7.2.1 Flermålsoptimering
Som beskrivits tidigare beror tidtabellskvalitet på flera aspekter. Därför baseras TTK-ramverket på flermålsoptimering. Två viktiga koncept vid flermålsoptimering är dominans och pareto-optimalitet. En lösning A dominerar en lösning B om A är lika bra eller bättre än B för alla mål. En lösning som inte är dominerad av någon annan lösning är pareto-optimal (se Figur 8).
a) Ett minimeringsproblem med två målfunktioner (f1 och f2) och tio lösningar.
Lösningarna markeras som punkter baserat på deras målfunktionsvärden. Antag att målfunktionerna inte kan bli negativa, då skulle den optimala lösningen vara i
nollpunkter (markerad med en grön stjärna).
b) Lösning 3 dominerar lösningarna 7,8,9 och 10.
c) Lösning 8 är dominerad av lösning 2 och 3.
d) Lösning 5 dominerar inte någon annan lösning, och är inte heller
dominerad.
e) Lösningarna 1, 2, 3, 4 och 5 är pareto-optimala eftersom de inte domineras av någon annan lösning. Figur 8: Exempel på dominans och pareto-optimalitet för ett minimeringsproblem med två
målfunktioner.
Det finns oftast många pareto-optimala lösningar. Om de olika målen har en absolut inbördes ordning, eller om det i förväg går att bestämma en viktning för de
olika målen, kan problemet omvandlas till ett vanligt optimeringsproblem och en optimal lösning kan returneras. Om målen däremot inte går att ordna/vikta i förväg kan man istället generera ett antal olika lösningar som en beslutsfattare/användare sedan får välja mellan. Denna process kan också vara iterativ och låta användaren styra optimeringen mot en bra lösning.
TTK-ramverkets metod baseras på att det finns en beslutsfattare/användare, t.ex. en tidtabellskonstruktör, som kan styra optimeringen dels genom att ange
målvärden 𝑖𝑘 ≥ 0 för olika kvalitetsmått 𝑘, men också genom att definiera en gräns
för hur pass dåligt ett mått får bli, 𝑤𝑘. Notera att 𝑖𝑘 och 𝑤𝑘 är parametrar och inte variabler. Låt 𝑝 ∈ 𝑃 vara alla giltiga tidtabellslösningar, och 𝑘(𝑝) vara det värde som mål 𝑘 har i en given tidtabell . Låt 𝐾𝑚𝑖𝑛 vara den mängd mått som ska
minimeras (𝑖𝑘 < 𝑤𝑘) och 𝐾𝑚𝑎𝑥 vara de mått som ska maximeras (𝑤𝑘 < 𝑖𝑘).
Vidare, låt 𝑜𝑘 vara en variabel som används i målfunktionen för att representera
mått 𝑘. I den första optimeringen i TTK-ramverket söks en lösning som ligger nära de önskade kvalitetsmåttsvärdena. För kvalitetsmått där 𝑖𝑘 inte är noll minimeras den procentuella ”felet” mellan det önskade värdet och det planerade, och om 𝑖𝑘 =
0 minimeras eller maximeras bara det faktiska värdet:
min ∑ 𝑜𝑘 𝑘∈𝐾𝑚𝑖𝑛 − ∑ 𝑜𝑘 𝑘∈𝐾𝑚𝑎𝑥 𝑘(𝑝)𝑖 𝑘 ≤ 𝑜𝑘 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾 𝑚𝑖𝑛|𝑖 𝑘> 0} 𝑘(𝑝) ≤ 𝑜𝑘 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾𝑚𝑖𝑛|𝑖𝑘= 0} 𝑜𝑘 ≤ 𝑘(𝑝) 𝑖𝑘 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾 𝑚𝑎𝑥|𝑖 𝑘> 0} 𝑜𝑘≤ 𝑘(𝑝) ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾𝑚𝑎𝑥|𝑖𝑘= 0} 1 ≤ 𝑜𝑘 ≤ 𝑤𝑘 𝑖𝑘 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾 𝑚𝑖𝑛|𝑖 𝑘> 0} 0 ≤ 𝑜𝑘 ≤ 𝑤𝑘 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾𝑚𝑖𝑛|𝑖𝑘= 0} 𝑤𝑘 𝑖𝑘 ≤ 𝑜𝑘 ≤ 1 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾 𝑚𝑎𝑥|𝑖 𝑘> 0} 𝑤𝑘≤ 𝑜𝑘 ≤ 0 ∀𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝐾𝑚𝑎𝑥|𝑖𝑘= 0} 𝑝 ∈ 𝑃
Den lösning som returneras för optimeringsproblemet ovan, 𝑝1, är inte
nödvändigtvis pareto-optimal, och därför används Lin-Giesy metoden med 𝑘(𝑝1)
som initialt tröskelvärde för att hitta en pareto-optimal lösning. En beskrivning av Lin-Giesy metoder finns i boken av Collette och Siarry [34].
7.2.2 Optimering innan och efter att tågordningen fixerats
Att bestämma en tågordning är en kritisk uppgift vid tidtabellsläggning. När tågordningen väl är fixerad reduceras antalet möjliga planeringsval markant. Det finns mått som är svåra att hantera innan tågordningen är fixerad, t.ex. mått som analyserar följdförseningar i flera steg. Därför består TTK-ramverket av två optimeringsfaser, i den första genereras en giltig tidtabell utifrån ett antal mått, sedan fixeras tågordningen, och fas två startas. I fas två används alla mått från fas ett samt även de mått som kräver att tågordningen är fixerad.
7.2.3 Val av mått
Teoretisk körbarhet
Fem mått har valts ut för att mäta teoretisk körbarhet:
1. Ogiltiga möten eller omkörningar (#): antal gånger som tåg byter ordning på en geografi där detta inte är tillåtet.
2. Antal gånger stationer är överbelagda (#): Antal gånger som fler tåg är planerade att befinna sig på en station än vad stationen har kapacitet för. 3. Ogiltiga överlapp (#): Antal gånger två tåg befinner sig samtidigt på en
geografi där de inte borde få överlappa (t.ex. en station med kapacitet 1 eller ett enkelspår).
4. Brott mot separationstid (s): Summan av separationstid som inte respekteras. I begreppet separationstid ingår headwaytid, tidsintervall mellan beläggningar av enkelspårslänkar samt krav på
ankomsttidsseparation på enkelspårsstationer. Brott mot
ankomsttidsseparation på enkelspårsstationer räknas endast på stationer där tåg i motsatt riktning faktiskt möts.
5. Brott mot gångtidsmallar och minsta tid för stopp (s): Summan av den gångtid och stopptid som inte respekterats.
Robusthet och återställningsförmåga
Fem mått har valts ut för att mäta robusthet och återställningsförmåga: 1. Medelvärde buffertid på station med leveransåtagande (s): Medelvärdet av
buffertid för stopp på stationer med leveransåtagande.
2. Medelvärde buffertid på station (s): Medelvärdet av buffertid för stopp/passage vid stationer.
3. Medelvärde buffertid länkpassage (s): Medelvärdet av buffertider för körtider på länkar.
4. Buffertid för separationstid är mindre än 30s: antal gånger buffertiden för en separationstid är mindre än 30s. Notera att buffertiden är den extra tid som är planerad, utöver den som enligt konstruktionsreglerna måste planeras.
5. Minsta buffertid mellan två leveransåtagande: ger den största försening som ett tåg kan ha vid ett leveransåtagande utan att påverka något annat
leveransåtagande. Om ett och samma tåg har leveransåtagande på både ankomst och avgång från en station inkluderas en följdförsening från ankomsten till avgången inte i måttet. De buffertider som inkluderats är dels buffertider i kör- och stopptider, dels buffertider mellan beläggningar på enkelspårslänkar. Även buffertid mellan händelser på stationer skulle kunna inkluderas, men eftersom konflikter på stationer är svårare att modellera och M2 inte specifikt modellerar stationsspår har dessa inte inkluderats. Om tidtabellen innehåller brott mot körtider, stopptider eller separationstider kan minsta buffertid mellan två leveransåtagande vara ett negativt tal. Det är då den största ”följdförsening” som kommer uppstå från ett tåg som är i tid till sitt leveransåtagande. Vid negativa tider kan negativa cykler uppstå. För att inte fastna i dessa negativa cykler när den minsta buffertiden räknas ut tillåts en händelse endast vara med en gång i en händelsekedja. Ytterligare en begränsning är att händelsekedjor slutar undersökas efter 25 händelser. Dvs. endast följdförseningar i 25 steg eller färre är med i beräkningen.
Ansökningsuppfyllnad
Fem mått har valts ut för att mäta ansökningsuppfyllnad.
6. Största avstånd mellan ansökan på utgångsstation eller slutstation (s): inget tåg ligger längre från sin ansökan på utgångsstation eller slutstation än denna tid.
7. Summan av alla skillnader mellan ansökt tid och planerad tid på leveransåtagandepunkter (s).
8. Antal brutna associationer: antal associationer som har en kortare associationstid än den önskade.
9. Största relativa körtid: Ett tågs relativa körtid är den planerade körtiden delat med den snabbast möjliga körtiden. Den största relativa körtiden är den relativa körtiden för det tåg som fått mest ökad gångtid i förhållande till minsta möjliga.
10. Medelvärde relativ körtid: Medelvärdet av alla tågs relativa körtid.
Konkurrenshantering
När det kommer till konkurrenshantering har vi inte hittat några bra tidtabellsmått förutom att tåglägen som tillhör konkurrenter ska planeras omlott [15]. Dock kommer vi mäta antalet tåg vars transporttid är länge än den transporttid som anges för exkludering i prioriteringskriterierna som ett lackmustest för tåglägenas kommersiella lämplighet.