NATURVETENSKAP- MATEMATIK-SAMHÄLLE
Självständigt arbete i matematik och lärande
15 högskolepoäng, grundnivå
Att arbeta med konkret material i
matematiken
Teaching mathematics with manipulatives
Sofia Andersson
Sofia Cederfeldt
Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i årskurs F-3, 240 högskolepoäng
Självständigt arbete i fördjupningsämne, 15 högskolepoäng Slutseminarium 2020-01-13
Examinator: Anna Wernberg Handledare: Mats Lundström
1
Förord
Detta arbete har skrivits i kursen Självständigt arbete på grundnivå (SAG) 15 högskolepoäng, i fördjupningsämnet matematik och lärande, vid Malmö universitet, höstterminen 2019. Texten har bearbetats gemensamt och vi anser att insatsen kan bedömas likvärdig från båda parter.
2
Sammanfattning
Konkret material är något som många lärare idag förväntas att använda i sin undervisning. Syftet med denna kunskapsöversikt är att utifrån redan presenterad forskning undersöka vilka effekter det får för unga elevers matematikinlärning när de får arbeta med konkret material. Resultatet är inte entydigt, det finns forskning som visar att användandet av konkret material har en positiv likaväl som en negativ eller ingen påverkan alls på inlärningen. Dock menar de flesta att användningen av konkret material underlättar för elever att gå från en konkret till en abstrakt förståelse av matematik.
Metoden som ligger till grund för denna kunskapsöversikt är en informationssökning, som främst är gjord i de internationella databaserna ERC (Education Research Complete) och ERIC (Education Resources Information Center) via EBSCO. Resultatet som presenteras grundas på de 11 artiklar som valts ut för att besvara den valda frågeställningen. På grund av arbetets omfång bör resultatet tolkas med en viss försiktighet.
3
Innehållsförteckning
1. Inledning och bakgrund ... 4
2. Syfte och frågeställning ... 5
2.1 Kunskapsöversiktens upplägg ... 5
2.1.1 Kunskapsöversiktens avgränsning... 5
2.1.2 Kunskapsöversiktens disposition ... 5
3. Definitioner av centrala begrepp ... 6
3.1 Abstrakt och konkret ... 6
3.2 Konkret material ... 6 4. Metod... 8 4.1 Metodisk datainsamling ... 8 4.1.1 Valda sökord ... 8 4.2 Urvalskriterier ... 8 4.3 Sökprocess... 9
4.3.1 Sammanställning av valda artiklar... 9
5. Teoretisk koppling ... 11 6. Resultat ... 12 6.1 Virtuella verktyg ... 14 6.2 Positiva effekter ... 15 6.3 Negativa effekter ... 15 7. Diskussion ... 17 7.1 Kunskapsöversiktens tillförlitlighet ... 17 7.2 Framgångsfaktorer... 17 7.4 Relevans för vår profession ... 19 7.5 Vidare studier ... 19 8. Referenser ... 20
4
1. Inledning och bakgrund
Både nationella och internationella studier har visat att skolan måste utveckla
matematikundervisningen för att ge fler elever bättre förutsättningar att skaffa sig en djupare kunskap i matematik (Rystedt & Trygg, 2010). Matematikämnet har på senare tid genomgått en förändring, från att tidigare ha varit ett ämne där färdighetsträning har haft ett stort fokus, till att nu ha ett större fokus på resonemang och problemlösning (Kilhamn, 2018). Detta har i sin tur lett till att undervisningen ytterligare har förändrats, både kring vad som undervisas men också hur undervisningen går till (Kilhamn, 2018). Även om lärare ofta vill konkretisera sin undervisning är det viktigt att kunna växla mellan det konkreta och det abstrakta eftersom det abstrakta behövs för att man så småningom ska kunna resonera kring och förstå den generella matematiken (Björklund & Grevholm, 2014).
Det finns olika sätt att uttrycka matematik och olika representationer kan användas för att lösa olika typer av uppgifter. Tal måste uttryckas för att bli hanterbara; exempelvis kan de sägas högt, tänkas tyst i huvudet eller skrivas på ett papper (Solem, Alseth & Nordberg, 2011). Enligt kunskapskraven i matematik för årskurs 3 ska elever kunna använda olika matematiska uttrycksformer, såsom konkret material, bilder eller symboler för att beskriva och samtala om procedurer och metoder (Skolverket, 2016).
Lärare förväntas idag att använda sig av olika former av manipulatives i sin undervisning (Cooper, 2012). Vi har likställt manipulatives med det som på svenska kallas för konkret material och det är så vi kommer att benämna det genom vår text. Vi har valt att fördjupa oss i detta ämne eftersom vi har uppmärksammat, både under praktik och vikariat, att arbetet ser väldigt olika ut på olika skolor och att det även på samma skola finns stora skillnader mellan olika lärares arbetssätt inom matematikundervisningen. Vissa håller sig strikt till att räkna i matteboken utan att erbjuda konkret material, andra arbetar nästan uteslutande med konkret material medan en tredje kategori blandar olika arbetssätt och matematiska uttrycksformer. Vi kommer i denna kunskapsöversikt att granska och
analysera ett antal olika forskningsartiklar och studier för att ta reda på vilket stöd det finns för att arbeta med konkret material.
5
2. Syfte och frågeställning
Matematiken är abstrakt och generell (Björklund & Grevholm, 2014), och många elever kämpar just med det abstrakta resonemanget i matematiken (D’Angelo & Iliev, 2012). Kablan (2013) menar att lärare som enbart använder sig av teorier och abstrakta
läraktiviteter i sin undervisning kanske möter behovet hos de elever som lär sig abstrakt men de riskerar att förlora intresset från de elever som behöver konkreta exempel för att skapa sig en förståelse. D’Angelo och Iliev (2012) lyfter i sin artikel att det är viktigt att man visar eleverna att det finns många olika verktyg, där konkret material är ett av många. Syftet är att i en kunskapsöversikt sammanställa och granska forskning som visar på vilka konsekvenser det ger för matematikinlärningen att låta elever arbeta med konkret material. För att syftet ska kunna uppnås har följande frågeställning valts:
Vilka effekter kan det ge för matematikinlärningen hos unga elever när de får arbeta med konkret material?
2.1 Kunskapsöversiktens upplägg
Följande översikt redogör för vilken inverkan ett arbetssätt som inkluderar konkret material kan ha för matematikinlärningen hos unga elever.
2.1.1 Kunskapsöversiktens avgränsning
Huvudsakligen har vi inriktat oss på lågstadieelever, men studier från olika delar av grundskolan eller från motsvarande utbildningsnivå i andra länder kommer även att inkluderas. För att avgränsa arbetet ytterligare har vi haft ett generellt fokus på elever i den aktuella ålderskategorin utan att ta hänsyn till faktorer som funktionsnedsättningar eller inlärningssvårigheter.
2.1.2 Kunskapsöversiktens disposition
Kunskapsöversiktens syfte och frågeställning har redan framförts. Härefter definieras centrala begrepp för arbetet och sedan redogörs för metoden för datainsamlingen av det material som denna kunskapsöversikt grundar sig på. Därefter visas den teoretiska koppling som gjorts och i resultatdelen presenteras och analyseras det empiriska materialet. Slutligen följer en avslutande diskussion.
6
3. Definitioner av centrala begrepp
I detta kapitel definieras centrala begrepp och översättningar som är av betydelse för kunskapsöversikten.
3.1 Abstrakt och konkret
Enligt Svenska Akademiens Ordlista (2015) definieras abstrakt som “uppfattbar endast för tanken, begreppsmässig, inte konkret, ogripbar” och konkret som dess motsats; “påtaglig, gripbar, verklig, åskådlig”.
Alla matematiska begrepp är abstrakta. Det finns ingenting i matematiken som man kan ta på eller uppleva i sinnevärlden och därmed inget konkret. Däremot kan man finna många exempel som är konkreta och där olika matematiska begrepp kan komma till användning.
(Björklund & Grevholm, 2014, s.283).
3.2 Konkret material
Det finns många olika benämningar för det som på engelska kallas för manipulatives, vi har valt att använda oss av konkret material, men vi har även stött på översättningar som manipulativt material och laborativa hjälpmedel.
I de valda artiklarna har författarna en relativt samstämmig syn på vad manipulatives är. Jones och Tiller (2017) samt McNeil och Jarvin (2009) beskriver manipulatives som fysiska föremål eller konkreta objekt som används som undervisningsverktyg för att engagera eleverna i det praktiska lärandet och hjälpa dem förstå de abstrakta koncept som är vanliga inom
matematiken. Även Cooper (2012) och Manches och O’Malley (2016) ger liknande beskrivningar och ger exempel som logiska block, brickor, geobräden och Cuisenaire stavar, för att nämna några stycken. Jones och Tiller (2017) poängterar dock att det inte måste vara material speciellt framtaget för matematikundervisningen, utan att även kapsyler, knappar eller andra objekt kan användas i samma syfte.
Under arbetets gång har vi även stött på en form av konkret material som benämns som
virtual manipulatives vilket vi har valt att översätta till virtuella verktyg. Det kan handla om
7
grafräknare, ljudtexter och olika digitala appar som populära digitala hjälpmedel och
Cooper (2012) visar på ett virtuellt verktyg i form av en applet som gör det möjligt att spara sina tidigare lösningar.
3.3 Matematiska begrepp
När matematiska begrepp nämns i denna kunskapsöversikt syftar vi inte till något specifikt begrepp eftersom det genom artiklarna ej har framgått vilket matematiskt begrepp som författarna syftar på.
8
4. Metod
I denna del beskrivs tillvägagångssättet för informationssökningen som ligger till grund för kunskapsöversikten. Dessutom presenteras en tabell av vilka artiklar som har valts ut som relevanta för att kunna besvara frågeställningen.
4.1 Metodisk datainsamling
I detta arbete utgjordes metoden av en informationssökning. För att få en så heltäckande
bild av området som möjligt, är sökningen gjord i olika databaser (Backman, 2016). En stor del av sökningarna genomfördes i de internationella databaserna ERC (Education Research Complete) och ERIC (Education Resources Information Center) via EBSCO. Anledningen till att sökningarna främst är gjorda i dessa databaser är bland annat för att ERIC är den största referensdatabasen inom pedagogik idag (Backman, 2016). För att säkerställa reliabiliteten, tillförlitligheten, har samtliga sökningar i nämnda databaser begränsats med
peer review.
4.1.1 Valda sökord
Sökord: “laborativ matematik”, “konkret matematik”, “konkret material”, manipulatives, “mathematic education”, "from concrete to abstract", mathematic*, “primary school”,
“primary education”, “elementary education”, “elementary school”.
4.2 Urvalskriterier
Vi använde oss av såväl trunkering som frassökning och dessutom kombinerade vi sökord med AND och OR när vi i de internationella databaserna ERIC och ERC via EBSCO gjorde följande sökning: ("primary school" OR "primary education" OR "elementary education" OR "elementary school”) AND "from concrete to abstract" AND mathematic* AND manipulatives och begränsade den med kriteriet peer review. Detta gav 11 träffar, varav fyra valdes bort direkt baserat på innehållet i deras abstract som inte stämde överens med vårt fokusområde eller för att de var gamla och inte kunde hittas digitalt. Vi gjorde ingen begränsning med årtal då vi ansåg att det inte var nödvändigt med så få träffar. Dessutom kunde det varit av intresse att se om forskning från olika tider visade på olika resultat.
9
4.3 Sökprocess
Arbetet inleddes med sökningar i SwePub då vi sökte efter “laborativ matematik”, “konkret matematik” och “konkret material” för att genom eventuella träffar där kunna hitta
lämpliga sökord på engelska, då vi var lite osäkra på hur konkret material benämns på engelska. Vi fann då begreppet manipulatives vilket vi sedan kunde använda oss av vid sökningar i de internationella forskningsdatabaserna ERC och ERIC via EBSCO. De tre sökningarna i SwePub gav totalt fem träffar, men ingen som var refereegranskad. Sökningen på "laborativ matematik" gav en träff: Laborativ matematik - undersökande arbetssätt av Cecilia Kilhamn (2018) som är ett kapitel i boken Att bli lärare i matematik (Helenius & Johansson, 2018). Genom att läsa det kapitlet fann vi referenser som ledde till en kedjesökning där vi bland annat hittade en kunskapsöversikt Laborativ matematikundervisning - vad vet vi? av Rystedt och Trygg (2010). Där valde vi ut en artikel som vi ansåg vara relevant för vår frågeställning, Are Mathematics Manipulatives being used in schools. If so how? If not why not? skriven av Swan, Marshall, Mildenhall, White och de Jong (2007).
Vid sökning efter “konkret matematik” i MUEP hittades Jenny Ormsbys examensarbete
Konkret matematik - en del av undervisningen, från 2015 som ledde oss till Teaching mathematics to young children through the use of concrete and virtual manipulatives (D’Angelo & Iliev, 2012) genom
Google scholar. Resterande sökningar presenteras i Tabell 1.
4.3.1 Sammanställning av valda artiklar
Tabell 1: Valda artiklar
Författare samt årtal Titel Typ av sökning
Cooper (2012) Using Virtual Manipulatives with Pre-service Mathematics Teachers to Create Representational Models
Kedjesökning av Rystedt, Helenius & Kilhamn D’Angelo & Iliev (2012) Teaching Mathematics to Young Children through the Use of
Concrete and Virtual Manipulatives
Kedjesökning av Ormsby Google scholar
Kablan (2016) The effect of manipulatives on mathematics achievement across different learning styles,
Sökning i EBSCO (ERIC + ERC)
10
Jones & Tiller (2017) Using Concrete Manipulatives in Mathematical Instruction Sökning i EBSCO (ERIC + ERC) Manches & O'Malley
(2016)
The Effects of Physical Manipulatives on Children’s Numerical Strategies
Related article på Taylor & Francis Online
McNeil & Jarvin (2009) When Theories Don't Add Up: Disentangling he Manipulatives Debate
Related article på Taylor & Francis Online
Peltier & Vannest (2018) Using the Concrete Representational Abstract (CRA) Instructional Framework for Mathematics with Students with Emotional and Behavioral Disorders
Sökning i EBSCO (ERIC + ERC) Rystedt, Helenius &
Kilhamn (2016)
Moving in and out of contexts in collaborative reasoning about equations
Sökning i EBSCO (ERIC + ERC) Satsangi & Miller (2017) The case for adopting virtual manipulatives in mathematics
education for students with disabilities
Sökning i EBSCO (ERIC + ERC) Swan, Marshall,
Mildenhall, White & de Jong (2007)
Are Mathematics Manipulatives being used in schools. If so how? If not why not?
Kedjesökning av Rystedt & Trygg
Zhou & Peverly (2005) Teaching Addition and Subtraction to First Graders: A Chinese Perspective
Sökning i EBSCO (ERIC + ERC)
11
5. Teoretisk koppling
För att få en teoretisk bakgrund till vår kunskapsöversikt har vi valt att kort presentera vilka teorier och modeller som förespråkar användandet av konkret material.
Användningen av konkret material i matematikundervisningen är inget nytt. Många forskare menar att detta arbetssätt härstammar från de teorier om utvecklingsstadier som Piaget och Bruner utvecklade under 1960-talet (Cooper, 2012). Även McNeil och Jarvin (2009) menar att användandet av konkret material har förespråkats av forskning sedan lång tid tillbaka och att det funnits stöd i det arbete teoretiker som Piaget, Bruner och
Montessori gjort. Gemensamt för dessa är att de anser att barn inte har förmåga till abstrakt tänkande utan måste konstruera abstrakta koncept genom att interagera med konkreta objekt i sin omgivning (McNeil & Jarvin, 2009). Bruners teori om att barn utvecklar sin kunskap genom att förflytta sig genom tre representationsfaser; den enaktiva, den ikoniska och den symboliska fasen, ligger enligt både Cooper (2012) och Peltier och Vannest (2018) till grund för den undervisningsmodell som kallas Concrete Representational
Abstract (CRA) instructional framework där användning av konkret material är av stor
betydelse. På svenska kan den kallas för Konkret - Representativ - Abstrakt. I den enaktiva, eller konkreta fasen, ligger fokus på handlingar och användning av konkret material. Den ikoniska, eller representativa fasen, innebär istället ett arbete med representationer i form av bilder av de konkreta modellerna, som exempelvis cirklar eller prickar. Slutligen, i den symboliska, eller abstrakta fasen, som är en språkfas, används istället skriftspråk i form av siffror och andra matematiska symboler (Cooper, 2012; Peltier & Vannest, 2018).
12
6. Resultat
I denna del redovisas och analyseras resultatet av datainsamlingen dessutom redogörs för vilken sorts studie det är som har gjorts i de utvalda artiklarna.
Likaväl som det finns studier som visar på att under särskilda förhållanden hjälper konkret material vissa elever så finns det andra studier som visar att det inte finns några fördelar alls eller till och med att det kan hindra lärandet menar såväl McNeil och Jarvin (2009) som Manches och O’Malley (2016). McNeil och Jarvin (2009) vill i sin artikel göra det lättare för lärare att ta till sig forskning kring att arbeta med konkret material och lyfter därför studier som tar upp både för- och nackdelar.
För att ta reda på vilka typer av konkret material som användes i vilka årskurser och på vilket sätt, genomförde Swan, Marshall, Mildenhall, White och de Jong (2007) en enkätstudie i västra Australien. De fick svar från 820 lärare från 250 olika skolor, vilket motsvarade ungefär en tredjedel av alla skolorna i området. Swan et al. (2007) visar i sin studie att de flesta förskollärare använder sig av konkret material i sin undervisning dagligen men ju äldre elever man har ju mindre verkar olika former av konkret material användas. Av de lärare som svarade på deras undersökning ansåg så många som 95% att ett arbete med konkret material stärker barns matematikinlärning, ändå var det främst lärare i
förskolan och lågstadiet som verkligen använde sig av det. Flera av lärarna i högre årskurser menade att behaviour management (beteendehantering) var ett argument mot att arbeta med konkret material. De upplevde att eleverna inte använde materialet som det var tänkt utan använde det till att kasta på varandra eller bygga torn med. Lärarna i förskolan och på lågstadiet såg det däremot i större utsträckning som sitt jobb att kunna hantera eventuella beteendeproblem till förmån för att använda konkret material i undervisningen (Swan et al., 2007).
Det är av stor vikt att läraren vet varför, hur och när konkret material ska användas menar D’Angelo och Iliev (2012) på. Även Peltier och Vannest (2018) visar i sina fallstudier, där de undersökt effekten av att arbeta med CRA, hur viktigt det är att ge explicita
instruktioner för hur arbetet med det konkreta materialet ska ske och poängterar också vikten av att visa hur det hör ihop med de abstrakta koncepten. De menar att det inte räcker att materialet finns till hands, utan eleverna måste få veta hur de kan använda sig av
13
det. Detta är något som även McNeil och Jarvin (2009) framhåller i sin artikel där de påpekar att elever inte omedelbart kan se och förstå de matematiska begreppen bara för att de har fått arbeta med konkret material.
Å andra sidan visar resultatet av Zhou och Peverlys (2005) studie på att konkret material hjälper elever att skapa sig en förförståelse som sedan kan vidareutvecklas till en djupare förståelse för centrala begrepp inom matematiken. De har i sin kinesiska studie bland annat undersökt vilka faktorer i undervisningen för årskurs ett som bidrar till en ökad förståelse kring begreppen addition och subtraktion. Även D’Angelo och Iliev (2012) menar på att användandet av konkret material hjälper elever att förstå det abstrakta. Vilket också stärks av Jones och Tiller (2017) som anser att en bra användning av konkret material kan överbrygga avståndet mellan den informella och formella matematiken.
För att användningen av konkret material ska få en gynnsam effekt poängterar Satsangi och Miller (2017) att det krävs att läraren guidar eleverna i hur de kan använda det. I deras artikel belyser de just denna problematik med att använda sig av konkret material och ger exempel på hur detta kan visa sig vid arbete med problemlösningar. De menar på att istället använda sig av ett virtuellt program ger en större självständighet då eleverna där ges direkt korrigerande feedback. Detta kan jämföras med Manches och O’Malley (2016) som menar på att användningen av konkret material är begränsande på grund av att lösningarna
försvinner när man går vidare. De lyfter att användning av virtuella verktyg istället för annat konkret material skulle kunna överkomma den problematiken. Cooper (2012) förespråkar i sin studie att virtuella verktyg är mer fördelaktiga än annat konkret material detta då det ger eleverna möjligheten att gå tillbaka till tidigare lösningar.
Det visade sig dock i en av Manches och O’Malleys (2016) studier att elever inte var hjälpta i sin problemlösning av att kunna se sina tidigare lösningar. De har genomfört två studier i Nottingham i Storbritannien, med barn i 4–7 årsåldern. I första studien, som undersökte om konkret material hade någon effekt på vilka strategier eleverna valde för att finna så många uppdelningar som möjligt av talen 6 respektive 7, deltog 32 barn. Några gjorde det i huvudet och de andra fick använda blå unifix-kuber för att göra uppdelningar i två skålar. Studien resulterade i att elever identifierade fler möjliga “uppdelningar” av talet 6 och 7 med hjälp av konkret material än utan. Studien visade att användandet av konkret material hade stor betydelse för vilka strategier eleverna använde sig av, att det bidrog till mer
14
konceptuellt utvecklade strategier och att eleverna kunde identifiera lösningar som var besläktade med varandra. I andra studien deltog 100 barn när fördelar och nackdelar med spatial manipulation undersöktes. Det visade sig att barnen kunde identifiera många fler uppdelningar när de fick använda konkret material som de kunde fysiskt flytta än vad de hittade med hjälp av bilder.
Kablan (2013) har gjort två studier med 101st turkiska elever i 7th grade som undersöker effekten av att använda konkret material kopplat till olika sätt att lära och lära ut (learning
style och teaching style). Eleverna delades in i fyra olika learning styles, vilken typ varje elev
tillhörde avgjordes med hjälp av Kolb’s Learning Style Inventory (LSI)-Version 3 och testades sedan i tre olika lärmiljöer; abstrakt-konkret 50–50%, abstrakt-konkret 70–30%, abstrakt 100%. Båda studierna visar på att skillnader i inlärning för de olika elevgrupperna blir tydligast i lärmiljöer där enbart traditionella, abstrakta, metoder används. I de lärmiljöer där konkreta upplevelser kombineras med abstrakta metoder, är skillnaderna mellan olika lärstilar inte statistiskt märkbara. Detta menar Kablan, indikerar att en kombination av olika undervisningsmetoder skulle vara gynnsamt för matematikinlärningen och för att
överbrygga det gap i måluppfyllelse som visat sig bero på elevers olika lärstilar.
6.1 Virtuella verktyg
Virtuella verktyg är inte lika omtalade som annat konkret material, men de har på grund av digitaliseringen successivt fått ta en större plats i allt fler klassrum (Satsangi & Miller, 2017). D’Angelo och Iliev (2012) menar att virtuella verktyg kan fungera på liknande sätt som fysiskt konkret material och kan likväl vara utvecklande för elevers kunnande inom matematik.
Även om Satsangi och Miller (2017) främst har studerat vilka effekter arbete med konkret material får för framförallt elever med olika funktionsnedsättningar kan deras resultat generaliseras att gälla de flesta elever. De är eniga med D’Angelo och Iliev (2012) om att både virtuella verktyg och konkret material har en positiv inverkan på såväl undervisning som inlärning. Vidare argumenterar Satsangi och Miller (2017) också för det stora värdet som det virtuella för med sig och menar att flera studier pekar på att virtuella verktyg har mer fördelar än annat konkret material. En fördel med att använda sig av virtuella verktyg i undervisningen är att de inte är lika utpekande som fysiskt konkret material är.
15
Satsangi & Miller (2017) understryker i sin artikel vikten av att använda sig av olika tekniska lösningar för att göra matematiken mer tillgänglig för alla och inkludera både de elever som är lågpresterande samt elever med olika funktionsnedsättningar. Vilket stärks av D’Angelo och Iliev (2012) som menar på att användning av konkret material också är särskilt viktigt för de lågpresterande eleverna samt för de eleverna med inlärningssvårigheter.
6.2 Positiva effekter
Enligt Rystedt, Helenius och Kilhamn (2016) argumenterar Burns (2007) för varför man bör använda sig av konkret material. Hon menar att de hjälper elever att förstå abstrakta idéer, de gör det möjligt att testa och verifiera, de fungerar som verktyg för problemlösning och de gör matematikinlärningen mer intressant och spännande. Även McNeil och Jarvin (2009) lyfter att elevers abstrakta förståelse i matematik kan gynnas av att de får arbeta med konkret material. De menar att ju större erfarenhet en elev har av att arbeta med konkret material desto större blir elevens framtida förståelse för abstrakta matematiska begrepp. Desto tidigare barn introduceras för vad D’Angelo och Iliev (2012) kallar för konkret matematik, ju större matematisk kompetens kommer barnen att kunna nå. De påpekar att många elever har svårt med den abstrakta förståelsen av matematiken och menar att användandet av konkret material hjälper till att göra den mer greppbar. Vidare poängterar de att en kombination av virtuella verktyg och konkret material ger en större matematisk förståelse än om elever bara ges möjlighet att arbeta med det ena. Slutligen anser de att användning av konkret material ger en bättre lärupplevelse för alla elever, kan överbrygga gapet mellan det konkreta och det abstrakta samt kan hjälpa till att väcka nyfikenheten för ett livslångt lärande hos unga elever.
6.3 Negativa effekter
Enligt McNeil och Jarvin (2009) finns det studier som antyder att låta elever arbeta med konkret material inte bara är ineffektivt utan dessutom kan hindra lärande. De betonar att användningen av konkret material inte garanterar någon framgång vilket stärks av ett antal äldre studier. Bland annat beskriver de att användandet av konkret material skulle förlora
16
sitt syfte redan efter första klass samt att det har en liten effekt på elevers förståelse av matematiska begrepp. Vidare lyfter de också äldre forskning som visar på att även om elever kan använda sig av konkret material för att visa sin kunskap så misslyckas samma elever emellanåt med att använda kunskapen för att lösa skriftliga problem. Detta såvida de inte direkt påminns om att tänka på tillvägagångssättet som användes vid arbetet med det konkreta materialet.
17
7. Diskussion
Denna del innehåller en analys av resultatdelen samt de slutsatser som vi drar utifrån det ovanstående resultatet. Avslutningsvis presenteras arbetets relevans för vår yrkesprofession samt hur denna kunskapsöversikt kan ligga till grund för framtida studier.
7.1 Kunskapsöversiktens tillförlitlighet
Vi är medvetna om att vi bara tittat på en liten del av all den forskning kring konkret material och dess effekter på matematikinlärningen som gjorts. Av de studier som vi har granskat och kritiskt analyserat finner vi att de flesta pekar på att ett arbete med konkret material har en positiv inverkan på matematikinlärningen.McNeil och Jarvin (2009) lyfter dock att mycket av den forskning som presenteras idag är generaliserad. Med detta menar de att det inte alltid är tydligt för läsaren att forskningsresultat oftast är mer komplexa och nyanserade än vid första anblick. De påpekar att forskare ibland uttrycker sig lite väl svepande i sina slutsatser, exempelvis bara för att ett konkret material hjälpte en viss elev i en viss kontext kan inte slutsatsen dras att alla konkreta material hjälper alla elever i alla sammanhang.
Trots att det finns ett flertal studier som visar på de positiva effekterna av att använda konkret material i undervisningen finns det också studier som visar att det endast är i de lägre årskurserna som de används (Swan et al. 2007). Detta trots att National Council of
Teachers of Mathematics (NCTM) uttrycker att konkret material bör användas i undervisning
på alla nivåer (D’Angelo & Iliev, 2012; Swan et al., 2007). Det framkommer också att konkret material inte alltid är åldersanpassat för att passa äldre elever (Satsangi & Miller, 2017), en gymnasieelev upplever kanske materialet som barnsligt och därför inte vill
använda det. Satsangi och Miller (2017) föreslår då användning av virtuella verktyg, detta då de anser att dessa inte är lika utpekande.
7.2 Framgångsfaktorer
Användningen av konkret material garanterar inte någon framgång för unga elevers matematikinlärning. Däremot finns det några faktorer som vi har identifierat som
18
avgörande för att det ska få en positiv effekt; tidpunkten när arbetssättet introduceras och hur länge det används, lärarens kunskaper om och tilltro till arbetssättet samt hur arbetet läggs upp. För det första bör arbetet med konkret material introduceras tidigt men också användas genom hela skolgången (D’Angelo & Iliev, 2012; Swan et al., 2007). För det andra behöver lärare ha fördjupade kunskaper kring användandet av konkret material för att det ska få gynnsamma effekter (Peltier & Vannest, 2018). De rekommenderas att lägga stor vikt vid att göra tydliga kopplingar mellan den informella matematiken, som användandet av konkret material utgör, och den formella matematikens symbolspråk så att eleverna kan utveckla en förståelse för vad symbolerna betyder och hur de kan användas i ett vardagligt sammanhang (Jones & Tiller, 2017; McNeil & Jarvin, 2009). För det tredje är det av yttersta betydelse hur man väljer att arbeta med konkret material. Det har visat sig framgångsrikt att använda sig av en strukturerad undervisningsmodell, som CRA, för att underlätta för elever att gå från det mer konkreta till det mer abstrakta och kunna använda sig av olika sätt att uttrycka matematik (Cooper, 2012; Peltier & Vannest, 2018). Att arbeta med konkret material i matematikundervisningen bygger som tidigare nämnts på Bruners och Piagets teorier från 1960-talet. Detta är något som lärare idag kan se på antingen som gammalt och förlegat eftersom det är viktigt att hålla sig uppdaterad eller också som att man tar stöd i forskning och väl beprövad erfarenhet.
7.3 Slutsats
Kunskapsöversiktens syfte har varit att undersöka vilka effekter det får för unga elevers matematikinlärning att arbeta med konkret material. Utifrån det presenterade resultatet drar vi slutsatsen att genom att använda sig av konkret material underlättar man för
matematikinlärningen samt att detta arbetssätt generellt underlättar för elever att gå från en konkret till en abstrakt förståelse. Dock krävs det mer än att endast låta eleverna interagera med konkret material för att de ska kunna se de matematiska begreppen (McNeil & Jarvin, 2009). Cooper (2012) understryker att lärande inte automatiskt sker bara för att konkret material används utan att det också är av betydelse vilka olika sorters av konkret material som finns tillgängliga och hur dessa utnyttjas. Även lärarens roll framhävs som viktigt för att inlärningen ska kunna ske (D’Angelo & Iliev, 2012; Peltier & Vannest, 2018).
Satsangi och Miller (2017) menar att användning av konkret material inte alltid är lämplig för alla elever, men anser att läraren trots det bör pröva att ha det i sin undervisning med
19
tanke på alla de fördelar som det för med sig. De betonar dock att läraren behöver vara medveten om vilka färdigheter som eleverna besitter för att det ska få gynnsamma resultat.
7.4 Relevans för vår profession
D’Angelo och Iliev (2012) menar på att det är viktigt att undervisa på många olika sätt. Vilket även stärks genom resultatet från Kablans (2016) studie som visade att konkreta erfarenheter måste kombineras med traditionella matematikmetoder för att nå ut till alla elever. McNeil och Jarvin (2009) lyfter Smiths (1996) antagande om att många lärare tror att matematik bäst undervisas genom att berätta. Han menar således att lärare behöver tro på ett praktiskt lärande, samt att konkret material är fördelaktigt endast om läraren tror på det och använder det på rätt sätt, det vill säga som ett verktyg för att konstruera kunskap och inte som leksaker.
Då vi båda förespråkar en varierad och praktisk undervisning har vi genom denna kunskapsöversikt fått kunskaper och insikter om hur ett arbete med konkret material kan påverka unga elevers matematikinlärning. Vi har även fått kännedom om vilka faktorer som är gynnsamma samt vad man som lärare behöver vara vaksam på. Med denna
kunskapsöversikt hoppas vi uppmärksamma andra blivande samt verksamma lärare på vilka effekter det kan få att arbeta med konkret material i matematikundervisningen.
7.5 Vidare studier
Den forskning som idag finns presenterad visar inte på ett entydigt resultat om konkret materials påverkan på unga elevers matematikinlärning (McNeil & Jarvin, 2009). Rystedt, Helenius & Kilhamn (2016) menar på att de studier som är presenterade fokuserar på situationer där elever uttryckligen instrueras att arbeta med konkret material. De menar då också på att det saknas studier där fokuset på undersökningen ligger på att elever på eget initiativ använder sig av konkret material i deras arbete med matematikuppgifter. Detta skulle kunna vara ett alternativ på vidare studier, syftet med en sådan studie hade kunnat vara att undersöka i vilken utsträckning som konkret material finns tillgängligt och används.
20
8. Referenser
Backman, J. (2016). Rapporter och uppsatser. (3., [rev.] uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Björklund, C. & Grevholm, B. (2014). Lära och undervisa matematik: från förskoleklass till åk 6. (2. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Cooper, T. E. (2012). Using Virtual Manipulatives with Pre-service Mathematics Teachers to Create Representational Models. International Journal for Technology in Mathematics
Education, 19(3)
D’Angelo, F. & Iliev, N. (2012). Teaching Mathematics to Young Children through the Use of Concrete and Virtual Manipulatives.
Jones, J. P. & Tiller, M. (2017). Using Concrete Manipulatives in Mathematical Instruction.
Dimensions of Early Childhood, 45(1)
Kablan, Z. (2016). The effect of manipulatives on mathematics achievement across different learning styles. Educational Psychology, 36(2), 277–296
Kilhamn, C. (2018). Laborativ matematikundervisning. I Helenius, O. & Johansson, M. (red.) (2018). Att bli lärare i matematik. (Första upplagan). Stockholm: Liber.
Manches, A. & O'Malley, C. (2016). The Effects of Physical Manipulatives on Children's Numerical Strategies, Cognition and Instruction, 34(1), 27–50
McNeil, N. & Jarvin, L. (2007). When Theories Don't Add Up: Disentangling he Manipulatives Debate, Theory into Practice, 46(4), 309–316
Peltier, C. & Vannest, K. J. (2018). Using the concrete representational abstract (CRA) instructional framework for mathematics with students with emotional and behavioral disorders, Preventing School Failure, 62(2), 73–82
21
Rystedt, E., Helenius, O. & Kilhamn, C. (2016). Moving in and out of contexts in collaborative reasoning about equations, The Journal of Mathematical Behavior, 44, 50-64
Rystedt, E. & Trygg, L. (2010). Laborativ matematikundervisning – vad vet vi? Nationellt Center för Matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
Satsangi, R. & Miller, B. (2017). The case for adopting virtual manipulatives in mathematics education for students with disabilities, Preventing School Failure: Alternative Education
for Children and Youth, 61(4), 303-310
Skolverket (2016). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2016. (3., kompletterade uppl.) Stockholm: Skolverket.
Solem, I.H., Alseth, B. & Nordberg, G. (2011). Tal och tanke: matematikundervisning från
förskoleklass till årskurs 3. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Svenska Akademiens Ordlista (SAOL14, 2015). Abstrakt. Hämtad 2019-12-16 från https://svenska.se/tre/?sok=abstrakt&pz=1
Svenska Akademiens Ordlista (SAOL14, 2015). Konkret. Hämtad 2019-12-16 från https://svenska.se/tre/?sok=konkret&pz=1
Swan, P., Marshall, L., Mildenhall, P., White, G. & de Jong, T. (2007). Are Mathematics Manipulatives being used in schools. If so how? If not why not? Paper presented at the
AARE Annual Conference, Fremantle, 2007. Hämtad 2019-12-02
Zhou, Z. & Peverly, S.T. (2005). Teaching Addition and Subtraction to First Graders: A Chinese Perspective, Psychology in the Schools, 42(3)
