Výpočet desek

Na úvod je třeba říci, že níže popsaný postup výpočtu bude vztažen pouze na desky (nikoliv skořepiny) kruhového tvaru, neboť nejlépe aproximují tvar kruhového dosud nedeformovaného (nezatěžovaného) rondelu. Tento tvar desek, jak již bylo zmíněno v kapitole 6.1., bývá řešen nejčastěji v cylindrických souřadnicích (poloha bodu je dána poloměrem x, úhlem ψ a svislou odlehlostí z).

Před započetím vlastního odvození je velmi důležité nejprve stanovit zjednodušující předpoklady, bez kterých by byl výpočet velmi obtížný, v některých případech i nemožný.

Předpokládáme tyto zjednodušující podmínky [6, 12, 15]:

• platí lineární Hookův zákon,

• ve většině případů platí též teorie malých deformací.

Ing. Jan Boček 67 2008 Z tohoto plyne, že většina řešení bude lineárních, jen v některých případech, u velkých deformací, budeme nuceni zohlednit nelinearitu řešení. Pro další zjednodušení využijeme toho, že se zde většinou jedná o rotačně symetrické úlohy, kde je vnější zatížení konstantní a spojité na jednotlivých kružnicích soustředných s deskou (vnější zatížení je funkcí pouze poloměru x nikoliv úhlu ψ). Za tohoto předpokladu platí, že i napětí a deformace jsou rotačně symetrické a tedy jejich velikost se mění jen s jednou proměnnou, a to poloměrem x. Tuto soustavu lze popsat obyčejnými diferenciálními rovnicemi, což velmi zjednodušuje celý následný výpočet. Postup řešení dané úlohy je následující [6, 12, 15].

• V první fázi musíme provést analýzu napětí, tj. na základě známých rozměrů a vnějších zatížení stanovit průběhy a velikosti jednotlivých napětí.

• Současně je nutné stanovit i případné staticky neurčité veličiny (někdy lze ovšem získat výsledky rychleji a to experimentálně, přímým měřením na modelu).

• Nakonec musíme posoudit přípustnost zjištěných napjatostí pro daný materiál (to vyžaduje znalost celé řady pojmů z teorie plasticity, nauky o materiálu a dalších předmětů a oborů).

6.2.1. Desky tlusté

Podrobným popisem výpočtu těchto desek se zde nebudeme zabývat, neboť je poměrně komplikovaný a krom toho je tento model pro popis stavů při tažení tenkého plechového rondelu nevhodný.

6.2.2. Desky střední tloušťky

U tohoto typu, jak již bylo popsáno v kapitole 6.1.2, počítáme převážně s napětím ohybovým a smykové se objeví pouze v rovnici rovnováhy pro směr kolmý k desce, i když se jeho vliv na deformace ve výsledku neuvažuje.

Vlivem zjednodušujících a omezujících faktorů se deska (střední tloušťky) ve výsledku deformuje tak, že válcové řezy původně souosé s deskou se přemění deformací na řezy kuželové. Ani tento typ desek se příliš nehodí pro modelování procesu tažení tenkých plechů a proto není třeba dále podrobně popisovat postup výpočtu. Za desky střední tloušťky se tedy považují takové, které splňují následující podmínky [12, 15].

Ing. Jan Boček 68 2008

• Tloušťka vztažená na poloměr desky se pohybuje v mezích 1/5 až 1/10 a zároveň jejich průhyb není příliš velký.

• Platí Hookův lineární zákon.

• Střední plocha těchto desek (s nulovým ohybovým napětím - zanedbáváme membránová napětí) se deformuje tak, že její body se posouvají pouze svisle, ne však radiálně.

• Úsečky zůstávají přímé a kolmé na střední plochu (neutrální plochu) i po deformaci = Kirchhoffova hypotéza (hypotéza platí, neboť zanedbáváme smyková napětí = lineární rozložení deformací a napětí po tloušťce desky). všech nejlépe popisuje podmínky, které nastávají při tažení kruhových rondelů. Vliv velkých průhybů, a tedy i velkých úhlů pootočení, se při výpočtu projeví. Nejprve se v rovnici rovnováhy pro svislý směr osy z objeví i složky těch napětí, která u Kirchhoffovy desky ležela pouze v rovině desky a dále zde již není lineární závislost mezi vnějším zatížením, napětím a průhybem [15].

a) Odvození základních vztahů

Vlivem rotační symetrie úlohy má poměrné prodloužení v tečném směru εt tvar dle vztahu (6.1), kde u je posuv zvoleného bodu ve směru osy x vlivem zatížení desky [6, 15].

x u t =

ε [-] (6.1)

U poměrného prodloužení ve směru radiálním εr je odvození poněkud komplikovanější. Nejprve uvažujeme element desky před deformací označený A0B0 s délkou dx, který bude mít po deformaci polohu A1B1 a velikost de, jak je naznačeno na obrázku Obr. 6.2 [12, 15].

Ing. Jan Boček 69 2008 Obr. 6.2: Deformace desky

S použitím obrázku lze odvodit radiální poměrné prodloužení εr ve tvaru (6.2) [6, 15].

cos 1

Tento vztah lze zjednodušit použitím trigonometrického vzorce a binomického rozvoje (se zanedbáním členů rozvoje s vyššími mocninami, neboť jsou úhly sklonu malé). Dále můžeme roznásobit vzniklé členy a zanedbat ty, které obsahují násobky tří a více derivací (násobení malých čísel dá ve výsledku ještě menší číslo). Po těchto úpravách dostaneme původní rovnici (6.2) zjednodušenou na tvar (6.3) [15].

2 směru funkcí nejen posuvu u, ale i průhybu desky w. Tento vztah lze dále přepsat použitím úpravy (6.4), jejíž odvození je naznačeno schematicky na obrázku Obr. 6.3 [15].

Ing. Jan Boček 70 2008 rovnice tečného a radiálního napětí (6.7) [6, 15].

( )

Ing. Jan Boček 71 2008 Tyto vztahy jasně ukazují rozložení obou napětí na membránové (konstantní po celé tloušťce desky), které je dáno první částí výrazů a na napětí ohybové (lineárně závislé na souřadnici z), které charakterizuje druhá část vzorců [15].

Obr. 6.3: Výsledné odvození

Odvození diferenciální rovnice tenké kruhové desky provedeme za pomoci obrázku Obr. 6.3. Z prohnuté desky vytkneme část o poloměru x a napíšeme pro ni složkovou rovnici pro směr z. Výslednici vnějšího zatížení označíme Q(x), posouvající sílu vztaženou na jednotku délky označíme t a na ni působící membránové napětí v radiálním směru σ^'r, které vyvodí na jednotku délky sílu σ^'r.h (kde h je celková tloušťka desky). Ohybové napětí má v tomto případě nulovou výslednici a v rovnici rovnováhy tedy chybí. Úhel sklonu φ již není zanedbatelný, ale stále je velmi malý, a proto pro něj můžeme psát zjednodušující rovnici ve tvaru (6.8) [15].

sinϕ ≈ ϕ ≈ϕ =− = ,cosϕ ≈1 dx

dw dx

tg dw (6.8)

Jelikož průhyb s rostoucím x klesá, takže platí podmínka dw/dx <0, je nutno psát při odstraňování absolutní hodnoty znaménko mínus. Hledaná rovnice rovnováhy pro svislý směr má tedy po úpravách tvar (6.9) [15].

( )

dx

x dw h

x t

x

Q = ⋅2⋅π⋅ −σ_r^´ ⋅ ⋅2⋅π⋅ ⋅ [N] (6.9)

Ing. Jan Boček 72 2008 Posouvající sílu t lze dále vyjádřit z Kirchhoffovy teorie pro desky střední tloušťky, a to z momentové rovnice rovnováhy, neboť tato rovnice platí i zde. Jednotlivé ohybové

Tato rovnice rovnováhy pro výsledné řešení nestačí, neboť opět obsahuje dvě neznámé veličiny závislé na x, a to průhyb w(x) a napětí F(x). Proto musíme použít ještě jednu rovnici, a to rovnici kompatibility. Získáme ji z rovnice pro střední plochu desky, kde působí jen membránové napětí (použijeme vztahu pro tečné poměrné prodloužení u = x.εt). Vztah pro radiální poměrné prodloužení bude potom ve tvaru (6.13) [15].

2

Obecná vyjádření poměrných prodloužení střední plochy desky popisuje Hookův zákon. Po dosazení příslušných derivací získáme vztah (6.14) [15].

Ing. Jan Boček 73 2008 neznámých, ovšem řešení je velmi složité. Pro určení membránových napětí můžeme použít rovnic (6.11), pro napětí ohybová vyjdeme ze vztahů (6.7), kde jsou tato napětí dána druhými členy vzorců. Pokud chceme kupříkladu vyjádřit ohybová napětí na spodní ploše desky, mají potom vztahy tvar (6.16). Koeficient E^* se potom nazývá zpevněný modul pružnosti a je rovnice dokonale ohebných pružných membrán. Jelikož byly tyto rovnice odvozeny právě z Kirchhoffovy hypotézy zachování přímých normál, nelze je již použít pro výpočet tlustých desek [15].

Pokud bychom chtěli získat rovnice pro dokonale ohebné pružné membrány, musíme položit ohybovou tuhost D rovnu nule. Tím získáme soustavu rovnic ve tvaru (6.18) [15].

Ing. Jan Boček 74 2008

Pro správné vyřešení soustavy rovnic, získané v předchozí kapitole, je nezbytné zavést okrajové podmínky. Opět i v tomto případě uvažujeme kruhovou rotačně symetrickou tenkou desku o poloměru r a tloušťce h. Okrajové podmínky se liší pro různé typy desek, a proto zde uvedu některé základní případy [6, 15].

U podepřeného i vetknutého konce uloženého posuvně je nulové radiální membránové napětí.

Pro x = r tedy platí σ^'r.(r) = 0 a  =0

Deska s podepřeným nebo i vetknutým koncem uložená neposuvně vykazuje nulový radiální posuv ve střední ploše tj. pro x = r platí ∆r = 0 a lze tedy psát vztah (6.19) [15].

Ing. Jan Boček 75 2008 Po dosazení za membránová napětí dostaneme okrajovou podmínku ve tvaru (6.20) [15].

2 0

Jelikož je výsledná soustava rovnic (6.12), (6.15) poměrně komplikovaná, bývá často pro jejich zjednodušení použita některá z přibližných metod řešení. Zde nyní uvádím zjednodušený postup řešení Galerkinovou metodou.

Při její aplikaci má původní obecná diferenciální rovnice tvar L(x,w) = 0. Odhadneme její pravděpodobné řešení w(x), které obsahuje některé neznámé parametry a vyhovuje okrajovým podmínkám. Neznámé parametry následně určíme z podmínky, že L(x) a w(x) jsou v celé oblasti, pro niž provádíme řešení, ortogonální funkce a tudíž pro ně platí rovnice (6.21), kde integrační mez S je oblast řešené desky [15].

( ) ( )

dostaneme výsledné řešení. V technické praxi nás nejvíce zajímají hodnoty napětí uprostřed a na obvodě desky a velikost maximálního průhybu. Z tohoto důvodu zde nyní uvedu zjednodušené univerzální vztahy, odvozené ze zmíněných rovnic pro výpočet hledaných parametrů.

• membránová napětí

Hodnoty radiálního a tečného membránového napětí ve středu (x = 0) a na okraji desky (x = r) zjistíme ze vztahů (6.22). Vztahy jsou v bezrozměrném tvaru, kde S je konstanta, jejíž hodnoty jsou pro různé případy zatížení a uložení desek uvedeny v tabulce Tab. 6.1 (hodnoty platí pro Poissonovo číslo µ = 0,3) [15].

Ing. Jan Boček 76 2008 tabulce Tab. 6.1 (hodnoty platí pro µ = 0,3). Výslednou korekcí znaménka můžeme zdůraznit, zda jsme počítali napětí na horní nebo spodní straně desky [15].



Ing. Jan Boček 77 2008 zjednodušeném lineárním tvaru kde ν³ = ν. Bezrozměrné konstanty K, L jsou zpracovány pro různé způsoby zatížení a uložení desky v tabulce Tab. 6.2 (hodnoty platí pro µ = 0,3) [15].

Ing. Jan Boček 78 2008 nulovou ohybovou tuhostí D). Tato tuhost je popsána vzorcem (6.27) [15].

(

¹

)

⁰

Problém dokonale ohebné pružné membrány popisovala již upravená soustava rovnic (6.18). Z řešení této soustavy dostaneme výsledné vztahy, s univerzálními konstantami, pro maximální průhyb (6.28) a jednotlivá napětí (6.29) a (6.30). Vzorce platí pro µ = 0,3 [15].

4

Napětí uprostřed membrány pro x = 0 je dáno vztahem (6.29) [15].

( )

²

Jelikož hovoříme o membránách, je tedy napětí působící v tělese pouze membránové a ohyb je zanedbatelně malý.

Ing. Jan Boček 79 2008

In document DISERTAČNÍ PRÁCE Vliv rychlosti p (Page 67-80)