lära sig mer om multiplikation och division (Stokes, 2016: 8). Elever börjar vanligtvis arbeta med multiplikation och division i årskurs 2 vilket innebär att de arbetat med räknesätten innan de arbetar med Pixels matematikböcker. Strategin arrays bör därför användas även i Pixel 3A för att elevernas intresse för att lära sig mer om räknesätten inte ska försvinna. Vidare skriver Stokes (2016) att strategin

arrays hjälper elever att förstå multiplikation och division på ett konkret och visuellt sätt

samtidigt som elever ges förmågan att se sambandet mellan räknesätten. Med detta i beaktning bör elever arbeta mer med strategin i matematikböckerna Pixel 3A och Pixel 3B, för att underlätta förståelsen för såväl räknesätten som sambandet mellan multiplikation och division. Vid mer arbete med strategin arrays hade elever fått möjligheten att på ett konkret och visuellt sätt lära sig om multiplikation, division och dess samband vilket kanske hade gett upphov till ett större intresse för ämnet.

Hurst och Hurrell (2016: 9) menar att när elever får möjligheten att arbeta med arrays inom multiplikation ökar deras multiplikativa tänkande och förståelsen för hur det är användbart inom matematiken. Eftersom elever inte får arbeta med strategin kopplat till sambandet mellan multiplikation och division skapas dock ingen koppling till det ämnet inom matematik. En koppling är enbart möjlig att göras kring det räknesätt som används i uppgiften, alltså multiplikation. Hurst och Hurrell (2016: 9) menar också på att arrays skulle kunna vara användbart inom division. Detta är någonting som elever inte får möjligheten att testa på när de arbetar i vardera matematikbok från Pixel. Eftersom strategin inte används i uppgifter med division i fokus gör elever inte heller någon koppling kring detta räknesätt. Som Hurst och Hurrell (2016: 9) skriver kan arbete med strategin arrays inom räknesätt öka elevers tänkande och förståelse inom ämnet matematik. Elever som arbetar med Pixel 3A och Pixel 3B ges bara

35 möjligheten att göra detta vid arbete med multiplikation. Eftersom strategin inte används vid arbete med sambandet eller räknesättet division ges eleverna inte möjlighet att öka deras matematiska tänkande och förståelse med hjälp av arrays.

8.4 Sammanfattning av resultatdiskussion

För att kunna nå större kognitiva utmaningar behöver elever uppgifter där de får använda sig av kunskaper de redan besitter, men på ett sätt där de fördjupar dem för att komma fram till ett svar. De behöver således utföra en tankeverksamhet som innebär att svaret inte ska komma med en gång och att uppgiften inte är förutsägbar. Detta är inget elever ges möjlighet att göra i de utvalda uppgifterna från Pixel 3A och 3B. Sammanfattningsvis innebär detta att om elever hade fått möjlighet att arbeta med fler uppgifter som berör ovan nämnda strategier hade uppgifterna kanske utmanat elever mer. Med hjälp av strategierna hade elever nämligen fått möjlighet att göra kopplingar mellan olika representationer som bild och symboler. De hade även fått möjligheten att skapa och utveckla en förståelse kring båda räknesätten men framförallt kring vad sambandet mellan multiplikation och division innebär.

9. Konklusion

I detta kapitel kommer en sammanfattning kring studiens viktigaste resultat att göras. Slutsatsen kommer att svara på studiens forskningsfråga: Vilka kognitiva utmaningar möter elever vid

arbete med sambandet mellan multiplikation och division i två matematikböcker för årskurs 3?

Avslutningsvis kommer implikationer för vidare forskning att presenteras.

Slutsatsen som kan dras är att resultatet tyder på att uppgifterna kring sambandet mellan multiplikation och division i läroböckerna Pixel 3A och Pixel 3B syftar till en låg kognitiv utmaning. För att uppgifterna skulle uppfattas vara av hög kognitiv utmaning måste de kategoriseras som procedur med koppling eller utöva matematik. Av totalt 19 uppgifter var det enbart tre som berörde procedur med koppling, det innebär att i två matematikböcker för årskurs 3 är där bara tre uppgifter som utmanar och får elever att resonera om de matematiska begreppen. Av alla uppgifter var där inte en enda som berörde utöva matematik och eftersträvade den högsta kognitiva utmaningen. Detta är ett problematiskt resultat för matematikböckerna. Pixel 3A och 3B var de enda matematikböckerna vi fann som berörde den omvända relationen mellan multiplikation och division, men eftersom uppgifterna avser en låg kognitiv utmaning är frågan om eleverna faktiskt får en uppfattning om och förstår sambandet. Från analysen av uppgifterna i matematikböckerna Pixel 3A och Pixel 3B kan en slutsats dras och det är att lärare inte kan förlita sig på enbart dessa matematikböcker i undervisningen om sambandet mellan multiplikation och division. En allsidig och bra lärobok kan bidra till att elever får en positiv känsla av kunnande inom matematik (Skolverket, 2003: 28). Uppgifterna elever får arbeta med kopplat till sambandet i matematikböckerna är dock få och avser en låg kognitiv utmaning. Matematikböckerna kan således inte betraktas som allsidiga och bra läroböcker inom ämnet sambandet mellan multiplikation och division. Lärares val av lektionsinnehåll, arbetssätt och förklaringsmodeller inom matematikundervisningen är högt kopplad till elevers utveckling av begreppsförståelse (Hattie, 2003: 7). Eftersom matematikböckerna presenterar uppgifter som avser en låg kognitiv utmaning kan resultatet ses som ännu en anledning till varför lärare inte enbart kan grunda undervisningen på matematikboken.

Majoriteten av uppgifterna i matematikböckerna syftar inte till att utmana elevers matematiska tänkande, elever får istället fokusera på att finna rätt svar. Vid en allsidig och variationsfattig undervisning där eleverna enbart arbetar själva i matematikböcker försvinner deras lust till att lära sig om matematik (Skolverket, 2003: 5). Om de uppgifter de arbetar med vid en sådan allsidig matematikundervisning inte syftar till att utmana elever kommer lusten till att lära sig mer inte heller utmanas. För att elevers lust till att lära sig om sambandet mellan multiplikation och division inte ska försvinna kan lärare således inte enbart arbeta med Pixel 3A och 3B. Lärare måste variera matematikundervisningen och låta elever arbeta med såväl räknesätten som sambanden på ett varierande sätt (McIntosh, 2008: 70). Elever behöver arbeta med olika strategier och material för att befästa kunskap om konceptet och finna ett intresse i att lära sig mer om det. Möjligheterna att variera matematikundervisningen är stor, lärare kan exempelvis använda konkret material eller appar och miniräknare för att lära ut om sambandet. En variation

37 inom matematiken är nödvändig vid arbete med dessa matematikböcker och ovan nämnda exempel kan hjälpa elever utvecklas inom matematikämnet. När elever arbetar med konkret material eller appar inom matematiken gynnas nämligen deras lärande. Vilket beror på att de får möjligheten att upptäcka mönster och principer i matematiken (Jonsson et al., 2014: 25). När eleverna arbetar med sambandet mellan multiplikation och division är fokus inte att de ska upptäcka mönster eller se principer i matematiken och därför är arbetet utöver matematik- böckerna väsentligt för ett bättre lärande.

Avslutningsvis synliggör resultatet i denna studie att det inte är hållbart att enbart basera matematikundervisningen på läroböckerna Pixel 3A och Pixel 3B. Variation i arbetssätt är väsentligt för att elever ska få störst möjlighet att utvecklas inom matematikämnet och speciellt inom sambandet mellan multiplikation och division. Variationen kan se annorlunda ut hos lärare men det är viktigt att inte bortse från att en variation inom matematikundervisningen efterfrågas och behövs. Vidare är det viktigt att lärare använder korrekta matematiska begrepp i sin matematikundervisning. Multiplikation och divisions mest centrala begrepp behöver användas ofta och i sitt rätta sammanhang för att det ska skapas en förståelse hos elever (McIntosh, 2008: 76). Eftersom matematikböckerna inte nämner sambandet mer än sammanlagt en gång i två matematikböcker är det därför viktigt att lärare använder detta begrepp i den undervisning som förs utöver arbete med matematikböckerna.

9.1 Didaktiska implikationer

Arbete med denna studie har gett upphov till många lärdomar, bland annat tar vi med oss vikten av att granska läromedel. Detta anser vi är viktigt inom alla ämnen och inte bara matematik eftersom elever alltid bör beröras av adekvata läromedel. Under studiens genomförande har många frågor väckts och många frågor har naturligtvis inte blivit besvarade, därför vill vi inspirera till utveckling av yrkesrollen och vidare forskning. Yrkesrollen kan utvecklas med hjälp av den information som studien tillhandahåller. Diskussioner kan exempelvis föras med kollegor gällande vikten av att undersöka sina matematikböcker, dels för att se om innehållet berör alla delar som Lgr11 (2018) skriver ska beröras men även för att se vilken kognitiv utmaning elever blir berörda av. Avslutningsvis följer förslag på vidare forskning som kan göras för att öka kunskapen inom detta relativt outforskade område. Ett intressant område som skulle kunna följas upp är hur lärare arbetar/kompletterar redan befintliga uppgifter som innehåller sambandet mellan multiplikation och division för att elever ska få en högre kognitiv utmaning. Det skulle även vara intressant att genomföra en studie som omfattar fler läromedel och matematikböcker där sambandet mellan multiplikation och division finns representerade.

Referenslista

Källmaterial

Alseth, B., Arnås, A-C., Kirkegaard, H., & Røsseland, M. (2011). Pixel Matematik Grundbok

3A. (1. uppl.) Stockholm: Natur & Kultur.

Alseth, B., Arnås, A-C., Kirkegaard, H., & Røsseland, M. (2011). Pixel Matematik Grundbok

3B. (1. uppl.) Stockholm: Natur & Kultur.

Litteratur

Ahrne, G., Svensson. P. (2015) Kvalitativa metoder i samhällsvetenskapen. I G. Ahrne, & P. Svensson (Red.), Handbok i kvalitativa metoder (2. uppl.) Stockholm: Liber.

Bergqvist, E., Bergqvist, T., Boesen, J., Helenius, O., Lithner, J., Palm, T. & Palmgren, B. (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet:

Grundskolan våren 2009. (1.uppl.) Göteborg: Nationellt Centrum för matematikutbildningen,

NCM, Göteborgs universitet.

Bjereld, U, Demker, M & Hinnfors, J. (2009). Varför vetenskap?: Om vikten av problem och

teori i forskningsprocessen. (3., [omarb.] uppl.) Lund: Studentlitteratur.

Heiberg Solem, I., Alseth, B., & Nordberg, G. (2011). Tal och tanke: matematikundervisning

från förskoleklass till årskurs 3. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur AB.

Heiberg Solem, I., & Lie Reikerås, E. K. (2014). Det matematiska barnet. (1. uppl.) Stockholm: Natur & Kultur.

Kilborn, W. (1989). Didaktisk ämnesteori i matematik – Del 1 Grundläggande aritmetik. Stockholm: Utbildningsförlaget.

Malmqvist, J. (2016) Analys utifrån redskapen. I J. Dimenäs (Red), Lära till lärare: Att

utveckla läraryrket - vetenskapligt förhållningssätt och vetenskaplig metodik (7. rev. och utök.

uppl.) Stockholm: Liber AB.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal - en handbok. (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NMC), Göteborgs universitet.

Internetkällor

Bicknell, B., Young-Loveridge, J. & Nguyen, N. (2016). A Design Study to Develop Young

Children´s Understanding of Multiplication and Division. Mathematics Education Research

Journal, 28(4), 567-583. doi: https://doi-org.ezproxy.bib.hh.se/10.1007/s13394-016-0180-4 Bicknell, B., Young-Loveridge, J. & Simpson, J. (2017). Australian Primary Mathematics

Classroom, 22(2), 28-32. Hämtad från:

https://researchcommons.waikato.ac.nz/bitstream/handle/10289/11496/APMC2017V022N02_ 028.pdf?sequence=2&isAllowed=y

Bicknell, B., Young-Loveridge, J. (2015). Using multiplication and division contexts to

enhace young children´s part-whole thinking in mathematics. Teaching & Learning Research

Initiative, 2 (1), 2-22. Hämtad från:

http://www.tlri.org.nz/sites/default/files/projects/TLRI_Bicknell_Summary%28v4%29.pdf Brändström, A. (2005). Differentiated Tasks in Mathematics Textbooks – An analysis of the

llevels of difficulty. (Licentiatuppsats, Luleå universitet, Luleå, ISSN 1402–1757). Hämtad

från: http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:991116/FULLTEXT01.pdf.

Hattie, J. (2003). Teachers make a difference: What is the research evidence? University of Auckland Australian Council for Educational Research. Hämtad från:

https://research.acer.edu.au/cgi/viewcontent.cgi?article=1003&context=research_conference_ 2003

Hurst, C. (2017). Children Have the Capacity to Think Multiplicatively, as Long as…. European Journal of STEM Education, 2(3), 07. Hämtad från:

https://eric.ed.gov/contentdelivery/servlet/ERICServlet?accno=EJ1167491

Hurst, C., Hurrell, D. (2016). Investigating Children´s Multiplicative Thinking: Implications

for Teaching. European Journal of STEM Education, 1(3), 56. Hämtad från:

https://eric.ed.gov/contentdelivery/servlet/ERICServlet?accno=EJ1167493

Johnsson, Harrie, A. (2009). Staten och läromedlen – en studie av den svenska statliga

förhandsgranskningen av läromedel 1938-1991. (Doktorsavhandling, Linköpings universitet,

Linköping). Hämtad från: https://www.diva-

portal.org/smash/get/diva2:217963/FULLTEXT02.pdf

Johansson, M. (2006). Teaching Mathematics with Textbooks – A Classroom and Curricular

Perspective (Doktorsavhandling, Luleå University of Technology Department of

Mathematics, Luleå). Hämtad från:

40 Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y., & Lithner, J. (2014). Learning mathematics through

algorithmic and creative reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 36(1), 20-32. doi:

https://reader.elsevier.com/reader/sd/pii/S0732312314000509?token=A9CB9D308C8B208B1 C8608F42A5CA42AE6EC3433D27F9262C0A9E5056523DFF6A67160FCC6A2B011CA4A 24ED0AFC855E

McIntosh, A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1992). A proposed framework for examining basic

number sense. Journal of the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8. doi: https://flm-

journal.org/Articles/94F594EF72C03412F1760031075F2.pdf

Shanty Octavarulia, N., Wijaya, Surya. (2012). Rectangular Array Model Supporting

Students’ Spatial Structuring in Learning Multiplication. Indonesian Mathematical Society

Journal on Mathematics Education, 3(2), 175-186. Hämtad från: https://eric.ed.gov/?id=EJ1078596

Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. (Reviderad 2017). Stockholm: Skolverket. Hämtad från:

https://www.skolverket.se/download/18.6bfaca41169863e6a65cb18/1553967410999/pdf3794 .pdf

Skolverket. (2018). Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: Reviderad 2018 (6. uppl.) Stockholm: Skolverket

Skolverket. (2016). PISA 2015. 15-åringars kunskaper i naturkunskap, läsförståelse och

matematik. (Artikelnummer 450). Hämtad från:

https://www.skolverket.se/portletresource/4.6bfaca41169863e6a65d9f5/12.6bfaca41169863e6 a65d9fe?file=3725

Skolverket. (2016). TIMSS 2015. Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och

naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. (Artikelnummer 448). Hämtad från:

https://www.skolverket.se/portletresource/4.6bfaca41169863e6a65d9f5/12.6bfaca41169863e6 a65d9fe?file=3707

SOU 2004: 97. Matematikdelegationen. Att lyfta matematiken. Stockholm: Fritzes offentliga publikationer. Hämtad från: https://www.riksdagen.se/sv/dokument-lagar/dokument/statens- offentliga-utredningar/sou-2004-97-_GSB397

Sowder, J., Armstrong, B., Lamon, S., Simon, M. & Thompson, A. (1998). Educating

teachers to teach multiplicative structures in the middle grades. Journal of Mathematics

Teacher Education, 1(2), 127-155. doi: https://doi.org/10.1023/A:1009980419975

Problems in Second grade. Journal of Mathematics Education at Teachers Collage, 7(2), 1-

10. Från: http://journals.tc-library.org/index.php/matheducation/article/view/1196

Skolverket (2018). Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet.

Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig

forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet. Hämtad från:

https://www.gu.se/digitalAssets/1268/1268494_forskningsetiska_principer_2002.pdf

Wilkins, J. L. M. (2008). The relationship among elementary teachers’ content knowledge,

attitudes, beliefs, and practices. Journal of Mathematics Teacher Education, 11 (2) 139-164.

doi: https://link.springer.com/article/10.1007/s10857-007-9068-2#citeas

Young-Loveridge, J., Bicknell, B. & Lelieveld, J. (2013). Introducing Multiplication and

Division Contexts in Junior Primary Classes. Teachers and curriculum, 13, 68-74. Hämtad

från: https://eric.ed.gov/contentdelivery/servlet/ERICServlet?accno=EJ1122019

Young-Loveridge, J. (2005). Fostering Multiplicative Thinking Using array-Based

Materials. Australian Mathematics Teacher, 61(3), 34-40. Hämtad från:

https://eric.ed.gov/contentdelivery/servlet/ERICServlet?accno=EJ1122019

Opublicerat material

Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Opublicerat manuskript. Hämtad från: https://www.mah.se/pages/45519/lustattlara.pdf

Bilagor

Bilaga 2

Besöksadress: Kristian IV:s väg 3 Postadress: Box 823, 301 18 Halmstad Telefon: 035-16 71 00

E-mail: registrator@hh.se www.hh.se

In document Är det en utmaning? : En läromedelsanalys om vilka kognitiva utmaningar elever möter vid arbete med sambandet mellan multiplikation och division i två matematikböcker för årskurs 3. (Page 37-49)