Styckvis affina m˚ alfunktioner - Konvexitet och optimering

  f (x) − t ≤ 0, g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , p g_i(x) = 0, i = p + 1, . . . , m ett konvext problem.

D˚a man studerar allmänna egenskaper hos konvexa optimeringsproblem kan man s˚aledes utan inskränkning anta att m˚alfunktionen är linjär.

Styckvis affina m˚alfunktioner

Antag att X ¨ar en polyeder (given som ett snitt av slutna halvrum) och betrakta det konvexa optimeringsproblemet

(P) min f (x)

d˚a x ∈ X

d¨ar m˚alfunktionen f (x) ¨ar styckvis affin och ges som f (x) = max{hc_i, xi + b_i | i = 1, 2, . . . , m}.

Epigraftransformationen resulterar f¨orst i det ekvivalenta konvexa problemet min t

d˚a ( max

1≤i≤m(hc_i, xi + b_i) ≤ t x ∈ X,

och eftersom max_1≤i≤mα_i ≤ t om och endast om α_i ≤ t f¨or samtliga i, ¨ar detta problem i sin tur ekvivalent med LP-problemet

(P⁰) min t

d˚a hc_i, xi − t + b_i ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m x ∈ X.

Om m˚alfunktionen i problemet (P) ist¨allet ¨ar en summa f (x) = f₁(x) + f₂(x) + · · · + f_k(x)

av styckvis affina funktioner f_i, s˚a ¨ar problemet (P) ekvivalent med det kon-vexa problemet

min t₁+ t₂ + · · · + t_k

d˚a f_i(x) ≤ t_i i = 1, 2, . . . , k x ∈ X

och detta problem blir ett LP-problem om varje olikhet f_i(x) ≤ t_i uttrycks som ett system av linj¨ara olikheter p˚a liknande s¨att som ovan.

9.4 N˚agra modellexempel

Dietproblemet

Vi börjar med ett klassiskt LP-problem som formulerades och studerades i större skala i linjärprogrammeringens barndom. I handeln finns n livsmedel L₁, L₂, . . . , L_n till en kostnad av c₁, c₂, . . . , c_n kr per enhet. Livsmedlen in-neh˚aller olika näringsämnen N₁, N₂, . . . , N_m (proteiner, kolhydrater, fetter, vitaminer, etc). Antal enheter näringsämne per enhet livsmedel framg˚ar av nedanst˚aende tabell:

L₁ L₂ . . . L_n N₁ a₁₁ a₁₂ . . . a_1n N₂ a₂₁ a₂₂ . . . a_2n .. . N_m a_m1 a_m2 . . . a_mn

Om man k¨oper x1, x2, . . . , xn enheter av livsmedlen erh˚aller man s˚aledes

ai1x1+ ai2x2+ · · · + ainxn

enheter av n¨arings¨amnet N_i till en kostnad av

c₁x₁ + c₂x₂+ · · · + c_nx_n.

Antag att dagsbehovet av de olika näringsämnena är b₁, b₂, . . . , b_m och att det inte är skadligt att f˚a för mycket av n˚agot ämne. Problemet att tillgodose

9.4 N˚agra modellexempel 177

dagsbehovet till l¨agsta m¨ojlig kostnad kallas dietproblemet. Matematiskt har det formen min c₁x₁+ c₂x₂+ · · · + c_nx_n d˚a              a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · + a_1nx_n ≥ b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · + a_2nx_n ≥ b₂ .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn ≥ bm x₁, x₂, . . . , x_n ≥ 0.

Dietproblemet är s˚aledes ett LP-problem. Förutom att bestämma den opti-mala dieten och kostnaden för denna är det av intresse att kunna besvara följande fr˚agor:

1. Hur p˚averkas den optimala dieten och kostnaden av en pris¨andring p˚a ett eller flera av livsmedlen?

2. Hur p˚averkas den optimala dieten om dagsbehovet av n˚agot n¨ arings-¨

amne ¨andras?

3. Antag att det finns rena näringsämnen p˚a marknaden. Vad f˚ar de kosta för att det skall löna sig att tillgodose sitt näringsbehov genom att köpa rena näringsämnen och bara äta s˚adana? Knappast n˚agot smakligt alternativ för en gourmet men fullt tänkbart vid djurutfodring.

Antag att kostnaden för den optimala dieten är z, och att kostnaden för den optimala dieten d˚a behovet av näringsämne N₁ ändras fr˚an b₁ till b₁ + ∆b₁, allt annat oförändrat, är z + ∆z. Det är självklart att kostnaden inte kan minska när behovet ökar, s˚a därför medför ∆b₁ > 0 att ∆z ≥ 0. Om det är möjligt att köpa näringsämnet N₁ i helt ren form till priset p₁, s˚a är det ekonomiskt fördelaktigt att tillgodose det ökade behovet genom att inta näringsämnet i ren form förutsatt att p₁∆b₁ ≤ ∆z. Det maximala pris p˚a N₁ som gör näringsämnet i ren form till ett ekonomiskt alternativ är därför ∆z/∆b₁, och gränsvärdet d˚a ∆b₁ → 0, dvs. den partiella derivatan ∂z

∂b1, kallas i ekonomiska sammanhang f¨or det duala priset eller skuggpriset.

Man kan beräkna näringsämnenas skuggpriserna genom att lösa ett med dietproblemet relaterat LP-problem. Antag som ovan att marknaden tillhan-dah˚aller näringsämnena i ren form och att priserna är y₁, y₂, . . . , y_m. Eftersom en enhet av livsmedel L_i inneh˚aller a_1i, a_2i, . . . , a_mienheter av respektive n¨ a-ringsämne, kan vi ”tillverka” en enhet av livsmedlet L_igenom att köpa precis denna uppsättning näringsämnen. Det är därför ekonomiskt fördelaktigt att ersätta alla livsmedel med rena näringsämnen om

a_1iy₁+ a_2iy₂+ · · · + a_miy_m ≤ c_i

dagsransonen b₁, b₂, . . . , b_m högst lika med maximivärdet för LP-problemet max b₁y₁+ b₂y₂+ · · · + b_my_m d˚a              a₁₁y₁+ a₂₁y₂+ . . . + a_m1y_m ≤ c₁ a₁₂y₁+ a₂₂y₂+ . . . + a_m2y_m ≤ c₂ .. . a_1ny₁+ a_2ny₂+ . . . + a_mny_m ≤ c_n y₁, y₂, . . . , y_m ≥ 0.

Vi kommer att visa att detta s. k. duala problem har samma optimala v¨arde som det ursprungliga dietproblemet och att skuggpriserna ger den optimala l¨osningen.

Produktionsplanering

M˚anga problem med anknytning till produktionsplanering kan formuleras som LP-problem, och en pionjär inom omr˚adet var den ryske matematikern och ekonomen Leonid Kantorovich som studerade och löste s˚adana problem i slutet av 1930-talet. Här följer ett typiskt s˚adant problem.

Vid en fabrik kan man tillverka olika varor V₁, V₂, . . . , V_n. För detta behövs olika insatsvaror (r˚avaror och halvfabrikat) samt olika typer av arbetsin-satser, n˚agot som vi med ett gemensamt namn kallar produktionsfaktorer P₁, P₂, . . . , P_m. Dessa finns tillgängliga i begränsade kvantiteter b₁, b₂, . . . , b_m. För att tillverka, marknadsföra och försälja en enhet av respektive vara ˚atg˚ar det produktionsfaktorer i en omfattning som ges av följande tabell:

V₁ V₂ . . . V_n P₁ a₁₁ a₁₂ . . . a_1n P₂ a₂₁ a₂₂ . . . a_2n .. . Pm am1 am2 . . . amn

Varje tillverkad vara V_j kan s¨aljas med en vinst som ¨ar c_j kr/enhet. Man vill nu planera produktionen x₁, x₂, . . . , x_n av de olika varorna s˚a att vinsten maximeras.

Genom att tillverka x₁, x₂, . . . , x_n enheter av varorna erh˚aller man en vinst som är lika med c₁x₁ + c₂x₂ + · · · + c_nx_n. Därvid förbrukas a_i1x₁ + a_i2x₂+ · · · + a_inx_n enheter av produktionsfaktor P_i. Det optimeringsproblem som vi behöver lösa är s˚aledes LP-problemet

9.4 N˚agra modellexempel 179 max c₁x₁+ c₂x₂+ · · · + c_nx_n d˚a              a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ . . . + a_1nx_n ≤ b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ . . . + a_2nx_n ≤ b₂ .. . a_m1x₁+ a_m2x₂+ . . . + a_mnx_n ≤ b_m x₁, x₂, . . . , x_n ≥ 0.

Här är det rimligt att ställa motsvarande fr˚agor som för dietproblemet, dvs. hur p˚averkas den optimala lösningen och den optimala vinsten av

1. förändrad prissättning c1, c2, . . . , cn; 2. förändrad resurstilldelning.

Om vi ökar n˚agon resurs P_isom redan utnyttjas fullt ut, s˚a ökar (normalt) vinsten. Vad skall priset p˚a denna resurs vara för att utökningen skall löna sig? Det kritiska priset kallas skuggpriset, och det kan tolkas som en partiell derivata och som lösningen p˚a ett dualt problem.

Transportproblemet

Ett annat klassiskt LP-problem, som i litet större skala uppställdes och löstes innan simplexalgoritmen formulerats, är det s. k. transportproblemet.

En vara (t. ex. bensin) finns lagrad i m lager L₁, L₂, . . . , L_m p˚a olika orter och efterfr˚agas vid n förbrukningsplatser F₁, F₂, . . . , F_n. Att frakta 1 enhet fr˚an lagringsställe L_i till förbrukningsplats F_j kostar c_ij kr. Vid L_i finns a_i enheter och vid F_j efterfr˚agas b_j enheter. Det totala lagret, dvs. Pm

i=1a_i, antas motsvara den totala efterfr˚aganPn

j=1b_j, s˚a det ¨ar m¨ojligt att tillgodose efterfr˚agan genom att distribuera x_ij enheter fr˚an L_i till F_j. Problemet att

. . . . . . . . . . . . ai bn bj b1 cij xij Figur 9.1. Transportproblemet.

g¨ora detta till l¨agsta transportkostnad ger tydligen upphov till LP-problemet min m X i=1 n X j=1 c_ijx_ij d˚a      Pn j=1x_ij = a_i, i = 1, 2, . . . , m Pm i=1x_ij = b_j, j = 1, 2, . . . , n x_ij ≥ 0, alla i, j. Ett investeringsproblem

En investerare har 1 milj kr, som han tänker investera i olika projekt. Det finns m intressanta projekt P1, P2, . . . , Pm att investera pengarna i. Avkast-ningen kommer att bero dels p˚a projekten, dels p˚a den kommande ekonomis-ka konjunkturen. Han tycker sig kunna identifiera n oliekonomis-ka konjunkturlägen K1, K2, . . . , Kn, men vilken konjunktur som kommer att r˚ada under det kom-mande ˚aret, efter vilket han avser att ta hem vinsten, g˚ar det inte att ha n˚agon uppfattning om. Däremot kan man med säkerhet bedöma avkastning-en av de olika projektavkastning-en under de olika konjunkturerna; varje investerad miljon kr i projekt P_i ger en avkastning av a_ij milj kr om konjunkturläge K_j r˚ader. Vi har med andra ord följande tabell över avkastningen för olika projekt och konjunkturer:

K₁ K₂ . . . K_n P₁ a₁₁ a₁₂ . . . a_1n P₂ a₂₁ a₂₂ . . . a_2n .. . P_m a_m1 a_m2 . . . a_mn

V˚ar investerare avser att satsa x1, x2, . . . , xmmilj kr p˚a respektive projekt. Om nu konjunkturl¨age K_j kommer att r˚ada blir allts˚a hans avkastning

a_1jx₁+ a_2jx₂ + · · · + a_mjx_m

milj kr. Eftersom v˚ar investerare är en mycket försiktig person, vill han gar-dera sig mot värsta tänkbara utfall. Sämsta möjliga utfall, om han investerar x1, x2, . . . , xm, är lika med min 1≤j≤n m X i=1 aijxi.

proble-9.4 N˚agra modellexempel 181 met max min 1≤j≤n m X i=1 a_ijx_i d˚a x ∈ X där X är mängden {(x1, x2, . . . , xm) ∈ R^m₊ | Pm

i=1xi = 1} av alla möjliga sätt att fördela miljonen p˚a de olika projekten.

Som problemet är formulerat är det ett konvext maximeringsproblem med en styckvis affin konkav m˚alfunktion, och vi kan transformera det till ett ekvivalent LP-problem genom att använda oss av en hypografformulering och utnyttja tekniken i föreg˚aende avsnitt. Investerarens problem är s˚aledes ekvivalent med LP-problemet

max v d˚a                  a11x1+ a21x2+ . . . + am1xm ≥ v a₁₂x₁+ a₂₂x₂+ . . . + a_m2x_m ≥ v .. . a_1nx₁+ a_2nx₂+ . . . + a_mnx_m ≥ v x₁+ x₂+ . . . + x_m = 1 x₁, x₂, . . . , x_m ≥ 0. Tv˚apersoners nollsummespel

Tv˚a personer, radspelaren Rulle och kolonnspelaren Kalle, väljer oberoende av varandra var sitt heltal. Rulle väljer ett tal i i intervallet 1 ≤ i ≤ m och Kalle ett tal j i intervallet 1 ≤ j ≤ n. Om de väljer paret (i, j) vinner Rulle a_ij kronor av Kalle, varvid ett negativt belopp skall tolkas som att Rulle istället betalar beloppet −a_ij till Kalle.

Talen m, n och aij förutsätts vara kända av b˚ada spelarna, som strävar efter att vinna s˚a mycket som möjligt (eller ekvivalent, att förlora s˚a lite som möjligt). I allmänhet finns det inget optimalt val för n˚agon av spelarna, s˚a spelarna f˚ar istället inrikta sig p˚a att maximera sina förväntade spelvinster genom att välja rad- resp. kolonnindex slumpvis med en viss sannolikhets-fördelning.

Antag att Rulle väljer talet i med sannolikheten xi och att Kalle väljer talet j med sannoliheten y_j. Alla sannolikheterna är först˚as icke-negativa tal, och Pm i=1x_i =Pn j=1y_j = 1. Vi sätter X = {x ∈ R^m₊ | m X i=1 x_i = 1} och Y = {y ∈ Rⁿ₊ | n X j=1 y_j = 1}.

Elementen i X brukar kallas radspelarens blandade strategier, och elementen i Y ¨ar kolonnspelarens blandade strategier.

Under förutsättning att talen i och j väljs oberoende av varandra kommer utfallet (i, j) att inträffa med sannolikheten x_iy_j. Utbetalningen till Rulle blir därför en stokastisk variabel med det förväntade värdet

f (x, y) = m X i=1 n X j=1 a_ijx_iy_j.

Radspelare Rulle kan nu tänkas argumentera s˚a här. Det sämsta som kan hända mig om jag väljer sannolikhetsfördelningen x, är att min motspelare Kalle r˚akar välja en sannolikhetsfördelning y som minimerar min förväntade vinst f (x, y). I s˚a fall f˚ar Rulle nämligen beloppet

g(x) = min y∈Y f (x, y) = min y∈Y n X j=1 y_j m X i=1 a_ijx_i. SummanPn j=1y_j Pm

i=1a_ijx_i är ett vägt aritmetiskt medelvärde med vikter y₁, y₂, . . . , y_nav de n stycken talen Pm

i=1a_ijx_i, j = 1, 2, . . . , n, och ett s˚adant medelvärde är alltid större eller lika med det minsta av de n talen, och likhet f˚as om man lägger hela vikten p˚a detta tal. Därför är

g(x) = min 1≤j≤n m X i=1 a_ijx_i.

Rulle, som vill maximera sin utdelning, bör därför välja att maximera g(x), dvs. Rulles problem blir

max g(x) d˚a x ∈ X.

Detta är precis samma problem som investerarens problem. Rulles optima-la strategi, dvs. val av sannolikheter (x₁, x₂, . . . , x_m), är lösningar till LP-problemet max v d˚a                  a₁₁x₁+ a₂₁x₂+ . . . + a_m1x_m ≥ v a₁₂x₁+ a₂₂x₂+ . . . + a_m2x_m ≥ v .. . a1nx1+ a2nx2+ . . . + amnxm ≥ v x₁+ x₂+ . . . + x_m = 1 x₁, x₂, . . . , x_m ≥ 0.

9.4 N˚agra modellexempel 183

Kolonnspelarens problem är analogt, men han vill först˚as minimera den maximala förväntade utdelningen f (x, y). Kalle skall s˚aledes lösa problemet

min max 1≤i≤m n X j=1 a_ijy_j d˚a y ∈ Y

f¨or att hitta sin optimala strategi, och detta problem ¨ar ekvivalent med LP-problemet min u d˚a                  a₁₁y₁+ a₁₂y₂+ . . . + a_1ny_n ≤ u a₂₁y₁+ a₂₂y₂+ . . . + a_2ny_n ≤ u .. . a_m1y₁+ a_m2y₂+ . . . + a_mny_n ≤ u y₁+ y₂+ . . . + y_n = 1 y₁, y₂, . . . , y_n ≥ 0.

De b˚ada spelarnas problem är exempel p˚a duala problem. Det följer av resultat som vi skall visa i kapitel 12 att de b˚ada spelarnas problem har samma optimala värde.

Konsumentteori

I den gren av nationalekonomin som kallas mikroteori studerar man hur en-skilda individer agerar. Vi antar att det finns n varor V1, V2, . . . , Vn p˚a mark-naden och att priset p˚a dessa varor ges av prisvektorn p = (p₁, p₂, . . . , p_n). En varukorg x best˚aende av x₁, x₂, . . . , x_n enheter av de olika varorna kostar s˚aledes hp, xi = p1x1+ p2x2+ · · · + pnxn kr.

En konsument värderar sin nytta av varukorgen x med hjälp av en sub-jektiv s. k. nyttofunktion f , varvid f (x) > f (y) betyder att han föredrar varukorgen x framför varukorgen y. Ett rimligt antagande om nyttofunktio-nen är att varje konvex kombination λx + (1 − λ)y av tv˚a varukorgar skall värderas s˚asom varande minst lika bra som den sämsta av de tv˚a varukor-garna x och y, dvs. att f (λx + (1 − λ)y) ≥ min f (x), f (y). Nyttofunktionen f antas med andra ord vara kvasikonkav, och ett starkare antagande, som man ofta gör i ekonomisk litteratur och som vi gör här, är att den är konkav. Antag nu att v˚ar konsuments inkomst är I, att hela inkomsten är dispo-nibel för konsumtion, och att han vill maximera sin nytta. Det problem som

han d˚a skall l¨osa ¨ar det konvexa optimeringsproblemet max f (x)

d˚a hp, xi ≤ I x ≥ 0.

Att empiriskt bestämma hur en konsuments nyttofunktion ser ut är na-turligtvis ogörligt, s˚a mikroteorin är knappast användbar för kvantitativa beräkningar. Däremot kan man göra en kvalitativ analys och besvara fr˚agor av typen: Hur förändras konsumentens beteende vid en inkomstökning? och Hur förändras köpmönstret d˚a de relativa priserna p˚a varorna ändras? Portföljval

En person tänker köpa aktier i n olika bolag B₁, B₂, . . . , B_n för s kr. En satsad krona i bolaget B_j ger en utdelning av X_j kr, där X_j är en stokastisk variabel med känt väntevärde

µ_j = E[X_j]. Vidare antas kovarianserna

σ_ij = E[(X_i− µ_i)(X_j − µ_j)] vara k¨anda.

Om personen satsar x_j kr i bolag B_j, j = 1, 2, . . . , n, s˚a blir den f¨orv¨antade totala utdelningen e(x) = E n X j=1 x_jX_j = n X j=1 µ_jx_j,

och variansen f¨or den totala utdelningen blir v(x) = Var n X j=1 xjXj = n X i,j=1 σijxixj.

Observera att v(x) ¨ar en positivt semidefinit kvadratisk form.

Personen kan inte maximera den totala utdelningen eftersom den är en stokastisk variabel, dvs. beror av slumpen. Däremot kan han maximera den förväntade utdelningen under lämpliga riskvillkor, dvs. krav p˚a variansen. Alternativt kan han minimera risken med placeringen givet vissa krav p˚a en förväntad utdelning. Det finns allts˚a flera möjliga strategier, och vi skall formulera tre stycken s˚adana.

9.4 N˚agra modellexempel 185

(i) Strategin att maximera den förväntade totala utdelningen, givet en övre gräns b p˚a variansen, leder till det konvexa optimeringsproblemet

max e(x) d˚a    v(x) ≤ b x₁+ x₂+ · · · + x_n = s x ≥ 0.

(ii) Strategin att minimera variansen av den totala utdelningen, givet en undre gräns b för väntevärdet, ger det konvex-kvadratiska programmerings-problemet min v(x) d˚a    e(x) ≥ b x₁+ x₂+ · · · + x_n = s x ≥ 0.

(iii) De tv˚a strategierna kan vägas ihop p˚a följande sätt. L˚at ≥ 0 vara en (subjektiv) parameter och betrakta det konvex-kvadratiska programmerings-problemet

min v(x) − e(x)

d˚a x₁ + x₂+ · · · + x_n = s x ≥ 0.

L˚at x() vara en optimal lösning till problemet. Vi lämnar som övning att visa att

v(x(₁)) ≥ v(x(₂)) och e(x(₁)) ≥ e(x(₂))

om 0 ≤ ₁ ≤ ₂. Parametern är allts˚a ett m˚att p˚a personens risktagande; ju mindre desto större risk (= varians) men ocks˚a desto större förväntad utdelning.

Snells brytningslag

Vi skall studera en ljusstr˚ales väg genom n stycken parallella skivor. Den j:te skivan S_j antas vara a_j enheter bred och best˚a av ett homogent medium i vilket ljushastigheten är v_j. Välj ett koordinatsystem som i figur 9.2 och betrakta en ljusstr˚ale p˚a dess väg fr˚an origo i ytan p˚a den första skivan till en punkt med y-koordinaten b p˚a ytan av den sista skivan.

θj S1 S2 Sj Sn aj yj (x, b) x y

Figur 9.2. Ljusstr˚alens v¨ag genom skivor med olika brytningsindex.

Enligt Fermats princip väljer ljuset den snabbaste vägen. Str˚alens väg be-stäms alls˚a av den optimala lösningen till det konvexa optimeringsproblemet

min n X j=1 v⁻¹_j q y2 j + a2 j d˚a n X j=1 y_j = b.

Genom att l¨osa problemet erh˚aller man Snells brytningslag: sin θ_i

sin θ_j ⁼ v_i v_j^.

Overbest¨amda ekvationssystem. Om ett linj¨art ekvationssystem

Ax = b

med n obekanta och m ekvationer är inkonsistent, dvs. saknar lösning, vill man kanske änd˚a bestämma den ”bästa approximativa lösningen”, dvs. den n-tipel x = (x₁, x₂, . . . , x_n) som gör att felet blir s˚a litet som möjligt. Med felet menas differensen Ax − b mellan höger- och vänsterled, och som m˚att p˚a felets storlek används kAx − bk för n˚agon lämpligt vald norm.

Funktionen x 7→ kAx − bk är konvex, s˚a oberoende av vilken norm som används är problemet att minimera kAx − bk över alla x ∈ Rⁿ ett konvext problem, men den optimala lösningen beror naturligtvis p˚a valet av norm.

L˚at i forts¨attningen a_ij beteckna elementet p˚a plats i, j i matrisen A och s¨att b = (b₁, b₂, . . . , b_m).

9.4 N˚agra modellexempel 187

1. Om den euklidiska normen k·k₂ anv¨ands f˚ar man den s. k. minsta kvadrat-l¨osningen. Eftersom kAx − bk2 2 = m X i=1 (a_i1x₁ + a_i2x₂+ · · · + a_inx_n− b_i)², ¨

ar minimeringsproblemet ekvivalent med det konvex-kvadratiska problemet minimera

i=1

(a_i1x₁+ a_i2x₂+ · · · + a_inx_n− b_i)².

I den optimala lösningen är gradienten för m˚alfunktionen lika med noll, vilket betyder att den optimala lösningen f˚as som lösning till det linjära ekvations-systemet

A^TAx = A^Tb.

2. Genom att istället använda k·k∞-normen erh˚aller man den lösning som ger den minsta maximala avvikelsen mellan vänster- och högerleden i ekva-tionssystemet Ax = b. Eftersom

kAx − bk∞ = max

1≤i≤m|ai1x1+ ai2x2+ · · · + ainxn− bi|, ¨

ar m˚alfunktionen i optimeringsproblemet nu styckvis affin, och problemet är därför ekvivalent med LP-problemet

min t d˚a      ±(a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · + a_1nx_n− b₁) ≤ t .. . ±(a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · + a_mnx_n− b_m) ≤ t.

3. Ett alternativ till att minimera kvadratsumman av avvikelserna mel-lan vänster- och högerled är först˚as att minimera summan av beloppen p˚a avvikelserna, dvs. att använda k·k1-normen. Eftersom m˚alfunktionen

kAx − bk₁ =

i=1

|a_i1x₁+ a_i2x₂+ · · · + a_inx_n− b_i|

nu ¨ar en summa av konvexa styckvis affina funktioner, blir det konvexa mi-nimeringsproblemet i detta fall ekvivalent med LP-problemet

min t₁+ t₂+ · · · + t_m d˚a      ±(a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · + a_1nx_n− b₁) ≤ t₁ .. . ±(a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · + a_mnx_n− b_m) ≤ t_m.

St¨orsta inskrivna bollen

En konvex mängd X med icke-tomt inre är given i Rⁿ, och vi vill bestämma en boll B(x; r) i X (med avseende p˚a en given norm) med största möjliga radie r. Vi antar att X kan beskrivas som lösningsmängden till ett system av olikheter, dvs. att

X = {x ∈ Rⁿ | g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m},

med konvexa funktioner gi. D˚a ligger bollen B(x; r) i X om och endast om g_i(x + ry) ≤ 0 f¨or alla y med kyk ≤ 1 och i = 1, 2, . . . , m, vilket g¨or det naturligt att betrakta funktionerna

h_i(x, r) = sup

kyk≤1

g_i(x + ry).

Funktionerna h_i ¨ar konvexa eftersom de definieras som supremum av konvexa funktioner i variablerna x och r.

Problemet att bestämma bollen med största möjlig radie har nu transfor-merats till det konvexa optimeringsproblemet

max r

d˚a hi(x, r) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m.

För allmänna konvexa mängder X kan man naturligtvis inte bestämma funktionerna h_i explicit, men om X är en polyeder, g_i(x) = hc_i, xi − b_i, och normen ifr˚aga är `p-normen, s˚a är p˚a grund av Hölders olikhet

h_i(x, r) = sup

kyk_p≤1

(hc_i, xi + rhc_i, yi − b_i) = hc_i, xi + rkc_ik_q− b_i

f¨or r ≥ 0, d¨ar k·kq betecknar den duala normen.

Problemet att best¨amma centrum x och radie r i den st¨orsta boll som ligger helt i polyedern

X = {x ∈ Rⁿ | hc_i, xi ≤ b_i, i = 1, 2, . . . , m}

har d¨armed reducerats till LP-problemet max r

Ovningar 189

¨

Ovningar

9.1 I en kemisk fabrik kan man använda fyra olika processer P1, . . . , P4 för att tillverka produkterna V₁, V₂ och V₃. Producerade kvantiteter av de olika produkterna mätt i ton per timme under de olika processerna framg˚ar av följande tabell:

P1 P2 P3 P4

V₁ −1 2 2 1 V2 4 1 0 2 V₃ 3 1 2 1

(Process P₁ förbrukar s˚aledes 1 ton av V₁ per timme.) Att köra processerna P₁, P₂, P₃ och P₄ kostar 5 000, 4 000, 3 000 resp. 4 000 kr per timme. Fabri-ken skall framställa 16, 40 resp. 24 ton av produkterna V1, V2, V3 till lägsta kostnad. Formulera problemet att bestämma ett optimalt produktionssche-ma.

9.2 Klodvig har problem med väderleken. Vädret förekommer i de tre tillst˚anden ¨

osregn, duggregn och solsken. Klodvig ¨ager en regnrock och ett paraply och ¨

ar n˚agot rädd om sin kostym. Regnrocken är besvärlig att medföra, och det-samma gäller − ehuru i mindre grad − paraplyet; det senare är dock inte fullt tillfredsställande i fall av ösregn. Följande tabell avslöjar hur pass nöjd Klodvig anser sig vara i de olika situationer som kan uppst˚a (siffrorna är relaterade till hans blodtryck, varvid 0 f˚ar anses motsvara hans normaltill-st˚and).

Osregn Duggregn Solsken Regnrock 2 1 −2 Paraply 1 2 −1 Bara kavajen −4 −2 2

P˚a morgonen, när Klodvig g˚ar till jobbet, vet han inte hur vädret kommer att vara när han skall g˚a hem, och han vill därför välja den persedelvalsstrategi som optimerar hans sinnelag under hempromenaden. Formulera Klodvigs problem som ett LP-problem.

9.3 Betrakta följande tv˚apersonersspel, där vardera spelaren har tre alternativ och där utbetalningen till radspelaren ges av följande matris

1 2 3 1 1 0 5 2 3 3 4 3 2 4 0

I detta fall ¨ar det uppenbart vilka alternativ de b˚ada spelarna skall v¨alja. Hur skall de spela?

9.4 Kalle och Rulle har tre spelkort vardera. B˚ada har ruter ess och spader ess. Kalle har dessutom ruter 2 och Rulle har spader 2. Spelarna spelar samtidigt var sitt kort. Kalle vinner om b˚ada dessa kort har samma färg och förlorar i motsatt fall. Vinnaren erh˚aller i betalning värdet av sitt vinnande kort fr˚an förloraren, varvid ess räknas som 1. Skriv upp utbetalningsmatrisen för detta tv˚apersonersspel, och formulera kolonnspelare Kalles problem att optimera den förväntade vinsten som ett LP-problem.

9.5 Det överbestämda ekvationssystemt    x1+ x2 = 2 x₁− x₂ = 0 3x1+ 2x2 = 4 saknar lösning.

a) Best¨am minsta kvadratl¨osningen.

b) Formulera problemet att bestämma den lösning som minimerar den max-imala avvikelsen mellan vänster- och högerled.

c) Formulera problemet att bestämma den lösning som minimerar summan av beloppen p˚a avvikelserna mellan vänster- och högerled.

9.6 Formulera problemet att best¨amma a) den st¨orsta cirkelskiva,

b) den största kvadrat vars sidor är parallella med koordinataxlarna, som ryms inom triangeln som begränsas av linjerna x1−x₂= 0, x1−2x₂ = 0 och x₁+ x₂ = 1 i planet.

In document Konvexitet och optimering (Page 185-200)