Taluppfattningens och tallinjens betydelse i
matematiken för årskurserna 1-6.
En kvalitativ studie om lärares uppfattningar om taluppfattningen
och tallinjen i matematikundervisningen.
The importance of number sense and number line in mathematics for
grades 1-6.
A qualitative study of teachers' perceptions of number sense and the
number line in mathematics teaching.
Edina Dervisevic och Nadia Tamar
Akademin för utbildning, kultur Handledare: Gunnar Jonsson och kommunikation
Matematik
Examinator: Andreas Ryve Examensarbete i lärarutbildningen
Avancerad nivå
Akademin för utbildning EXAMENSARBETE
kultur och kommunikation MAA017 15 hp
Vårtermin 2020
SAMMANDRAG
____________________________________________________________ Edina Dervisevic och Nadia Tamar
Taluppfattningens och tallinjens betydelse i matematiken för årskurserna 1-6. En kvalitativ studie om lärares uppfattningar om taluppfattningen och tallinjen i matematikundervisningen.
2020 Antal sidor: 33
____________________________________________________________
Syftet med denna studie är att ta reda på hur lärare i årskurserna 1–6 beskriver begreppen tallinje och taluppfattning, samt hur de använder tallinjen i matematikundervisning för att utveckla elevers taluppfattning. Studien är en kvalitativ studie som baseras på semistrukturerade intervjuer. Vi valde att intervjua sju informanter med samma yrke. Studiens resultat visar att samtliga lärare beskriver att taluppfattning handlar om att förstå talraden, värdet av talet, vad som är större och mindre, förståelse för storleken med mera. Vidare i resultat visas det att tallinjen ses som ett bra verktyg i undervisningen som kopplas bland annat till linjalen. Tallinjen medför att eleverna utvecklar en god taluppfattning, de får upptäcka mer av det konkreta till exempel genom aktiviteter i klassrummet. Studiens resultat visar att samtliga lärare beskriver att elever utan de grundläggande kunskaperna kommer möta på svårigheter i ämnet matematik. Studiens slutsats blir därmed att elever måste ha en god taluppfattning utifrån de olika grunderna för att sedan kunna operera med de fyra räknesätten tillsammans med verktyget tallinjen. Det innebär att tallinjen bidrar till att eleverna får en större talförståelse.
____________________________________________________________ Nyckelord: grundskola, matematik, tallinje, taluppfattning
School of Education, Culture MAA017 15 hp
and Communication Spring 2020
ABSTRACT
____________________________________________________________ Edina Dervisevic and Nadia Tamar
The importance of number sense and number line in mathematics for grades 1-6.
A qualitative study of teachers’ perceptions of number sense and the number line in mathematics teaching.
2020 Number of pages: 33
____________________________________________________________
The purpose of this study is to find out how teachers in grades 1–6 describe the concepts number line and speech perception, and how they use the number line in mathematics teaching to develop student speech perception. The study is based on a qualitative study with semi structured
interviews. We chose to interview seven informants with the same professions. The study's results show that all teachers describe that speech perception is about understanding the number line, the value of the speech, what is bigger and smaller, understanding the size and so on. Further in the results, it is shown that the number line is shown as a good tool in teaching which is linked among other things such as the ruler. The number line means that the students develop a good speech perception, they can discover more of the concrete for example through activities in the classroom. The results also show that all teachers mention that students without the basic
knowledge for a good speech perception will encounter difficulties in the subject of mathematics. The study's conclusion becomes that students must have a good speech perception on the basis of the different bases in order to then be able to operate with the four methods of calculation
together with the tool number line. This means that the number line helps students gain a greater understanding of speech.
____________________________________________________________ Keywords: elementary school, mathematics, number line, number sense
Innehållsförteckning
1 INLEDNING ... 5
1.1 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 6
1.2 UPPSATSENS DISPOSITION ... 6
2 LITTERATURGENOMGÅNG ... 6
2.1 VAD SKRIVER LÄROPLANEN OM? ... 6
2.2 TALUPPFATTNING ... 7
2.2.1 Hur lär sig barn att räkna? ... 8
2.2.2 Den stabila ordningen ... 8
2.2.3 Dem fem grundprinciperna ... 9
2.2.4 Aritmetik ... 9
2.3 TALLINJE ... 10
2.3.1 Introduktion av tallinjen i matematikundervisningen ... 11
2.3.2 Tallinjen i matematikundervisningen ... 11
2.3.3 Den tomma tallinjen ... 12
2.4 TEORETISKT RAMVERK ... 12
2.4.1 Att förstå tal ... 12
2.4.2 Att förstå operationer med tal ... 14
3 METOD OCH MATERIAL ... 14
3.1 METOD ... 14
3.2 URVAL ... 15
3.3 GENOMFÖRANDE ... 16
3.3.1 Datainsamling ... 16
3.3.2 Databearbetning ... 17
3.4 RELIABILITET, VALIDITET OCH GENERALISERBARHET ... 17
3.5 FORSKNINGSETISKA STÄLLNINGSTAGANDEN ... 18
4 RESULTAT ... 18
4.1 LÄRARNAS UPPFATTNING OM TALUPPFATTNING OCH TALLINJE ... 18
4.2 ANVÄNDNING AV TALLINJEN FÖR EN GOD TALUPPFATTNING ... 20
4.3 ANVÄNDNING AV TALLINJEN FÖR DE FYRA RÄKNESÄTTEN ... 21
4.4 RESULTATSAMMANFATTNING ... 22 5 SLUTSATSER ... 23 6 DISKUSSION ... 24 6.1 METODDISKUSSION ... 24 6.2 RESULTATDISKUSSION ... 25 6.2.1 Antalskonversation ... 25
6.2.2 Räkneord och antal ... 26
6.2.3 Positionssystemet ... 28
6.2.4 Addition och subtraktion, olika representationer ... 28
6.2.5 Multiplikation och division, olika representationer ... 29
7 AVSLUTNING ... 29
REFERENSER ... 30
BILAGA 1 - MISSIVBREV ... 32
1 Inledning
Vi har begripit med åren att matematiken präglar oss både i skolan och i det vardagliga livet genom olika sammanhang. Förutom att elever ska kunna räkna ut till exempel 10 + 5 kan de även möta på den vardagliga matematiken genom att köpa en läsk för 10 kr och ett tuggummi för 5 kr. För att eleven ska kunna hantera matematiken i vardagliga
sammanhang behöver eleven ha en grundlig taluppfattning. Elevens taluppfattning är viktig och utgör en stor del av ämnet matematik. Med en god taluppfattning kan eleven ha en god förståelse för talens uppbyggnad och hur talen hänger ihop, bland annat vad som kommer före och efter talet 5. Det innebär att taluppfattning är viktig för elevers matematiska utveckling. Enligt Dehaene (2001) är taluppfattning en förmåga som bearbetas för att man ska förstå tal i olika situationer. Forskningen visar också att om man tidigt fokuserar på barnens taluppfattning genom att arbeta med tallinjen leder det till en positiv talutveckling hos barnen (Andrews, Sayers & Marschall, 2015 och Elofsson, 2017).
Enligt Skolverket (2019) finns det några grundläggande kunskaper för att eleven ska kunna utveckla sina kunskaper i matematikämnet. Exempelvis storlek och relationer, förståelse för vad tal innebär. Detta sker genom att eleven gradvis ställs inför
beräkningar och tal i ett talområde som är brett. På så sätt kan eleven utveckla sin uppfattning och förståelse av uträkningar och tal mer djupgående.
Tallinjen är ett positivt verktyg för elever i klassrummet, där det går att genomföra aktiviteter för att se ifall de har greppat tag om talen. Det finns en aktivitet som vi känner till som heter ’’träna taluppfattning på tallinjen’’. Den bygger på att man är både abstrakt och konkret i undervisningen. Därmed innebär det att tallinjen utvecklar elevers matematiska förmågor genom att man arbetar med tallinjen (Schneider, Merz, Stricker, De Smedt, Torbeyns, Verschaffel och Luwel (2018) och Woods, Geller och Basaraba, 2017).
Genom vår lärarutbildning har det visat sig för oss hur stor roll abstrakt och konkret undervisning/resonemang tillför till skillnad från att bara ha abstrakta resonemang. Forskningen har visat att tallinjen skapar en bro mellan det abstrakta och det konkreta i matematikundervisningen som är en viktig faktor för att utveckla en god taluppfattning hos eleverna (Kilhamn, 2014). Genom att utveckla elevers taluppfattning med hjälp av tallinjen som redskap leder det till att elever får en förståelse för tal och tals relationer till varandra. Vi har genom lärarutbildningen blivit mer intresserade av hur elever lär sig att räkna och hur de lär sig talens ordning samt med stöd från verktyget tallinje. Vid vår litteratursökning upptäckte vi att det finns fler studenter som har skrivit likartat men mer specifikt om taluppfattning eller tallinjen. Därmed valde vi att kombinera dessa två. Vi vill tillföra något nytt för oss, lärare och allmänheten med vår studie. Varje elev har rätt till att uppnå sina mål och komma långt i sin utveckling. För att det ska vara möjligt behöver eleven få hjälp med att få en korrekt ledning och stimulans i skolan. Vi som blivande lärare vill visa goda kunskaper och starka sidor för inlärning av taluppfattning, dock med stöd av tallinjen. Det blir relevant genom att läraren har kunskaper om
matematikämnet och i detta fall tallinjen för en god taluppfattning. På så sätt kan eleven få stöd i god tid genom att antingen ge särskilt stöd eller extra utmaning (Skolverket, 2019).
1.1 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna kvalitativa studie är att beskriva hur årskurs 1–6 lärare uppfattar vad begreppen tallinje och taluppfattning innebär utifrån deras perspektiv. Därefter vill vi studera hur dessa lärare använder sig av tallinjen i matematikundervisningen för att utveckla elevers taluppfattning.
1. Hur beskriver 7 årskurs 1–6 lärare begreppen tallinje och taluppfattning?
2. Beskriver lärarna att de använder tallinjen i matematikundervisningen för att utveckla elevers taluppfattning? Om ja, i så fall hur?
1.2 Uppsatsens disposition
I det första kapitlet redovisas inledning, syfte och frågeställningar som ger en inblick i vad studien kommer att handla om och varför det är relevant för att undersöka detta område. I kapitel 2 presenteras litteraturgenomgången som kommer ge en
övergripande förståelse genom att inkludera relevanta begrepp och den tidigare forskningen, samt det teoretiska perspektivet. I kapitel 3 presenteras metod och
material, som kommer att redogöra för den utvalda metoden, informanterna, samt hur
undersökningens genomförande har gått tillväga för datainsamlingen. Vi beskriver även trovärdighet och pålitlighet, samt forskningsetiska ställningstagandena. I kapitel 4 presenteras resultat, där redogörs resultaten från dataanalysen. I Kapitel 5
redovisas slutsatserna av studien med en grund från våra forskningsfrågor. I kapitel 6 presenteras diskussionen som är uppdelad mellan metoddiskussion och
resultatdiskussion. Vi kommer att genomföra en utvärdering av metoden och diskutera
våra resultat. Studien avslutas med kapitel 7 som kommer presenteras med eventuell
framtida forskning för det studerande området. Längst bak i studien kommer
den avslutande delen att presenteras med referenser och två bilagor.
2 Litteraturgenomgång
Det som tidigare presenterades är syftet för vår studie, och det är att få inblick i hur tallinjen kan utveckla elevers taluppfattning men också hur lärare beskriver begreppen tallinje och taluppfattning. Det som kommer presenteras i följande kapitel är i 2.1 Vad
skriver läroplanen om? 2.2 Taluppfattning och 2.3 Tallinjen. Det som medföljer under
2.2 och 2.3 är flera underbegrepp som relateras till den tidigare forskningen. I huvudsak kommer den tidigare forskningen att präglas i 2.3 Tallinjen inklusive det som medföljes under den rubriken.
2.1 Vad skriver läroplanen om?
Enligt Skolverket (2019) är syftet med undervisningen i matematiken att eleverna ska få kunskaper om matematiken och matematikens användning, både i vardagen och i ämnesområdena. Eleverna ska få utveckla ett intresse för matematiken och tilltro till sin egen förmåga för att kunna använda matematiken i olika sammanhang. Förutom det ska eleverna även utveckla sina kunskaper för att kunna reflektera, resonera och värdera de valda strategierna, metoderna, modellerna och resultaten. Med hjälp av matematikens uttrycksformer ska eleverna få möjligheten till att kunna tolka olika vardagliga och matematiska situationer. Genom undervisningen ska eleverna utveckla sin förtrogenhet
med grundläggande matematiska begrepp, till exempel addition, subtraktion och likhetstecknets betydelse.
Det centrala innehållet i läroplanen för årskurserna 1–3 under taluppfattning och tals
användning står det att eleverna ska kunna:
§ Naturliga tal och deras egenskaper […] och hur de kan användas för att ange antal och ordning.
§ Naturliga tal […] och deras användning i vardagliga situationer.
§ De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.
§ Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg.
(Skolverket, 2019, s. 54-55).
2.2 Taluppfattning
Dehaene (2001), Faulkner och Cain (2013) beskriver begreppet taluppfattning som numeriska kvantiteter som storlek, räkning, jämlikhet, basen 10, former av ett antal, proportionella resonemang, algebraiskt- och geometriskt tänkande. De nämner vidare att ordet ’’tal’’ är en grundläggande aspekt för oss, för att vi ska förstå den världen som omger oss. Med en grund av taluppfattning ska vi kunna snabbt upptäcka olika tal och antal. Det innebär enligt författarna att vi med tiden börjar uppfatta små mängder av samlingar, till exempel att vi mer eller mindre har lärt oss att räkna med fingrarna, medan vissa redan har fått starka aritmetiska intuitioner som leder till att de snabbt kan förstå att till exempel 5 är större än 3, siffran 2 faller mellan 1 och 3 eller att 15 + 16 inte är lika med 50. Detta påpekar Dehaene (2001) om att ha grundläggande förmågor eller intuitioner, som menas med att ha en ’’nummer avkänning’’. Muir (2012), Reys och Yang (1998) stärker detta genom att taluppfattning innebär att ha en form av känsla för antal, förmåga för att genomföra uppskattningar, förstå storleken på siffrorna och en allmän förståelse för tal. Barnet ska i samband med inlärningen få en god taluppfattning för att kunna använda sig av användbara och flexibla strategier för att kunna hantera och
bemöta olika situationer. Enligt Löwing (2017) har forskningen visat att barnets förmåga i matematiken byggs upp redan vid en tidig ålder, tidigare än vad man trott. Det innebär att ett barn som har taluppfattning kan operera med tal genom att räkna, behärska talens platser och egenskaper. Löwing (2017) nämner även att barn behöver ha en god taluppfattning för att kunna lära sig matematik. Löwing och Kilborn (2003) menar att all form av inlärning kräver en viss förkunskap eller förkunskaper. Med det menat, om du inte har några förkunskaper blir det omöjligt att tillgodogöra sig en annan viss kunskap. Detta kopplas samman med huvudräkningen som kräver att barnet ska ha en god
taluppfattning för:
• att behärska talens ordning både framåt och bakåt i talraden • att kunna talens grannar och senare även grannens granne
• att kunna dela upp talen på olika sätt i termer och faktorer (Löwing & Kilborn, 2003, s.25)
Vidare förtydligar Grevholm (2014) detta och menar att taluppfattning innebär förståelse för tals betydelser, storlek och relationer. Samt att ha en känsla för att kunna tolka talen. 2.2.1 Hur lär sig barn att räkna?
Barnens förmåga för att kunna räkna i början av förskolan eller förskoleklass grundläggs inte på samma sätt som i årskurs 1. Eftersom eleverna i årskurs 1 möter på
bedömningsstödet. Det som sker för de elever som går i förskola eller förskoleklass är att de möter på en formell undervisning. Det blir genom att barnen får leka med till exempel klossar. Detta ses egentligen inte som en undervisning men samtidigt, görs det
observationer eftersom pedagogen analyserar hur barnen leker. Till exempel sortering av klossar utifrån deras egenskaper. Detta leder till att eleverna leker sig fram med
matematiken omedvetet. Trots att barnen gör de olika momenten i förskolan och/eller förskoleklassen analyseras barnens förmågor genom att observera dem. På så sätt kan man upptäcka hur barnen ligger till kunskapsmässigt bland annat om de sorterar
klossarna utifrån färger eller antal, hur de ritar och skriver, om de till exempel kan skriva sitt namn och så vidare. Ahlberg (1995) skriver att barnens matematiska förmåga inleds redan tidigt i åldern. Då barnen samspelar med omvärlden kan de i efterhand få en förståelse för form, storlek och mängd. Barnen börjar vid en tidig ålder att ordna och gruppera föremål, de börjar även jämföra och upptäcka likheter och olikheter. Ahlberg (1995) lyfter fram ett exempel, om man lägger på för många köttbullar och tar bort en del så kan barnet uppfatta begreppet minskning/ta bort. Barnet kan även uppfatta begreppet delning genom att dela på ett äpple med en kompis. Ett barn kan ha svårt att uppfatta att räkneorden har en koppling till tal eller antal, barnet uppfattar det mer som en beteckning eller ett namn. Ahlberg (1995) skriver vidare att barn redan vid två till tre årsåldern kan räkneramsan till en viss del men att barnet ännu inte har uppfattat att det har en koppling till matematiken. Emellertid börjar barnet utveckla en större
uppfattning för ramsräkning, till exempel vid lekar såväl som kurragömma. Enligt Ahlberg (1995) bör de flesta barnen vid sex årsåldern kunna räkna till cirka 30, men det finns fortfarande enstaka barn som ännu inte utvecklat en räkning till 10.
2.2.2 Den stabila ordningen
Solem, Alseth och Nordberg (2011) skriver att barn som kommer till skolstarten har med sig många erfarenheter om tal. Barnen har redan mött på tal, till exempel talet 6 i en gatuadress, att de är 6 år gamla, vad kommer mellan 5 och 7, det är 6 och så vidare. Erfarenheter som barn får med sig vid skolstarten innebär att lärandet inte börjar med skolan. Det betyder att barnet kan redan före skolstarten. Författarna nämner några komponenter som barnet måste kunna och det är talföljden, att veta det sistnämnda talet och att kunna uttrycka det. Barnet måste först och främst kunna talföljden. Det innebär att barnet måste behärska 1, 2, 3, 4, 5, 6 och så vidare och förstå att det finns en bestämd ordning för talen och att de inte kan kastas om.
Solem m.fl. (2011) skriver att en svensk undersökning har visat att 25 procent av alla sex åringar kunde talföljden till och med upp till 100 medan andra barn är en aning osäkra. Detta överensstämmer även med författarna Case och Griffin (1990) som menar att barn
behöver ha kunskap om talen 1-10, talens ordning och talens grannar. Cases och Griffins (1990) tanke ligger i en tydlig linje med dem fem grundläggande principerna, bland annat att barnet ska förstå ett till ett principen, förstå att talet 3 ska uttalas och inte räknas på nytt och så vidare. Solem m.fl. (2011) nämner att det finns många sånger, ramsor och spel som kan användas i undervisningen för att barnet ska utveckla en talföljd och talens grannar.
2.2.3 Dem fem grundprinciperna
Löwing (2017) skriver att utgångspunkten för barns taluppfattning ses över en modell som är utvecklad av de amerikanska forskarna Gelman och Gallistel. Den innebär att de fem grundläggande principerna är viktiga komponenter för barnets taluppfattning och för att han/hon ska lära sig matematik. Löwing (2017) presenterar dem fem
grundläggande principerna i följande ordning:
• Abstraktionsprincipen – innebär att kunna räkna alla föremål oavsett vad för storlek, mängd eller form det är på dem. Barnet ska fortfarande veta hur mycket av antalet det är.
• Ett-till-ett-principen – innebär att barnet ska ordna föremålen parvis genom att barnet ska förstå om det finns fem stolar, behöver vi ha fem tallrikar, vidare innebär det att vi behöver fem glas.
• Principen om den godtyckliga ordningen – barnet ska kunna räkna i vilken ordning som helst och fortfarande få fram samma resultat. Dock ska barnet bara räkna en gång, om barnet räknar 1, 2 och 3 då ska barnet besvara 3 och inte räkna om.
• Principen om talens stabila ordning – barnet ska kunna räkna i en korrekt ordningsföljd samt att barnet kan talens namn. Till exempel 1, 2, 3, 4, barnet uppfattar ordningsföljden men om barnet räknar 1, 3, 8, då har barnet inte förstått ordningsföljden.
• Antalsprincipen – innebär att det sistnämnda räkneordet anger vad antalet av föremålen är.
Dock skriver Löwing (2017) att de två sista principerna tillkom senare och för att kunna utveckla dessa principer behöver barnet socialisera sig genom övningar. Det kan bland annat ske genom aktiviteter som de får göra i förskoleklass eller till och med i
förstaklass. 2.2.4 Aritmetik
Skolverket (2019) skriver som tidigare presenterats att eleven ska lära sig taluppfattning och tals användning samt de fyra räknesättens egenskaper, centrala metoder för
beräkningar med naturliga tal och de naturliga talens användning i vardagliga
sammanhang. Det innebär som Löwing (2017), Löwing och Kilborn (2003) skriver om, när barnet har grundläggande kunskaper om taluppfattning kan barnet börja operera med talen. I början av matematikundervisningen lär sig eleverna addition och
subtraktion. Det innebär vidare att barnet behöver behärska den kommutativa
räknelagen som innefattar att man kan byta plats på termerna och få ut samma summa. Den lagen gäller inte för subtraktion eftersom talet eller siffran hamnar längre ner i ’’minus skalan’’. Till exempel 3+2 = 2+3, medan 3-2 = 1 och 2-3 = -1. Det betyder att barnet behöver få en tydlig förklaring. Genom att om ett barn har 2 äpplen kan inte det andra barnet begära 3 äpplen eftersom barnet inte har så många antal äpplen. Det är även viktigt för barnet att förstå likhetstecknets betydelse som innebär att det är lika mycket på båda sidorna.
När eleverna kommer upp i högre årskurser börjar de möta på multiplikation och division. Den kommutativa lagen gäller för multiplikation då faktorerna kan byta plats och få ut samma produkt medan i division kan det bli aningen komplicerat. För att lyckas med division, menar Grevholm (2014) att elever behöver ha goda kunskaper om multiplikationstabellen eftersom de är sammankopplade till varandra. Till exempel 3 multiplicerat med 4 blir 12. Medan i division blir det till exempel 12 dividerat med 3 blir 4.
2.3 Tallinje
Tallinjen ses som ett didaktiskt redskap för matematikundervisningen. Kilhamn (2014) skriver att tallinjen är ett redskap för att utveckla elevers taluppfattning, räknefärdighet och förmåga för att kunna resonera utifrån matematikens uttrycksformer. När talen presenteras på tallinjen blir vissa egenskaper av talen synliga. Enligt Kilhamn (2014) ska tallinjen inte heller ses som en modell av talen, det är en modell för tänkandet.
Drageryd, Erdtman, Persson och Kilhamn (2012) skriver att tallinjen liknar en linjal. Detta lyfter Kilhamn (2014) vidare om att tallinjen är en metafor och ger talen
egenskaper av lägen, sträckor och rörelser. Det innebär att tallinjen är starkt kopplad till mätning som i detta fall har sin koppling till linjalen. Hon lyfter ett exempel att tallinjen till och med kan ses som ett staket. Staketet är uppbyggt av lodräta och vågräta reglar, på staketet kan man räkna pinnarna och mellanrummen mellan pinnarna. Detta innebär att tallinjen kan mötas på flera olika sätt under vardagen likaväl abstrakt som konkret. Dock blir det viktigt att tänka som Kilhamn (2014) skriver om att punkter och avståndet
mellan punkterna på en tallinje ska vara betydelsefulla. Men för att tallinjen ska ha en form av betydelse i matematiken måste det finnas numeriska symboler. Förutom det, ska det också finnas minst två referenspunkter för att en punkt på tallinjen ska
representera ett tal (Drageryd m fl, 2012).
Drageryd m.fl. (2012) och Kilhamn (2014) nämner, för att få en god taluppfattning behöver man vara förtrogen med tallinjen och lära sig strategierna för att kunna placera ut punkterna och tänka på avståndet för att därefter kunna placera ut talen. Vidare nämns det att ordningen för utplaceringen börjar från vänster till höger, eftersom talens värde ökar åt höger men minskar åt vänster. Därför finns en pil med, pilen som visar åt höger visar oss den positiva riktningen och visar den åt vänster, vägleder den oss till en negativ riktning. Kilhamn (2014) nämner att talet noll har en speciell status och det är den så kallade nollpunkten. Det är ett unikt tal, eftersom det illustrerar en punkt på tallinjen, den är varken en sträcka eller rörelse.
Författarna Drageryd m.fl. (2012) och Kilhamn (2014) framhäver att tallinjen kan vara en modell av talen, men tallinjen används som en modell för att kunna ha en förmåga för att resonera om tal. Med goda kunskaper om tallinjen blir styrkan att kunna placera ut både sträckor och punkter. Tallinjen blir inte bara en visuell representation den blir dessutom konkret genom att rita upp tallinje, stega upp avstånd, mäta och så vidare. 2.3.1 Introduktion av tallinjen i matematikundervisningen
Tallinjen är ett användbart redskap i matematikundervisningen. Björk och Pettersson Berggren (2014) skriver att man måste kunna ha förståelse för antal, tal och kunna uttrycka det både språkligt och symboliskt (siffror). Häggblom (2013) skriver att tallinjen som redskap tillför en utveckling av talens innebörd genom att pilens riktning går åt höger, vilket innebär att talen ökar i värde. Häggblom (2013) lyfter också att med tallinjen kan man räkna både framåt och bakåt till exempel ett, två, tre eller tre, två, ett. Innan en elev kan använda sig av detta redskap behöver eleven ha goda grundläggande kunskaper om talen. Det innebär att eleven måste ha en god taluppfattning för att kunna lyckas behärska tallinjen. Som tidigare nämnt från författarna Drageryd m.fl. (2012) och Kilhamn (2014) behöver man till en början presentera hur tallinjen fungerar, och det kan man göra konkret, till exempel rita på whiteboarden. Därefter kan man utveckla det genom att genomföra det mer konkret genom att ha en verklig tallinje på golvet i
klassrummet. Enligt Bay (2001) kan man till exempel visualisera tallinjen genom att ta fram ett rep med flera lappar med olika tal på som eleverna därefter får placera ut. På så sätt får de möjligheten att fundera själva och använda sina matematiska förmågor, detta utvecklar även elevers taluppfattning. Efter genomförande är det viktigt att diskutera och samtala om detta för att få möjligheten att höra hur eleverna resonerar.
Woods m.fl. (2017) skriver att det finns fyra steg för att introducera tallinjen. Det första steget är att reflektera hur tallinjen ska användas och att det tydligt måste kopplas till det matematiska innehållet. Det andra steget är att en pedagogisk planering måste göras utifrån det man har tänkt. Det tredje steget är att läraren behöver vägleda eleverna genom att förklara hur tallinjen används. Det fjärde steget är att diskutera och samtala om detta. Woods m.fl. (2017) påpekar att använda sig av detta kommer ge i resultat en tydlig planering av hur tallinjen kan introduceras och användas i undervisningen. 2.3.2 Tallinjen i matematikundervisningen
Solem m.fl. (2011) och Andrews m.fl. (2015) skriver att tallinjen kan presenteras som en linjal, ett måttband, en termometer med mera. Tallinjen finns överallt, både inom skolans värld men också i det vardagliga livet. Björk och Pettersson Berggren (2014) nämner att tallinjen är den som har blivit mest betydelsefull inom
matematikundervisningen. Björk och Pettersson Berggren (2014) skriver att tallinjen utgör en viktig del som representationsform som leder till ett matematiskt tänkande. Björk och Pettersson Berggren (2014) skriver också att det abstrakta synliggörs mer då eleverna får använda sig av konkret material. På så sätt utvecklas elevernas abstrakta tänkande. Solem m.fl. (2011) skriver om ett tydligt exempel, pärlbandet, som kan användas i undervisningen som konkretiserar tallinjen på ett annorlunda sätt.
Pärlbandet kan ha 20 kulor men att de fem första kulorna är röda, de fem kommande är vita ●●●●●○○○○○●●●●●○○○○○ och så vidare. På så sätt kan barnen övergå från att räkna ett, två, tre, fyra, fem och så vidare till 5-hopp som fortsättningsvis leder till längre
hopp. Enligt Klein, Beishuizen och Treffers (1998) blir detta ett fungerade moment som sedan leder till den tomma tallinjen. Solem m.fl. (2011) skriver också att pärlbandet har sina tal utsatta på pärlbandet medan tallinjen har det genom sina streck. Woods m.fl. (2017) nämner också att tallinjens förmåga leder till att matematiska begrepp blir mer förstådda. Tallinjens redskap blir tydlig då man börjar inkludera räknesätten addition och subtraktion som också är utgångspunkten för tallinjen. Enligt Woods m.fl. (2017) blir de två räknesätten tydliga för eleverna eftersom det konkretiseras genom att eleverna kan se vad som händer när talen antingen adderas eller subtraheras. 2.3.3 Den tomma tallinjen
McIntosh (2008) beskriver innebörden med en tom tallinje. En tom tallinje innebär en linje utan tal och markeringar, den har endast ändpunkterna utskrivna, till exempel 0-10. Det är sällan som mittpunkten är placerad som man brukar definiera som hälften till exempel 0-5-10 sedan kommer strecken emellan. Den tomma tallinjen kan enbart
anpassas för elever som har förstått tallinjen och grundläggande kunskaper kring den.) Kucian, Grond, Rotzer, Henzi, Schönmann, Plangger, Gälli, Martin, von Aster (2011) och Siegler och Ramani (2008) betonar att forskningsstudierna har visat att den tomma tallinjen är positiv för utveckling av elevers taluppfattning. Klein m.fl. (1998) anser att den tomma tallinjen blir mer intressant och aktiv då eleverna ska lösa uppgifter eftersom de ser den tomma tallinjen som ett hjälpmedel. Forskarna nämner vidare att elever som har begripit tallinjen kan sedan använda sig av den tomma tallinjen. De elever som kan använda sig av den tomma tallinjen visar att de kan resonera med avancerade strategier och visar dessutom en djupare förståelse för matematiken. Forskarna skriver också att elever som har begripit detta kan finna fram egna lösningar för matematiska uppgifter, både inom addition och subtraktion.
Solem m.fl. (2011) nämner också utifrån forskningens syn att den tomma tallinjen ses som en didaktisk modell som är ett stöd för elevers utveckling av talförståelse, specifikt då det gäller huvudräkning. Solem m.fl. (2011) skriver att den tomma tallinjen är tänkt för att utveckla elevers mentala föreställningar som innebär att synliggöra elevers kommande huvudräkning.
2.4 Teoretiskt ramverk
Under denna rubrik kommer det teoretiska ramverket att presenteras. Vi har därför använt oss av två kapitel med sammanlagt fem kategorier från McIntosh (2008), och McIntosh, Reys och Reys (1992) som stöd för att analysera data. Det innebär att detta kommer bli en induktiv approach. Med en induktiv approach kommer vi att analysera vår data utifrån de framtagna kategorier från McIntosh (2008). Denna studie
presenteras med följande två kapitel; att förstå tal och att förstå operationer med tal. I löpande text kommer vi att inkludera de fem kategorierna, kategorierna kommer att framhävas i 6.2 Resultatdiskussion.
2.4.1 Att förstå tal
McIntosh (2008) skriver om antalskonversationen som innebär att ett barn som räknar en viss mängd föremål kommer att förstå att om man flyttar på föremålen kommer antalet inte att ändras. Även om föremålen har olika storlekar påverkar det inte heller antalet. Detta grundar sig bland annat till ett av de fem grundläggande principerna som
kallas för antalsprincipen (se särskilt 2.2.2). McIntosh nämner vidare utifrån Piagets arbeten att om ett barn kan konservera antal så är det fortfarande inte en positiv grund att gå på. Författaren nämner att Piaget menar att det är nödvändigt att ha förkunskaper för att förstå tal och antal. Det handlar mycket om att barnet behöver bygga upp dem fem grundprinciperna som utvecklades av Gellman och Gallistel
(antalskonversation).
McIntosh (2008) skriver att majoriteten av barnen går igenom en fas. Den fasen är att se ett samband mellan räkneramsan till exempel att kunna säga ’’ett, två, tre...’’ och antal. Barnen har då inte förstått sambandet antal som en egenskap som är en mängd föremål. Ett barn som börjar visa förståelse blir genom att räkna rytmiskt och peka på föremålet samtidigt. Barnet namnger på så sätt föremålen genom att säga ’’ett, två, tre…’’ och så vidare. Då barnet har räknat fram till sista föremålet menar barnet till exempel 5, då menar barnet att en sak heter fem och inte till exempel den röda klossen blir 5. Då barnet har börjat begripa räkneramsan och vet vad den sist nämnda saken blir så börjar barnet förstå uppräkning som leder till barnets första aritmetiska aktivitet. Enligt McIntosh (2008), behöver barnet ha erfarenheter av räkneramsan för att kunna bestämma hur många det är och då kommer barnet visa förståelse för räkneorden, räkneramsan och antalsbegreppen. Barnet kommer därefter kunna lyckas sortera, jämföra lik- och olikheter, egenskaperna på föremålen till exempel rund, liten, lång med mera. Detta blir ett viktigt moment i undervisningen för att barnet ska lära sig de
matematiska begreppen, istället för att barnet ska säga ’’det är mindre där’’ så bör barnet istället säga ’’det är färre’’. Men barn som brister i detta behöver ha fortsatta konkreta aktiviteter, eftersom om barnet arbetar i arbetsböckerna tyst och enskilt så kommer de fortfarande inte förstå (räkneord och antal).
McIntosh (2008) beskriver att barn ska kunna räkna i steg som vi kallar för hoppsteg. När barnet börjar med hoppstegen 2, 5 eller 10 visar barnet att han/hon har begripit mönstret i talsystemet som senare blir värdefull för andra operationer i ämnet
matematik. Det är även viktigt att betona att räkna tyst genom att enbart skriva siffrorna eller talen och få säga dem högt är en skillnad. Då eleverna får en kombination av detta genom att få skriva och säga dem muntligt leder till att de får en känsla för mönstret och den aktuella talföljden. McIntosh (2008) skriver också att då barnet har förstått grunden för tal och antal så behöver barnet vidare förstå positionerna av talen till exempel 12 är som att skriva 10 + 2. Det innebär att barnet behöver ha förståelse för de olika
platsvärdena. För att det ska bli tydligare för eleverna både för de grundläggande delar som att förstå vad som kommer före och efter 7 så ska även barnet begripa platsvärdena. Det kan man genomföra med ett laborativt material som McIntosh (2008) skriver om. Det går att hänga upp en tallinje på klassrumsväggen som har alla talen utskrivna, upp till och med 100. Eleverna kan även arbeta med den tomma tallinjen. En tom tallinje kan arbetas genom att ha en tvättlina upphängd med lappar som kan hängas upp med hjälp av klädnypor. På så sätt förebygger man elevernas förståelse men även som lärare för att kunna upptäcka om en viss elev har svårigheter. McIntosh (2008) beskriver att med hjälp av det laborativa materialet tomma tallinjen kan man arbeta på många olika sätt som i huvudsyfte inkluderar addition och subtraktion (positionssystemet).
2.4.2 Att förstå operationer med tal
McIntosh (2008) skriver att vuxna ser sambandet mellan uppräkning, addition och subtraktion vilket är en självklarhet för oss, men många barn är i detta stadium omedvetna om sambandet. Om vi inför de formella symbolerna för addition och subtraktion med plustecknet, minustecknet och likhetstecknet alldeles för tidigt kan svårigheten bli förstärkt genom att barnet inte i längden kommer förstå något. McIntosh (2008) fortsätter nämna att lära sig räkna och opererar med talen, lär sig alla förr eller senare. Men för att klara av det behöver en del färdigheter ha blivit avklarade. Det är bland annat att förstå effekten och relationerna mellan de fyra räknesätten. Till exempel att förstå hur en metod fungerar genom multiplikation och addition, 2 + 2 + 2 = 3 x 2 (addition och subtraktion, olika representationer).
McIntosh, Reys & Reys (1992) skriver att elever behöver möta på olika metoder för att upptäcka sina möjligheter och utmaningar som de har. McIntosh (2008) skriver att vid beräkningar av eller med tal så måste man förhålla sig till en del regler som kallas för räknelagar. De räknelagar som McIntosh (2008) nämner som är relevant för studien är;
§ Den kommutativa lagen för addition; a + b = b + a § Den kommutativa lagen för multiplikation; ab = ba
Detta innebär att man kan byta plats på termerna/faktorerna och räkna i vilken ordning man vill och fortfarande få ut samma summa eller produkt. Men eleverna behöver ha förståelse för att denna räknelag inte gäller för subtraktion eller division. Som tidigare nämnt, byter vi plats på subtraktion leder det till att man hamnar på de negativa talen. Vid division behöver man ha grundläggande kunskaper kring de tre första räknesätten, eftersom vid byte av täljarens och nämnarens plats behöver man koppla in
multiplikation som dock förekommer i de äldre åldrarna (multiplikation och division, olika representationer).
McIntosh (2008) skriver också att de fyra räknesätten har samband till varandra. Subtraktion är motsatsen till addition, det innebär att 4 + 2 = 6 och 6 - 2 = 4. Medan multiplikation ses som en upprepning av addition och divisionen blir en upprepning av subtraktionen. Genom dessa samband kan vi kontrollera en subtraktion med addition och tvärtom till exempel: 40 + 20 = 60, för att 60 - 20 = 40 och vice versa mellan räknesätten.
3 Metod och material
I följande kapitel presenteras avsnitt 3.1 Metod, 3.2 Urval, 3.3 Genomförande, 3.4
Forskningsetiska ställningstaganden och 3.5 Trovärdighet och pålitlighet. Det som
vidare kommer att presenteras är de valda tillvägagångssätten vid datainsamlingen och databearbetningen. Studien tar även hänsyn till de forskningsetiska aspekterna samt hur studien har bibehållit sitt sanningsvärde.
3.1 Metod
Denna studie baseras på en kvalitativ studie som innebär att vi har utgått ifrån
kvalitativa semistrukturerade intervjuer. Vi fokuserade på att intervjua olika lärare med samma yrke. På grund av att en pandemi uppstod valde vi att även fråga de lärare som
arbetar i högre årskurser. Vilket innebär lärare som arbetar inom årskurserna 1–6. Syftet, som tidigare nämnts, med denna studie är att lyfta fram hur lärarna beskriver begreppen tallinje och taluppfattning. Men också hur dessa lärare använder sig av tallinjen i matematikundervisningen för att utveckla elevers taluppfattning. Eftersom vi vill ta del av olika arbetssätt som de använder i sin undervisning, samt framhäva deras kunskaper, åsikter, didaktiska val och erfarenheter ansåg vi att kvalitativa
semistrukturerade intervjuer var den mest anpassade metoden. 3.2 Urval
Studien grundade sig i att vi eftersökte sex till nio informanter som kunde delta i vår studie. Orsaken till det eftersökta antalet av informanter var på grund av studiens omfattning. Men eftersom vi inte hade en bakgrund om dessa informanter ifall de har arbetat med tallinjen och att en pandemi uppstod frågade vi lärare i högre årskurser. Det innebar att vi egentligen började med en eftersökning av lärare som arbetar i
årskurserna 1–3 till en förändring av lärare som arbetar mellan årskurserna 1–6. Det ledde till slut att vi kontaktade lärare som arbetar mellan årskurserna 1–6, samt att vi ansåg att lärarna som arbetar i de högre årskurserna kunde troligtvis ge oss utökade svar. Genom ett missivbrev (se bilaga 1) skickade vi ut förfrågan till flertal skolor inom tre kommuner, men vi fick bara återkoppling från två skolor som ligger i en kommun. Vi har även skrivit översiktligt i missivbrevet (se bilaga 1) gällande de forskningsetiska kraven som omfattar anonymitet och tystnadsplikt för de som deltar. Vi har också inkluderat Vetenskapsrådet (2017) som referens för att förtydliga för deltagarna var all information är hämtad ifrån.
Samtliga pedagoger är utbildade och har en grundlärarexamen F-3 eller F-6. Alla
intervjuer har spelats in, vilket deltagarna har varit medvetna om. För att kunna ta del av vår intervju hade vi lärarlegitimation som ett krav. Detta valdes på grund av individens kunskaper och erfarenheter som han/hon har fått med åren. På så vis blir det mer brett för deltagaren att besvara studiens frågeställningar. Informanterna som deltog arbetar inom olika årskurser och har olika arbetserfarenheter.
Deltagare Arbetserfarenhet Behörighet Årskurs Skola
P1 2 års erfarenhet som lärare Grundlärare för årkurserna 4-6 Undervisar i årkurs 4 S2 P2 11 års erfarenhet som lärare Grundlärare för årskurserna F-6 Undervisar i årskurs 5 S2 P3 10 års erfarenhet som lärare Grundlärare för årskurserna F-3 Undervisar i årskurs 2 S1 P4 25 års erfarenhet som lärare Grundlärare för årskurserna F-3 Undervisar i årskurs 3 S1
P5 21 års erfarenhet som lärare Grundlärare för årskurserna F-6 samt SvA (svenska som andra språk) Undervisar nu som SvA-lärare. S1 P6 6 års erfarenhet som lärare Grundlärare för årskurserna F-3 Undervisar i årskurs 1 S1 P7 7 års erfarenhet
som lärare Grundlärare för årskurserna F-3
Undervisar i
årskurs 3 S1
3.3 Genomförande
De informanter som deltog i studien har i princip samma yrke. Utgångspunkten för studien var att fokusera på att få in samma professioner för att det skulle vara möjligt att besvara på intervjufrågorna (se bilaga 2). De professioner är närmare bestämt
klasslärare som vidare kommer definieras som pedagoger (P). Samtliga informanter som deltog i intervjun kommer att presenteras både med en bokstav och siffra. Men också från vilken skola de tillhör, och det presenteras som S1 (skola 1) och S2 (skola 2). I kapitel 5 Resultat kommer dessa informanter att presenteras djupgående. De kommer definieras som P1, P2, P3, P4, P5, P6 och P7 för att bibehålla deras anonymitet.
Utsagorna från pedagogerna är hämtade från våra inspelade intervjuer och kommer att skrivas i standardsvenska. Vilket innebär att vi inte kommer inkludera detaljer från intervjuerna.
3.3.1 Datainsamling
Datainsamlingen utfördes med semistrukturerade intervjuer som är en kvalitativ metod. Med semistrukturerade intervjuer har vi format relevanta frågeställningar som är
anpassade för studien. Det har varit en tydlig belysning på intervjufrågorna och för att få mer utvecklade svar, har det funnits följdfrågor och återkoppling till det som
informanterna har tagit upp under intervjun. Enligt Denscombe (2018) omfattar semistrukturerade intervjuer att ha förutbestämda frågor för matematikämnet,
samtidigt finns det möjlighet för den deltagande att utveckla sitt tänkande. Han menar att deltagaren ska få möjlighet till att utveckla sina tankar mer utförligt. Det innebär att svaren ska få vara öppna vilket vi har tagit stor hänsyn till under intervjuerna. På så vis får vi en mer fyllig och detaljerad data för vår studie.
I missivbrevet (se bilaga 1) förtydligade vi att intervjuerna kan ta mellan 15–30 minuter vilket även var vår tidsbegränsning (Denscombe, 2018). Platsen bestämdes med
deltagarna på den berörda skolan och att få ett ledigt rum i skolan, alternativt träffa informanten på Mälardalens Högskola med ett bokat rum av oss. Vi såg även
möjligheten för att genomföra internetbaserade intervjuer på grund av pandemin och dessutom om några problem skulle uppstå.
Alla intervjuer har skett på respektive informants arbetsplats, och varje individ som tagit del av intervjun har fått en tid för sitt deltagande. Under processens gång fick den
enskilde deltagaren känna efter om han/hon ville tillägga något ytterligare eller om han/hon kände sig nöjd. Den sammanlagda tiden för varje enskild informant omfattar ca en halvtimme. Deltagaren var medveten om att ljudinspelning skulle ske, information om det fanns i missivbrevet (se bilaga 1). Deltagarna fick även ge ett samtycke om de är okej med inspelningen. Tanken bakom ljudinspelningarna är att lägga mycket fokus som möjligt på det informanten säger. Med upptagning av ljudinspelning får vi en fullständig dokumentation (Denscombe, 2018). Samtidigt som informantens tankar och åsikter spelades in antecknades det också ner på papper för vår egen skull.
3.3.2 Databearbetning
Studien som ovannämnt baseras på kvalitativa data. Utifrån intervjufrågorna (se bilaga 2) har vi kunnat få fram tydliga svar från informanterna. Vi utgår från en kvalitativ data där vi har fått jämföra och presentera likheter och olikheter i resultaten. Vi har fått fram både tydliga och otydliga svar från deltagarna som intervjuades. Vi började med att lyssna på alla ljudinspelningar, det ledde till att all inspelning överfördes från tal till skrift. Därefter fortsatte vi analysera all ljudintagning genom att fördela alla svar genom lik- och olikheter (Tivenius, 2015). Patel och Davidson (2011) beskriver att då sortering av likheter och olikheter förekommer, blir svaren mer tydliga och det blir lättare att hitta tillbaka vad respektive informant har nämnt. Det som inte var relevant för studien föll bort, men det hamnade fortfarande under en egen kategori. Utifrån alla utsagor kunde vi börja diskutera fram relevanta underrubriker. Underrubrikerna blir en presentation av informanternas mest framträdande svar.
3.4 Reliabilitet, validitet och generaliserbarhet
Studien har präglats av reliabilitet och validitet för att behålla en god kvalité av
trovärdighet. Även Dysthe (2011) skriver att trovärdigheten är en viktig grundpelare för uppsatser. I en kvalitativ studie handlar reliabilitet om hur data samlas in och hur man bearbetar den. Det innebär att reliabiliteten mäter studiens tillförlitlighet (Bryman, 2018). Tivenius (2015) skriver om begreppet validitet, som innebär att man mäter det som är relevant för sammanhanget. Det betyder att vi genomgående har haft
återkoppling till syftet och forskningsfrågorna. Han nämner också begreppet pålitlighet som också har präglat studien genom att vi har granskat studien och innebörden av skrivprocessen (Tivenius, 2015).
Utifrån de deltagare som intervjuades där de inte fick något intervjumaterial i förväg och utifrån studiens analys och teorin bedömde vi att studien når kraven på reliabilitet som stärker trovärdigheten. Dels för att vi ska få veta mer utifrån deras egen uppfattning, och dels anser vi att i grunden bör dessa informanter ha arbetat med taluppfattning och tallinjen på något sätt i sin undervisning. Detta leder till att vi får en trovärdighet i studien. Utifrån lärarnas uppfattningar stärks även detta i samband med den tidigare forskningen (se kapitel 2) som leder till en ökad pålitlighet för studien. Det som kan påverka vår reliabilitet och validitet är vår tolkning av den insamlad data.
Generaliserbarheten handlar om studiens resultat som kan gälla utanför studien. Det kan till exempel handla om att denna studie kan gälla för andra lärare och inte endast
utifrån den undersökta gruppen (Stukát, 2011). Studie omfattar 7 deltagare som uttrycker personliga erfarenheter och tankar i intervjuerna. Det innebär att
generaliserbarheten är låg vilket är relevant för kvalitativa studier. Enligt Denscombe (2018) kan generaliserbarheten bli hög om resultatet kopplas ihop med den tidigare forskningen, vilket sker i studiens resultatdiskussion.
3.5 Forskningsetiska ställningstaganden
De lärare som tillfrågades för deltagande i vår studie har fått information om de
rättigheter som de har i studien. Informationen fick de genom missivbrevet (se bilaga 1). De krav och rättigheter som deltagarna har är hämtat från Vetenskapsrådet (2017), och de fyra kraven är sekretess, tystnadsplikt, anonymitet och integritet.
Sekretessen är en grundprincip, det innebär ifall det handlar om allmänna handlingar
kan de vara offentliga och att vissa uppgifter kan sekretessbeläggas om de faller under en bestämd offentlighets- och sekretesslag. Om det skulle ske en begäran av de insamlade uppgifterna behöver till exempel universitet genomföra en bedömning om det går att lämna ut. Därvid följer tystnadsplikten som är i samband med sekretessen. Om uppgifterna är sekretessbelagda medföljer även tystnadsplikten som innebär att man varken ska tala eller skriva om vissa uppgifter. Men om den insamlade informationen skulle ses som brott till exempel barnmisshandel med mera, då gäller inte sekretessen eller tystnadsplikten då anmälningsplikten väger mer.
Anonymitet innebär att deltagarna kommer att anonymiseras för att det ska bli svårt att
finna den enskilde individen. Det kommer leda till att deltagarna, platsen med mera kommer få fiktiva namn i studien. Integritet sammanförs även med anonymitet som innebär att man tar åtgärder för att skydda personernas integritet och att de har rätt till skydd till sina privatliv. Vetenskapsrådet (2002) lyfter också att deltagare som har valt att ställa upp för intervju har även rätt att säga ifrån sig sitt deltagande utan att få några konsekvenser. De har även rätt till att bestämma hur länge deras deltagande ska pågå för intervjun (samtyckeskravet).
4 Resultat
I följande kapitel presenteras 4.1 Lärarnas uppfattning om taluppfattning och tallinje,
4.2 Användning av tallinjen för en god taluppfattning, 4.3 Användning av tallinjen för de fyra räknesätten, och 4.4 Resultatsammanfattning.
4.1 Lärarnas uppfattning om taluppfattning och tallinje
Informanterna menar att eleverna kan utveckla sin taluppfattning genom att använda tallinjen som ett hjälpande verktyg. Efter att informanterna fick höra de två första frågeställningarna (se bilaga 2) kunde de förtydliga sina svar för att förklara mer begripligt vad begreppen taluppfattning och tallinje innebär för dem. Samtliga informanter beskrev att taluppfattning enligt dem innebär att elever ska kunna ha förståelse för storleken och värdet av talen, förstå talens placering till exempel vad som kommer före och efter, vad är siffran 7 värd i talet 17 med mera. Detta förklaras bland annat av tre pedagoger som beskriver att:
Taluppfattning handlar om värdet av siffran eller talet. Taluppfattning är hela grunden för matematikämnet, om man inte har en god taluppfattning kommer matematiken att bli svår för eleven. Vilket leder till konsekvens att eleven hamnar efter (P6).
I min uppfattning innebär taluppfattning om att ha förståelse för vad en siffra innebär. Att eleven kan se olika funktioner av siffran eller talet, vad som är större och mindre (P4).
Eleven ska kunna se platserna på talraden, alltså att eleven ska kunna prata om både höga- och låga tal (P5).
P3 förklarar också att det gäller att se vilka tal som kommer före och efter, upptäcka udda och jämna tal, dubbelt och hälften. Informanterna P1, P2 och P7 har förklarat på liknande sätt som de ovannämnda informanterna har gjort. P1, P2 och P7 påpekade tydligt att taluppfattning är grunden för ämnet matematik och det är att eleverna måste ha goda kunskaper om talens betydelser och storlek. Utan de grundläggande
kunskaperna kommer eleverna inte lyckas i ämnet matematik, som på så sätt blir
konsekvenser för dem desto äldre eleverna blir. Med denna beskrivning började både P1 och P2 leda sig in till begreppet tallinjen och hur taluppfattning hör samman med
verktyget tallinjen. De förklarar väldigt lika och därför har vi fört samman deras utsagor på följande vis:
Tallinjen behövs. Med tallinjen kan eleven utveckla sin taluppfattning genom att det blir mer konkret (P1).
De får se hur siffrorna, talen, udda och jämna går tillväga med hjälp av tallinjen, samt att matematiska ordbegrepp blir mer tydligt för eleverna (P2).
Vi kunde upptäcka tydligt att alla informanter har samma tankegång gällande
taluppfattningens betydelse. Trots att informanterna undervisar i olika årskurser och har undervisat i andra årskurser tidigare, är de eniga om betydelsen av taluppfattning. Detta kan vara en påverkan utifrån hur de har utbildats. Men vidare fortsätter samtliga
pedagoger beskriva tallinjens innebörd och det är att tallinjen är ett viktigt redskap. Enligt P1 kan man göra mycket med verktyget tallinjen. För P1 innebär tallinjen ett guldredskap och beskriver att man kan arbeta mycket med taluppfattning i samband med tallinjen. Bland annat att förklara var positiva och negativa tal ligger, arbeta med decimaltal, addition, subtraktion, multiplikation och division. Man kan även beskriva för eleverna att det finns betydligt fler tal mellan 0 och 1. På så vis blir användningen av tallinjen mer av ett konkret redskap för att förebygga en tydligare förståelse för eleverna. Informanten P1 lyfter intressanta delar och det är att man kan arbeta med tallinjen på flera sätt bortsett från addition och subtraktion, men dock i de högre årskurserna. Det är för att hen själv har prövat sig fram med detta tillsammans med P2. Men fortsättningsvis nämner P4 att tallinjen innebär en ordningsföljd, man kan se talens ordning på ett
tydligare sätt än att bara använda sig av språket.
Tallinjen handlar om placering av tal, samt att arbeta med tallinjen blir senare mer praktiskt för eleverna och de kan befästa kunskaperna lättare men det innebär att man måste ha kunskaper om tallinjen (P5).
Jag tycker att med tallinjen kan eleverna bland annat lära sig forma siffrorna, och att de börjar komma in till siffrornas positioner det vill säga positionssystemet. Jag tycker att det blir en positiv grund till en god taluppfattning (P3).
För mig innebär tallinjen att kunna talen i rätt ordning, samt kunna rita och skriva en tallinje. Att tallinjen är grunden för matematikämnet och att en hel del kan göras med tallinjen (P6).
Enligt samtliga informanter innebär tallinjen att kunna upptäcka och se tydliga samband mellan siffrornas värde och positioner i talen. Det vi kunde upptäcka är att alla
informanter är i princip väldigt eniga om hur de beskriver begreppet tallinjen. Den beskrivningen är att tallinjen är ett hjälpverktyg i undervisningen för att utveckla en tydlig förståelse för eleverna. Även P7’s tankar medföljer informanters svar men hen nämnde:
Jag kopplar tallinjen mycket till linjalen och ser detta som ett tydligt hjälpmedel. Jag kan förtydliga tallinjen för eleverna med hjälp av linjalen eftersom det blir mer konkret (P7).
4.2 Användning av tallinjen för en god taluppfattning
Som tidigare nämnt kan tallinjen användas på flera olika sätt i undervisningen, till exempel genom att presentera positiva och negativa tal, de fyra räknesätten, positionerna med mera. Alla pedagoger lyfte intressanta svar, majoriteten av
informanterna som arbetar på S1 framhäver väldigt liknande svar medan informanterna från S2 framhäver på en mer avancerad nivå. Det innebär med en tolkning av att
tallinjen används på en mer grundlig nivå i årskurserna 1–3. Då eleverna kommer upp till årskurs 4 och vidare till årskurs 6 blir det mer avancerat bland annat att divisionen och negativa tal förekommer.
Jag anser att använda sig av tallinjen konkret i klassrummet bidrar till en utveckling av elevers taluppfattning specifikt för de elever som är lågpresterande. Elever som är lågpresterande behöver mycket av det konkreta för att förstå innebörden av siffrorna och deras placering på så sätt
förebyggs deras taluppfattning till en positiv väg (P7).
Detta är något som överensstämmer för alla pedagoger, varav vi har plockat ut de
pedagoger som har preciserat sig en aning mer tydligt. Men att använda sig av tallinjen i klassrummet anser alla pedagoger leder till att eleverna utvecklar en god taluppfattning. Fortsättningsvis förklarar P2 och P3:
Man kan använda sig av tallinjen genom att arbeta med decimaltal till exempel 0–1, alltså förklara mer tydligare att det finns oändliga tal som ligger mellan exempelvis 1-2 för att visa på vad
decimaltal är. Samt ta upp de som nämnts tidigare vilka tal som kommer före och efter ett specifikt tal (P2).
Tallinje innebär ordningsföljd där eleven har koll på talens ordning, vilka tal som kommer före och vilka tal som kommer efter. Men också att tallinjen handlar om hur eleven formar siffror och tal, hur eleven tar sig an positionssystemet och hur elevens taluppfattning är (P3).
Det innebär enligt dessa pedagoger att tallinjen kan användas mer avancerat desto högre upp eleverna kommer i årskurserna. Det leder till att eleverna får en ökad
taluppfattning. Vi tolkar att ifall eleverna arbetar tidigt i åldern med tallinjen kommer de kunna klara av att hantera tallinjen på ett mer avancerat sätt. Bland annat lyfter P1 ett ytterligare intressant område genom att förklara:
Att arbeta konkret med tal genom att till exempel antigen börja med en tom tallinje eller använda en linjal som en tallinje där det står olika siffror från 0–30 på. Därefter gå vidare till tavlan där varje elev får visualisera och verkligen tänka. Att arbeta vidare med en tom tallinjen kan man ha siffran noll som utgångspunkt där man förklarar nollans innebörd först innan man går vidare till
resterande siffror. Till exempel genom att placera nollan i mitten och utifrån det förklara för eleverna att man först utgår från talraden och därefter går man mot avancerad nivå (P1).
Då elever möter på den tomma tallinjen behöver eleverna visa tydliga kunskaper på en god taluppfattning. Om eleverna inte har den goda taluppfattningen kommer det vara svårt för dem att hantera den tomma tallinjen. Den tomma tallinjen kan även
presenteras i de lägre årskurserna och inte bara mellan årskurs 4-6. Med tillägg fortsätter även P6 förklara vad för typ av material man kan använda och stärker även mer av det P1 har nämnt. Pedagogen nämner:
Att arbeta med en tallinje kan vara väldigt brett, man kan exempelvis arbeta med kuber där eleverna får träna på ental, tiotal och kanske även hundratal. Man kan också arbeta med att räkna på
tallinjen framåt och bakåt, arbeta med talets granne. Vilken siffra som kommer före och efter men även vilket eller vilka tal som ligger mellan två olika tal. Till exempel med decimal tal såsom 0–1 där du som lärare förklarar mer tydligt att det finns oändligt många tal som ligger mellan varje siffra, till exempel 0–1 eller 1–2 och så vidare. Detta är för att visa på vad decimaltal är samt ta upp de som nämnts tidigare vilka tal som kommer före och efter ett specifikt tal (P6).
Som en sammanfattning anser alla pedagoger att tallinjen kan utveckla elevers
taluppfattning. Det är genom att arbeta konkret. När eleverna får arbeta konkret, görs det genom aktiviteter i klassrummet eller att de får vara delaktiga i undervisningen till exempel komma fram till tavlan och försöka rita upp en tallinje själv och placera siffrorna i den rätta ordningen som leder till en utveckling. Den utvecklingen blir att eleven försöker visa på sina kunskaper.
4.3 Användning av tallinjen för de fyra räknesätten
Samtliga pedagoger använder tallinjen för att få en god taluppfattning i
matematikundervisningen. Det pedagogerna lyfter är att de främst använder tallinjen i användning av addition och subtraktion, desto högre upp eleverna kommer i
årskurserna används tallinjen i multiplikation. Dock betydligt mindre i division då det är en utmaning och krävs grundliga kunskaper för att lyckas med det. Eftersom P1 och P2 arbetar i S2 förklarar P2 att:
Tallinjen kan användas vid multiplikation, till exempel 4 gånger 5. Hen markerar på tallinjen alltså 5:ans tabell och illustrerar sedan varje hopp med fyra steg och hamnar på talet 20. Detta blir en koppling till addition som visar i resultat att 4x5 är detsamma som 5+5+5+5 (P2).
Utifrån samtliga informanter uppfattar vi, för att kunna lyckas genomföra multiplikation på tallinjen behöver eleverna ha förkunskaper om multiplikationstabellerna. Vidare förklarar P1 om hur man kan använda sig av tallinjen med räknesättet division hen förklarar:
Vid division, 20 divideras med 4:a hur många steg måste jag backa, jo det blir 5 steg. Sedan varierar man undervisningen genom innehållsdivision. För att kunna arbeta på detta sätt behöver eleverna ha arbetat mycket med positionssystemet för att ha en tydlig förståelse för det (P1).
De samtliga pedagoger som arbetar i S1, lyfter väldigt tydligt att de använder sig av tallinjen främst för addition och subtraktion för att visa på hur det fungerar. De anser att i längden kommer eleverna inte kunna räkna med sina fingrar eftersom de inte har till exempel 20 fingrar. Detta förklarar P6:
Med tallinjen kan jag förtydliga för mina elever när jag lägger till och när det ska tas bort och vilka matematiska ordbegrepp som ska användas. Jag undviker att säga plus och minus, jag använder begreppen addition och subtraktion. Till exempel nu ska vi addera eller subtrahera 7 med 3 vad blir det?(P6).
Medan P7 lyfter hur hen kopplar addition och subtraktion till elevers vardag för att det ska vara så konkret som möjligt, hen förklarar:
Jag arbetar mycket med fram och tillbaka, kopplingen till addition och subtraktion. Hen kopplar till elevers vardag genom att nämna om du får 20 kronor och handlar för 7 kronor hur mycket har du kvar? Eller om det ska handla om addition då gör man tvärtom, jag köper 1 paket tuggummi för 5 kronor och en glass för 15 kronor hur mycket blir det? Då kan jag använda mig av tallinjen genom att rita upp 0-20. Sedan placerar vi oss på det först nämnda talet och går sedan 15 steg fram eftersom det blir den andra nämna informationen och kommer slutligen fram till svaret. Det är viktigt att koppla till elevers verklighet, till deras egen vardag, det blir mycket tydligare för dem, speciellt för de som har svårt (P7).
Det vi uppmärksammade genom alla ljudinspelningar var att alla informanter lyfte om hoppstegen. Utsagorna har sagts på olika sätt men allting leder till en och samma tolkning. Informanterna nämnde också, när man ska introducera hoppstegen börjar man med 2 hopp. Till exempel på tallinjen ställer vi oss på talet 2 och hoppar fram 2 steg, vart hamnar vi då? Eleverna begriper detta att de hamnar på talet 4. Sedan kan man utöka till större hoppsteg 3, 4, 5 och så vidare. Med detta kopplas alla de olika hoppen till multiplikationstabellen. Vilket ovannämndes av informant P2.
4.4 Resultatsammanfattning
En god taluppfattning ingår i matematikämnet och är ett av de mest grundläggande målen enligt informanterna.
Informanterna har nämnt att verktyget tallinjen ses som ett hjälpmedel och kan
användas på olika sätt, från att bland annat förstå siffrornas och talens platsvärde till att kunna operera med talen för de fyra räknesätten. Dock i huvudsyfte att kunna använda sig av addition och subtraktion med hjälp av tallinjen.
Enligt informanterna utvecklar elevers taluppfattning med hjälp av tallinjen och det görs genom att arbeta mycket konkret med dem. Tallinjen hjälper framförallt för de
lågpresterande eleverna. Till exempel presentera linjalen som är lik tallinjen och att vara praktisk och rita en egen tallinje samt kunna placera ut olika siffror i rätt ordningsföljd. På så sätt kan man upptäcka vilka kunskaper eleverna har, men eleverna måste också utveckla eller träna mer på siffror och dess betydelse i tal. När eleverna har fått en god taluppfattning kan de börja operera med talen genom addition och subtraktion. En informant nämnde att man kan koppla mycket till de vardagliga sammanhangen för att lyckas betydligt bättre med beräkningarna av addition och subtraktion. Desto mer eleverna börjar förstå sig på tallinjen kan de efter addition och subtraktion inledas för
multiplikation. Till sist blir division som dock ligger på en väldigt avancerad nivå för eleverna och presenteras i sådana fall i de högre årskurserna 4-6. Addition och
subtraktion används framförallt i de lägre årskurserna 1-3 men också i årskurserna 4-6. Tallinjen är också till hjälp då eleverna ska tänka 2, 3, 6 hopp. Till exempel att man börjar på talet 2 och jobbar med två hopp eller börjar på talet 2 och hoppar 6 steg vart hamnar de då? Detta kopplas i efterhand till multiplikationstabellen för de olika hoppen. Elever som är mer presterande kommer förstå och upptäcka att allting har ett samband med multiplikationstabellen medan andra elever som presterar mindre behöver mer tid. En annan informant nämnde att en elev som inte har en god taluppfattning kommer möta på svårigheter för den tomma tallinjen, än en elev som har en god taluppfattning. Resultatet för studien har visat att informanterna har väldigt många likheter för tolkning av begreppen taluppfattning och tallinje. Eftersom dessa lärare har väldigt likartade tankesätt kan det bero på deras utbildning och vad för kunskaper de har fått med sig sens tidigare.
5 Slutsatser
I studien har vi intervjuat sju pedagoger, läst litteratur och forskning (se kapitel 2), och i resultat har vi kommit fram till att tallinjen ses som ett positivt verktyg i undervisningen för att utveckla elevers taluppfattning.
Vi fick en tydlig bild av hur pedagogerna uppfattar begreppen taluppfattning och tallinje som kopplas till den tidigare forskningen. Forskarna nämner om man har en grund av taluppfattning kommer man snabbt kunna upptäcka tal och antal, vilket kan
sammanföras med pedagogernas utsagor (Dehaene, 2001 och Faulkner och Cain, 2013). Det vi också kunde komma fram till var att pedagogernas utsagor går i samband med forskarens syn gällande tallinjen. Det forskaren lyfter är att tallinje är ett didaktiskt redskap, och med de verktyget kan man utveckla elevers taluppfattning,
räknefärdigheter och förmåga att kunna resonera matematikens uttrycksformer (Kilhamn, 2014).
Det som nämns av samtliga pedagoger är att tallinje används främst som redskap för addition och subtraktion. När eleverna kommer upp i högre årskurser börjar de inkludera multiplikation. Dock kan division också inkluderas för att presenteras på tallinjen enligt samtliga pedagoger. Till exempel som en av informanterna lyfte var att 20 ska divideras med 4. Det innebär att först måste man gå 5 steg bakåt, sedan 5 steg igen tills det har genomförts 4 gånger. Det vi kan dra som slutsats av detta är att det är viktigt att ha grundläggande kunskaper om hur de fyra räknesätten kan användas på varierande sätt och hur de kopplas till verktyget tallinje. Det blir även ytterst viktigt att den undervisande läraren framförallt har kunskaper om hur de fyra räknesätten kan fungera på tallinjen. Den tomma tallinjen blir ett bra redskap att använda när eleverna har begripit hur tallinjen fungerar. Elever som har begripit detta kan börja operera med talen på tallinjen, till exempel vid addition och subtraktion. En informant nämnde att man kan rita upp en tom tallinje och ha nollan i mitten sedan förklara nollans innebörd för att därefter kunna fortsätta. Likaväl som informanten lyfte att det blir en mer
avancerad nivå nämner även McIntosh (2008) att den tomma tallinjen enbart kan anpassas efter elever som har förstått tallinjen.
En slutsats av det hela är att vi har kunnat föra samman alla pedagogernas utsagor i samband med vad den tidigare forskningen (se kapitel 2) och litteraturen säger. I helhet innebär det att elever måste utveckla en god taluppfattning utifrån flera grundläggande delar (se särskilt kapitel 2) för att sedan kunna lyckas operera med de olika räknesätten tillsammans med verktyget tallinje. Tallinjen bidrar sedan till att eleverna får en större talförståelse med mera.
6 Diskussion
I följande avsnitt presenteras 6.1 Metoddiskussion och 6.2 Resultatdiskussion. Det som kommer att diskuteras i metoddiskussion är att kritisera och diskutera de val vi har genomfört i studien. Det som inleds i resultatdiskussionen är att frågeställningarna i samband med det teoretiska ramverkets kategorier kommer att analyseras. Det innebär att vi kommer att diskutera och analysera utifrån studiens syfte och frågeställningar, tidigare forskning och det teoretiska ramverket.
6.1 Metoddiskussion
I denna studie har vi använt oss av en kvalitativ metod, där undersökningen bestod av semistrukturerade intervjuer. Intervjuerna har skett med sju olika lärare på två olika skolor i en kommun. Anledningen till att vi valde denna metod var att den ansågs vara lämpligast för att vi skulle kunna uppnå syftet med studien. Enligt Denscombe (2018) anses intervjuer som en positiv metod och möjlighet för studier. Han menar att med semistrukturerade intervjuer får vi ett ökat informationsvärde och innehåll. Intervjuerna med de sju lärarna fungerade positivt. Intervjufrågorna formulerades utifrån syftet och forskningsfrågorna, och för att vi skulle få veta en kort bakgrund om dessa lärare valde vi att introducera med inledningsfrågor (se bilaga 2). De intervjuade informanterna fick även en kort introduktion av oss gällande vad detta arbete kommer att handla om och det ledde till en nyfikenhet hos deltagarna. Informanterna fick inte intervjufrågorna (se bilaga 2) i förväg därmed ansåg vi att det var relevant för oss att ge dessa informanter en kort introduktion om denna studie. Vi ansåg, om vi skulle ge informanterna våra
intervjufrågor i förväg skulle detta kunna påverka resultaten någorlunda. Hade de dock fått intervjufrågorna i förväg hade de kunnat förbereda sig mer inför intervjun. Genom att troligtvis ge oss mer tydliga och genomtänka svar, vilket hade varit mer positivt för resultatet. Men trots detta, under intervjuns gång återkopplade vi ofta till
informanternas svar. På så sätt fick informanterna precisera sig mer och förtydliga sig själva för att det skulle bli så tydligt som möjligt.
Orsaken till att vi valde att intervjua informanterna en i taget var på grund av tryggheten och säkerheten. På så sätt kunde hen dela med sig av sina tankar och åsikter mer fritt om ämnet, vilket vi anser är mer positivt. Men om vi hade intervjuat en grupp med
informanter finns det både för- och nackdelar. Det är att antingen kommer den tysta deltagaren aldrig till tals för att andra tar plats och håller bara med gällande det som har sagts eller så kompletterar de varandra. Därmed ansåg vi att intervjua enskilt ledde till positiva resultat. Därför reflekterade vi över att gruppsamtal hade kanske gett oss annorlunda resultat eftersom det är i grupp och inte enskilt.
