6. Utvärdering av strategier
6.1 Utvärderingsmått
För att utvärdera våra strategier behövs statistiska tester. Vi har valt att utvärdera strategierna med hjälp av två parametriska test, i form av ett konventionellt t-test och den så kallade CAPM-modellen, samt två deskriptiva mått i form av portföljavkastningarnas
standardavvikelse (risken) och Sharpekvoten. Vi kommer även diskutera eventuella källor till bias som kan ge missvisande resultat i utvärderingen.
6.1.1 Ett parat t-test
Låt 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑀𝑀 vara avkastningen för en av våra metoder, säg Strategi 1, och låt 𝜇𝜇𝑀𝑀 = 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑡𝑡𝑀𝑀) vara den förväntade avkastningen. Låt också 𝑅𝑅𝑡𝑡𝐼𝐼vara avkastningen för ett marknadsindex vi vill jämföra mot och låt 𝜇𝜇𝐼𝐼 = 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑡𝑡𝐼𝐼) vara den förväntade avkastningen. För att testa hypotesen att 𝜇𝜇𝑀𝑀 = 𝜇𝜇𝐼𝐼 så är det inom tidsserianalysen vanligt att man betraktar 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑀𝑀 och 𝑅𝑅𝑡𝑡𝐼𝐼 som parade observationer, och istället tittar på differensen 𝐷𝐷𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑀𝑀− 𝑅𝑅𝑡𝑡𝐼𝐼 (se till exempel Diebold och Mariano, 1995). Förutsatt att 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑀𝑀 och 𝑅𝑅𝑡𝑡𝐼𝐼 är stationära processer (se avsnitt 3.1) så är också 𝐷𝐷𝑡𝑡 en stationär process. Dessutom är 𝜇𝜇𝑀𝑀, 𝜇𝜇𝐼𝐼 och 𝜇𝜇𝑀𝑀𝐼𝐼 = 𝜇𝜇𝑀𝑀− 𝜇𝜇𝐼𝐼 konstanter. En
hypotesprövning kring huruvida den förväntade avkastningen från vår strategi är större än avkastningen från marknadsindexet kan då specificeras mot bakgrund av följande hypoteser:
𝐻𝐻0: 𝜇𝜇𝑀𝑀𝐼𝐼 = 0 𝐻𝐻1: 𝜇𝜇𝑀𝑀𝐼𝐼 > 0.
Nollhypotesen kan testas med ett t-test,
𝛥𝛥 =𝜇𝜇�𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑠𝑠 ∼ 𝛥𝛥𝑇𝑇−1 , där 𝜇𝜇̂𝑀𝑀𝐼𝐼 = 𝑇𝑇−1∑𝑇𝑇 𝐷𝐷𝑡𝑡
𝑡𝑡=1 och 𝑠𝑠 är den skattade standardavvikelsen för 𝜇𝜇̂𝑀𝑀𝐼𝐼. Vi använder 5 % signifikansnivå för detta test. Eftersom testet är enkelsidigt så förkastar vi nollhypotesen om det kritiska 𝛥𝛥-värdet vid 5 % signifikansnivå är mindre än testets 𝛥𝛥-värde.
36
Eftersom avkastningarna inte förväntas autokorrelera (om avkastningen skulle autokorrelera så skulle den vara predicerbar med en AR-modell), så kan varianserna skattas med
konventionella estimatorer, och vi behöver inte använda estimatorer som tar hänsyn till den långsiktiga (aggregerade) variansen via HAC-estimatorer (jämför med avsnitt 3.2).
6.1.2 CAPM-modellen
Capital Assets Price Model (CAPM) är en modell för att beskriva relationen mellan risk och förväntad avkastning (se till exempel Markowitz 1959). Syftet med CAPM-modellen är att utvärdera portföljens avkastningar i till exempel Strategi 1 mot jämförelseindex DJ USA eller SP500 (se till exempel Barber m.fl., 2001). Låt 𝑅𝑅𝑝𝑝,𝑡𝑡 vara en tidsserie med avkastningar från en av våra egna portföljer (till exempel Strategi 1) och låt 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑡𝑡 vara en tidsserie med avkastningar från ett av våra jämförelseindex (till exempel DJ USA). CAPM-modellen utgår från följande regression:
𝑅𝑅𝑝𝑝,𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝑝𝑝𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑡𝑡+ 𝜀𝜀𝑡𝑡,
där 𝛼𝛼 och 𝛽𝛽𝑝𝑝 är parametrar som kan skattas via OLS (se avsnitt 3.2).
𝛽𝛽𝑝𝑝 (beta) visar hur mycket aktiekursen svänger i förhållande till marknaden. Parametern 𝛼𝛼 mäter portföljens överavkastning, och investerare föredrar därför höga värden på 𝛼𝛼. Om 𝛼𝛼 är 1 % så har investeringarna i portföljen överpresterat jämfört med marknaden (index eller en annan portfölj som jämförelsen görs mot) med i genomsnitt 1 % inom den tidsperioden. Parametern 𝛼𝛼 kallas även för “Jensen’s alpha”. I uppsatsen kommer vi testa om 𝛼𝛼 är signifikant större för våra strategier jämfört med marknadsindex. Se avsnitt 3.2 för skattningarna av 𝛽𝛽̂ och dess hypotesprövning. Standardavvikelsen för 𝛼𝛼� skattas av
𝜎𝜎�𝛼𝛼 = �𝑇𝑇(𝑇𝑇 − 2) �� 𝜀𝜀̂1 𝑡𝑡2 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 � ∑𝑇𝑇𝑡𝑡=1𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑡𝑡2 ∑ �𝑅𝑅𝑇𝑇 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑡𝑡− 𝑅𝑅�𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑡𝑡�2 𝑡𝑡=1 , där 𝑇𝑇 är antal observationer.
37 Hypoteserna blir då:
𝐻𝐻𝑜𝑜: 𝛼𝛼 = 0, 𝐻𝐻1: 𝛼𝛼 > 0,
som testas med följande t-test: 𝛥𝛥 =𝛼𝛼�−𝛼𝛼𝜎𝜎�
𝛼𝛼� ∼ 𝛥𝛥𝑇𝑇−2. Vi använder signifikansnivån 5 %. Eftersom vi använder ett enkelsidigt test så förkastar vi nollhypotesen om 𝛥𝛥 > 𝛥𝛥𝑖𝑖−2;0,05, där 𝛥𝛥𝑖𝑖−2;0,05
betecknar det kritiska värdet vid 5 % signifikansnivå.
Notera att detta t-test är ekvivalent med t-testet i avsnitt 6.1.1 under restriktionen 𝛽𝛽 = 1.
6.1.3 Risken
Vid portföljanalys brukar man beräkna standardavvikelsen för portföljens avkastning, vilket kan användas som ett mått på risk (se till exempel Markowitz, 1959). Låt 𝑅𝑅�𝑡𝑡= 𝑇𝑇−1∑𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑡𝑡
𝑡𝑡=1
vara den genomsnittliga avkastningen för tidsperioderna 𝛥𝛥 = 1,2, . . . , 𝑇𝑇. Risken för en portfölj eller tillgång mäts då med den skattade standardavvikelsen,
𝜎𝜎�𝑃𝑃 = �∑ (𝑅𝑅𝑇𝑇 𝑡𝑡− 𝑅𝑅�𝑡𝑡)2 𝑡𝑡=1
𝑇𝑇 − 1 .
6.1.4 Sharpekvoten
Sharpekvoten är en metod för att bedöma relationen mellan risk och förväntad avkastning, och kan användas för att jämföra olika portföljstrategier (se till exempel Investopedia, 2021g). Metoden är skapad av William F. Sharpe. Låt 𝜇𝜇𝑃𝑃 vara den förväntade avkastningen och 𝜎𝜎𝑃𝑃 vara standardavvikelsen (risken) för en portfölj. För att beräkna sharpekvoten tar man den förväntade avkastningen, delat med risken:
𝛥𝛥ℎ𝛥𝛥𝑠𝑠𝑎𝑎𝛥𝛥𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝛥𝛥 =𝜇𝜇̂𝑃𝑃 𝜎𝜎�𝑃𝑃.
38
Idén är att om du har högre förväntad avkastning än risk så kommer värdet vara över 1. Ju högre avkastningen blir och ju lägre risken blir, desto högre blir kvoten. Investerare söker efter höga värden på kvoten.
6.1.5 Potentiella källor till bias
Under arbetet med denna uppsats fann vi en viktig källa till potentiell bias i våra resultat. Värdet på det justerade stängningspriset 𝑃𝑃fastställs när börsen stänger kl. 16.00 (GMT−4). Vissa nyhetsartiklar kan dock släppas efter detta klockslag. Detta ledde till att Strategi 1 i viss mån betingades på information från framtiden (se figur 8). I vårt stickprov utgör andelen artiklar som släpps efter kl. 16.00 i genomsnitt 20 % av alla artiklar som publiceras på en dag. Källan till bias har beaktats genom att utesluta artiklar publicerade efter kl. 16.00 amerikansk tid vid tidpunkten 𝛥𝛥. Denna källa till bias gäller inte för Strategi 2 eftersom beräkningen av framtida avkastningen i det fallet är gjord genom att ta nästa dags justerade stängningspris. En annan viktig distinktion är att Strategi 2 summerar antal artiklar senaste halvåret, och därmed reducerar risken för den här typen av problem.
Figur 8: Illustration av problematiken.
Vi fann ytterligare en källa till bias. Listan på bolag är från 2021, och inte från 2019-05-01 då tidsperioden börjar. Ett problem som blir bekymmersamt om man till exempel går tillbaka flera decennier, eftersom man på förhand enbart tittar på företag som har överlevt finansiellt. För Strategi 1 bestäms urvalet (listan) vid 2021. För att korrigera för detta så har vi inkluderat alla large caps som någon gång har haft börsvärde på mer än 20 miljarder USD i
tidsperioden. Eftersom vårt stickprov är förhållandevis stort och startpunkten ligger nära i tiden så borde problemet vara mindre omfattande. Omfattningen av problemet diskuteras i
39
uppsatsens diskussionsavsnitt (se avsnitt 8). I Strategi 2, när vi hämtar de 20 mest nämnda i dagspressen, så har källan till bias beaktats genom att inkludera avnoterade tillgångar i undersökningen. Det var 31 tillgångar som någon gång under perioden 2019–2021 blev avnoterade på den amerikanska marknaden och vid något tillfälle hade ett börsvärde på mer än 20 miljarder USD. En annan viktig åtgärd har varit att hämta historiska börsvärden på samtliga tillgångar i undersökningen och uppdatera listan samt att “rotera” kring de cirka 5 000 företag i undersökningen efter historiska börsvärden vid tidpunkten 𝛥𝛥. Vi har gjort detta i och med att beräkningen av börsvärde bygger på aktiepriset och om vi då har företag från 2021 “large caps” så kommer vi betinga på information från framtiden. Börsvärdet i vår rapport ändras då per kvartal när kvartalsrapporten publiceras. Detta resulterade i att listan uppdateras 7 gånger i utvärderingen.