1
Medelvärdesfel eller medelvärdesterror?
Hänvisningar till ”medelvärden” förekommer i vår kultur så ofta att det kanske kan vara berättigat att tala om en medelvärdesterror eller medelvärdesbaserat förtryck.
Det är ofta oklart vad som menas med termen medelvärde och det är även ofta oklart hur underlaget för att beräkna medelvärdet ser ut och hur det uppkommit. Medelvärden blir ofta missvisande och tolkas ofta felaktigt. Det s.k. aritmetiska medelvärdet är en matematisk abstraktion som beräknas genom att addera samtliga mätvärden och dividera summan med antal mätvärden. Om vi skall beräkna medelinkomsten i ett företag A med fem personer, så kan de enskilda inkomsterna från företaget vara t.ex. 200 000, 250 000, 275 000, 400 000 och 1 600.000 kr. Summan av dessa blir 2 725 000 kr. Delar vi denna summa med 5 så erhålls det aritmetiska medelvärdet 545 000 kr. Får vi bara veta att medelinkomsten är denna, så kan vi lätt begå tankefelet att personerna i företaget ligger samlade runt detta belopp, när det i själva verket är så att fyra stycken ligger långt under och en ligger långt över. Något eller några extremvärden – höga eller låga – kan starkt påverka ett aritmetiskt medelvärde. Ibland används därför ett annorlunda definierat medelvärde, det s.k. medianvärdet som är det mittersta värdet eller ligger mitt emellan de två mittersta värdena. I detta fall blir medianen 275 000 kr, vilket är ungefär hälften av det aritmetiska medelvärdet ovan. Medianen döljer dock storleken hos de enskilda värdena och i synnerhet det högsta värdet. En annan möjlighet är att ange det s.k. typvärdet, vilket definieras som det vanligaste värdet. I detta fall finns inget sådant då det bara finns ett värde av varje slag. Men det syns att tre av inkomsterna ligger inom intervallet 200 000 – 275 000 och vi skulle kunna säga att
detta är ett typiskt inkomstintervall på detta företag. Existensen av de två högsta inkomsterna framgår då inte och det kan lätt inge idén att de inte existerar.
I detta fall ger enbart en uppräkning av de fem inkomsterna en snabb och korrekt information – de olika medelvärdena kan sägas vara missvisande och lätt ge upphov till tankefel, när de fem bakomliggande värdena inte är kända för mottagaren. Medelvärden säger inget om hur värdena sprider sig kring medelvärdet mer än att medianen har hälften av värdena på vardera sidan om sig. Runt aritmetiska medelvärden och typvärden kan värdena ligga hur skevt som helst och även med alla värden på ena sidan och noll på den andra sidan, när typvärde anges.
Ett annat inkomstexempel är följande. Anta att inkomsterna på företaget B är 6 st med 100 000, 3 st med 200 000 och 3 st med 600 000 kr i inkomst från företaget. Medianen blir 150 000 kr och typvärdet blir 100 000 kr. Det aritmetiska
medelvärdet blir 250 000 kr. Dock existerar inte en enda anställd som har medelvärdesinkomsten. Hela 9 st ligger under det aritmetiska medelvärdet och det är ett stort hopp (350 000 kr) upp till de tre som har 600 000 kr i inkomst. En tvåtoppig fördelning, grovt sett en s.k. U-fördelning föreligger, där medelvärdet hamnat där det inte finns några värden alls. Den som enbart blir informerad om medelvärdet kan lätt inbilla sig att värdena ligger på och runt om 250 000 kr eller kan då han tänker på någon enskild anställd X tro att denne tjänar cirka 250 000 kr i stället för att tro att denne tjänar betydligt mindre eller mycket mer än 250 000 kr.
Vad kan göras åt den medelvärdesterror som belyses med dessa två inkomstexempel, men som förekommer inom många områden och inte sällan mycket obegripligare än i de anförda exemplen ? Det finns ofta anledning att ägna variationen, dvs. spridningen av mätvärdena mer uppmärksamhet. Ett utmärkt hjälpmedel utgör i enkla fall en uppräkning av värdena eller ett enkelt stapeldiagram (även kallat histogram), där staplarnas höjd svarar mot antal värden i de intervall som anges på den horisontella axeln. Det syns snabbt och överskådligt hur värdena fördelar sig över den aktuella mätskalan, hur variationen ser ut. Det syns om det är en entoppig fördelning med symmetrisk fördelning kring ett medelvärde eller om det är en skev fördelning med många värden åt ena eller andra hållet eller om fördelningen av mätvärden har två eller flera toppar och dalar och om det saknas värden inom vissa intervall. Ett annat område för medelvärden är förändringsmätning. Om vi mäter t.ex. personer som erhållit något slag av behandling vid två tillfällen (före respektive efter behandling) så kan vi beräkna om medelvärdet har förändrats i någon riktning. Låt oss använda t.ex. en skala med 10 steg och låta personerna själva uppskatta hur bra de mår. Exempel 1: Medelvärdet oförändrat
Anta att10 personer benämnda A till och med J deltar. Före behandling gäller följande mätvärden:
A och B har 1 poäng C och D har 2 poäng E har 3 poäng ingen har 4 poäng F har 5 poäng G och H har 6 poäng I och J har 7 poäng
ingen har 8, 9 eller 10 poäng, som är de önskvärda värdena
2
Efter genomgången behandling gäller följande mätvärden (förändring inom parentes): A 10 p (+9) B 1 p (0) C 2 p (0) D 2 p (0) E 4 p (+1) F 7 p (+2) G 3 p (-3) H 6 p (0) I 1 p (-6) J 4 p (-3)
Summan råkar även här bli 40 och det aritmetiska medelvärdet är oförändrat 4. Får vi enbart veta medelvärdet kan vi lätt begå tankefelet att behandlingen varit utan effekt. En närmare granskning person för person antyder att 3 st blivit bättre, 3 st blivit sämre och 4 st är oförändrade, dvs. tre olika effektgrupper som döljs av medelvärdet. Kan vi t.ex. hitta något sätt att före behandling välja ut de som får positiv effekt så kan metoden vara användbar
Exempel 2: medelvärdet ökar efter behandling
Det inses lätt att det kan bli ett utfall där medelvärdet höjs. Detta kan då föranleda tankefelet att behandlingen generellt ger positiv effekt. Det kan dock vara så att medelvärdet döljer att några är oförändrade och att några blivit sämre, något som kamoufleras av alla pluspoäng som uppkommit. Exempel 3: medelvärdet minskar efter behandling
Det inses även här lätt att det kan finnas en metod som försämrar fler eller mer än den hjälper, varvid medelvärdet kan sjunka. Detta kan föranleda tankefelet att alla försämras. Medelvärdet kan dock dölja att några blivit bättre även i detta fall.
En viktig fråga är förstås hur man redovisar dem som avbryter behandlingen, kanske i en del fall för att de
blir sämre av behandlingen eller dör av den? Om dessa räknas bort kan behandlingsmetoden framstå som bättre än den förtjänar.
Det är uppenbart att medelvärdet är ett oklart och missvisande mått. Det är i exemplen ovan mycket bättre att
granska utfallet per person och räkna ihop hur många som blivit bättre, sämre eller oförändrade och även separat räkna sådana som eventuellt blivit bättre i vissa avseenden och sämre i andra avseenden (blandad effekt), vilket jag bortsett från i exemplen ovan.
Ett annat fall av medelvärdesfel eller snarare medelvärdesterror utgör framhävandet av medelvärden som norm eller ideal utan att det beaktas att det finns en naturlig och normal variation. Det är inte så roligt för människor att få höra att de ligger under medelvärdet i något eller några avseenden, t.ex. något påhittat test. Om det är en normalfördelad egenskap eller måttet är en median, så gör halva befolkningen det – inte särskilt anmärkningsvärt. Föräldrar har länge fått höra hur deras barn ligger under någon medelviktskurva eller att barnet har en försenad utveckling i förhållande till medelvärdet för när ett barn i just den åldern kan stå, gå, säga så många ord, sluta med blöja etc. Men hälften av barnen ligger av matematiska skäl under medelvärdet (medianen eller aritmetiskt medelvärde vid symmetrisk normalfördelning) och sannolikheten att ett visst barn skall ligga under medelvärdet i åtminstone något avseende är förstås hög. Det är inte heller så givet att det är en fördel att vara tidig i sin utveckling, i synnerhet inte om den pressas fram av föräldrar. Det kan förefalla som om matematiska abstraktioner som medelvärden fokuseras för mycket och den naturliga variationen respekteras för lite. I den mån medelvärden används bör de oftast kompletteras med lättlästa stapeldiagram över fördelningen av mätvärden eller åtminstone spridningsmått av något slag, t.ex. högsta och lägsta värde eller proportionen värden inom ett visst intervall. Det i statistiska sammanhang vanliga måttet standardavvikelse är svårt att förstå för de flesta. Att ange storlek på mätfel kan också vara lämpligt för att människor inte skall tänka att mätvärden är exakta.
Inte sällan finns svåra källkritiska problem (låg eller okänd tillförlitlighet) kring de siffror som medelvärden beräknas på. Det finns därför ofta anledning att granska hur siffrorna uppkommit, dvs. metodik, eventuella antaganden, subjektivitet,
avläsningsfel, inrapporteringsfel och andra felkällor, inkl. räknefel, fusk och bedrägeri. Att människor uppger något i en enkät, vilket tilldelas en siffra, betyder inte att det är korrekt eller sant eller ger en lämplig bild av verkliga förhållanden. Om t.ex. småföretagare tillfrågas hur mycket tid de ägnar åt bokföring, så kan de använda olika definitioner av bokföring, när de svarar eller en del kan vara benägna att överdriva tiden därför att de har en negativ attityd till bokföringen eller vill utöva politisk påtryckning eller en del bokföringstid kan glömmas bort och några svarar inte alls (och kanske just dessa har mycket bokföring?). Ett medelvärdeberäknat på en inrapporterad siffra kan innebära ett avsevärt fel i förhållande till verkliga förhållanden. En statistiker på socialstyrelsen förklarade t.ex. för mig för många år sedan att den beräknade medelvårdtiden för placerade ungdomar var för hög och inte alls tillförlitlig, därför att det fanns brister i inrapporteringen av avslutade placeringar.
