Föreläsning 4 i Inledande matematik för Z/TD.
Ek-vationer för plan och linjer i rummet.
Avstånd
mellan punkter, plan och linjer i rummet.
Introduktion till plan och linjer i rummet.
Vi betraktar i det kapitlet ekvationer för plan och linjer i rummet och deras geometriska mening.
Praktiska användning av dessa begrepp är av två olika typer. Från geometri till =) Ekvationer:
Den första är, att från givna geometriska egenskaper hos plan och linjer, härleda olika typer av ekvationer som de uppfyller.
Från ekvationer till =) Geometri:
Den andra är att från givna ekvationer för plan, linjer och punkter, få fram olika geometriska egenskaper och relationer mellan dem, som avstånd och vinklar och relativa positioner.
Matematiska instrument för att lösa dessa typer av problem är beräkningar av skalärprodukt, kryssprodukt av vektorer.
Två viktigaste vektorer som används i dessa problem är normalvektorer till plan och och tangenvektorer till linjer.
Typiska problem där man går från geometri till ekvationer:
1. Ange en ekvation för ett plan genom en given punkt som har en given normal (en vektor som är vinkelrät mot planet).
2. Ange en ekvation för ett plan genom tre givna punkter.
3. Ange en ekvation för ett plan genom en linje och en punkt. Det används en konstruktion som heter "knipe plan" (pencil of planes in English) för att lösa det problemet.
5. Ange en ekvation för ett plan en linje som är parallell eller vinkelrät mot ett annat plan eller linje.
6. Ange en parametrisk ekvation för skärningslinje av två plan.
7. Ange en linje som är vinkelrät mot ett plan sådan att linjen går genom en given punkt.
Typiska problem där man hittar geometriska egenskaper från givna ekvationer:
1. Hitta skärningspunkter av ett plan med koordinataxlarna (interceptpunkter). 2. Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan.
3. Bestäm om origo och en given punkt ligger på samma sida av ett plan. 4. Bestäm om två plan är parallella.
5. Bestäm om två linjer är parallella.
6. Bestäm avståndet mellan en punkt och en linje.
En ekvation för ett plan med given normal genom en given
punkt.
Betrakta en punkt P0 = (x0; y0; z0) och en vektor n med komponenter A, B, C.
Ortsvektorn för punkten P0 är vektorn
!
OP0 = r0 = x0i+ y0j+ z0k
Normalvektorn kan framställas med hjälp av basvektorer som n= A i + B j + C k
Alternativt kan vi skriva dem som kolonnvektorer: r0 = 2 4 xy00 z0 3 5 ; n= 2 4 AB C 3 5
Det …nns exakt ett plan som är vinkelrät mot n och går genom P0.
Vi vill hitta en ekvation som framställer det planet. Detta betyder att sökta ekvationen måste ha lösningsmängden som sammanfaller med det planet. Betrakta en godtycklig punkt P och dess ortsvektor r = xi + yj + zk.
Det är ganska tydligt från bilden att planet består av sådana punkter P att vektornP0!P mellan givna planets punkt P0 och punkten P är vinkelrät mot planets
Villkoret att vektorn r r0 är vinkelrät mot vektorn n är ekvivalent med att
deras skalärprodukt är lika med noll som ger oss sökta ekvationen på vektor form: n (r r0) = 0
Den kan skrivas om på skalär form i termer av komponenter av givna vektorer n och r0 och godtyckliga ortsvektorn r:
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
Observation. Kom ihåg att vi …ck en liknande ekvation for en linje i planet. Exempel.
Ange en ekvation för ett plan genom punkten P0 = (2; 0; 1)som är vinkelrät mot
linjen genom punkter Q1 = (1; 1; 0) och Q2 = (4; 1; 2):
Lösning.
VektornQ1Q!2 genom punkter Q1 och Q2 kommer att tjäna som planets normal.
!
Q1Q2 =OQ!2 OQ!1 = (4i + ( 1)j + ( 2)k) (1i + 1j + (0)k) = 3i + ( 2)j + ( 2)k
Vi kunde också skriva samma på ett mera transparant sätt med hjälp av kolon-nvektorer: ! Q1Q2 =OQ!2 OQ!1 = 2 4 4 1 2 3 5 2 4 1 1 0 3 5 = 2 4 3 2 2 3 5 = 2 4 A B C 3 5 = n
Vi …ck nu både en normalvektor till sökta planet och en punkt på den och kan sätta motsvarande komponenter och koordinater i allmänna ekvationen
n (r r0) = 0
nx(x x0) + ny(y y0) + nz(z z0) = 0
med resultatet:
3(x 2) 2(y 0) 2(z 1) = 0 Exempel.
Ange en ekvation för ett plan genom tre givna punkter P = (1; 1; 0), Q = (0; 2; 1), R = (3; 2; 1):
Lösning.
Vi har tre punkter på planet givna och beöver hitta en normalvektor för att skriva en ekvation för planet.
En normalvektor måste vara en vektor som är vinjkelrät mot alla vektorer som ligger i planet.
Ideen med lösningen är att först hitta två ocke parallella vektorer i planet. Beräkna sedan kryssprodukten av dessa två vektorer, som blir vinkelrät mot båda dessa vektorer. Den kryssprodukten kan väljas som normalvektor till planet.
Beräkna vektorerP Q!och P R:! !
P Q = OQ! OP = (0i + 2j + 1k)! (1i + 1j + 0k) = 1i + 1j + 1k = i+ j + k !
P R = !O R OP = (3i + 2j + ( 1)k)! (1i + 1j + 0k) = 2i + 1j + ( 1)k = 2i + j k Beräkna kryssprodukten av P Q! ochP R :!
n=P Q! P R = det! 2 4 i j k 1 1 1 2 1 1 3 5 = 2i + j 3k
Ekvationen för planet kan skrivas med att välja vilken punkt som helst som "baspunkt". Vi väljer punkten P = (1; 1; 0) och skriver ekvationen för planet genom P med normalen n :
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
2(x 1) + 1(y 1) 3(z 0) = 0 eller på allmän form:
En ekvation för ett plan på allmän form och på intercept
form.
En ekvation för ett plan på allmän form
Ax + By + Cz = D
innehåller explicita komponenterna A, B, C ur en normal vektor till planet : n = A i + B j + C k. Men vi ser inte direkt koordinater av någon punkt som hör till planet.
I ett fall då D = 0 går planet genom origo:
I fall D 6= 0 är det enklast att hitta en punkter på planet är särningspunkter mellan planet och koordinataxlar. Dessa punkter har alla koordinater lika med noll förutom en (a; 0; 0), (0; b; 0) och (0; 0; c) i fall planet inte är parallelt med någon av koordinataxlar. Det är lätt att hitta värden för a, b, c, med att dela ekvationen med D 6= 0. Vi använde samma idee för att få fram en ekvation i intercept form för en linje i planet. A Dx + B Dy + C Dz = 1 x (D=A)+ y D=B + z D=C = 1
Alternativt kunde vi bara sätta punkterna (a; 0; 0), (0; b; 0) och (0; 0; c) in i givna ekvationen för planet och lösa ut a, b, c som a = D=A, b = D=B, c = D=C. Detta ger oss ekvatonen för planet på
intercept form: x a + y b + z c = 1 Exempel.
Betrakta ett plan med allmän ekvation
2x + 3y + 3z = 6
Hitta skärningspunkter mellan planet och koordinataxlar. Ta punkten (x; y; z) = (a; 0; 0) sätt den in i ekvationen.
2a = 6 =) a = 3 Ta punkten (x; y; z) = (0; b; 0) sätt den in i ekvationen.
3b = 6 =) b = 2 Ta punkten (x; y; z) = (0; 0; c) sätt den in i ekvationen.
Detta ger oss tre sjärningspunkter med axlarna:(3; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 2) och ekvationen på interceptform: x 3 + y 2 + z 2 = 1
Observera att ett planet är parallelt med någon axel, t.ex. z - axeln, så kommer z koordinatan att saknas i ekvationen för det planet:
Ax + By = C
1
Skärningslinjen av två plan.
Exempel.
Visa att två plan x y = 3 och x + y + z = 0 har en skärningslinje och ange vektorn v som är parallell med skärningslinjen.
Lösning. Normaler till dessa två plan är: n1 = 1i + ( 1)j + 0k och n2 =
1i + 1j + 1k:
Skärningslinjen av två plan ligger samtidigt i varje av planen och måste vara vinkelrät mod både normaler till planen.
Det är lätt att hitta en vektor som är vinkelrät mot två givna vektorer n1 och
n2, det är deras kryssprodukt v = n1 n2:
v= n1 n2 = det 2 4 i j k 1 1 0 1 1 1 3 5 = ( 1)i + ( 1)j + 2k:
2
Knipe plan (pencil of planes).
En familj av plan som skär varandra genom samma linje i rummet kallas för pencil of planes på engelska. Vi får översätta det lite fritt som knipe plan. Vi kommer att få fram en ekvation för ett knipe plan.
Betrakta två plan givna av sina allmänna ekvationer. A1x + B1y + C1z = D1
Flytta D1 och D2åt vänster och betrakta följande linjära kombinationen av dessa
två ekvationer:
A1x + B1y + C1z D1+ (A2x + B2y + C2z D2) = 0
med en godtycklig parameter .
Den nya ekvationen representerar nästan alla plan som går genom skärningslinjen av två givna planen.
Vi observerar detta genom att betrakta en punkt P = (x; y; z) som ligger på båda givna planen. Dess koordinater måste satis…era båda ekvationer A1x + B1y + C1z =
D1 och A2x + B2y + C2z = D2.
Men detta medför att P = (x; y; z) satis…erar också ekvationen A1x+B1y+C1z
D1+ (A2x + B2y + C2z D2) = 0. Detta gäller för alla och och motsvarande
linjära ekvationer ger olika plan som går genom den linjen.
Alla plan förutom planet A2x + B2y + C2z D2 = 0 i knipe plan kan framställas
på det viset. Exempel.
Ange en ekvation för ett plan som går genom skärningslinjen av två givna plan x + y 2z = 6 och 2x y + z = 2 och genom punkten ( 2; 0; 1).
Skriv om ekvationerna som x + y 2z 6 = 0 och 2x y + z 2 = 0
Vi skriver först ett knipe plan som representerar alla (förutom en) kandidater att vara lösning, med en parameter som skulle bästämmas.
x + y 2z 6 + (2x y + z 2) = 0
Om punkten (x; y; z) ligger på båda plan (d.v.s. - på skärningslinjen), så måste den uppfylla den ekvationen.
Vi sätter in i den ekvationen koordinater för punkten ( 2; 0; 1) som måste ligga i sökta planet och får då en ekvation för .
( 2) + 0 2(1) 6 + (2( 2) 0 + 1 2) = 0 5 10 = 0
= 2
Sätt det värdet av in i ekvationen för knipe plan och förenkla ekvationen för att få ett snyggare svar.
x + y 2z 6 + ( 2) (2x y + z 2) = 0 3y 3x 4z = 2
Part I
Linjer i rummet.
Betrakta en punkt P0 = (x0; y0; z0)och dess ortsvektor r0 = x0i+y0j+z0k=
2 4 x0 y0 z0 3 5. Betrakta också en vektor v med kompoenter a, b, c: v = vxi+ vyj+ vzk. Tänk om
ett rumdskepp som har hastigheten v och passerar punkten P0 vid tiden t = 0.
Det är lätt att skriva ner ett uttryck för skeppets ortsvektorn r = xi + yj + zk vid ett godtycklig tid t 2 R.
r= r0+ tv
som beskriver en rät linje som rumdskeppet har som sin bana i rumden. Den ekva-tionen kallas för parametrisk vektorekvation för en rät linje. Vi kan skriv om den ekvationen som tre skalära ekvationer för komponenter av inblandade vektorer.
x = x0+ vxt
y = y0+ vyt
z = z0+ vzt
t 2 R
Ekvationer för en rät linje på standart form
Man kan eliminera parametern t från dessa tre ekvationer: x x0 vx = t y y0 vy = t z z0 vz = t
x x0 vx = y y0 vy = z z0 vz
I fall en av hastighetens komponenter t.ex. är noll vz = 0, kommer koordinatan
av rundskeppet att vara konstant z = z0; och andra ekvationen på standart form
väljas då som z = z0: x x0 vx = y y0 vy ; z = z0
Avståndet mellan en punkt och ett plan
Exempel.
Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan
Bestäm avståndet mellan en punkt P0 = (x0; y0; z0)och ett plan med ekvationen
Ax + By + Cz D = 0.
Betrtakta speciellt fallet med punkten P0 = (2; 1; 3)och planet 2x 2y z = 9:
Ortsvektorn för punkten P0 är vektorn
!
OP0 = r0 = x0i+ y0j+ z0k
En normalvektorn till planet har komponenter A, B, C: n= A i + B j + C k
Det syns från bilden att avståndet s mellan punkten P0 och planet är lika med
absolut belopp av skalärprojektion av vektorn !
P P0 = r0 r
på normalvektorn n. Punkten P är en godtyklig punkt på planet som har ortsvek-torn OP = r!
s = ! P P0 n jnj = (r0 r) n jnj = r0 n r n jnj
Man kan uttrycka svaret i en form som är enklare att komma ihåg. Punkten P = (x; y; z) är en punkt på planet och måste uppfylla ekvationen för planet.
r n = Ax + By + Cz = D r0 n = Ax0+ By0+ Cz0
Vi får ett enkelt uttryck för avståndet mellan punkten P0 och planet:
s = Ax0p+ By0+ Cz0 D A2+ B2+ C2
Avståndet är lika med absolut belopp av det värdet som ger insättningen av punkternas koordinater in i planets ekvation, dividerad med normalens längd.
Vi kan igen komma ihåg ett liknande uttryck för avståndet från en punkt till en linje i planet.
I speciella fallet med punkten P0 = (2; 1; 3) och planet 2x 2y z 9 = 0får
vi:
s = 2 (2) + ( 2) ( 1) + ( 1) (3)p 9 22+ 22+ 12 =
6 3 = 2 Observation och ett standart problem till.
Lägg märke till att uttrycket Ax0+ By0+ Cz0 Dhar olika tecken för punkter
som ligger på olika sidor av planet.
Den observationen låter lösa ett standart problem till: att bestämma om två punkter ligger på samma sida planet.
Avståndet från en punkt till en linje.
Exempel .
(a) Bestäm avståndet från en punkt P0 = (x0; y0; z0) till en rät linje genom
punkten P1 och parallell med vektorn v:
(b) Bestäm avståndet från punkten (2; 0; 3) till linjen med parametrisk vektorek-vation
r= i + (1 + 3t)j + (3 4t)k Lösning.
(a) Låt ortsvektorn OP!0 till punkten P0 betecknas med r0 och ortsvektorn OP!1
till punkten P1 betecknas med r1.
Man ser från bilden att sökta längden s i triangeln är lika med s =jr0 r1j sin ( )
Vi lägger märke till att
j(r0 r) vj = jr0 r1j jvj sin( ) = s jvj
Detta medför att vi kan framställa s som
s = j(r0 r1) vj jvj
Det är en relativt lång beräkning: med en kryss produkt och två längder av vektorer som måste beräknas.
(b) Bestäm avståndet från punkten P0 = (2; 0; 3)till linjen med en parametrisk
vektorekvation
r= i + (1 + 3t)j + ( 3 + 4t)k Lösning.
Linjen går genom punkten P1 = (1; 1; 3) vid t = 0. och har riktningsvektorn
v = 3j + 4k (hastigheten längs x -axeln är noll här, rumdskeppet ‡yger parallelt med y z planet) s = j((2i + 0j 3k) (i + j + ( 3)k))p (3j + 4k)j 32+ 42 = (i j) (3j + 4k) 5 = p 16 + 16 + 9 5 = p 41 5 (i j) (3j + 4k) = det 2 4 i j k 1 1 0 0 3 4 3 5 = 4i 4j + 3k
3
Avståndet mellan två icke parallella linjer.
Med avståndet mellan två ickeparallella linjer (röda och blåa på bilden) menas kor-taste aståndet mellan ett par punkter på dessa linjer.
N = v1 v2
Vektorn!N = v1 v2 här är en gemensam normalvektorn till båda linjer.
Minimala avståndet s mellan dessa linjer är samma som avståndet mellan dessa parallella planen där dessa två linjer ligger.
Betrakta en vektor mellan planen t.ex. r2 r1 (gröna vektorn på bilden)
Avståndet s är lika med absolutbeloppet av skalära projektionen av en godtycklig sträcka mellan linjerna (eller planen) på den gemensamma normala vektorn!N. Välj !N = v 1 v2: s = (r2 r1) !N !N = j(r 2 r1) (v1 v2)j j(v1 v2)j
