Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Hur kommunicerar några elever i grupp vid
matematisk problemlösning?
How do some pupils in group communicate in solving mathematical problems?
Filippa Persson
Malin Thornberg
Lärarexamen 140 poäng Examinator: Leif Karlsson Matematik och Lärande
SAMMANFATTNING
Syftet med vår studie var att undersöka hur elever i skolår 1, 2 och 3 kommunicerar i grupp vid matematisk problemlösning samt utifrån detta se om det fanns några likheter och skillnader i elevernas kommunikation, tillvägagångssätt och strategier. Undersökningen skedde med hjälp av tre matematiska problem. Vi använde oss av ostrukturerade observationer som metod. Genom observationerna utifrån vår huvudfråga kom vi fram till att elevernas kommunikation visade sig i olika uttrycksformer, detta beroende på problemlösningarnas utformande och innehåll. Elevernas kommunikation uttryckte sig i formerna språk, bild och tal.
Nyckelord: begrepp, kommunikation, lärande, mediering, problem, sociokultur språk och strategi.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 INLEDNING... 7
2 SYFTE... 8
3 FRÅGESTÄLLNING ... 8
4 TEORETISK BAKGRUND ... 9
4.1 Från konstruktivismen till en sociokulturell syn på lärandet ... 9
4.2 Kunskapssyn i Lpo 94 ... 11
4.3 Problemlösning... 11
4.3.1 Vad menas med ett problem? ... 12
4.3.2 Hur förstår och löser barn matematiska problem? ... 14
4.3.3 Lärarrollen vid problemlösning... 16
4.3.4 Problemlösning i grupp med utgångspunkt i kontextualisering... 18
4.4 Kommunikation, språk och symboler ... 18
4.5 Nyckelord ... 20
5 METOD... 22
5.1 Tid och plats ... 23
5.2 Urval... 23
5.3 Genomförande... 23
5.3 Kategorisering ... 24
5.4 Materialbearbetning ... 24
5.5 Validitet och reliabilitet... 25
6 RESULTAT ... 26
6.1 Hur kommunicerar eleverna i år 1, 2 och 3 i grupp kring det matematiska problemet ”Glassarna” samt vilka tillvägagångssätt och lösningsstrategier använder de?... 26
6.1.1 Eleverna år 1 kring problemet Glassarna ... 26
6.1.2 Eleverna i år 2 kring problemet Glassarna ... 27
6.1.3 Eleverna i år 3 kring problemet Glassarna ... 28
6.2 Hur kommunicerar eleverna i år 1, 2 och 3 i grupp kring det matematiska problemet ”Klippa gräs” samt vilka tillvägagångssätt och lösningsstrategier använder de? ... 29
6.2.1 Eleverna i år 1 kring problemet Klippa gräs ... 29
6.2.3 Eleverna i år 3 kring problemet Klippa gräs ... 31
6.3 Hur kommunicerar eleverna i år 1, 2 och 3 i grupp kring det matematiska problemet ”Godisbitar” samt vilka tillvägagångssätt och lösningsstrategier använder de?... 31
6.3.1 Eleverna i år 1 kring problemet Godisbitar... 32
6.3.2 Eleverna i år 2 kring problemet Godisbitar... 33
6.3.3 Eleverna i år 3 kring problemet Godisbitar... 33
7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER... 35
7.1 Analys av Glassarna ... 36 7.2 Analys av Klippa gräs ... 38 7.3 Analys av Godisbitar... 39 7.4 Sammanställning av analysen ... 41 8. Avslutning ... 43 9 KÄLLFÖRTECKNING ... 45
1 INLEDNING
Vi närmar oss nu med stormsteg slutet på vår utbildning. Och vi längtar efter att få komma ut och testa våra vingar. Under åren på lärarutbildningen har vi blivit medvetna om hur viktig användning av problemlösning i matematiken är. Detta är ett av de viktigaste redskapen vi har i skolan för att knyta samman matematiken med vardagen och verkligheten. Begreppet problemlösning tycks stå som ett kännetecken för kärnan i matematikundervisningen. De nya styrdokumenten för skolan har medfört ett större ansvar för läraren (Lpo 94). Enligt oss är detta en stor tillgång, vilket leder till större möjligheter att påverka undervisningen. Därför har vi valt att göra en observation som behandlar just problemlösning. Fokus har vi lagt på kommunikationen kring problemlösning i grupp.
Enligt läroplanen (Skolverket, 2000) är tillämpning av problemlösning av högsta prioritet. Detta för att utveckla och befästa elevernas matematiska kunskaper i ett livslångt lärande. Dagens samhälle kräver insikt i beslutsfattning, övervägande och beräkningar som berör vardagslivet. Vi ställs alla inför olika problem i livet, vilket kräver kunskap om hur problemet ska tolkas, värderas, granskas och lösas. Stora delar av de grundläggande kunskaper och förmågor som vi besitter anskaffar vi även i miljöer som i huvudsakligen inte har till syfte att förmedla kunskaper. Några av dessa finner vi i samhörighet med vänner, familj och arbetsplats. Hagland m.fl. (2005) anser att problemlösning ger eleverna motivation och möjligheter till att bredda sina matematiska kunskaper. Genom arbete med problem blir eleverna medvetna om vilka behov av kunskap de behöver.
Det centrala i vår observation är att se hur elever i år 1, 2 och 3 kommunicerar och samspelar i grupp under problemlösning. Enligt Hagland m.fl. (2005) ska ett problem vara lättförståligt, inspirerande, utmanande och kunna lösas på många olika sätt. Elever ska förstå vad problemet går ut på. Problemet ska kunna behandlas många gånger och ska helst passa för elever i förskolan till studenter på högskolan. Detta tog vi till oss när vi valde ut problemen till eleverna som vi observerade. Oavsett elevernas ålder tilldelade vi dem identiska problem. Detta gav oss möjligheten att göra en jämförelse åldrarna emellan. Vi kunde då se deras likheter och skillnader i kommunikation, tillvägagångssätt och strategier.
2 SYFTE
Syftet med vår studie är att undersöka hur elever i skolår 1, 2 och 3 kommunicerar i grupp kring matematisk problemlösning samt utifrån detta se om det fanns några likheter samt skillnader i elevernas kommunikation, tillvägagångssätt och strategier. Undersökningen genomfördes utifrån tre matematiska problem. Vi använde oss ut av ostrukturerade observationer som metod.
3 FRÅGESTÄLLNING
Vårt arbete har sin utgångspunkt utifrån en huvudfråga. Huvudfrågan utvecklas med hjälp av två delfrågor.
Hur kommunicerar några elever i grupp vid matematisk problemlösning?
• Vilka likheter finns i elevernas kommunikation, tillvägagångssätt och strategier från skolår 1 till 3?
• Vilka skillnader finns i elevernas kommunikation, tillvägagångssätt och strategier från skolår 1 till 3?
Dessa frågeställningar är analyserade utifrån Wistedts kontextualiseringar och Polyas fyra faser vid problemlösning samt fyrfältsblad.
4 TEORETISK BAKGRUND
4.1 Från konstruktivismen till en sociokulturell syn på lärandet
Synen på lärande har haft olika betydelse under årens lopp, detta beroende av att olika traditioner inom forskningen avlöst varandra. Lärandet har styrts från bl.a. den behavioristiska inlärningsstrategin, som gick ut på att inlärning var lika med utveckling. Inlärningsbegreppet utvecklades vidare i konstruktivismen och längre fram i den sociokulturella synen på lärandet. Enligt Arnqvist (1993) är Piaget en företrädare för konstruktivistisk syn på lärande. Piagets teori utgår från att tänkandet påverkar barnens språkliga utveckling samt att deras intelligens kvalitativt skiljer sig från de vuxnas. Hartsman (2003-11-11) talar om hur Piagets tankar kring barns utveckling har liknats vid en trappa där de olika utvecklingsstegen placeras in. Arnqvist (1993) säger att enligt Piaget är språket ett teckensystem som utvecklas i en social samhörighet. Språket är beroende av den kognitiva utvecklingen som i sin tur är individuell utifrån personens mognad.
Även Säljö (2000) tar upp Piagets teorier och poängterar att Piaget menar att det är barnets egen aktivitet som är det väsentliga dvs. att det är barnet själv som konstruerar sin kunskap. Med hänsyn till detta valde Piaget att studera barnen under friare situationer, utan strukturerade testsituationer för att komma åt deras resonemang och idévärld. När barnet skapar sig ett språk så inleds även dess tänkande. Piagets resultat utifrån detta är att varje människa måste nå en viss intelligensnivå innan hon kan utveckla en viss språknivå.
Enligt Säljö (2000) delar Piaget in språket i ett egocentrerat språk och ett socialiserat språk. Det egocentrerade språket står för att barnet inte bryr sig om vem det talar till eller om någon lyssnar, till exempel det lilla spädbarnet. Därefter utvecklas språket till att kunna användas i socialiserat bruk i kommunikation med andra.
Arnqvist (1993) säger även att Piaget hävdar att människan måste ha vissa insikter och förmåga att tänka på ett visst sätt för att ha möjlighet att kunna omstrukturera något till en ny form. Till exempel för att kunna se de fyra räknesätten som meningsfulla så måste man behärska dem samt ha förståelse för hur delar av tal är relaterade till varandra. Neuman (1989) tillägger att om barnen ska ha potential att utvecklas så förutsätts det en viss mognad för att någon form av träning ska kunna fullföljas, men hon understryker samtidigt att ingen mognad uppnås utan föregående träning.
Skälet för Piagets forskning var inte att befria skolan från dess lärande och utvecklingsproblem, utan Piaget ville titta på barnens kunskapsutveckling i allmänhet. Den teori som sedan följde var alltså den med ursprunget i den sociokulturella forskningen. En av centralfigurerna för denna teori var Vygotskij. Han utgick från att lärandet kan påverka utvecklingen till skillnad från Piaget som ansåg att barn själva frambringar sin kunskap. Vygotskij (1999) presenterade en teori om språkets och tänkandets inbördes utveckling. Han menar att tänkandet och språket är nära sammankopplade med varandra. Sambandet grundas under barnets utveckling.
Vygotskij (1999) menar att språk och tanke utvecklar sig dialektiskt. Språket är en del av barns begreppsutveckling. Han delar upp begreppsutvecklingen i två delar, begreppsinnehåll och begreppsuttryck. Båda dessa är beroende av varandra. Begreppsinnehåll står för barnets tankar och uppfattningar om saker, människor samt deras omgivning och sambandet mellan dem. Begreppsuttryck står förspråk och uttryck för tanke, symboler och kroppsspråk. Utan att använda och utveckla språket är det omöjligt att utveckla ett begreppsinnehåll.
Vygotskij (1999) anser att barnet inte skapar sitt språk själv utan tillägnar sig det genom vuxna i sin omgivning. Barnet får ord i färdigbyggda komplex genom språklig kommunikation med de vuxna. Det får inte varje ords betydelse utan orden serveras i färdiga komplex. Men de vuxna kan inte överföra sitt sätt att tänka till barnet. När barnet använder sig av abstrakta ord betyder det inte att det har ett abstrakt tänkande. Detta på grund av att barnets översättning av ordet inte är det samma som för den vuxnes. Tanken har inte överförts. Ordens betydelse utvecklas genom sambandet mellan tanke och språk. Vygotskij skiljer mellan innebörd och betydelse. Där innebörden representerar den personliga tolkningen av ordet och betydelsen innefattar den sociala innebörden av ordet.
Vygotskij (1999) ser språket som ett redskap för barns lärande i samspel med andra. Han beskriver lärandet som en övergång mellan två zoner, två utvecklingsnivåer. Han menar att barnet lär sig i ett utvecklingsrum, en zon. I zonen finns det som barnet redan kan men samtidigt finns där också utrymme för det som barnet inte kan på egen hand. Barnet kan klara av det tillsammans med andra. På så sätt lär det sig så småningom att klara det själv.
Arnqvist (1993) anser enligt Vygotskij att i alla högre psykiska tillämpningar som till exempel problemlösning i matematiken sker utvecklingen genom att barnet socialt skapar nya aktivitetsmodeller. Utvecklingen sker genom det sociala till det individuella. Språket utvecklas för att vi ska kommunicera med varandra. Det är ett socialt fenomen.
Dysthe (2003) förklarar genom Vygotskijs teorier att i en mänsklig social samverkan förmedlas, styrs och överförs dvs. medieras utvecklingen av lärandet i samspel med kulturella
redskap som till exempel språket. Här fungerar lärarens frågor och kommunikation som ett medierande redskap. Denna verbala kommunikation påverkar barns lärande och utveckling. Enligt Dysthe (2003) förespråkar Bakhtin liksom Vygotskij den sociokulturella synen på lärandet. Han förklarar den verbala kommunikationen mellan lärare och elev som ett medierande samband. Varje gång vi kommunicerar går vi in i dialog med andra människor. Begreppet mediera kommer från tyskans Vermittlung som betyder förmedla. Detta förklarar Säljö (2000) med att människor inte står i direkt kontakt med omvärlden utan på motsatt sätt hanterar människan den med hjälp av kroppsliga och intellektuella hjälpmedel som utgör sammansmälta delar av våra sociala erfarenheter. Vidare förklarar Säljö att mediering innebär att vårt tänkande härstammar och är färgat från vår kultur tillsammans med sociala samspel.
4.2 Kunskapssyn i Lpo 94
I Lpo 94 redogörs det för fyra olika kunskapsformer. De är fakta, förståelse, färdighet och
förtrogenhet. Dessa fyra F samspelar med varandra i barns lärande. Fakta står för den kunskap som man kan mäta, den har alltså en kvantitativ karaktär. Förståelse är inte kvantitativ, dvs. ej mätbar. Färdighetskunskap skapas genom förmågan att bära kunskap i olika utföranden. Förtrogenhet utvecklas ständigt genom delaktighet i nya situationer som ger oss nya erfarenheter.
4.3 Problemlösning
Problemlösning kan öka elevers intresse att arbeta med matematik. Likasåutvecklas elevers förmåga att tänka kreativt, självständigt och logiskt vid användning av problemlösning (Hagland m.fl. 2005).
4.3.1 Vad menas med ett problem?
Löwing och Kilborn (2002) förklarar vad ett problem är samt hur det kan uppfattas på olika sätt. Ett sätt kan vara att ett problem är detsamma som en benämnd uppgift. Uppgiften innehåller text och är verbalt formulerade med ett vardagsspråk. Det andra sättet uppfattar ett problem som en uppgift, oberoende av textinnehållet, vilken är så svår eller klurig att den skapar problem för eleverna att lösa den. En vanlig åsikt enligt Löwing och Kilborn (2002) är att de anser att elever inte lär sig lösa problem genom att lösa problem. De drar paralleller med påståendet; elever lär sig inte läsa genom att läsa. Vidare förklarar de att eleverna inte blir några bra problemlösare om man lämnar dem att själv konstruera och lösa problem. Eleverna kan bara skapa egna formulerade problem som de redan kan lösningen på. Detta ger inte eleverna några nya kunskaper utan endast repetition av redan funnen kunskap.
Enligt kursplanen (Skolverket, 2002) i matematik ska skolan hjälpa eleven att utveckla kunskaper i ämnet som eleven behöver för att fatta välgrundande beslut i deras vardagsliv. Matematik ska ge eleverna en god grund för ett livslångt lärande. Det ska ges möjlighet att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Eleven ska kunna förstå och lösa problem med både tillfredställelse och glädje.
Ulin (2001) menar att begreppet problemlösning har fått sin betydelse urvattnad. Han hävdar att mycket av elevernas aktiviteter sker genom att de löser problem efter ett inövat mönster. Detta ser inte Ulin som någon problemlösning men samtidigt anser han att det är en nödvändig aktivitet. Ett problem är enligt Ulin en uppgift där man till en början inte vet hur uppgiften ska angripas.
Björkqvist (2001) framhäver att en uppgift som är ett problem för en elev inte behöver vara ett problem för en annan elev. Det finns en individualiserad definition av ordet problems betydelse. Vad ett problem är utgår från hur det uppfattas av eleven. Björkqvist tycker att uppgifterna med problemlösning i skolan ska vara formulerade så att eleverna ska känna att problemet är deras eget. Då finns det motivation till att finna lösning på problemet. Han menar att skolan har kommit en bit på den vägen genom att använda öppna uppgifter. Genom öppna uppgifter anser Björkqvist att man överlämnar en bit av målsättningen till eleverna själv. Boaler (1993) säger att elever tillägnas vuxna problem som t.ex. att betala el-räkningen i skolmatematiken. Detta gör att eleverna inte får någon relation till problemet istället leder detta enligt Boaler till barriärer skapas. För att undvika detta påstår hon att vardagen skall föras till matematiken istället för att föra den akademiska matematiken till vardagen. Utifrån detta ska skolan ge eleverna öppna problem som ger eleverna möjligheter för en personlig
tolkning. Lpo 94 talar om identitetsutveckling i nära samhörighet med språk och kunskap. Därför skall det ges många möjligheter för eleverna att läsa, skriva och kommunicera. En viktig uppgift skolan har är att ge eleverna möjligheter att ta egna initiativ och ansvar för sitt lärande. För att lyckas med det måste skolan ge eleverna förutsättningar att arbeta självständigt och lösa problem.
Hagland m.fl. (2005) beskriver ett problem som en uppgift. En uppgift kan vara en standarduppgift, en text/vardagsuppgift eller ett problem
Problem är en speciell typ av uppgift som - en person vill eller behöver lösa,
- personen ifråga inte har en på förhand given procedur för att lösa och det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa.
(Hagland m.fl. 2005 s.27)
Författarna har samma uppfattning som Björkqvist (2001) att en uppgift kan vara ett problem för en elev men en rutinuppgift för en annan elev. Hagland m.fl. använder sig av uttrycket ”rikt problem”. Rikt problem definierar de som ett problem vilket ger eleverna förutsättningar till matematiska diskussioner. För att ett problem ska klassas som ett ”rikt problem” anser författarna att ytterligare sju kriterier ska uppfyllas.
1. Problemet ska inspirera eleven att använda matematiska begrepp, idéer och strategier som de redan är bekanta med. Men det ska samtidigt känna ett behov att bekanta sig med nya begrepp och strategier. Detta genom att de får jämföra, diskutera och reflektera.
2. Problemet ska vara lättförståligt. Eleverna ska förstå vad problemet går ut på. Ett rikt problem ska kunna behandlas många gånger och ska helst passa för elever i förskolan till studenter på högskolan.
3. Problemet ska inte vara som en rutinuppgift vilken eleven hittar lösningen på utan att behöva tänka till. Det ska få ta tid att lösas. Problemet ska kännas som en utmaning för eleven.
4. Problemet ska kunna lösas på många olika sätt, med olika strategier, metoder och uttrycksformer. Uttrycksformer som till exempel av enbart siffror, med en bild eller symboler samt med konkreta material.
5. Problemet ska leda till matematisk diskussion. Diskussionen utgår ifrån elevernas olika strategier och lösningar på problemet. Dessa diskussioner ska hjälpa eleverna fram till viktiga matematiska idéer och metoder.
6. Problemet ska bygga broar mellan olika områden i matematiken. Detta ska underlätta för eleverna att se sambanden mellan de olika delarna i matematiken.
7. Problemet ska hjälpa både elever och lärare att skapa nya rika problem. När elever skapar sina egna problem är detta ett sätt för dem att visa sina kunskaper.
4.3.2 Hur förstår och löser barn matematiska problem?
Ahlberg (1995) påstår att forskning visar att barn har förmågan att lösa matematiska problem långt innan de medverkar i skolundervisning. Redan under barnets första levnadsår börjar förmågan att utskilja två föremål efter t.ex. storlek. Detta är ett av de första stegen mot barnets utveckling i förmågan att lösa problem av olika slag. Barn använder sig även tidigt av räkneord, dock utan matematisk innebörd. Grunden för barns förmåga att räkna och förståelsen för matematiska begrepp inleds alltså väldigt tidigt. Den matematiska förståelsens omfattning av form, storlek, mängd och massa utvecklas löpande hos barnet i samspel med omvärlden i form av t.ex. lek och samtal. I förbindelse med dessa händelser upptäcker och utsätts barnen för nya begrepp som större, mindre och delning mm. Denna tidiga inlärning och förståelse av matematik måste sammansmältas med kunskaper om tal och räkning för att barnet ska ha glädje av kunskaperna samt få en god matematisk grund att stå på.
Enligt kursplanen i matematik (Skolverket 2002) skall skolan arbeta för att eleven stärker intresset för matematik samt skapar tillit till det egna tänkandet. Men även att eleven lär sig att använda och därtill hantera matematik i olika situationer.
När barn löser matematiska problem ur vardagen, menar Ahlberg (1995) att de ofta använder sig av sina erfarenheter som utvecklats i samband med deras vardagskunskaper, till skillnad mot de formella matematiska problem de möter när de tar steget in i skolans värld. Problemet som ofta uppstår i skolan är att uttrycka räknehändelsen med matematiska symboler, här försvinner barnens trygghet som de har i sina personliga lösningsstrategier. Undervisningen gestaltar sig helt plötsligt utifrån matematiska lösningsmetoder och krav istället för att ta utgångspunkt i deras erfarenhetsvärld. En värld som de är vana vid.
Det finns olika strategier för att lösa ett matematiskt problem, men nästan alltid efter ett speciellt mönster. Unenge (1988) och Polya (Möllehed, 2001) visar ur olika perspektiv upp viktiga prototyper vid problemlösning.
Möllehed (2001) redogör för Polyas fyra olika faser:
1. förstå problemet 2. göra upp en plan 3. genomföra planen 4. se tillbaka på lösningen
Med detta understryker Polya även vikten av att man måste ha vissa förkunskaper för att kunna lösa ett problem samt förmågan att belysa det på djupet, samt att man inte får glömma bort viljan.
Unenge (1988) visar upp tre möjliga lösningsmodeller med utgångspunkt från Polyas faser.
Modellen beskriver tre olika vägar för att nå ett resultat. En väg är att praktiskt genomföra problemet dvs. att eleven har på enklaste väg praktiserat fram till en lösning som lett till ett resultat. Elever som väljer denna väg saknar erfarenheter inför vissa typer av vardagsproblem. Den andra vägen beskriver en lösning som är genomförd med hjälp av sina tidigare erfarenheter. I tredje vägen når eleven resultatet med hjälp av tillexempel en matematisk formel därigenom ges en lösning av problemet. Använder eleverna sig av en matematisk formel är det viktigt att de förstår och kan tolka dess innebörd.
I överensstämmelse med kursplanen i matematik (Skolverket 2002) har problemlösning en central plats i skolan. En del problem kan lösas och kopplas till konkreta händelser. Andra
Problem Genomförande Erfarenheter Matematisk modell Resultat
problem är abstrakta och kan inte kopplas till elevens verklighet. Eleven ska kunna ge en matematisk tolkning och lösa problem med hjälp av begrepp och metoder. Genom problemlösning ska eleven utveckla sin förmåga att tolka och värdera resultatet i förhållande till den ursprungliga problemsituationen. För att eleven framgångsrikt ska kunna utöva matematik krävs det en balans mellan problemlösande aktivitet och kunskaper om matematiska begrepp och metoder.
4.3.3 Lärarrollen vid problemlösning
Möllehed (2001) hävdar att problemlösning är en viktig del i elevernas matematiska utveckling, framförallt för att gynna elevernas kreativitet och flexibilitet. Ett flertal matematiker och forskare anser att problemlösning lägger grunden för matematiken. Ahlberg (1995) ser problemlösning både som ett mål samt en nyckel för matematikundervisningen. Enligt kursplanen ska eleverna utveckla sin förmåga att uttrycka och lösa problem med hjälp av matematik, och därtill även tyda, jämföra och värdera lösningar i förhållande till den grundläggande problemsituationen.
Möllehed (2001) menar att i den svenska skolan utförs ofta den matematiska problemlösningen genom enskilt arbete. Därigenom genomgår eleverna svårigheter av olika slag och onödiga fel uppstår. Som lärare är det därför viktigt att känna till de olika orsakerna till felen. Några av orsakerna kan bero på otillräckliga kunskaper i matematik, men även på brister i den kognitiva utvecklingen. Men det är även av stor vikt att läraren själv har kunskaper, intresse och engagemang för ämnet. Detta väcker större lust och vilja hos eleverna för att vidareutveckla sina kunskaper.
Unenge (1988) beskriver inlärningstillfällena utifrån en triangel. Triangelns tre hörn representerar elev, lärare och innehåll. Sidorna mellan hörnen symboliserar den kommunikation som uppstår. Triangeln ska även involvera erfarenheter, vardagskunskaper samt ämnesinriktning.
Elev
Lärare
Innehåll
Emanuelsson m.fl. (1991) påstår att vid ett inlärningsstillfälle är inte det viktiga att lösa det specifika problemet, utan det centrala är att lyfta fram dess funktion så att den matematiska tankegången kan sättas i vidare sammanhang. Därigenom finns det enligt Möllehed (2001) möjlighet för eleverna att genom egna metoder finna sin strategi till en lämplig metod att lösa problemen med. Svårighetsgraden på problemen måste därför anpassas så att de kan tillfredställa alla elever av olika kunskapsnivåer. I Lpo 94 står det att skolan ska ta hänsyn till elevers olika förutsättningar och behov för att främja deras kunskapsutveckling. Därför kan undervisningens utformning inte vara lika för alla. Här är det upp till läraren att se till att alla eleverna nås på just deras kunskapsnivåer. Det är därför viktigt att skolan tar på sig ansvaret att fortbilda pedagogerna. Detta för att läraren ständigt ska ha ett intresse och engagemang som får eleverna inspirerade, samt att bära kunskap att individualisera undervisningen för eleverna.
Ahlberg (1995) framhåller att problemlösningen är ett viktigt område inom matematiken, den kan leda till olika framsteg hos barnen. Några av dem är t.ex. utvecklandet av ett logiskt och kreativt tänkande, barnen tränar att tänka med en viss struktur i processen. Ett annat viktigt steg är att problemlösning i grupp kan ge en naturlig grund för diskussioner och samarbetsövningar. De problem som barnen ställs inför i matematiken ska ses som något som kan anknytas till barnens verklighet och vardag. Genom att problemen anknyts till barnens vardag så befästs och utvecklas den förståelse av matematiken som barnen redan har tillägnat sig. Wistedt (1991) stärker dessa åsikter men fyller i med att alla barn, oberoende av vilken
kultur de kommer ifrån ska kunna känna igen sig i skolan och att där ha möjlighet att kunna använda och vidareutveckla sina kunskaper.
4.3.4 Problemlösning i grupp med utgångspunkt ikontextualisering
Wistedt (1993) har i sin forskning studerat hur barn arbetar i grupp vid matematiska problem. Wistedts beskriver där fyra olika begrepp som kännetecknar kontextualiseringar av olika kategorier. Det första begreppet är kontextdominans, som redogör för situationen då en elev/gruppen tyder en uppgift utan vidare eftertanke. Kontextualiseringen utförs utan svårighet. Kontextdominans är positiv vid komplexa situationer i t.ex. vardagen, men vid inlärningssammanhang kan den tvärtom vara negativ för elevens/gruppens tankeresonemang vid exempel problemlösning. Det andra begreppet är kontextuell osäkerhet som innebär att eleven/gruppen växlar mellan olika tolkningar av ett resonemang inför en eventuell lösning. De olika tolkningarna som i regel består av eget resonemang samt någon annan parts resonemang, har i regel väldigt olika ställning i förhållande till resultatet. Det tredje begreppet är kontextuell medvetenhet. Eleven/gruppen använder här olika tillvägagångssätt till lösningar som sedan bedöms och uppskattas i relation till problemet. Fakta samt tolkningsram är sammanflätade med varandra. Det sista begreppet är kontextpreferens och går ut på att eleven/gruppen föredrar en tolkning av ett problem framför andra. Tolkningens relevans är en viktig aspekt. Denna kontext kan enbart uppträda då eleven är kontextuellt medveten.
4.4 Kommunikation, språk och symboler
Säljö (2000) hävdar att de sociokulturella resurserna skapas och förs vidare genom kommunikation. Således är detta en av grundstenarna i ett sociokulturellt perspektiv. Den kommunikativa och sociala utvecklingen sker i ett växelspel mellan biologiska bakgrunder och barnets behov av kontakt med andra. Wistedt (2001) skriver att begreppet kommunikation kommer från latinets communicare, som betyder att skapa gemensam förståelse. Kommunikation innebär följaktligen att i samspel med andra skapa och utbyta implikationer – att samtala.
Säljö (2000) tycker att skolan i stor omfattning ska arbeta med språket som medierande resurs genom kommunikativ verksamhet. Detta menar Säljö är tvunget för att kunna presentera kunskapsformer och färdigheter som är relevanta. Vid problemlösning använder sig eleverna av olika uttrycksformer enligt Hagland m.fl. (2005). I konkret uttrycksform har eleven något slag av material för att lösa problemet. Detta kan sedan eventuellt avbildas i en figur. Med logisk/språklig uttrycksform förklarar eleven lösningen med hjälp av (svenska) språket. Eleven använder här inga förkortade redogörelser med matematiska symboler. Däremot i algebraisk/aritmetisk uttrycksform använder sig eleven av symboler som till exempel bokstäver och siffror. Den sista uttrycksformen är grafisk/geometrisk. Här använder sig eleven av en ritad bild, en graf eller tabell för att visa hur han/hon löst problemet. Hagland m.fl. (2005) poängterar att det viktigaste med uttrycksformerna är att de fungerar som redskap för elevernas tankearbete och kommunikation.
Språk, kommunikation och matematik går hand i hand enligt Sterner (2000). Hon anser att införande av matematiska symboler inte ska komma för tidigt. Det kan medföra en risk när eleverna lär sig hantera siffror på ett instrumentellt vis istället för att hantera själva talen. Eleverna ska få möjlighet att lösa problem med de redskap de bäst kan genom sitt eget språk. Författaren lägger stor vikt vid att elever ska utveckla sin förmåga att se mönster i matematiken. Det kan elever utveckla genom sina erfarenheter och sina upptäckter. Att samtala och kommunicera med andra om sina upptäckter är viktigt anser Sterner. Hon menar att det är genom elevers beskrivande språk som deras upptäckter senare kan förklaras symboliskt. Ahlberg (1995) hävdar också precis som Sterner (2000) att matematik, språk och kommunikation går hand i hand. Hon anser dock att det matematiska symbolspråket skiljer sig från de naturliga språken. Det matematiska symbolspråket är uppbyggt efter logikens lagar och är främmande för eleverna innan de har förståelsen för språket. För att eleverna ska få förståelse måste de använda sig av det matematiska symbolspråket i ett meningsfullt sammanhang. Det är i själva språkanvändningen som eleverna utvecklar språkliga uttryck och begrepp.
4.5 Nyckelord
Nyckelord: begrepp, kommunikation, lärande, mediering, problem, sociokultur språk och strategi.
Nyckelorden är termer som återkommer i detta examensarbete. Nedan följer en kort
beskrivning av varje nyckelord. Beskrivningarna har vi tolkat med stöd utifrån vår teoretiska bakgrund.
Begrepp. Wyndhamn (1991) förklarar att ordet begrepp ofta står i vardagsspråket för ”term”, ”ord” eller ”uttryck”. Ordet begrepp hänger samman med ”begripa”. Begreppet formas genom abstraktion.
Kommunikation. Wistedt (2001) skriver att begreppet kommunikation kommer från latinets
communicare, som betyder att skapa gemensam förståelse. Kommunikation innebär följaktligen att i samspel med andra skapa och utbyta implikationer – att samtala.
Lärande. Enligt Wyndhamn (1991) ses lärandet som utgångspunkt för kvalitativa förändringar av omvärldsuppfattningen, dvs. eleven lär sig något då den övergår från ett sätt att föreställa sig något till ett annat sätt.
Mediering. Begreppet mediera kommer från tyskans Vermittlung som betyder förmedla. Detta förklarar Säljö (2000) med att människor inte står i direkt kontakt med omvärlden utan på motsatt sätt hanterar människan den med hjälp av kroppsliga och intellektuella hjälpmedel som utgör sammansmälta delar av våra sociala erfarenheter. Vidare förklarar Säljö att mediering innebär att vårt tänkande härstammar och är färgat från vår kultur tillsammans med sociala samspel.
Problem. Löwing och Kilborn (2002) förklarar vad ett problem är samt hur det kan uppfattas på olika sätt. Ett sätt kan vara att ett problem är detsamma som en benämnd uppgift. Uppgiften innehåller text och är verbalt formulerade med ett vardagsspråk. Det andra sättet uppfattar ett problem som en uppgift, oberoende av textinnehållet, vilken är så svår eller klurig att den skapar problem för eleverna att lösa den.
Sociokultur. Säljö (2000) hävdar att de sociokulturella resurserna skapas och förs vidare genom kommunikation. Således är detta en av grundstenarna i ett sociokulturellt perspektiv. Med andra ord sker den kommunikativa och sociala utvecklingen i ett växelspel mellan biologiska bakgrunder och barnets behov av kontakt med andra.
Språk. Enligt Vygotskij (1999) är språket en del av barns begreppsutveckling samt ett viktigt redskap. Språket tillägnas barnet genom kommunikation med andra människor i
omgivningen. Detta sker för att vi ska kunna kommunicera med varandra.
Strategi. Enligt Möllehed (2001) får eleverna möjlighet att finna sin strategi genom att använda egna metoder att lösa problemen med. Med detta tolkar vi att strategi är valet av elevens tillvägagångssätt för att nå ett resultat.
5 METOD
Metoden vi använt oss av är observation. Observationen är ostrukturerad. Bryman (2004) beskriver ostrukturerad observation med att man inte använder sig av något observationsschema. Syftet med ostrukturerad observation är alltså att så utförligt som möjligt anteckna hur deltagarna beter sig. I vår observation är deltagarna elever.
Syftet med observationen var att undersöka hur elever i skolår ett, två och tre kommunicerar kring problemlösning i grupp. Vi observerade eleverna under genomförandet av de tre uppgifterna (se bilaga 1A, 1B och 1C) i problemlösning. Detta för att få bättre helhetssyn samt uppfattning om vad eleverna talade om. Enligt Hagland m.fl. (2005) ska ett problem vara ett ”rikt problem”. Detta tog vi till oss när vi valde ut problemen till eleverna som vi observerade. Problemen är tagna från Haglands m.fl. (2005) bok; Rika matematiska problem. Problemen är en aning modifierade efter vårt tycke för att passa till vår observation.
Det första problemet är Glassarna, syftet med detta problem var att eleverna lätt skulle kunna knyta an och känna igen sig i problemet. Problemet löd så här: Lisa ska köpa kulglass och kan
välja på fyra olika smaker. Hon vill ha tre glasskulor. Försök att komma fram till på hur många olika sätt hon kan välja sin glass på.
Nästa problem är Klippa gräs. Detta problem kunde kanske inte alla elever relatera lika lätt till. Problemet kunde även tolkas på olika sätt och därigenom var mer än ett resultat korrekt. Problemet löd så här: Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Mona gör det på 4
timmar. Hur lång tid tar det om de hjälps åt?
Det sista problemet är Godisbitar, detta gav eleverna ett problem som de var förtrogna med. Problemet löd så här: Ni ska köpa godis. 32 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får
ni för 25 kronor?
Oavsett elevernas ålder tilldelade vi dem identiska problem. Detta gav oss möjligheten att göra en jämförelse åldrarna emellan. Vi kunde då se deras likheter och skillnader i kommunikation, tillvägagångssätt och strategier.
En fördel med att använda sig av observation som metod är enligt Bryman (2004) att man direkt kan se människors beteende. Under våra observationer fanns vi med i klassrummet och förde anteckningar kring elevernas kommunikation. Detta kan möjligen ha påverkat vår observation negativt. Bryman (2004) påstår att olika aspekter på observatörens beteende och egenskaper kan påverka elevernas kommunikation och samarbete.
5.1 Tid och plats
Observationen genomfördes på vår partnerskola, Skönadalsskolan i Hofterup. Efter överenskommelse med klassläraren fick vi tillåtelse att genomföra vår observation under en heldag. Dagen som valdes ut var tisdagen den 5 december 2006. Vi hade elevernas hemklassrum samt allt skolmaterial så väl som laborativt material till vårt förfogande.
5.2 Urval
Vi valde att göra observationen på vår partnerskola. Detta för att vi redan kände till skolan, personalen och eleverna. Lärarna på skolan är indelade i arbetslag från A-D. Majoriteten av klasserna är integrerade det vill säga år ett till tre eller år fyra till sex. Klassen vi valde är en integrerad klass år ett till tre. De är totalt 21 elever i klassen med sju elever i respektive år. Samtliga elever har svenskt ursprung. De flesta eleverna kommer från goda ekonomiska förhållande och bor i villaområden i ett skogsområde kring skolan. Elevernas matematikundervisning sker inte åldersintegrerat. De har alltså matematik var för sig i respektive år.
Observationen genomfördes med totalt sex grupper. Två grupper för vardera år, med tre eller fyra elever i varje grupp. Vi valde slumpmässigt ut grupperna men med hänsyn till att alla grupper skulle bestå av både pojkar och flickor. Könsdelningen var inte jämn i alla grupper då några grupper endast bestod av tre elever. I dessa grupper blev könsdelningen en pojke och två flickor respektive en flicka och två pojkar.
5.3 Genomförande
Dagen för observationen inleddes med elevernas vanliga morgonsamling. I samband med samlingen fick vi tillfälle att berätta varför vi besökte dem. Klassläraren hade veckan innan förberett eleverna om att vi skulle komma.
Vi hade elevernas hemklassrum till vårt förfogande. Observationen började med år 2, detta för att det passade bäst enligt elevernas schema. Till att börja med delade vi in eleverna i grupper
och placerade vardera grupp en bit ifrån varandra vid ett bord. Därefter fick eleverna information om att de skulle tilldelas tre problem. Dessa skulle de tillsammans lösa i gruppen utan hjälp av någon vuxen. Eleverna fick inte rådfråga oss angående problemen. Till sin hjälp fick de använda allt material som fanns att tillgå i klassrummet. Uppgifterna tilldelades eleverna efterhand som de ansåg sig vara klara med föregående problem. Detta för att samtliga i gruppen skulle vara fokuserade på samma problem. Observationerna i år ett, två och tre strukturerades identiskt.
Vi förde anteckningar under observationerna och till vår hjälp hade vi även två bandspelare för ljudupptagning.
5.3 Kategorisering
Vi har valt att kategorisera uppgifterna i resultatet. Kategoriseringen indelades i tre delar efter problemen; ”Glassarna”, ”Klippa gräset” och ”Godisbitar”. Under varje kategorisering gör vi en jämförelse åldrarna emellan. Detta för att se elevernas likheter och skillnader i kommunikation, tillvägagångssätt och strategier.
5.4 Materialbearbetning
För att memorera observationen fördes anteckningar, som stöd till det materialet togs all kommunikation upp med hjälp av bandspelare. Allt material samt ljudupptagningar har sedan granskats och analyserats flertalet gånger. Utifrån detta har valda delar lyfts fram i resultatet för att besvara huvudfrågan och dess delfrågor.
5.5 Validitet och reliabilitet
Wedege (2006-11-22) framhåller att validitet avser det jag mäter som är relevant i sammanhanget medan reliabilitet avser att jag mäter det på ett tillförlitligt sätt. Man bör alltid sträva efter hög validitet och reliabilitet.
Enligt Bryman (2004) omfattar validitet att man använder sig av rätt sak vid rätt tillfälle. Den går ut på en bedömning av om de slutsatser som genererats från en undersökning hänger ihop eller inte. Reliabilitet innefattar pålitligheten. Den rör frågan om resultaten från en undersökning blir den samma om undersökningen genomförs på nytt. Reliabiliteten i detta arbete stärktes genom att vi var två personer som genomförde observationen. Ytterligare stöd fick vi från bandupptagning av kommunikationen i klassrummet. Om vår undersökning skulle genomföras på nytt förmodar vi att resultatet angående kommunikationen, tillvägagångssätt samt strategier skulle skilja sig en del beroende på vem vi valde att undersöka, men att pålitligheten skulle vara densamma. Angående validiteten anser vi att vi mäter de fakta som är relevanta för vår frågeställning, nämligen kommunikation kring problemlösning samt de tillvägagångssätt och strategier som används för att lösa problemen.
6 RESULTAT
Grupperna i observationen har vi döpt till 1A, 1B, 2A, 2B, 3A och 3B. Talen 1, 2 och 3 står för vilket skolår eleverna går i. A och B använder vi för att skilja grupperna åt eftersom det var två grupper i varje skolår. Namnen vi använder på eleverna är fiktiva.
6.1 Hur kommunicerar eleverna i år 1, 2 och 3 i grupp kring det matematiska problemet ”Glassarna” samt vilka tillvägagångssätt och lösningsstrategier använder de?
Problemet: Lisa ska köpa kulglass och kan välja på fyra olika smaker. Hon vill ha tre
glasskulor. Försök att komma fram till på hur många olika sätt hon kan välja sin glass på.
6.1.1 Eleverna år 1 kring problemet Glassarna
Båda grupperna började med att läsa problemet högt tillsammans. Det lästes upp mer än en gång. Grupp 1A hämtade klossar och valde ut fyra färger som representerade smakerna jordgubb, melon, päron och lakrits. Deltagarna i gruppen lade sedan upp olika kombinationer med de fyra valda smakerna. Alla ritade under tiden av kombinationerna. När fyra kombinationer var gjorda så ansåg sig gruppen vara färdig. Kombinationerna lästes sedan upp högt för varandra.
Emma (1A): Jag har melon, jordgubb och päron. Sen har jag en glass med melon, jordgubb och lakrits. Vad har du valt för glass, Anton?
Anton (1A): Jag har päron, lakrits och melon.
Ebbe (1A): Men jag har ju lakrits, päron och jordgubb så då har vi fyra!
Emma (1A): Men man kan ju ha bara melon också, tänk om man inte gillar de andra smakerna.
Deltagarna i gruppen fortsätter att rita glassar i olika kombinationer. Under tiden jämför de glassarna med varandra. Gruppen lämnar in sin lösning med resultatet 19 glasskombinationer.
Emil i grupp 1B hämtar pengar och sätter på bordet. Pengarna blir liggande på bordet. Gruppen börjar diskutera vilka smaker de vill använda sig av. När gruppen är överens om fyra smaker fortsätter deras diskussion kring vilken smak de ska ta bort.
Emil (1B): Vi får ta bort en, för vi ska bara ha tre.
Alma (1B): Då vill jag ta bort vanilj. Knut (1B): Men jag vill ta bort päron. Emil (1B): Då får vi lotta!
Alma (1B): Men vänta nu, hon hade ju fyra smaker men fick bara välja på tre.
En i gruppen börjar sedan rita och de övriga deltagarna kommer med förslag till olika glasskombinationer.
6.1.2 Eleverna i år 2 kring problemet Glassarna
Båda grupperna använde sig av samma strategi vid början av problemlösningen. En i varje grupp läste problemet högt för de andra gruppmedlemmarna. Därefter startade diskussionen kring vilka färger de skulle använda sig av.
Leo (2B): Vi behöver färger som vi delar upp på olika sätt.
Moa (2B): Vi ska ha fyra färger.
Leo (2B): Man ska ha fyra färger som man ska dela upp på olika sätt.
Moa (2B): Ja, men hon ska ju bara ha tre kulor.
Gruppen läser problemet högt en gång till.
Anna (2B): Aha, hon ska ha tre kulor men får välja på fyra smaker. Då måste vi rita strutar,
Gruppen börjar rita strutar på vars ett papper. Därefter ritar de till tre glasskulor i varje strut. Grupp 2A ritar glassar och klipper ut dem. De klistrar sedan upp dem på ett gemensamt stort ark.
Eskil (2A): Det är jättebra att vi klistrar dem tillsammans här, för då ser vi vilka vi har.
6.1.3 Eleverna i år 3 kring problemet Glassarna
Grupperna 3A och 3B läste problemet högt för varandra.
Kimmy (3A): Jag fattar inte, jag vill läsa själv!
Boel (3A): Varför det, jag har ju precis läst.
Kimmy (3A): Amen, jag fattar bättre när jag själv läser.
Några av eleverna läste problemet en gång till tyst för sig själv. Därefter diskuterade de sig fram till vilka smaker de skulle använda sig av. De började skriva ner kombinationer som till exempel choklad/mango/daim eller choklad/mango/vanilj.
Annie (3B): Nu har vi fyra olika glassar, jag tror vi är färdiga nu.
Vid detta stadium hade ingen kombinerat glassar genom att använda kulor av samma smak.
Ludvig (3B): Det kan ju vara så här också; mango, mango och mango. Eller choklad, choklad och choklad.
Sofia (3B): Men då finns det ju hur många sätt som helst!
När väl någon i gruppen föreslog att de kunde ha en glass med tre kulor med samma smak kom kommunikationen igång igen.
Eleverna arbetar på med problemet. De skriver ner kombinationerna. En av eleverna i grupp 3A har ett annat tillvägagångssätt. Jonna använder sig av fyra pennor i olika färger och ritar tre streck i olika färgkombinationer.
Boel (3A): Va gör du?
Jonna (3A): Jag ritar streck för varje kula, så slipper jag skriva.
Boel (3A): Kolla, vi gör så som Jonna istället!
Kimmy (3A): Nej, men det är bättre vi gör som vi gör. Så jämför vi med henne
sen.
Eleverna jämför och kontrollerar att de inte ritar eller skriver samma kombinationer. Grupperna kom fram till att det fanns 20 olika kombinationer.
6.2 Hur kommunicerar eleverna i år 1, 2 och 3 i grupp kring det matematiska problemet ”Klippa gräs” samt vilka tillvägagångssätt och lösningsstrategier använder de?
Problemet: Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Mona gör det på 4 timmar. Hur
lång tid tar det om de hjälps åt?
6.2.1 Eleverna i år 1 kring problemet Klippa gräs
I detta problem började eleverna läsa texten högt i gruppen. Gruppen 1A diskuterade vilket räknesätt de skulle använda sig av.
Josefin (1A): Ska vi använda minus då? Anton (1A): Ja, det är det nog.
Josefin (1A): Å, sen då?
De beslutade sig för att använda subtraktion och resultatet blev 2 timmar. Efter att de hade nått resultatet ville de gå vidare med nästa problem.
Även grupp 1B diskuterade hur de skulle gå tillväga.
Emil (1B): Vad då hjälpas åt, ska de klippa samma gräsmatta?
Alma (1B): Blir det två timmar då eller?
Knut (1B): Men det kan väl inte ta två timmar om Jenny gör det själv på två timmar?
Emil (1B): Men, vi svarar en timme då!
6.2.2 Eleverna i år 2 kring problemet Klippa gräs
Grupperna 2A och 2B läste problemet högt tillsammans. Grupp 2A ritade upp gräsmattan på ett papper. Gräsmattan ritades i form av en rektangel och målades grön. De ritade in ”Mona” och ”Jenny” på var sin sida om gräsmattan.
Sandra (2A): Vi får dela upp gräset. Dom ska klippa halva var.
Måns (2A): Hur vet du det? Det är väl inte säkert. Jenny är ju mycket snabbare än Mona.
Sandra (2A): Ja men dom måste ju klippa lika mycket.
Måns (2A): Jaha……..det måste dom kanske.
Gruppen drar ett streck i mitten på deras ritade gräsmatta.
Jonas (2A): Om Jenny ska klippa halva gräset så tar det bara en timme för henne.
Sandra (2A): I så fall så måste det ta två timmar för Mona att klippa halva gräsmattan.
Jonas (2A): Aha, då tar det ju tre timmar för dem.
Resultatet skrev gruppen upp så här: 1 + 2 = 3.
Grupp 2B diskuterade kring valet av räknesätt. De bestämde sig för att använda subtraktion.
Leo (2B): Vi tar fyra minus två.
6.2.3 Eleverna i år 3 kring problemet Klippa gräs
I grupp 3B diskuterades vilket av räknesätten som de skulle använda. De läste problemet flera gånger både högt tillsammans och var och en för sig. En i gruppen, Ludvig, pratade och diskuterade högt med sig själv.
Annie (3B): Va pratar du om?
Ludvig (3B): Ja, det står ju inget om hur många gräsklippare där är. För tänk om Jenny har en och Mona har en, då kan dom ju klippa samtidigt. Sofia (3B): Vi kluddar inte till det. Det är bara att ta 4 – 2 och det blir ju 2
timmar.
Ludvig (3B): Jaja gör så då, men jag tror det är fel!
I grupp 3A var det Kimmy som pratade och Jonna skrev ner det han sa. Boel lyssnade och nickade med.
Kimmy (3A): Monas sölighet läggs ihop med Jennys snabbhet. Alltså tar man talet mittemellan 2 och 4. Svaret är 3 timmar.
Gruppen förklarade sig färdiga med problemet efter Kimmys förklaring. De var överens om att hans strategi var den rätta och kommunikationen kring problemet var slut.
6.3 Hur kommunicerar eleverna i år 1, 2 och 3 i grupp kring det matematiska problemet ”Godisbitar” samt vilka tillvägagångssätt och lösningsstrategier använder de?
Problemet: Ni ska köpa godis. 32 godisbitar kostar 10 kronor. Hur många bitar får ni för 25
6.3.1 Eleverna i år 1 kring problemet Godisbitar
Gruppen 1B började liksom i de andra problemen med att läsa högt. Problemet lästes flera gånger. Eleverna diskuterade kring talen i texten.
Emil (1B): Ska man plussa 10 med 25?
Alma (1B): Nej, jag tror man kanske kan ta 32 plus 10.
Knut (1B): Men femman då?
Alma (1B): Vilken femma?
Knut (1B): Den som blir över där. (Han pekar på femman i talet 25)
Gruppen beslutar sig efter en stund för att resultatet blir 47.
Grupp 1A läser problemet tillsammans och hämtar därefter en miniräknare. De diskuterar om vilka tal som skall knappas in på miniräknaren. De resonerar kring talen de läst i problemet.
Emma (1A): Det är nog minus man ska använda.
Anton (1A): Ja, det är det nog.
Ebbe (1A): Vi ritar lite.
Ebbe ritar 32 godisbitar på ett papper och skriver 10 kronor bredvid.
Ebbe (1A): Nej, det blev nog inte bra, det blir så mycket.
6.3.2 Eleverna i år 2 kring problemet Godisbitar
Grupperna läste som tidigare problemet högt tillsammans.
Eskil (2A): Vi behöver pengar!
Jonas (2A): Jag hämtar!
Jonas gick och hämtade pengar. En stund efter hämtade även grupp 2B pengar. Pengarna placerade de framför sig vid sina respektive bord och kommunikationen fortsatte. Båda grupperna lade fram tjugofem kronor och resonerade på olika sätt.
Leo (2B): Då måste vi dubbla.
Anna (2B): Vad ska vi dubbla?
Leo (2B): 32.
Moa (2B): Vänta det kan jag…… Det blir 64!
Leo (2B): Ja, å sen tar vi plus fem.
Moa (2B): Ja, det blir 69!
Grupp 2A diskuterar kring sina 25 kronor och antalet godisbitar. Efter en stund lämnar de problemet och börjar prata om vad de får till mat på skolbespisningen.
6.3.3 Eleverna i år 3 kring problemet Godisbitar
Eleverna i år tre läste problemet tillsammans i sina respektive grupper. Även vid detta problem läste några av eleverna texten för sig själv.
Calle (3B): Jag fattar inte!
Sofia (3B): Amen, vänta lite nu vi läser en gång till.
Ludvig (3B): Jag vet! Vi gångar 32 med 25 och det blir nog 610.
Annie (3B): Men vi kan väl inte få 610 godisbitar för 25 när man fick 32 för 10!
Annie (3B): Så här tror jag att det är. Man får 32 godisbitar för 10 kronor, då får man ju 64 för 20 kronor. Hälften av 32 är 16 och hälften av 10 är 5. Då blir det 32 + 32 + 16 är 80.
I grupp 3A har Kimmy en strategi och övriga gruppen lyssnar.
Kimmy (3A): För 20 kronor får ni då 64 godisbitar, eftersom 25 kronor är så måste man dubbla fyra. Så då blir det åtta. Alltså 68. Svar 68!
7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER
Syftet med vår studie var att undersöka hur elever i skolår 1, 2 och 3 kommunicerar kring matematisk problemlösning i grupp. Genom våra observationer ville vi finna svar på vår huvudfråga samt delfrågorna;
Hur kommunicerar några elever i grupp vid matematisk problemlösning?
• Vilka likheter finns i elevernas kommunikation, tillvägagångssätt och strategier från skolår 1 till 3?
• Vilka skillnader finns i elevernas kommunikation, tillvägagångssätt och strategier från skolår 1 till 3?
Analysen av resultatet gav oss svårigheter vad gäller kategorisering. Vi hade velat göra en kategorisering utefter de tre begreppen i våra frågeställningar; kommunikation, tillvägagångssätt och strategier. Detta fann vi ogenomförbart eftersom vi inte såg några tydliga gränser begreppen emellan. Det var svårt att hålla isär dem. På grund av detta så analyseras begreppen tillsammans under respektive problem.
Vi har valt att analysera resultatet från våra observationer med hjälp av Wistedts (1993) kontextualiseringar, fyrfältsblad och Polyas fyra faser vid problemlösning.´
Anledningen till att vi valt just Wistedt är att vi tidigare under utbildningen arbetat med hennes forskning kring kontextualiseringar. Hon har i sin forskning studerat hur barn arbetar i grupp vid matematiska problem. Wistedt beskriver fyra olika begrepp som kännetecknar kontextualiseringar av olika kategorier. Det första begreppet är kontextdominans, som redogör för situationen då en elev tyder en uppgift utan vidare eftertanke. Kontextuell osäkerhet är det andra begreppet som innebär att eleven växlar mellan olika tolkningar av ett resonemang inför en eventuell lösning. Det tredje begreppet är kontextuell medvetenhet. Eleven använder här olika metoder av lösningar som sedan bedöms och uppskattas i relation till problemet. Det sista begreppet är kontextpreferens och går ut på att eleven föredrar en tolkning av ett problem framför andra.
HÄNDELSE 1. BILD 2. ORD 3. TAL 4. FORMEL
Ett fyrfältsblad är ett arbetsblad där varje fält är avsett för en specifik uttrycksform, ett företrädande språk (Emanuelsson, Rosén, Ryding och Wallby, 2003).
1. Kommunikation kring problemlösningen med bildrepresentation. 2. Kommunikation kring problemlösning med språk/ordrepresentation. 3. Kommunikation kring problemlösning med talrepresentation.
4. Kommunikation kring problemlösning med formelrepresentation
Polya använder sig av fyra faser vid problemlösning. De fyra faserna är;
1. Att förstå problemet 2. Att göra upp en plan 3. Att genomföra planen 4. Att se tillbaka på lösningen
7.1 Analys av Glassarna Wistedts kontextualiseringar
Vid detta problem fann vi ingen av eleverna som visade en kontextdominans. Detta ser vi inte som någon nackdel eftersom de visar att de behövde kommunicera tillsammans och därigenom skapa strategier. Att förstå problemet behövdes eftertanke. Innan eleverna visste vilket tillvägagångssätt de skulle använda sig av tyder på en vis kontextuell osäkerhet. En av grupperna tog fram pengar och trodde att detta skulle vara till hjälp. Valet att använda sig av pengar berodde antagligen på att eleverna ofta använder pengar vid uträkningar i matematik. Gruppen kommunicerade vidare och kom inte på någon bra lösning på problemet med hjälp
av pengarna. Det resulterade i att de istället började rita glassar. En del av grupperna visade kontextuell medvetenhet genom att de inom gruppen arbetade med olika tillvägagångssätt. Jonna i grupp 3A använde sig av fyra pennor i olika färger och ritade streck i olika färgkombinationer. Resterande del av gruppen skrev ner glasskombinatioerna (t.ex. choklad/mango/daim). Gruppen använde här olika tillvägagångssätt av lösningar som sedan bedömdes och uppskattades i relation till problemet. Eftersom gruppen fortsätter med två tillvägagångssätt tar de aldrig steget vidare till kontextpreferens.
Fyrfältsblad
När vi analyserade hur eleverna kommunicerade kring problemet Glassarna så framgick det att det endast var två av uttrycksformerna i respektive fält som eleverna behärskade. I detta problem kunde alla elever associera till vardagen och sig själv när de handlar kulglass. Att rita glassar blev därför en enkel och åskådlig strategi för att nå ett resultat. Fälten som representerar tal och formel blir i detta problem inte berörda. Anledningen till detta anser vi är att problemet lättare löses med bild- och språkkommunikation.
Den största likheten i grupperna var att de ritade glassar för att nå resultatet. Det var tydligt att uttrycksformen bild var dominerande. En markant skillnad mellan åren 1 till 3 var att 3:orna ville läsa problemet för sig själv. Anledningen till detta menar vi är att de behärskar sin egen läsning mer och får då bättre förståelse.
Polyas fyra faser
I problemet Glassarna kunde vi se att de sex grupperna vi observerade följde Polyas fyra faser kring problemlösning, med ett litet frågetecken för den fjärde fasen. Vi anser att samtliga grupper fick förståelse för problemet. Genom kommunikationen eleverna emellan skapade de tillsammans en förståelse. Därefter byggdes strategier och tillvägagångssätt upp. En del av grupperna valde att genomföra planen en och en, men samtidigt med ett samarbete. I samarbetet jämförde och kontrollerade de sina glasskombinationer. Grupperna var osäkra på om deras resultat var korrekt eftersom många glasskombinationer bildades. Frågan kvar stod i grupperna om de hade lyckats att komma på alla kombinationer eller om det fanns fler. Men samtliga grupper gav inte upp och det resulterade i att de flesta grupperna kom fram till 20 glasskombinationer.
7.2 Analys av Klippa gräs Wistedts kontextualiseringar
I grupp 3A kunde vi genom Kimmy se en kontextdominans. Han kom snabbt fram till ett resultat utan vidare eftertanke. De övriga gruppmedlemmarna kommunicerade inte med varandra utan förlitade sig på Kimmys strategi och resultat. Kimmy anses vara duktig i matematik, detta menar vi är orsaken till att gruppen valde att hålla fast vid Kimmys resultat. Grupp 1A visade en kontextuell osäkerhet. De förstod inte hur problemet skulle tolkas och därigenom uppstod en osäkerhet av valet till vilket räknesätt de skulle använda sig av. Detta ledde i och för sig till ett resultat men utan förståelse eller vidare eftertanke. Grupp 1B saknade även dem kunskap och förståelse till problemet men de försökte diskutera fram en logisk lösning:
Knut (1B): Men det kan väl inte ta två timmar om Jenny gör det själv på två timmar?
Emil (1B): Men, vi svarar en timme då!
Genom detta resonemang kan man se att Knut och Emil försöker resonera sig fram till ett rimligt svar utan förståelse för någon logisk lösning.
Fyrfältsblad
I problemet Klippa gräs representerades tre av de fyra uttrycksformerna från fyrfältsbladet. En grupp använde sig av tre uttrycksformer. De ritade en bild av gräsmattan, Mona och Jenny. Detta skapade en för förståelse till problemet. Vidare språkligkommunikation inom gruppen ledde till Monas respektive Jennys tid det tog att klippa halva gräsmattan. Tillsammans kom gruppen fram till ett resultat genom talrepresentation (1 + 2 = 3).
Polyas fyra faser
Enligt oss skapade några av eleverna inte någon förståelse för problemet. De gav inte problemet någon större chans, istället lyssnade de till de strategier som någon i gruppen lyfte fram. Det var bara grupp 2A som försökte sig på att tillsammans lägga upp en plan,
genomföra den och därigenom nå ett resultat. Ludvig i grupp 3B var den enda som vi kunde observera såg tillbaka på lösningen. Han nämnde att han trodde att resultatet var felaktigt men fick inte någon respons och gav därmed vika.
7.3 Analys av Godisbitar Wistedts kontextualiseringar
Kimmy i grupp 3A fortsätter med att vara den dominanta i gruppen. Han tyder själv problemet utan vidare eftertanke. Övriga gruppmedlemmar saknar förståelse eller ger sig inte tid att ens försöka fundera ut en rimlig lösning för problemet och förlitar sig ännu en gång på Kimmys strategi. Eftersom gruppen saknar förståelse samt kommunikation är det ingen som reflekterar över det felaktiga resultatet. Kontextuell osäkerhet kunde vi observera i flera av grupperna. De diskuterade olika tolkningar och strategier kring problemet. Det märktes tydlig osäkerhet. Talen i problemet blev det centrala i deras kommunikation. Vad som var pengar och vad som var godisbitar kunde inte hållas isär. Det var endast en av eleverna som visade en kontextuell medvetenhet och det var Annie i grupp 3B:
Ludvig (3B): Jag vet! Vi gångar 32 med 25 och det blir nog 610.
Annie (3B): Men vi kan väl inte få 610 godisbitar för 25 när man fick 32 för 10!
Ludvig (3B): Nähä.
Annie (3B): Så här tror jag att det är. Man får 32 godisbitar för 10 kronor, då får man ju 64 för 20 kronor. Hälften av 32 är 16 och hälften av 10 är 5. Då blir det 32 + 32 + 16 är 80.
Annie hade förståelse för gruppens olika resultat och såg tillbaka på problemet. Annie insåg att resultaten inte var relevanta och försökte få gruppen att också inse det.
Fyrfältsblad
.
Det var endast en av grupperna (1A) som representerade uttrycksformen bild. Vi anser att om fler av grupperna hade åskådlig gjort problemlösningen med hjälp av bild hade detta lett till ökad förståelse. Grupp 1A kom inte fram till något resultat trots försöket att åskådlig göra problemet. Vi anser att texten i problemet blev för svårt för dem. Genom att eleverna får problemet åskådligt hade der varit enklare för dem att hålla isär pengar och godisbitar. Ett exempel på hur problemet även hade kunnat se ut
är: Alternativ 2
______ ______
(Lika med)
(32 kolor)
Hur många kolor får du för: ?
Hade problemet presenterats så här hade fler av grupperna nått till resultatet.
Den vanligaste uttrycksformen var tal. I problemet fanns talen 10, 32 samt 25 och det var dessa som det kommunicerades kring. De visste att något räknesätt skulle användas men inte vilket och hur. Ingen av grupperna uttryckte sig genom en formelrepresentation.
Polyas fyra faser
Vid observationen av problemet Godisbitar kunde vi följa Polyas fyra faser i endast en av de sex grupperna. Den gruppen (3B) skapade tillsammans förståelse och flera planer gjordes upp. Planerna genomfördes tillsammans. Tack vare Annie insåg gruppen att endast ett av resultaten var rimligt. De övriga fem grupperna gjorde goda försök till att förstå sig på problemet. Även här gjordes och genomfördes olika planer men utan förståelse. Vi kunde se att grupp 3A var på god väg mot resultatet men i slutändan blev Kimmy för ivrig. Han ville vissa att han var en
duktig matematiker men trasslade in sig i sina egna uträkningar. Resultatet gavs utan tillbaka blick på lösningen.
7.4 Sammanställning av analysen
Vygotskij (1999) ser språket som ett redskap för barns lärande i samspel med andra. Han beskriver lärandet som en övergång mellan två zoner, två utvecklingsnivåer. Han menar att barnet lär sig i ett utvecklingsrum, en zon. I zonen finns det som barnet redan kan men samtidigt finns där också utrymme för det som barnet inte kan på egen hand. Barnet kan klara av det tillsammans med andra. På så sätt lär det sig så småningom att klara det själv. Vi påstår med stöd av Vygotskijs teori att elever lär sig i ett utvecklingsrum tillsammans med andra. De problem vi använde oss av i vår observation hade skapat större osäkerhet om eleverna skulle lösa problemen individuellt. Enligt Björkqvist (2001) anser att ett problem för en elev inte behöver vara ett problem för en annan elev. Vi hävdar att elevers tankegångar och strategier stärks och utvecklas i samspel med varandra. Samspelet sker genom elevernas kommunikation vilket leder till ökad förståelse.
Genom observationerna kunde vi se att eleverna använde sig av olika uttrycksformer som t.ex. muntlig- och bildlig representation. Vi tycker att det är viktigt att elever använder sig av olika uttrycksformer vid problemlösning. Uttrycksformer fungerar som redskap och dessa skapar gynnsammare förutsättningar för eleverna. Det leder till större möjligheter att nå en lösning desto fler redskap eleverna behärskar. Detta resonemang stöds av Hagland m.fl. (2005) som poängterar uttrycksformernas vikt vid elevernas tankearbete och kommunikation. Enligt kursplanen för matematik (Skolverket, 2000) skall skolan ge eleverna möjlighet att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer.
Vi tog Haglands m.fl. (2005) uttryck ”rikt problem” till oss när vi valde ut problemen till observationen. Problemen som vi valde ut anser vi är inspirerande för skapande av matematiska begrepp, idéer och strategier. För att skapa nyfikenhet och intresse bland eleverna gjordes problemen lättförståliga men även ge en känsla av utmaning. Problemet
Godisbitar visade sig inte vara så lättförståligt som vi hade tänkt oss. På grund av detta tappade eleverna intresset. Deras kommunikation kom av sig. Hade problemet sett ut som vi beskriver det i alternativ 2 (under rubriken 7.3 Godisbitar) hade fler elever säkert blivit mer inspirerade till fortsatt lösning. Problemet hade i sin tur blivit mer konkret och valet att ta
