Institutionen för naturvetenskap och teknik
Lie-teori och nästan
kommutativa fält
Örebro universitet
Institutionen för naturvetenskap och teknik
Självständigt arbete för kandidatexamen i matematik, 15 hp
Lie-teori och nästan kommutativa fält
Malte Litsgård Juni 2016
Handledare: Marcus Sundhäll Examinator: Holger Schellwat
Abstract
We give a comprehensive introduction to manifolds, Lie groups, and their associated Lie algebras. A characterization of the Lie bracket which connects the most commonly seen characterizations in a canonical fashion is presented (thm. 4.4.1). We make use of ideas from Riemannian geometry to begin an investigation of what it means for vector elds on Lie groups to be more or less commutative. We present a measure of commutativity, discuss its properties, and close with a few suggestions for future work.
Sammanfattning
Vi ger en överskådlig introduktion till mångfalder, Lie-grupper och deras associerade Lie-algebror. En karaktärisering av Lie-parentesen som natur-ligt kopplar ihop de vanligast förekommande karaktäriseringarna presente-ras (sats 4.4.1). Vi använder idéer från Riemanngeometrin för att inleda en undersökning av vad det betyder för vektorfält på Lie-grupper att vara mer eller mindre kommutativa. Vi presenterar ett mått av kommutativi-tet, diskuterar dess egenskaper och avslutar med några förslag på framtida undersökningar.
Innehåll
1 Inledning 5 2 Topologi 7 2.1 Grundläggande begrepp . . . 7 2.2 Separationsaxiom . . . 9 3 Mångfalder 11 3.1 Mångfalder . . . 113.2 Immersioner och delmångfalder . . . 14
3.3 Tangentrum . . . 15 3.4 Ett exempel: Rn . . . 18 3.5 Knippen och fält . . . 21 4 Lie-grupper 25 4.1 Lie-grupper . . . 25 4.2 Inducerad Lie-algebra . . . 28 4.3 Exponentialfunktionen . . . 31
4.4 Alternativ karaktärisering av Lie-parentesen . . . 34
4.4.1 Flöden . . . 34 4.4.2 Representationsteoretisk vinkel . . . 37 4.5 Några exempel . . . 38 4.5.1 GLn(R) . . . 38 4.5.2 SO3(R) . . . 39 5 Riemanngeometri 41 5.1 k-tensorer . . . 41 5.2 Riemannmetrik . . . 42 5.3 Kurvlängd . . . 44 6 Kommutativitet av vektorfält 47 6.1 Konstruktion av norm på g . . . 47 6.2 Vänsterinvarianta fält . . . 51 6.3 Framtida arbete . . . 54
A Abstrakt algebra 58
Kapitel 1
Inledning
Den här uppsatsen ämnar göra två saker. Den första är att ge en introduk-tion till Lie-grupper som kan förstås av en intresserad matematikstudent på kandidatnivå. Den litteratur som nns att tillgå i ämnet kan verka överväldi-gande och bygger ofta på stadiga bakomligöverväldi-gande kunskaper i topologi, teorin för mångfalder eller Lie-algebror. Detta är synd då Lie-grupperna blivit cen-trala objekt i den moderna matematiken (se Bishop [2]) och förtjänar att introduceras på kandidatnivå. Här ges en handfast introduktion där centrala satser valts ut och bevisen är längre än standardbevisen, men (förhoppnings-vis) lättare att följa. Vi kommer så gott det går att hålla oss till geometrisk intuition och återkoppling till välbekanta fall för att underlätta förståelsen.
Nästa syfte (som bör ses som huvudsyftet) är att med idéer från Rie-manngeometrin konstruera ett mått på hur kommutativa två vektorfält på en Lie-grupp är. Idén med att mäta icke-kommutativitet är inte något teoretiskt nytt, utan används ofta (förbigående) för att karaktärisera Lie-parentesen (se t ex Simic [17]). Tanken är dock intressant och vi tittar här närmare på vad det betyder för vektorfält att vara mer eller mindre kom-mutativa. Vi tar fram ett mått som vi kan göra beräkningar med. Detta kan tänkas tillämpas exempelvis i teorin för system av dierentialekvationer, numerisk analys och reglerteori (se Jurdjevic [10]).
I uppsatsen presenteras en hel del teori och ödesschemat i gur 1.1 visar ungefär den tänkta strukturen. Man bör dessutom tänka på uppsatsen som två delar, dock utan någon tydlig gräns mellan dessa. I början av uppsatsen förutsätts inga stora förkunskaper hos läsaren utöver grundläggande kun-skaper i ervariabelanalys, linjär- och abstrakt algebra. Längre in i texten lämnas mer åt läsaren. Vi avslutar med några öppna frågeställningar som förslag på framtida utvecklingar av de ideér som presenteras i sista kapitlet. Samtliga gurer i uppsatsen är framtagna med ritprogrammet TikZ, för-utom gur 6.2 som är framtagen med Matlab.
Jag vill rikta ett stort tack till min fantastiske handledare Marcus Sund-häll för alla långa, givande och inspirerande diskussioner!
Topologi Mångfalder grupper
Lie-Tangentrum Vektorfält algebror
Lie- Riemann-geometri Mått på kommu-tativitet Abstrakt algebra
Kapitel 2
Topologi
Innan vi kan presentera mångfaldsbegreppet behöver vi lite topologisk bak-grund, så vi samlar här några viktiga begrepp från topologin. För en ingående introduktion rekommenderas Gamelin och Greene [7]. Detta kapitel är inte ett appendix då många matematikstudenter på kandidatnivå aldrig har läst topologi. Den som är förtrogen med topologi kan hoppa över detta kapitel.
2.1 Grundläggande begrepp
De nition 2.1.1. En topologi är en familj T av delmängder av en mängd X som uppfyller
1. Hela X och tomma mängden tillhör T . 2. Varje union av mängder i T tillhör T . 3. Varje ändligt snitt av mängder i T tillhör T .
Ett par (X, T ) kallas ett topologiskt rum och mängderna i T kallas öppna. En topologi bestämmer alltså vilka delmängder av en mängd som är öppna i mängden. En topologi med få öppna mängder kallas grov och en med många öppna mängder kallas n.
Exempel 2.1.1. Rummet Rntillsammans med topologin som induceras av
dess norm (den vanliga topologin) är ett topologiskt rum.
De nition 2.1.2. Låt X vara ett topologiskt rum. En bas för topologin på X är en familj B av öppna mängder i X sådana att varje öppen mängd i X är en union av mängder i B.
En speciell topologi som förtjänar en de nition här är delrumstopologin, eller relativa topologin.
De nition 2.1.3. Låt (X, T ) vara ett topologiskt rum och låt S ⊆ X. Då de neras den relativa topologin TS enligt följande.
TS ={S ∩ U : U ∈ T } .
Låt oss precisera vad som menas med en konvergent följd i ett topologiskt rum.
De nition 2.1.4. Låt X vara ett topologiskt rum och låt {xi}∞i=1 vara en
följd i X. Följden {xi}∞i=1säges vara konvergent mot x ∈ X om det för varje
1≤ N < ∞ nns en omgivning U av x sådan att i≥ N ⇒ xi ∈ U.
De nition 2.1.5. Låt X, Y vara topologiska rum. En funktion f : X → Y säges vara kontinuerlig om f−1(V ) är öppen i X när V är öppen i Y . Funktionen f säges vara öppen om U ⊂ X öppen ⇒ f(U) ⊂ Y öppen.
Den här de nitionen av kontinuitet är den moderna topologiska de nitio-nen som inte behöver någon metrik eller norm på det bakomliggande rummet för att fungera. Om vi har en kontinuerlig och bijektiv funktion med konti-nuerlig invers så bevarar den öppenhet. Den bevarar alltså den topologiska strukturen. En sådan funktion är en topologisk isomor , låt oss göra en de- nition.
De nition 2.1.6. En homeomor är en bijektion f : X → Y mellan to-pologiska rum sådan att f och f−1 är kontinuerliga. Om det existerar en
homeomor mellan två topologiska rum säges de vara homeomorfa. Detta är en ekvivalensrelation och betecknas ∼=.
Ofta konstruerar man nya topologiska rum genom att identi era punkter i gamla rum med varandra. Det man får då är ett så kallat kvotrum. Vi gör en formell de nition.
De nition 2.1.7. Låt ∼ vara en ekvivalensrelation på ett topologiskt rum X och π : X → X/ ∼ den kanoniska avbildningen som skickar x ∈ X till sin ekvivalensklass. Då kan rummet X/ ∼ utrustas med en naturlig topologi, kvottopologin, enligt följande. U ∈ X/ ∼ är öppen om π−1(U )är öppen i X.
Då är π kontinuerlig med avseende på denna topologi.
Exempel 2.1.2. De nera en relation ∼ på R så att x ∼ y om och endast om x− y ∈ Z. Betrakta kvotrummet R/ ∼. Ekvivalensklasserna kan identi eras med intervallet [0, 1). De nera en avbildning f : [0, 1) → C, f(t) = e2πit. Då
är f([0, 1)) = S1 (enhetscirkeln). f är uppenbart bijektiv och kontinuerlig
med kontinuerlig invers och därmed en homeomor . Alltså är S1∼=R/ ∼ .
Givet en följd {Xi}ni=1 av topologiska rum kan vi utrusta mängden
X = X1× X2× · · · × Xn
med en topologi sådan att de öppna mängderna U ⊆ X är på formen U = U1× U2× · · · × Un,
där mängderna Ui är öppna i Xi för alla 1 ≤ i ≤ n.
De nition 2.1.8. Låt {Xi}ni=1 och X vara som ovan och låt πi : X → Xi
vara de kanoniska projektionerna. Produkttopologin på X de neras som den grövsta topologin (topologin med minst antal öppna mängder) sådan att πi
är kontinuerliga för alla 1 ≤ i ≤ n.
I ett produktrum har vi alltså identi erat varje punkt i ett rum med ett helt rum. Det enklaste exemplet på detta är en plan (t ex R2) där varje
punkt på en linje identi erats med en linje. Ett annat enkelt exempel är en 2-torus, där varje punkt på en cirkel identi erats med en cirkel, dvs
T2 ∼
= S1× S1.
2.2 Separationsaxiom
I ett topologiskt rum skiljer man på olika grader av separation. Löst uttryckt är det ett mått på hur många öppna mängder det nns i topologin. De olika graderna kallas T1, T2, T3 och T4. De kan karakteriseras som följer. Låt X
vara ett topologiskt rum. X är ett T1-rum om det för varje distinkt par av
punkter x, y ∈ X nns en öppen mängd U sådan att y ∈ U och x /∈ U. Rummet X är ett T2-rum, eller Haussdor, om det för varje par av punkter
x, y∈ X nns disjunkta öppna mängder U, V sådana att x ∈ U och y ∈ V . Ett T1-rum X är ett T3-rum om det för varje sluten delmängd E och varje
x∈ X\E nns öppna mängder U, V så att E ⊂ U och x ∈ V . Ett T1-rum
X är ett T4-rum om det för varje par av disjunkta slutna delmängder E,
F ⊂ X nns disjunkta öppna mängder U, V sådana att E ⊂ U och F ⊂ V . Notera att dessa egenskaper bygger på varandra så att
T4⇒ T3⇒ T2⇒ T1,
vilket illustreras i gur 2.1 (observera att T4 förutsätter T1).
De topologiska rum som är av speciellt intresse inom analys är de som är Haussdorrum. Den främsta anledningen att Haussdor är en trevlig egen-skap sammanfattas i följande sats.
Sats 2.2.1. Låt X vara ett topologiskt rum och antag att X är Haussdor. Låt (xn) vara en konvergent följd i X. Då konvergerar (xn) mot ett unikt
T1-rum
T2-rum
T3-rum
T4-rum
Figur 2.1: Separationsegenskaper bygger på varandra.
Bevis. Eftersom (xn)är konvergent så nns minst ett x så att xn→ x. Antag
att xn → x och xn → x0 och att x 6= x0. Eftersom X är Haussdor nns
disjunkta öppna mängder U och U0 med x ∈ U och x0 ∈ U0. Då x n → x
nns ett tal N ∈ R så att n > N ⇒ xn ∈ U. Å andra sidan nns N0 ∈ R
så att n > N0 ⇒ x
n ∈ U0, då xn → x0. Låt N∗ = max(N, N0). Vi får att
Kapitel 3
Mångfalder
En mångfald är löst formulerat ett topologiskt rum sådant att det lokalt ser ut som ett Euklidiskt rum. Exempelvis ser en liten bit av en 2-sfär ut som ett plan. Det vet alla som stått mitt på en stor åker, trots att vi vet att Jorden är rund känns det som att stå på en plan yta.
3.1 Mångfalder
De nition 3.1.1. En (topologisk) n-mångfald M är ett topologiskt rum med dim M = n sådant att
1. M är Haussdor.
2. Varje punkt p ∈ M har en omgivning Up som är homeomorf med ett
n−klot i Rn.
3. M har uppräknelig bas av öppna mängder.
De nition 3.1.2. Ett par {U, ϕ}, där U är en öppen mängd och ϕ är en homeomor mellan U och en öppen delmängd av Rn, säges vara en
koordi-natomgivning. y x ϕ U ϕ(U ) M R2 Figur 3.1: En koordinatavbildning.
För att kunna exempelvis prata om vad en C∞-kurva på en mångfald
är för något behöver man ställa vissa krav på dess koordinatomgivningar. Om {U, ϕ} och {V, ψ} är koordinatomgivningar på en mångfald M sådana att U ∩ V 6= ∅ så behöver koordinaterna vara kompatibla i meningen att om representationen för en kurva på M är C∞ i ϕ(U) så är den det i ψ(V )
också. Bytet av koordinater görs via avbildningen ψ ◦ ϕ−1 eller ϕ ◦ ψ−1. Se
följande diagram. M ϕ(U∩ V ) ψ(U ∩ V ) ϕ ψ ψ◦ϕ−1 ϕ◦ψ−1
De nition 3.1.3. Paren {U, φ} och {V, ψ} säges vara C∞-kompatibla om
U∩ V är icke-tomt implicerar att φ ◦ ψ−1 och ψ ◦ φ−1 är bijektiva C∞
-avbildningar mellan φ(U ∩ V ) och ψ(U ∩ V ).
De nition 3.1.4. En dierentierbar, eller C∞-, struktur på en topologisk
mångfald M är en familj U = {Uα, φα} av koordinatomgivningar s.a.
1. {Uα} är en övertäckning av M.
2. För godtyckliga α, β är omgivningarna {Uα, φα} och {Uβ, φβ} C∞
-kompatibla.
3. Varje koordinatomgivning {V, ψ} som är C∞-kompatibel med varje
{Uα, φα} ∈ U själv nns i U.
En C∞-mångfald är en topologisk mångfald tillsammans med en C∞-struktur.
Familjen U kallas ibland för atlas och koordinatomgivningarna för kartor. Notera att varje öppen delmängd U i en C∞-mångfald M själv är en C∞
-mångfald. Detta inses genom att först utrusta U med relativa topologin, C∞
-strukturen ges då av {(V ∩ U), ψ|(V ∩ U)} för alla koordinatomgivningar {V, ψ} i M.
Följande sats visar att det är punkt (1.) och (2.) i de nition 3.1.4 som är viktiga för att de nera en C∞-struktur. Se Boothby [3] för ett bevis.
Sats 3.1.1. Låt M vara ett topologiskt rum som är Haussdor och har upp-räknelig bas av öppna mängder. Om {Uα, φα} är någon övertäckning av M
som utgörs av C∞-kompatibla koordinatomgivningar så nns en unik C∞
-struktur som innehåller de koordinatomgivningarna.
Sats 3.1.1 innebär att för att visa att en mångfald är C∞behöver vi bara
hitta en övertäckning av parvis C∞-kompatibla koordinatomgivningar. Låt
Exempel 3.1.1. Rn är en C∞-mångfald. Vi väljer helt enkelt {Rn, id} som
koordinatomgivning. Varje öppen delmängd av Rn är därför också en C∞
-mångfald.
Exempel 3.1.2. Låt oss titta närmare på enhetscirkeln S1 för att illustrera
vad kompabilitet mellan koordinatomgivningar innebär. Vi kan tänka på cirkeln som
S1=x∈ R2 :kxk = 1 .
Det är dock viktigt att påpeka att vi endast gör identi eringen ovan för att underlätta representationen av S1 (den ska tänkas på som ett rum, inte
en kurva inbäddad i R2). Vi kan utrusta S1 med relativa topologin, så att
U ⊆ S1 är öppen i S1 om
U = S1∩ ˜U ,
där ˜U är öppen i R2. Detta garanterar att S1 är Haussdor och har
uppräk-nelig bas av öppna mängder. Betrakta nu de öppna delmängderna U1+=x∈ S1 : x 1 > 0 , U1−=x∈ S1 : x1 < 0 , U2+=x∈ S1 : x 2 > 0 , U2−=x∈ S1 : x2 < 0 . och projektionerna π±xi : Ui±→ (−1, 1), x 7→ xi.
Det är enkelt att veri era att projektionerna π±
xi är homeomor er och
där-med att Ui±, πx±i är koordinatomgivningar och S1 är en topologisk
1-mångfald. KoordinatomgivningarnaUi±, π± xi är dessutom C∞-kompatibla. U2− U1+ R R π+ x1 πx+2 Figur 3.2: Två koordinatomgivningar på S1.
Vi har exempelvis att π+ x1(U + 1 ∩ U + 2 ) = π+x2(U + 1 ∩ U + 2 ) = (0, 1),
och π+x2 ◦ πx+1−1: (0, 1)→ (0, 1), t 7→ πx+2 πx+1−1(t)= π+x2t,p1− t2. Uppenbart är π+ x2◦ π + x1 −1
en bijektiv C∞-avbildning med C∞invers. mellan
π+ x1(U
+
1 ∩ U2+)och πx+2(U
+
1 ∩ U2+). Att övriga koordinatomgivningar är C∞
-kompatibla kan visas helt analogt. Vi har visat att S1 är en C∞-mångfald,
och bevisidén går att generalisera för att visa att alla Sn är n-mångfalder.
På en C∞-mångfald M nns tillräckligt med struktur för att vi ska kunna
prata om en C∞-kurva på mångfalden, eller C∞-avbildningar mellan
mång-falder.
De nition 3.1.5. Låt M och N vara mångfalder. En avbildning F : M → N säges vara C∞ om det för varje p ∈ M och F (p) ∈ N nns koordina-tomgivnigar {U, ϕ} kring p, {V, ψ} kring F (p) med F (U) ⊂ V sådana att ψ◦ F ◦ ϕ−1 är C∞. Se diagrammet nedan. M ⊇ U V ⊆ N Rm Rn F ϕ ψ ψ◦F ◦ϕ−1
Vi de nerar två speciella typer av avbildningar mellan mångfalder. De nition 3.1.6. En kurva på en mångfald M är en avbildning γ : R → M. De nition 3.1.7. Vi kommer kalla en avbildning f : M → R för en funktion på M.
De nition 3.1.8. En dieomor är en bijektiv C∞-avbildning F : M → N
sådan att F−1 är C∞. Två mångfalder M och N säges vara dieomorfa om
det nns en dieomor mellan dem.
3.2 Immersioner och delmångfalder
Att de nera en delmångfald är inte helt enkelt. I litteraturen förekommer era olika typer av delmångfalder och författare är inte helt ense om hur de bör de neras. Samtliga är dock överens om att en delmångfald till en mångfald M är en delmängd som själv är en mångfald, se Boothby [3] för en givande diskussion. Vi gör här den mest allmänna de nitionen. För att göra den behöver vi introducera begreppet immersion.
De nition 3.2.1. Låt F : M → N vara en dierentierbar avbildning mellan C∞-mångfalder. Låt p ∈ M och låt {U, ϕ}, {V, ψ} vara koordinatomgivning-ar sådana att p ∈ U, F (p) ∈ V . Vi de nerkoordinatomgivning-ar rangen av F i p som rangen av ψ◦ F ◦ ϕ−1 i ϕ(p), dvs
där D betecknar funktionalmatrisen.
De nition 3.2.2. En immersion är en avbildning F : M → N sådan att rang F = dim M överallt.
Exempel 3.2.1. Avbildningen F :R → R2, t7→ (cos(t), sin(t)) har funktionalmatris DF (t) = − sin(t) cos(t) .
Uppenbart har DF (t) rang 1, så rang F = 1 = dimR och F är en immersion. De nition 3.2.3. Låt F : M → N vara en injektiv immersion. Om vi låter F inducera en topologi och C∞-struktur på ˜M = F (M ) så kallas ˜M en
delmångfald i N och F : M → ˜M är en dieomor .
Anmärkning 3.2.1. Notera att en delmångfald inte nödvändigtvis är ett (to-pologiskt) delrum. En delmångfald som är ett delrum säges vara inbäddad.
3.3 Tangentrum
Vid varje punkt i en n-mångfald kan vi fästa ett n-dimensionellt vektorrum. Detta kallas tangentrummet i punkten och är ett av de viktigaste verktygen för att studera mångfalden. I denna sektion beskriver vi tangentrummet och visar att det går att givet en avbildning mellan mångfalder prata om dess dierential. Vi ger också ett längre exempel där dessa idéer relateras till fallet Rn. Senare kommer vi visa att vi kan samla alla tangentrum på en
mångfald i ett knippe, för att kunna prata om vektorfält på mångfalden. Innan vi kan göra en stringent de nition av tangentrummet behövs föl-jande de nition.
De nition 3.3.1. Låt f, g vara C∞-funktioner på M. Låt f ∼ g om f ≡ g
på någon omgivning av p ∈ M. Då bildar ekvivalensklasserna [f] en algebra över R. Vi betecknar denna C∞(p).
Nu kan vi de nera tangentrummet.
De nition 3.3.2. Tangentrummet Tp(M ) till M vid p är mängden av
av-bildningar Xp : C∞(p)→ R som för alla α, β ∈ R och f, g ∈ C∞(p)uppfyller
villkoren
1. Xp(αf + βg) = α(Xpf ) + β(Xpg)
med vektorrumsoperatoner de nerade enligt (Xp+ Yp)f = Xpf + Ypf,
(αXp)f = α(Xpf ).
En tangentvektor till M vid p är någon Xp∈ Tp(M ).
p
M
T
p(M )
Figur 3.3: Tangentrum i p.
I termer av tangentrum vill vi kunna prata om en linjärapproximation av en C∞-avbildning på en mångfald, dvs något liknande derivatan i Rn.
De nition 3.3.3. Låt M och N vara C∞-mångfalder och F : M → N en
C∞-avbildning. Då de neras dierentialen till F vid p ∈ M som F∗ : Tp(M )→ TF (p)(N ),
F∗(Xp)f = Xp(f ◦ F ),
där Xp ∈ Tp(M ), f ∈ C∞(F (p)) är godtyckliga.
Anmärkning 3.3.1. Dierentialen F∗ kallas ibland push-forward och kan
de neras i termer av pullback. Vi väljer dock här att göra en mer abstrakt de nition.
Anmärkning 3.3.2. Med dierentialen F∗ får vi ett ekvivalent alternativ till
de nition 3.2.2. F är en immersion om och endast om F∗ är injektiv. Detta
används oftast som de nition av immersion. Att de nitionerna är ekviva-lenta följer av en generalisering av inversa funktionsatsen som brukar kallas Constant rank theorem (se t ex Boothby [3]).
Notera att F∗(Xp) är en avbildning från C∞(F (p)) till R. Dessutom har
vi för alla α, β ∈ R, Xp, Yp ∈ Tp(M )
F∗(Xp)(αf + βg) = Xp((αf + βg)◦ F ) = Xp(α(f ◦ F ) + β(g ◦ F ))
och F∗(Xp)(f g) = Xp((f◦ F )(g ◦ F )) = Xp(f ◦ F )g(F (p)) + f(F (p))Xp(g◦ F ) = F∗(Xp)g(F (p)) + f (F (p))F∗(Xp). Dessutom är F∗(αXp+ βYp)f = (αXp+ βYp)(f◦ F ) = αXp(f ◦ F ) + βYp(f◦ F ) = (αF∗(Xp) + βF∗(Yp))f,
så att F∗(Xp)∈ TF (p)(N )och F∗ är en homomor . Direkt från de nitionen
av dierentialen får vi följande.
Sats 3.3.1. Låt F : M → M0, G : M0 → N vara C∞-avbildningar, då är
(G◦ F )∗ = G∗◦ F∗.
Bevis.
(G◦ F )∗(Xp)f = Xp(f ◦ (G ◦ F )) = Xp((f◦ G) ◦ F )
= F∗(Xp)(f◦ G) = G∗(F∗(Xp))f
= (G∗◦ F∗)(Xp)f.
Anmärkning 3.3.3. Föregående sats brukar kallas kedjeregeln.
Sats 3.3.2. Om F : M → U ⊆ N är en dieomor från M till en öppen mängd U ⊆ N och p ∈ M så är F∗ : Tp(M ) → TF (p)(N ) en surjektiv
isomor .
Bevis. Eftersom de nitionen av Tp(M ) bara beror av C∞(p) så kan vi för
varje öppen omgivning U ⊂ M av p naturligt identi era Tp(U ) = Tp(M ).
Om F∗ är en isomor följer alltså surjektivitet direkt. Låt idM : M → M
vara identitetsavbildningen på M. Vi har
idM ∗(Xp)f = Xp(f ◦ idM) = Xpf,
idM ∗ är alltså identitetsavbildningen på Tp(M ). Eftersom (G◦F )∗ = G∗◦ F∗
har vi
Xpf = (F ◦ F−1)∗(Xp)f = (F∗◦ F∗−1)(Xp)f.
F∗−1 är alltså invers till F∗ som alltså måste vara bijektiv. Vi vet redan att
3.4 Ett exempel: R
nDierentialen av en avbildning mellan mångfalder är ett abstrakt begrepp, så vi ger här ett exempel där den underliggande mångfalden är Rn. Då blir
situationen lättare att visualisera och tänka intuitivt på. Liknande exem-pel nns i t ex Boothby [3] eller Sharpe [16]. Här ska vi dock fokusera på att försöka illustrera abstrakta idéer, som t ex att tänka på vektorer som deriveringar, på ett konkret sätt.
Exempel 3.4.1. Låt p ∈ Rn. Tangentrummet T
p(Rn) kan tänkas på som
rummet av alla riktade sträckor i p, dvs Rn själv betraktat som vektorrum.
Låt Xp = Pni=1αiei ∈ Tp(Rn). Vi kan de nera en riktningsderivata i
riktningen Xp enligt Xp0f = n X i=1 αi ∂f ∂xi p .
Notera att om kXpk = 1 så beskriver Xp0f förändringshastigheten av f i
punkten p i Xp:s riktning. Man veri erar enkelt från de nitionen att Xp0 är
linjär, dvs
Xp0(αf + βg) = αXp0f + βXp0g; och uppfyller Leibniz regel, dvs
Xp0(f g) = f (p)Xp0g + g(p)Xp0f.
Låt D(p) beteckna mängden av linjära avbildningar D : C∞(p) → R som
uppfyller Leibniz regel. Tillsammans med operationerna (αD1+ βD2) f = αD1f + βD2f
är D(p) ett vektorrum. Vi ska visa följande.
Sats 3.4.1. Avbildningen Xp 7→ Xp0 är en isomor mellan Tp(Rn)och D(p).
Vi delar upp beviset i två delar; först visar vi linjäritet och injektivitet och sedan surjektivitet.
Lemma 3.4.1. Avbildningen Xp7→ Xp0 är en vektorrumsmonomor (injektiv
och linjär).
Bevis. Låt Xp =Pni=1αiei och Yp =Pi=1n βiei ∈ Tp(Rn). Antag att Xp0 =
Y0
p. Då har vi för alla f ∈ C∞(p) att Xp0f = Yp0f. Detta tillsammans med
observationen att Xp0xk = n X i=1 αi ∂xk ∂xi p = αk, Yp0xk = n X i=1 βi ∂xk ∂xi p = βk,
där xk är projektion på k:te koordinaten, ger att αk = βk, 1 ≤ k ≤ n,
dvs Xp = Yp. Alltså är Xp 7→ Xp0 injektiv. Vidare har vi för α, β ∈ R och
f ∈ C∞(p)att
(αXp+ βYp)0f = αXp0f + βYp0f,
vilket visar att Tp(Rn)→ D(p), Xp 7→ Xp0 är linjär.
Surjektiviteten, dvs att varje D ∈ D(p) är en riktningsderivata, är lite klurigare att visa. Vi behöver två lemman, det första är en direkt konsekvens av hur vi de nerat D(p) och det andra är ett specialfall av Taylors formel. Lemma 3.4.2. Låt D ∈ D(p) vara godtycklig, och låt f ∈ C∞(p) vara
konstant i en omgivning av p. Då är Df = 0.
Bevis. Eftersom D uppfyller Leibniz regel har vi D1 = D(1 · 1) = 1 · D1 + 1· D1 = 2D1 så att D1 = 0. Antag att f ≡ α i en omgivning av p. Eftersom Där linjär har vi Df = Dα = αD1 = 0.
Lemma 3.4.3. Låt p = (p1,· · · , pn)∈ Rn. Låt f ∈ C∞(p), då nns ett klot
Bε(p) så att f (x) = f (p) + n X i=1 (xi− pi) ∂f ∂xi x + ai(x) för x ∈ Bε(p), där ai(x) är C∞ och ai(p) = 0. Bevis. Vi har f (x)−f(p) = Z 1 0 ∂f (p + t(x− p)) ∂t dt kedjeregeln = n X i=1 (xi− pi) Z 1 0 ∂f ∂xi (p+t(x−p)) dt. Partialintegrerar vi fås Z 1 0 ∂f ∂xi (p+t(x−p)) dt = " t∂f ∂xi (p+t(x−p)) #1 t=0 − Z 1 0 t n X j=1 (xi− pi) ∂2f ∂xi∂xj (p+t(x−p)) dt = ∂f ∂xi x + ai(x),
där funktionerna ai(x) tydligt är C∞ och ai(p) = 0.
Nu kan vi visa surjektiviteten.
Bevis. Låt f ∈ C∞(p) och D ∈ D(p) vara godtyckliga. Vi vill givet D hitta Xp ∈ Tp(Rn) så att Xp0f = Df. Låt Dxi = αi. Betrakta Xp = n X i=1 αiei∈ Tp(Rn).
Vi vet att på något klot Bε(p) inneslutet i de nitionsmängden för f har vi
för x ∈ Bε(p) att f(x) = f(p) + Pn i=1(xi− pi) ∂f ∂xi x+ ai(x) . Vi låter D verka på f och får Df = D(f (p)) + n X i=1 D(xi− pi) ∂f ∂xi p + ai(p) ! + 0· D ∂f ∂xi p + ai(p) ! = 0 + n X i=1 Dxi ∂f ∂xi p + 0 = n X i=1 αi ∂f ∂xi p = Xp0f.
Nu kan vi enkelt bevisa att avbildningen Xp 7→ Xp0 är en isomor .
Bevis av sats 3.4.1. Lemma 3.4.1 ger att avbildningen är linjär och injektiv, lemma 3.4.4 ger att den är surjektiv.
Vi har visat att vi kan identi era Tp(Rn)med D(p). Speciellt identi eras
basvektorerna med riktningsderivatan i koordinataxelns riktning, dvs ei7→ ei0 =
∂ ∂xi
. Givet en funktion F på Rnhar vi sambandet
gradF · v = dF (v),
där grad betecknar gradienten och dF dierentialen. Riktningsderivatan i v:s riktning ges av
v0F = gradF · v (se Persson och Böiers [14]), så vi ser att
v0F = dF (v). (3.1)
Vi kan använda sambandet (3.1) för att relatera dierentialen dF till die-rentialen vi de nerat på allmänna mångfalder. Vi har
dF (v) = v0F = F∗(v0) = F∗(v),
där den sista likheten följer av sats 3.4.1.
Anmärkning 3.4.1. Dierentialen brukar i olika böcker i ervariabelanalys gå under olika namn som dierential, jakobian eller funktionalmatris.
3.5 Knippen och fält
För att stringent kunna prata om vektorfält på mångfalder behöver vi objekt som kallas knippen (bundle på engelska). Här ger vi en kort presentation av dessa och går sedan vidare till en mer intuitiv syn på vad ett vektorfält på en mångfald är för något. Den som nöjer sig med en intuitiv beskrivning av vektorfält på mångfalder kan hoppa fram till stycket efter de nition 3.5.2. För en mycket beriplig introduktion till knippen rekomenderas Schuller [15]. En mer ordentlig behandling ges av Sharpe [16].
De nition 3.5.1. Ett berknippe med ber F är en kvadruppel ξ = (E, B, π, F ),
sådan att E, B och F är topologiska rum, π : E → B är en surjektiv konti-nuerlig avbildning och det för varje b ∈ B nns en öppen mängd U ⊆ B som innehåller b sådan att π−1(U ) ∼
= U × F via en homeomor φ så att följande diagram kommuterar. E⊇ π−1(U ) U × F B ⊇ U φ π proj1
Där proj1 är projektion på första elementet.
I ett berknippe ξ kallas E totala rummet och B basrummet. Notera att för varje b ∈ B är π−1({b}) ∼= F. Om avbildningen π är C∞ är ξ ett
C∞− knippe. Man kan tänka på ett berknippe som ett rum E som lokalt ser ut som produktrummet B ×F . Om E globalt kan identi eras med B ×F säges knippet vara trivialt.
Exempel 3.5.1. Låt B = S1, F = [0, 1], E = B×F och π =proj
1. Då är ξ =
(E, B, π, F )triviala knippet. Totala rummet är en cylinder och basrummet är en cirkel på cylindern. Fibrerna är alla linjestycken parallella med cylindern som skär cirkeln och π skickar varje sådan linje till skärningspunkten på cirkeln.
Exempel 3.5.2. Minns att Möbiusbandet kan tänkas på som en enhetskvadrat [0, 1]× [0, 1] med den övre och undre kanten identi erad enligt
(x, 0)∼ (1 − x, 1). Låt B, π och F vara som i föregående exempel, men låt E vara Möbiusbandet. Lokalt är E ∼= B× F , men randen till E består bara av en komponent så knippet är inte trivialt. Vi kan se att om vi tittar på en omgivning på E som kan identi eras med B × F och försöker utvidga den till hela E kommer vi att få problem där vi identi erat kanterna.
B E
b
π−1({b})
Figur 3.4: Trivialt knippe
Vi har nu de nerat allmänna berknippen, men vi ska här bara intressera oss för specialfallet då F är ett reellt vektorrum.
De nition 3.5.2. Låt ξ = (E, B, π, F ) vara ett berknippe. En sektion över U ⊆ B är en kontinuerlig (eller C∞) avbildning
σ : U → E sådan att π ◦ σ = idB.
I termer av tangentvektorer, dvs elementen i Tp(M ), kan vi de nera vad
ett vektorfält på en mångfald M är för något. Det är vad vi får om vi för varje punkt p ∈ M väljer en tangentvektor Xp ∈ Tp(M ). För att göra en
stringent de nition inför vi en beteckning: T (M ) = [
p∈M
Tp(M ),
där unionen är disjunkt. T (M) är alltså mängden av tangentvektorer på M (kallas tangentknippet till M). T (M) partitioneras i alla Tp(M ), så det nns
en kanonisk projektion
π : T (M )→ M, Xp 7→ p.
Notera att T (M) är ett berknippe med totalrum T (M), basrum M, pro-jektion π och ber π−1({p}) = T
p(M ).
De nition 3.5.3. Ett vektorfält på en mångfald M är en funktion X : M → T (M),
Ett vektorfält på en mångfald är alltså en sektion på tangentknippet T (M ). Låt Γ(M) beteckna mängden av vektorfält på M. Vektorfälten på M bildar ett reellt vektorrum, med operationer de nerade enligt
(αX + βY )p= αXp+ βYp,
för X, Y ∈ Γ(M), p ∈ M och α, β ∈ R. Om X är ett vektorfält kommer vi i fortsättningen med skrivsättet Xp mena X evaluerad i punkten p. Notera
att om f ∈ C∞(M ) och X är C∞ så är Xf ∈ C∞(M ), där Xf(p) = X pf.
Till varje vektorfält nns en speciell associerad kurva, vi gör följande de nition.
De nition 3.5.4. Låt X vara ett vektorfält på M. Låt α : R → M vara kurvan som uppfyller (
d
dtα(t) = Xα(t)
α(0) = p, (3.2)
där p ∈ M. Kurvan α(t) kallas maximala integralkurvan till X med begyn-nelsepunkt p.
Kurvan α(t) är alltså den unika kurvan som i p har tangentvektor Xp.
Anmärkning 3.5.1. Observera att vi här de nerar kurvan α(t) som den unika kurvan från hela R som uppfyller 3.2. Existens, unikhet och att de nitions-området är hela R är icke-trivialt. För en nogrann behandling, se Bump [4].
Exempel 3.5.3. Vi illusterar integralkurvan med ett enkelt exempel i R2.
Låt X(x,y) = ∂ ∂x+ x 3 ∂ ∂y ∈ Γ(R 2).
Observera att slutsatsen från exempel 3.4.1 visar att vi kan tänka på X som X(x,y) = (1, x3). Vi ska hitta integralkurvan αX(t) = (x(t), y(t)) till X med
begynnelsepunkt (0, 0). Den bestäms av ekvationssystemet (
d
dtαX(t) = XαX(t)
αX(0) = (0, 0)
som har lösning
αX(t) = (t, t4/4).
Om vi tänker på fältet som ödande vatten så beskriver integralkurvan banan för en partikel som släpps ned i punkten (0, 0).
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Kapitel 4
Lie-grupper
När Sophus Lie började utveckla teorin för det som idag kallas Lie-grupper var en av hans främsta intentioner att hitta en teori som är för dieren-tialekvationer vad Galoisteorin är för algebraiska ekvationer. Galoisteorin använder permutationsgrupper för att studera en algebraisk ekvations sym-metrier, men en dierentialekvation har kontinuerliga symmetrier. Lie-grupper dyker upp som kontinuerliga symmetrigrupper i många olika fält i matema-tiken. De har blivit centrala objekt inte bara inom matematiken utan även inom exempelvis fysiken. För en behandling av Lie-gruppernas tidiga utveck-ling och motivering rekomenderas Hawkins [8].
Lie-grupperna har en speciell egenskap, den globala strukturen på en Lie-grupp kan studeras med hjälp av ett lokalt de nerat linjärt rum kallat Lie-algebran till gruppen (Lie själv kallade denna för in nitesimal grupp). Denna korrespondens ska vi presentera här och i senare kapitel utnyttja.
4.1 Lie-grupper
De nition 4.1.1. En Lie-grupp är en C∞-mångfald G utrustad med en
gruppstruktur sådan att µ : G × G → G, (g, h) 7→ gh och τ : G → G, g 7→ g−1
båda är C∞. Vi kommer att beteckna gruppens neutrala element med e.
Exempel 4.1.1. Vi börjar med det kanske enklaste exemplet på en Lie-grupp: (R, +). Vi har redan visat att R är en C∞-mångfald. Operationerna
(x, y)7→ x + y, och
x7→ −x är uppenbart C∞ så (R, +) är en Lie-grupp.
Exempel 4.1.2. Nu tittar vi på det kanske mest klassiska exemplet på en Lie-grupp; liknande åter nns i exempelvis van den Ban [1] eller Boothby
[3]. Låt Mn(R) vara mängden av n × n−matriser med reella element.
To-pologiskt kan vi identi era Mn(R) med Rn
2
. Betrakta mängden GLn(R) =
{A ∈ Mn(R) : det(A) 6= 0}. Observera att determinanten är ett polynom av
elementen i A och är därför C∞. Speciellt är det : GL
n(R) → R kontinuerlig
och urbilden av 0,
S0=det−1({0}),
är sluten. Eftersom GLn(R) = (S0)C så är GLn(R) öppen i Mn(R) och
därmed en C∞-mångfald. Vidare har vi att eftersom för alla A, B ∈ M n(R)
gäller
det(AB) = det(A) det(B),
så att A, B ∈ GLn(R) ⇒ AB ∈ GLn(R). Elementen aij i A ∈ GLn(R)
är precis de lokala koordinaterna i Rn2
, och elementen i produkten AB är polynom av elementen i A och B så produkten
GLn(R) × GLn(R) → GLn(R), (A, B) 7→ AB
är C∞. Inversen till A kan uttryckas
A−1 = 1
det(A)(˜aij),
där ˜aij är kofaktorer till A, som i sin tur är polynom av elementen i A.
Därmed är även A 7→ A−1 C∞. Identitetsmatrisen I
n är neutralt element i
GLn(R) och matrismultiplikationen är förstås associativ. Alltså är GLn(R) en
grupp, med C∞ operation (matrismultiplikation) och invers, som dessutom
är en C∞-mångfald. GL
n(R) är alltså en Lie-grupp. Då GLn(R) är en öppen
delmängd i det linjära rummet Mn(R) kan tangentrummet TIn(GLn(R))
identi eras med Mn(R).
Ett specialfall av exemplet ovan är GL1(R) = R∗, dvs den multiplikativa
gruppen av reella (nollskilda) tal.
Anmärkning 4.1.1. Om vi mer allmänt låter V vara ett n-dimensionellt vek-torrum så är GLn(V )dess automor grupp och tangentrummet Te(GLn(V ))
är End(V ), rummet av linjära endomor er på V .
På Lie-grupper är det praktiskt att de nera två speciella avbildningar, nämligen vänster- och högertranslation.
De nition 4.1.2. Låt G vara en Lie-grupp. De nera för α ∈ G avbildning-arna
lα : G→ G, lα(x) = αx,
Eftersom operationen på G är C∞ så är l
α och rα det också. Notera att
för α, β ∈ G är
(lα◦ lβ)(x) = lα(βx) = αβx = lαβ(x).
Speciellt är lα◦ lα−1 = lαα−1 = le så (lα)−1 = lα−1 och lα är en dieomor
(analogt för rα).
De nition 4.1.3. En Lie-grupphomomor är en grupphomomor som dess-utom är C∞.
Lemma 4.1.1. Låt G vara en Lie-grupp och H en delgrupp. Om H är en C∞-delmångfald så är H en Lie-grupp.
Bevis. Låt µ : G × G → G vara binära operationen på G och låt τ : G → G vara inversoperationen på G. Eftersom G är en Lie-grupp så är µ och τ C∞.
Då H är en delgrupp till G så är operationerna på H restriktionerna µ|H och τ|H, som förstås också är C∞. Vidare är H en C∞-delmångfald och
speciellt en C∞-mångfald och därmed en Lie-grupp.
Följande välkända sats bevisar vi inte här. Se exempelvis van den Ban [1].
Sats 4.1.1. Låt G vara en Lie-grupp. Varje delgrupp till G som är sluten med avseende på topologin i G är en Lie-grupp.
Exempel 4.1.3. Betrakta On(R) = A∈ GLn(R) : A−1 = AT . Eftersom In−1 = In= InT så visar
A, B ∈ On(R) ⇒ (AB−1)−1= BA−1= BAT = (ABT)T = (AB−1)T
att On(R) är en delgrupp i GLn(R). Betrakta nu den kontinuerliga
avbild-ningen
F : GLn(R) → GLn(R), A 7→ ATA.
Eftersom On(R) = f−1({In}) så är On(R) sluten i GLn(R) och därmed en
Lie-grupp. Vidare implicerar AT = A−1 att
det(A) =±1,
och då det : On(R) → {−1, 1} är kontinuerlig och {1} är öppen i {−1, 1} så
är
det−1
({1}) = SOn(R) = {A ∈ On(R) : det(A) = 1}
en öppen delmångfald i On(R). Dessutom är SOn(R) delgrupp i On(R) så
4.2 Inducerad Lie-algebra
Vi ska visa att varje Lie-grupp G är relaterad till en speciell algebra, kallad Lie-algebran g till G. Innan vi kan de nera g som en algebra behöver vi bygga upp lite bakgrund.
De nition 4.2.1. Ett vänsterinvariant vektorfält på en Lie-grupp G är ett vektorfält X sådant att
lg∗Xp= Xgp, för alla p, g ∈ G.
Begreppet vänsterinvarians kommer i fortsättningen att vara centralt så vi försöker ge en geometrisk bild av vad det betyder för ett vektorfält att vara vänsterinvariant. Gruppstrukturen på G tillåter att vi med vänstertransle-ring yttar punkter på den underliggande mångfalden. Dierentialen av vänstertranslationen yttar vektorer från ett tangentrum till ett annat. Att ett vektorfält är vänsterinvariant betyder då att vi kan ta en vektor i fältet och med dierentialen av vänstertranslering ytta på den utan att hamna utanför vektorfältet. En ekvivalent formulering är att ett fält X är vänsterinvariant om och endast om X helt bestäms av Xe.
För att få en bild av hur de vänsterinvarianta fälten ser ut på en given Lie-grupp (eller undersöka om ett givet fält är vänsterinvariant) behöver vi förstå vad vi menar med att ytta vektorer. Med andra ord behöver vi veta vad dierentialen av vänstertranslering på den aktuella gruppen är. Låt oss titta på ett par enkla exempel.
Exempel 4.2.1. Betrakta Lie-gruppen R2 (med addition som operation).
Det neutrala elementet är (0, 0). Antag att x, y ∈ R2. Vänstertranslering
med y ges då av
ly(x) = y + x.
Notera att funktionalmatrisen av ly är identitetsmatrisen, så att
ly∗ = id.
Givet ett vektorfält X ∈ Γ(R2) har vi alltså att
ly∗Xp= Xp,
och X är vänsterinvariant om och endast om Xp = X(y+p) för alla p, y ∈ R2.
Med andra ord är de vänsterinvarianta fälten på R2 precis de konstanta
fälten.
Exempel 4.2.2. Betrakta nu Lie-gruppen S1. Eftersom S1 går att bädda
in i R2 kan vi tänka på den som
T
(1,0)(S
1)
S
1X
(1,0)Figur 4.1: S1, tangentrummet i (1, 0) och en vektor inbäddade i R2.
med operationen
(cos(t), sin(t))· (cos(s), sin(s)) = (cos(t + s), sin(t + s)).
Då är (1, 0) neutralt element och vänstertranslering med en punkt a = (cos(α), sin(α))ges av
(cos(t), sin(t)) la
7−→ (cos(t + α), sin(t + α)) .
Notera att vänstertranslering med a är detsamma som rotation kring origo med vinkeln α. Detta är en linjärtransformation så la= la∗. Vi har att
T(1,0)S1=R.
Med vår inbäddning av S1 i R2 har alla vektorer i T
(1,0)S1 formen X(1,0) =
λ∂
∂y. Genom att rotera dessa kring origo, dvs ytta dem på S
1, får vi de
vänsterinvarianta fälten på S1. Vi kan tänka på vektorerna i T
(1,0)S1 som X(1,0) = 0 λ ,
och dierentialen av vänstertransleringen som rotationsmatrisen la∗= cos(α) − sin(α) sin(α) cos(α) .
Alltså måste (med vår inbäddning i R2) de vänsterinvarianta fälten ha formen
Xa= la∗X(1,0)=−λ sin(α)
∂
∂x + λ cos(α) ∂ ∂y.
I fortsättningen kommer vi med vektorfält mena C∞-vektorfält. Låt L(G)
vara mängden av vänsterinvarianta vektorfält på G. Notera att om X, Y ∈ L(G), α, β ∈ R och g, p ∈ G så är
lg∗(αX + βY )p = lg∗(αXp+ βYp) = αlg∗Xp+ βlg∗Yp
= αXgp+ βYgp = (αX + βY )gp.
Uppenbart är 0 ∈ L(G) så att L(G) är ett delrum i Γ(G). Ett vektorrum av vänsterinvarianta vektorfält kan verka abstrakt men man kan göra en intressant identi ering.
Sats 4.2.1. Låt G vara en Lie-grupp med neutralt element e. Avbildningen Φ :L(G) → Te(G), X 7→ Xe
är en vektorrumsisomor . Bevis. Uppenbart är Φ linjär, ty
αX + βY 7→ (αX + βY )e= αXe+ βYe
för alla X, Y ∈ L(G), α, β ∈ R. Antag nu att X ∈ ker(Φ), så att X 7→ Xe=
0. Vi har
0 = lg∗0 = lg∗Xe= Xg ⇒ X = 0,
så att ker(Φ) = {0} och Φ är injektiv. Antag att v ∈ Te(G). För att visa
surjektivitet söker vi X ∈ L(G) sådant att Xe= v. Vi kan de nera Xg = lg∗v,
då följer att
la∗Xg = (la∗◦ lg∗)v = lag∗v = Xag
för alla a ∈ G, dvs X ∈ L(G).
Anmärkning 4.2.1. Om v ∈ Te(G) så betecknas motsvarande
vänsterinva-rianta vektorfält v† ∈ L(G). Denna notation kommer dock bara nyttjas då
otydlighet kan uppstå.
Lemma 4.2.1. Om X, Y ∈ L(G), så är Zp = (X◦ Y − Y ◦ X)p ∈ Tp(G).
Bevis. Låt f, g ∈ C∞(p)och α, β ∈ R. Vi har
Zp(αf + βg) = (X◦ Y − Y ◦ X)p(αf + βg)
= α(Xp(Y f )− Yp(Xf )) + β(Xp(Y g)− Yp(Xg)) = αZpf + βZpg.
Så Zp är linjär, vidare har vi
Zpf g = (X◦ Y − Y ◦ X)pf g = Xp(Y f g)− Yp(Xf g)
= Xp(f · Y g + g · Y f) − Yp(f · Xg + g · Xf)
= f (p)(Xp(Y g)− Yp(Xg)) + g(p)(Xp(Y f )− Yp(Xf )) = f (p)Zpg + g(p)Zpf,
Vi ser att sammansättningen Z = (X ◦ Y − Y ◦ X) i varje punkt ger en tangentvektor, speciellt är Z själv ett vektorfält.
De nition 4.2.2. På ett rum av vektorfält på G de neras kommutatorn (eller Lie-parentesen) [·, ·] enligt
[X, Y ]f = (X◦ Y )f − (Y ◦ X)f, där X, Y är vektorfält och f ∈ C∞(G).
Lemma 4.2.2. L(G) är slutet under kommutatorn. Bevis. Låt X, Y ∈ L(G), a, p ∈ G och f ∈ C∞(G). Vi har
la∗[X, Y ]pf = la∗(Xp(Y f )− Yp(Xf )) = la∗(Xp(Y f ))− la∗(Yp(Xf ))
= Xap(Y f )− Yap(Xf ) = [X, Y ]apf.
Så [X, Y ] ∈ L(G).
Anmärkning 4.2.2. Notera att operatorn f 7→ Xp(Y f )i allmänhet inte
de- nerar en tangentvektor vid p, då Leibniz regel fallerar:
Xp(Y f g) = f (p)Xp(Y g) + g(p)Xp(Y f ) + Ypg· Xpf + Ypf· Xpg.
Men som vi visat ovan de nerar f 7→ [X, Y ]pf = Xp(Y f )− Yp(Xf ) en
tangentvektor vid p.
De nition 4.2.3. Lie-algebran g till en Lie-grupp G är tangentrummet vid neutrala elementet Te(G)tillsammans med operationen
[·, ·] : g × g → g, (u, v) 7→hu†, v†i
e.
Produkten av två tangentvektorer är alltså värdet i neutrala elementet av kommutatorn på deras motsvarande vänsterinvarianta vektorfält.
Anmärkning 4.2.3. Vi kommer där det är lämpligt att tänka på Lie-algebran som rummet av vänsterinvarianta vektorfält. Med skrivsättet X ∈ g menas det vänsterinvarianta vektorfält X sådant att Xp= lp∗Xe, där Xe∈ g.
4.3 Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen är nog den viktigaste avbildningen som presenteras i denna uppsats. Den är viktig eftersom den ger en länk mellan en Lie-grupp och dess Lie-algebra. En liknande, men mer ingående och teknisk, framställning ges i van den Ban [1].
Låt G vara en Lie-grupp, Xe∈ Te(G)och αX(t)vara maximala
integral-kurvan till X med αX(0) = e. Vi börjar med att notera en viktig egenskap
Lemma 4.3.1. αX(s + t) = αX(s)αX(t).
Bevis. Fixera s ∈ R och beteckna p = αX(s). Då är βX(t) = pαX(t)maximal
integralkurva till X med begynnelsepunkt p. Å andra sidan har vi för ˜βX(t) =
α(s + t) att ˜βX(0) = αX(s) = p. Eftersom maximala integralkurvan till X
med begynnelsepunkt p är unik får vi att βX(t) = ˜βX(t).
De nition 4.3.1. Exponentialfunktionen exp : g → G de neras av exp(X) = αX(1).
Lemma 4.3.2. Exponentialfunktionen uppfyller följande för s, t ∈ R, X ∈ g: 1. exp(sX) = αX(s).
2. exp((s + t)X) = exp(sX) exp(tX).
Bevis. (1.) Låt β(t) = αX(st), då är β(0) = e och
d dtβ(t) =
d
dt(αX(st)) = sXαX(st)= sXβ(t),
så β(t) = αsX(t). Påståendet följer om vi evaluerar i t = 1.
(2.) exp((s + t)X) = αX(s + t) = αX(s)αX(t) = exp(sX) exp(tX).
Vi presenterar följande egenskaper utan bevis. För en ordentlig behand-ling se t ex van den Ban [1].
Lemma 4.3.3. exp : g → G är C∞ och en lokal dieomor vid 0.
Dieren-tialen av exp vid 0 ges av exp∗ = idTe(G).
Exempel 4.3.1. Innan miniräknare och datorer var tillgängliga använde man sig av räknesticka och logaritmtabell om man ville multiplicera stora tal snabbt. Att dessa skulle ha något alls med Lie-grupper att göra kanske inte verkar uppenbart, men det är faktiskt ett enkelt exempel på den korre-spondens som uppstår mellan en Lie-grupp och dess Lie-algebra i och med exponentialfunktionen. Betrakta Lie-gruppen R∗
+,·
= ({x ∈ R : x > 0} , ·). Dess tangentrum vid 1 är T1(R∗+) =R1. Minns från exemplet med Rn
(exem-pel 3.4.1) att vi kan identi era varje vektor med riktningsderivatan i vektorns riktning. I det här fallet får vi för en avbildning F och y ∈ R1 att
dierenti-alen i x ges av F∗(y) = y· dF dt x .
Speciellt är för a ∈ R∗ + (la)∗y = y dla dt x = ay, eftersom dla(t)
dt = a. Vi ser att de vänsterinvarianta fälten på R ∗
+ är på
for-men yx = xy. För att bestämma exponentialfunktionens utseende vill vi
hitta integralkurvorna till dessa. Låt y vara ett vänsterinvariant fält. Då ges integralkurvan αy(t)av ekvationssystemet
(
α0y(t) = αy(t)· y
αy(0) = 1
som har lösningen αy(t) = eyt, alltså är exponentialfunktionen
exp(y) = αy(1) = ey.
Betrakta speciellt y = 1. Lemma 4.3.2 ger att för s, t ∈ R är es+t = es· et.
Eftersom vi vet att x = ey är bijektiv med invers y = log(x) kan vi översätta
ett problem i Lie-gruppen R∗
+ (multiplikation) till ett problem i dess
Lie-algebra R1 (addition). Detta är precis principen som räknestickan bygger på
(se Niklitschek [12]).
De nition 4.3.2. En C∞-grupphomomor α : R → G kallas en 1-parameterdelgrupp
i G.
Notera att, namnet till trots, α bara är en kurva på G sådan att α(s+t) = α(s)α(t). Eftersom den inte behöver vara injektiv så är den inte nödvändigt-vis en delgrupp.
Lemma 4.3.4. Låt α vara en 1-parameterdelgrupp i G och låt d
dtα(0) = Xe.
Då är
α(t) = exp(tX).
Bevis. Eftersom α(t) är en grupphomomor så är α(0) = e. Dessutom är d dtα(t) kedjeregeln = d dsα(t + s) s=0 = d dsα(t)α(s) s=0 = d ds lα(t)(α(s)) s=0= lα(t)∗Xe= Xα(t).
Detta ger α(t) = αX(t) = exp(tX).
Alltså är 1-parameterdelgrupperna i G exakt de maximala integralkur-vorna till de vänsterinvarianta vektorfälten på G, och eftersom maximala integralkurvan till ett vektorfält X med begynnelsepunkt e är unik nns här en korrespondens mellan G och dess Lie-algebra g. Nu kan vi presentera ett mycket viktigt och vackert resultat.
Sats 4.3.1. Låt G, H vara Lie-grupper, g, h deras Lie-algebror och F : G → H en Lie-grupphomomor . Då kommuterar följande diagram
g h
G H
F∗
exp exp F
Bevis. Antag att X ∈ g. Då exp(tX) är 1-parameterdelgrupp i G så är α(t) = F (exp(tX))en 1-parameterdelgrupp i H, ty F är Lie-grupphomomor . No-tera att d dtα(0) = F∗ d dtexp(tX) t=0 = F∗Xe∈ Te(H)
så enligt lemma 4.3.4 är α(t) = exp(tF∗X). Insättning av t = 1 ger
F (exp(X)) = exp(F∗X),
för alla X ∈ g.
4.4 Alternativ karaktärisering av Lie-parentesen
De nitionen vi gett av Lie-parentesen (i termer av kommutatorn) är nog den enklaste att formulera, men den är svår att ta till sig intuitivt. För att hjälpa förståelsen ska vi här presentera ett par andra vinklar man kan använda för att närma sig konceptet. Vi börjar med att försöka uttrycka kommutatorn i termer av öden på vektorfält.4.4.1 Flöden
Det går att tänka på Lie-parentesen på ett ganska geometriskt sätt. Denna vinkel tycks dock inte uttryckas explicit i standardlitteraturen, så här ska vi illustrera vad vi menar med geometriskt. Vi börjar med att precisera vad vi menar med ödet av ett vektorfält på en Lie-grupp.
De nition 4.4.1. Låt X vara ett vektorfält på en Lie-grupp G. Flödet φX(t, g)av X är avbildningen
φX :R × G → G, (t, g) 7→ g · exp(tX).
Flödet i en punkt g är alltså integralkurvan med begynnelsepunkt g. För ett senare bevis behövs följande tekniska lemma.
Lemma 4.4.1. Låt G vara Lie-grupp, g ∈ G, f ∈ C∞(g), ψ en dieomor
på G och låt X ∈ g vara vektorfält på G. Då gäller ((Xf )◦ ψ)(g) = (ψ−1)∗Xψ(g)
Bevis.
(ψ−1)∗Xψ(g)
(f ◦ ψ) = Xψ(g)((f◦ ψ) ◦ ψ−1) = Xψ(g)f = (Xf )(ψ(g)).
Vi vill försöka beskriva förändringen av ett vektorfält Y i en punkt längs med ödet av ett annat fält X. Tittar vi i punkten e skulle denna förändring kunna ges av ett gränsvärde av typen
lim
t→0
Yexp(tX)− Ye
t
enligt ett resonemang analogt med det som de nerar derivatan i envariabela-nalys. Lägg dock märke till att gränsvärdet ovan inte alls fungerar, eftersom Yexp(tX) ∈ Texp(tX)(G), men Ye ∈ Te(G). Vektorerna ligger alltså inte ens i
samma vektorrum! Vi behöver något lite mer so stikerat. Minns att Xe∈ g
är en linjär reellvärd avbildning från C∞(e)som uppfyller Leibniz regel. Vi
formulerar ett lemma.
Lemma 4.4.2. Låt G vara en Lie-grupp, X ∈ g och låt f vara en C∞
-funktion på G. Då är
Xef = lim t→0
f (exp(tXe))− f(e)
t .
Bevis. Då f : G → R och R är en mångfald så kan vi ta dierentialen f∗: Te(G)→ R
av f. Låt αX(t)vara maximala integralkurvan till X. Vi får
Xef = Xe(id◦ f) = f∗(Xe)id = f∗(α0X(0))id = f∗ d dtexp(tXe) t=0 id = f∗◦ exp(Xe)∗ d dt t=0 id = (f◦ exp(Xe))∗ d dt t=0 id = d dt(f (exp(tXe))) t=0 = lim t→0 f (exp(tXe))− f(exp(0)) t = lim t→0 f (exp(tXe))− f(e) t .
De nition 4.4.2. Vi de nerar ˜ LXY = lim t→0 rexp(−tX)∗Yexp(tX)− Ye t .
Notera att subtraktionen i täljaren är de nerad då rexp(−tX)∗Yexp(tX) ∈ Te(G).
Vi kan skapa en intuitiv bild av vad de nitionen av ˜LXY egentligen betyder
genom att tänka i lokala koordinater. Vi tänker oss någon omgivning av e avbildad på Rn, där vi ju kan identi era tangentvektorerna med geometriska
vektorer (riktade sträckor). Vi får något i stil med gur 4.2. Figuren visar
Ye
Yexp(tX)
rexp(tX)∗Yexp(tX)
e exp(tX)
Figur 4.2: Liten förändring av Y längs integralkurvan av X
integralkurvan av X i e. Vektorerna Ye och Yexp(tX) ligger (oavsett hur litet
tär) i olika rum, men via dierentialen av rexp(−tX) kan Yexp(tX) yttas till
Te(G).
Nu är vi redo att ge en geometrisk karaktärisering av Lie-parentesen. Sats 4.4.1. Låt X, Y ∈ g. Då är
˜
LXY = [X, Y ]
Bevis. Låt f ∈ C∞(e). Vi har
Xe(Y f ) = lim t→0 (Y f )(exp(tXe))− (Y f)(e) t = lim t→0
(Y f◦ rexp(tXe))(e)− (Y f)(e)
t
lemma 4.4.1
= lim
t→0
rexp(−tXe)∗Yexp(tXe)(f ◦ rexp(tX))− (Yef )
t = lim t→0 (rexp(−tXe)∗Yexp(tXe)) (f◦ rexp(tXe))− f) t + (rexp(−tXe)∗Yexp(tXe)− Ye) t f = Ye(Xf ) + ( ˜LXY )f.
Vi får att Xe(Y f ) = Ye(Xf ) + ( ˜LXY )f, dvs
( ˜LXY )f = Xe(Y f )− Ye(Xf ) = [X, Y ]ef.
Detta bevisar påståendet eftersom X och Y och därmed [X, Y ] är vänste-rinvarianta och därför helt bestämda av sitt värde i e.
Anmärkning 4.4.1. Sats 4.4.1 och bevisidén till denna har inspirerats av Torres del Castillo [20] (proposition 2.20 ) där ett liknande påstående bevisas för kommutatorn av vektorfält på en mångfald.
Låt oss meditera lite över detta resultat. Vi de nerade Lie-parentesen av två vektorer Xe, Yesom kommutatorn av de vänsterinvarianta fält X, Y som
genereras av vektorerna. Nu har vi visat att vi kan titta på vad som händer med Y då vi evaluerar det längs med integralkurvan till X och med den infor-mationen beräkna kommutatorn. Eller med andra ord, det vänsterinvarianta fältet [X, Y ] ges av förändringen av Y längs med ödet av X. I nästa sektion ska vi med denna geometriska synvinkel koppla ihop vår tidigare de nition av Lie-parentesen med en annan vanligt förekommande karaktärisering.
4.4.2 Representationsteoretisk vinkel
Vi har de nerat Lie-parentesen [X, Y ] som kommutatorn av de vänsterin-varianta vektorfälten X†, Y† evaluerad i e och i termer av förändring längs
öden. Här ska vi med hjälp av representationer ge en alternativ formule-ring, som nog är den vanligast förekommande i litteraturen. I van den Ban [1] är den representationsteoretiska karaktäriseringen av Lie-parentesen den enda som presenteras och detta är ganska vanligt i standardlitteraturen, men här ska vi koppla ihop denna karaktärisering med den geometriska vinkeln som presenterades i föregående sektion.
De nition 4.4.3. En representation av en ändlig-dimensionell Lie-grupp G på ett ändlig-dimensionellt vektorrum V är en grupphomomor
ρ : G→ GL(V ).
För varje element g ∈ G nns alltså en automor ρ(g) som verkar på V . Vi ska konstruera en representation av G på g.
De nition 4.4.4. Den inre automor n inducerad av g ∈ G de neras som Ig(x) = gxg−1, för x ∈ G.
Notera att Ig är en Lie-gruppautomor då Ig = lg ◦ r−1g och vi har
fastställt att lg, rg ∈ Aut(G). Dessutom är Ig(e) = eför alla g ∈ G, ty Ig(e) =
geg−1 = gg−1= e. Om vi dierentierar Ig vid e får vi (Ig)∗ : Te(G)→ Te(G).
Geometriskt ser vi att om γ(t) är någon kurva på G som löper genom e, så skickas γ(t) av Ig till någon annan kurva ˜γ(t) på G som också löper genom
e(eftersom Ig(e) = e). Därför skickar (Ig)∗ tangentvektorn till γ(t) vid e till
De nition 4.4.5. Vi de nerar den adjungerade representationen av G som Ad(g) = (Ig)∗,
Ad : G→ GL(g), g 7→ Ad(g).
Notera att Ad verkligen är en representation av G på g då den är en homomor ,
Ad(gh) = (Igh)∗ = (Ig◦ Ih)∗ = Ig∗◦ Ih∗= Ad(g)◦ Ad(h)
och
Ad : G→ GL(g).
Sats 4.4.2. Låt G vara Lie-grupp och g dess Lie-algebra. Låt X, Y ∈ g. Då är
Ad∗(X)Y = [X, Y ] .
Bevis. För att underlätta läsbarheten låter vi här D0 beteckna derivatan
med avseende på t evaluerad i t = 0. Vi har
Ad∗(Xe)Ye = D0Ad(exp(tXe))Ye= D0(Iexp(tXe))∗Ye
= D0(rexp(−tXe)∗◦ lexp(tXe)∗)Ye= D0(rexp(−tXe)∗(Yexp(tXe)))
= lim t→0 rexp(−tXe)∗Yexp(tX)− Ye t sats 4.4.1= ˜ LXYe = [X, Y ]e.
Anmärkning 4.4.2. Notera att de tre karaktäriseringarna av Lie-parentesen som ges av de nition 4.2.3, sats 4.4.1 och sats 4.4.2 naturligt kopplas ihop av sats 4.4.1, som är den geometriska tolkningen.
4.5 Några exempel
4.5.1 GLn(R)
Exempel 4.5.1. Vi visade i exempel 4.1.2 att GLn(R) är en Lie-grupp med
tangentrum TInGLn(R) = Mn(R). Låt A ∈ GLn(R). Avbildningen IA är
linjär och kan ses som restriktionen IA|GLn(R) av
IA:Mn(R) → Mn(R), Y 7→ AY A−1.
Med detta resonemang står det klart att (IA)∗ =IA. Avbildningen
Ad(A) :Mn(R) → Mn(R)
ges därför av
Ett resonemang analogt med det i exempel 4.3.1 ger att exp : Mn(R) →
GLn(R) är den vanliga exponentialfunktionen för matriser, dvs
A7−→ eexp A.
Om vi nu låter A = etX ser vi att eftersom Ad(A)Y = AY A−1 = etXY e−tX
så är Ad∗(A)Y = d dt e tXY e−tX t=0 = XY − Y X, så enl. sats 4.4.2 är [X, Y ] = XY − Y X. 4.5.2 SO3(R)
Exempel 4.5.2. I exempel 4.1.3 visade vi att grupperna On(R) och SOn(R)
är Lie-grupper. Vi ska titta lite närmare på SO3(R) =
A∈ GL3(R) : AT = A−1, det(A) = 1
,
även känd som rotationsgruppen då den verkar på det Euklidiska rummet R3
som rotationer kring origo. Låt A ∈ SO3(R). Tänk på varje element i A som
en dierentierbar funktion av någon parameter t, dvs A = A(t), sådan att A(0) = I3. Implicit derivering av villkoret
AT(t)A(t) = I 3 ger d dt(A TA) = 0⇔ (A0 )TA + AT(A0) = 0. Evaluerar vi i A = I3, dvs t = 0, får vi (A0)T + (A0) = 0.
Eftersom SO3(R) är den sammanhängande del av O3(R) som innehåller I3
så är tangentrummet till SO3(R) i I3 TI3SO3(R) = Y ∈ M3(R) : YT =−Y .
Nu när vi hittat tangentrummet i I3 kan vi undersöka strukturen i
Lie-algebran so3. En elementär beräkning (lös ekvationssystemet YT =−Y ) ger
att varje matris Y ∈ so3 kan skrivas på formen
Y = 0 −c b c 0 −a −b a 0 . De nera en avbildning ω : so3→ R3,
sådan att 0 −c b c 0 −a −b a 0 ω 7−→ a b c .
Uppenbart är ω en isomor . Liksom i det föregående exemplet är [X, Y ] = XY − Y X
och vi kan explicit skriva vad kommutatorn gör elementvis. Låt för den sakens skull X = 0c −c0 −ab −b a 0 , Y = 0z −z0 −xy −y x 0 . Vi ser att [X, Y ] = 0 −(ay − bx) cx− az ay− bx 0 −(bz − cy) −(cx − az) bz− cy 0 .
Speciellt kan vi identi era
ω([X, Y ]) = cxbz− cy− az ay− bx = ω(X) × ω(Y ), så att (so3, [·, ·]) ∼= (R3,×),
Lie-algebran till SO3(R) är alltså isomorf med R3 tillsammans med
vektor-produkten.
Anmärkning 4.5.1. Det visar sig faktiskt att alla de klassiska grupperna GLn (allmänna linjära gruppen), SLn (speciella linjära gruppen), On
(orto-gonala gruppen), SOn(speciella ortogonala gruppen), Spinn(spinngruppen),
Sp2n(R) (symplektiska gruppen), Spn(kompakta symplektiska gruppen), Un
(unitära gruppen) och SUn(speciella unitära gruppen) är Lie-grupper.
Där-emot är de förstås inte de enda Lie-grupperna. Nämnvärt är att av alla sfärer Sn är bara S0, S1 och S3 Lie-grupper. För att bevisa det skulle vi dock
be-höva introducera homologi (speci kt de Rham kohomologi, se Fok [6]), vilket inte tjänar våra senare syften i uppsatsen, så vi nöjer oss med att nämna det.
Kapitel 5
Riemanngeometri
Vi ska här presentera idéer från Riemanngeometrin, som tillåter oss att prata om (i någon mening) avstånd, krökning och räta linjer på mångfalder. Vi inleder med en sektion om k-tensorer (dock en kort sektion, för den intres-serade läsaren rekomenderas Spivak [18]) och använder dessa för att utrusta tangentrummen med inre produkter. När vi har byggt upp den grunden blir det enkelt att de nera längd av kurvor o dyl på mångfalder. Vi ska i kapitel 6 använda dessa ideér för att konstruera ett mått på hur kommutativa två vektorfält är.
5.1 k-tensorer
Låt V vara ett vektorrum över R. Minns att en avbildning T : Vk→ R säges
vara multilinjär om
T (v1, v2,· · · , αvi+βv0i,· · · , vk) = αT (v1, v2,· · · , vi,· · · , vk)+βT (v1, v2,· · · , vi0,· · · , vk),
för alla 1 ≤ i ≤ k och alla α, β ∈ R.
De nition 5.1.1. En multilinjär avbildning T : Vk → R kallas en k-tensor.
Mängden av k-tensorer bildar ett vektorrum Tk(V ) om vi för S, T ∈
Tk(V ) och α ∈ R de nerar
(S + T )(v1,· · · , vk) = S(v1,· · · , vk) + T (v1,· · · , vk),
(αT )(v1,· · · , vk) = αT (v1,· · · , vk).
Vi kan också de nera en operation som knyter ihop de olika rummen Tk(V ).
De nition 5.1.2. Låt T ∈ Tk(V )och S ∈ Tl(V ). Deras tensorprodukt
T⊗ S ∈ Tk+l(V )de neras enligt
Anmärkning 5.1.1. Den uppmärksamme kanske noterar att tensorprodukten inte används någonstans i denna uppsats. Vi väljer ändå att ta med de ni-tionen av den anledning att benämningen tensorprodukt kan användas om olika operationer, beroende på sammanhang.
Exempel 5.1.1. det : Rn×n → R, där det(v1,· · · , vn) = det([v1| · · · |vn]) är en n-tensor på Rn, dvs det ∈ Tn(Rn). Exempel 5.1.2. Skalärprodukten u • v =Pn i=1uivi på Rn är en 2-tensor.
5.2 Riemannmetrik
Vi ska nu koncentrera oss på 2-tensorer (kallas ibland bilinjära former). Om {e1,· · · , en} är bas för V så bestäms g ∈ T2(V ) helt av de n2 värdena
αij = g(ei, ej), 1≤ i, j ≤ n.
Om u = Pn
i=1uiei, v =
Pn
i=1viei är något par av vektorer i V så får vi
från bilinjäriteten att g(u, v) = n X i,j=1 αijuivj.
En 2-tensor kallas symmetrisk om g(u, v) = g(v, u) och skevsymmetrisk om g(u, v) = −g(v, u). Vi säger att g är positivt de nit om g(v, v) ≥ 0 (med likhet om och endast om v = 0). En symmetrisk, positivt de nit 2-tensor brukar kallas en inre produkt (minns att vi jobbar med reella mångfalder, så vi behöver inte tänka på komplexkonjugat).
De nition 5.2.1. Låt M vara en mångfald. Ett C∞-2-tensorfält på M är
en funktion
Φ : M → T2(T (M )), p7→ Φ
p ∈ T2(Tp(M ))
sådan att för alla C∞-vektorfält X, Y är Φ(X, Y )(p) = Φ
p(Xp, Yp) en C∞
-funktion.
De nition 5.2.2. En mångfald M tillsammans med ett C∞ 2-tensorfält
Φ sådant att Φp är symmetrisk och positivt de nit för alla p ∈ M kallas
en Riemannsk mångfald och Φ kallas Riemannmetriktensor (eller bara Rie-mannmetrik).
Vi kan tänka på en Riemannsk mångfald som en mångfald M där vi utrustat tangentrummen i varje punkt p ∈ M med en inre produkt Φp(så att
Φpvarierar C∞med p). Det enklaste exemplet på en Riemannsk mångfald är
Rn tillsammans med skalärprodukten, Riemannmetriken är då ett konstant
fält. Vi gör en observation som direkt kommer ge en stor klass av Riemannska mångfalder.
Lemma 5.2.1. Låt M, N vara mångfalder, F∗ : T (M ) → T (N) vara en
linjär C∞-avbildning och låt Φ vara en Riemannmetrik på N. Då är
(F∗Φ)(u, v) = Φ(F∗(u), F∗(v))
ett symmetriskt C∞ 2-tensorfält på M. Om F är en immersion så är (F∗Φ)
en Riemannmetrik på M (kallas ibland pullback-metriken).
Anmärkning 5.2.1. Vi utelämnar beviset som inte är svårt att genomföra men ganska långt, se Boothby [3].
Notera att lemma 5.2.1 direkt implicerar att varje delmångfald till Rnär
en Riemannsk mångfald, faktiskt till och med att varje delmångfald till en Riemannsk mångfald själv är en Riemannsk mångfald. Vi illustrerar med ett enkelt exempel.
Exempel 5.2.1. Låt Φ vara Riemannmetriken vi de nerade tidigare på R3
(dvs skalärprodukten). Betrakta en 2-torus T2 ∼= S1×S1 ⊆ R3. Vi kan tänka
på T2 som kvotrummet
([0, 2π]× [0, 2π]) / ∼,
där relationen ∼ identi erar kanterna som i gur 5.1. Vårt mål är att bädda
a a
b
b
Figur 5.1: Identi ering av kanterna enligt pilarnas orientering ger en torus. in T2 i R3 genom parametrisering. Betraka funktionen F : T2 → R3,
de -nerad enligt följande. Låt p ∈ [0, 2π) × [0, 2π) ha koordinater (p1, p2) och
de nera
F (p) = ((1 + cos(p1)) cos(p2), (1 + cos(p1)) sin(p2), sin(p1)) .
Notera att F är injektiv och parametriserar T2 i R3. Med en enkel beräkning
ser vi att rang F = 2 =dim T2så F är en immersion och T2är en delmångfald
i R3. Nu när vi bäddat in T2 i R3 kan vi betrakta avbildningen
id :T2→ R3.
idär uppenbart en immersion så enligt lemma 5.2.1 är
(id∗Φ)(x, y) = Φ(id∗(x), id∗(y)) = Φ(x, y) =hx, yi
5.3 Kurvlängd
Låt γ : [a, b] → M vara en kurva på en Riemannsk mångfald M med Rie-mannmetrik Φ. Vektorn dγ
dt ∈ Tγ(t)(M )är tangentvektor till γ vid γ(t).
De nition 5.3.1. Längden av γ de neras som
L = Z b a s Φγ(t) dγ dt, dγ dt dt
Lemma 5.3.1. Längden av en kurva är oberoende av parametrisering. Bevis. Låt γ vara en kurva på M och låt längden vara L =Rb
a r Φγ(t)dγdt,dγdtdt. Låt nu t = f(s), a0 ≤ s ≤ b0. Vi får Z b0 a0 s Φγ(s) dγ ds, dγ ds ds = Z b a s Φγ(t) dγ dt dt ds, dγ dt dt ds ds dtdt = Z b a s Φγ(t) dγ dt, dγ dt dt ds 2 ds dtdt = Z b a s Φγ(t) dγ dt, dγ dt dt. Den sista likheten följer av inversa funktionssatsen.
Notera att om vi låter längden bero av en parameter, säg t, får vi
s = L(t) = Z t a s Φγ(τ ) dγ dτ, dγ dτ dτ
och analysens fundamentalsats (se Persson och Böiers [13]) ger att
ds = s Φγ(t) dγ dt, dγ dt dt. Vi ser att ds kan betraktas som ett bågelement.
Exempel 5.3.1. Låt γ : [a, b] → R vara en kurva i Rn, med
koordina-ter γ(t) = (x1(t),· · · , xn(t)). Om vi låter den vanliga inre produkten vara
Riemannmetrik får vi ds = s dγ dt, dγ dt dt = v u u t n X i=1 (x0 i(t))2dt,
och γ:s längd är Z b a v u u t n X i=1 (x0i(t))2dt = Z γ ds som vi är vana vid (se Persson och Böiers [13]). Exempel 5.3.2. Betrakta rummet R2
+ =
(x, y)∈ R2: y > 0 . Låt
Rie-mannmetriken på rummet ges av Φ(x,y)(u, v) =
1
y2 hu, vi ,
där h·, ·i är vanliga inre produkten på R2. Om γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b],
är en kurva på R2 + så ges dess längd av Lγ(t)= Z b a 1 y(t) s dx dt 2 + dy dt 2 dt.
Figur 5.2 visar två kurvor, ett cirkelsegment γ(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈π 4, 3π 4 y x η(t) γ(t) (√1 2, 1 √ 2) (−√1 2, 1 √ 2)
Figur 5.2: Två kurvor i övre halvplanet och ett linjestycke η(t) = (√t
2, 1 √
2), t∈ [−1, 1]. Bägge kurvor sammanbinder
de två punkterna (−√1 2, 1 √ 2) och ( 1 √ 2, 1 √
2). I den vanliga Euklidiska
geome-trin är det helt klart att linjestycket η har kortast längd, men hur är det med Riemannmetriken Φ? Vi räknar Lγ(t)= Z 3π/4 π/2 1 sin(t)dt = 2 log 1 tan(π 8) ≈ 1, 7627,
